北京市石景山区2023-2024学年七年级（上）期末数学试题（含解析）

这是一份北京市石景山区2023-2024学年七年级（上）期末数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．的相反数是（ ）
A．B．2C．D．
2．以河岸边步行道的平面为基准，河面高，河岸上地面高，则地面比河面高（ ）
A．B．C．D．
3．依据第三方平台统计数据，2022年12月至2023年5月，石景山区共有350人享受养老助餐服务（其中基本养老服务对象90人，其他老年人260人），累计服务10534人次．其中，数字10534用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，从左面看图中四个几何体，得到的图形是四边形的几何体的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
5．将三角尺与直尺按如图所示摆放，若的度数比的度数的三倍多，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
6．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知：如图O是直线上一点，和分别平分和，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．对单项式“”可以解释为：一块橡皮元，买了a块，共消费元．请你再对“”赋予一个实际意义 ．
10．如图是一数值转换机的示意图，若输入，则输出的结果是 ．
11．若与是同类项，则m的值为 ．
12．若是关于x的一元一次方程的解，则m的值为 ．
13．如图，要在河边修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，修在 （请在D，E，F中选择）处可使所用管道最短，理由是 ．
14．如图，正方形广场边长为a米，广场的四个角都设计了一块半径为r米的四分之一圆形花坛，请用代数式表示图中广场空地面积 平方米．（用含a和r的字母表示）
15．规定一种新运算：，例如：．
（1）请计算： ．
（2）若，则x的值为 ．
16．已知a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ．
三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：．
18．计算：
19．计算：．
20．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程：
上述小亮的解题过程中
(1)第②步的依据是_________________________________________________；
(2)第____（填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子_______________．
21．解方程：．
22．解方程：．
23．先化简，再求值：，其中．
24．如图，已知直线l和直线外两点A，B，按下列要求作图并回答问题：
(1)画射线，交直线l于点C；
(2)画直线，垂足为D；
(3)在直线上画出点E，使；
(4)连接；
(5)通过画图、测量：
点A到直线l的距离________（精确到0.1）；
图中有相等的线段（除以外）或相等的角，写出你的发现：____．
25．列方程解应用题：
某公司计划为员工购买一批运动服，已知A款运动服每套180元，B款运动服每套210元，公司购买了这两种运动服共计50套，合计花费9600元，求公司购买两种款式运动服各多少套？
26．已知：线段，C为线段上的点，点D是的中点．

(1)如图，若，求的长．
根据题意，补全解题过程：
，，_______，_________．
点D是的中点，______________（理由：__________________________）
(2)若，求的长．
27．已知：，射线是平面上绕点O旋转的一条动射线，平分．
(1)如图，若，求．
(2)若，直接写出的度数．（用含的式子表示）
28．对于点M，N，给出如下定义：在直线上，若存在点P，使得，则称点P是“点M到点N的k倍分点”．
例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点．
已知：在数轴上，点A，B，C分别表示，，2．
(1)点B是点A到点C的________倍分点，点C是点B到点A的_________倍分点；
(2)点B到点C的3倍分点表示的数是________；
(3)点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的4倍分点，写出x的取值范围．
答案与解析
1．D
【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解．
【详解】解：因为-+＝0，
所以-的相反数是．
故选：D．
【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键．
2．C
【分析】本题考查有理数减法的应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
根据正数和负数的实际意义列式计算即可．
【详解】解：，
即地面比河面高,
故选：C．
3．B
【分析】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数．
【详解】解：数字10534用科学记数法可表示为，
故选：B．
4．C
【分析】本题主要考查三视图的左视图的知识；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
四个几何体的左视图：长方体是四边形，圆柱是四边形，三棱柱是四边形，三棱锥是等腰三角形，由此可确定答案．
【详解】解：因为从左边看，长方体是四边形，圆柱是四边形，三棱柱是四边形，三棱锥是等腰三角形，
所以，左视图是四边形的几何体有3个；
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角的概念是解题的关键．
根据角的和差列出方程组即可得到结论．
【详解】解：根据题意得，
，
解得，
答：的度数是，
故选：D．
6．D
【分析】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
根据去括号、合并同类项法则逐一判断即可．
【详解】解：A．不是同类项，不能进行合并，此选项错误，不符合题意；
B．，此选项不正确，不符合题意；
C．，此选项错误，不符合题意；
D．，此选项正确，符合题意；
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了角平分线，关键是掌握角平分线的性质．先求，因为平分，得．
【详解】解：，
，
又平分，
，
故选：C．
8．B
【分析】此题考查了数轴，掌握有理数的四则运算法则是解题的关键．根据数轴上点的位置，先确定a、b对应点的数的正负，再逐个判断得结论．
【详解】解：由图可知，，
所以，
故选：B．
9．练习本每本元，小明买了a本，共付款元，（答案不唯一）
【分析】本题考查了代数式的意义，此类问题应结合实际，根据代数式的特点解答．
根据生活实际作答即可．
【详解】解：练习本每本元，小明买了a本，共付款元，
故答案为：练习本每本元，小明买了a本，共付款元，（答案不唯一）．
10．3
【分析】本题考查代数式求值及有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
根据题意列式为，然后进行计算即可．
【详解】解：若输入，
则，
故答案为：3．
11．2
【分析】本题考查同类项，掌握同类项的定义是解题的关键．
根据同类项的定义进行解题即可．
【详解】解：与是同类项，
,
解得．
故答案为：2．
12．
【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程计算即可求出m的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
13． E 两点之间线段最短
【分析】此题主要考查了线段的性质，正确掌握线段的性质是解题关键．直接利用线段的性质分析得出答案．
【详解】解：如图，要在河边修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，修在E（请在D，E，F中选择）处可使所用管道最短，理由是两点之间线段最短．
故答案为：E；两点之间线段最短．
14．
【分析】本题考查的是列代数式，理解阴影部分的面积等于正方形的面积减去4个圆的面积即可．
【详解】解：用代数式表示图中广场空地面积为平方米；
故答案为：
15． 4 1
【分析】本题考查有理数的混合运算、新运算及解一元一次方程，解答本题的关键是明确新运算的计算方法，求出所求式子的值．
（1）根据题目中的新运算，可以计算出所求式子的值；
（2）先根据题目中的新运算得一个关于x的方程，再解方程即可解答本题．
【详解】解：（1）
（2）
16．
【分析】计算出数列的前4个数，得出数列以，，4为周期，每3个数一循环，据此求解可得．
【详解】解：∵，
∴，，，……，
∴以上数列以，，4为周期，每3个数循环．
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，得到相应的数据及变化规律是解答本题的关键．
17．
【分析】本题主要考查有理数的加法及绝对值的化简，解题的关键是熟练掌握法则及绝对值的性质．
利用有理数的加法法则及绝对值的性质化简，再进行计算即可．
【详解】解：原式
故答案为：9．
18．-1
【详解】试题分析：用乘法分配律计算即可．
试题解析：解：原式==-3+8-6=-1
19．
【分析】根据含乘方的有理数混合运算进行解答即可，此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则和顺序是解题的关键．
【详解】解：
20．(1)等式基本性质2
(2)③；
【分析】本题主要考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化．
（1）根据解一元一次方程的基本步骤和依据逐一判断即可得；
（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】（1）第②步的依据是：等式基本性质2；
故答案为：等式基本性质2；
（2）第③步开始出现错误，这一步正确的式子：．
故答案为：③；．
21．
【分析】此题考查了解一元一次方程，先移项再合并同类项最后系数化成1即可求解．掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
【详解】解：移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
是原方程的解．
22．
【分析】先去分母、去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1，即可得解．
【详解】解：去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键.
23．，
【分析】本题考查整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
先去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将x的值代入计算即可．
【详解】解：原式．
当时，
原式．
24．(1)（1）见解答．
(2)见解答．
(3)见解答．
(4)见解答．
(5)．
【分析】（1）根据射线的定义画图即可．
（2）根据垂线的作图方法作图即可．
（3）以点D为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E．
（4）根据线段的定义画图即可．
（5）直接测量线段的长即可得答案；由题意可得，直线l为线段的垂直平分线，进而可得答案．
【详解】（1）解∶作射线，交于点C，
如图所示．
（2）以A为圆心，适当的长为半径画弧，交直线l于M、N两点，以为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点P，作直线，交直线l于点D，
如图所示，直线为求作的．
（3）以点D为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E．
线段为求作的．
（4）连接，如图所示：
（5）点A到直线l的距离（以答题卡上实际测量距离为准）．
图中相等的线段和相等的角有：，，，．
故答案为：．
25．购买A款式运动服30套，购买B款式运动服20套
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键；设公司购买A款式运动服x套，则购买B款式运动服套．根据“买了这两种运动服共计50套，合计花费9600元”，再建立方程求解即可．
【详解】解：设公司购买A款式运动服x套，则购买B款式运动服套．
根据题意可得，．
解得：，则．
答：公司购买A款式运动服30套，购买B款式运动服20套．
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据线段之间的和差得到，根据点D是的中点即可得到答案；
（2）根据线段中点的定义得到，由，设，则，根据线段的和列出方程，解方程求出x的值，即可得到答案．
此题考查了线段的和差与线段中点的相关计算，熟练掌握线段之间的关系是解题的关键．
【详解】（1）补全解题过程如下：
，，，
．
点D是的中点，
（理由：线段中点的定义）
故答案为：，，，，线段中点的定义
（2）点D是的中点，
（线段中点的定义）．
，
设，则．
．
即：，
解得，．
．
27．(1)
(2)或
【分析】本题考查了角的计算，角平分线，垂直的意义．
（1）根据垂直的定义和角平分线的定义以及角的和差即可得到结论；
（2）根据垂直的定义和角平分线的定义以及角的和差即可得到结论．
【详解】（1）解：（1），
（垂直定义）．
平分，
（角平分线定义）．
，
．
，
．
（2）解：当在的内部时，
，
，
平分，
，
，
，
，
当在的外部时，
同理得，
综上所述，的度数为或．
28．(1)，
(2)1或4
(3)
【分析】本题考查的是数轴、两点间的距离等有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．
（1）通过计算 ， 的值，利用题干中的定义解答即可；
（2）设这点为E，对应的数字为a，则；利用数形结合的思想方法，进行分类讨论，分别列出方程求解即可；
（3）设线段上存在一点F是点A到点D的4倍分点，点F对应的数字为y，则，然后列不等式求解x的取值范围．
【详解】（1）解：∵点A，B，C分别表示，
∴，，．
，
∴点B是点A到点C的倍分点，
，
∴点C是点B到点A的倍分点．
故答案为：，；
（2）设这点为E，对应的数字为a，则，，； 若点E在点B的左侧，明显不符合题意；
若点E在B，C之间，则，
解得：．
若点E在C点的右侧，则，
解得：．
综上，点B到点C的3倍分点表示的数是1或4．
故答案为：1或4．
（3）设线段上存在一点F是点A到点D的4倍分点，点F对应的数字为，则，
，
，
若，则，
解得：，
从而，
解得：；
若，则，解得：，
从而，解得：；
综上，x的取值范围为：．
解方程：
解：原方程可化为：． ……第①步
方程两边同时乘以15，去分母，得：． ……第②步
去括号，得：． ……第③步
移项，得：． ……第④步
合并同类项，得：． ……第⑤步
系数化1，得：． ……第⑥形
所以为原方程的解．