2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）热点专题2-5对数与对数函数【12类题型】含解析答案

这是一份2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）热点专题2-5对数与对数函数【12类题型】含解析答案，共40页。

【题型1】指数对数混合运算
【题型2】换底公式的应用
【题型3】对数函数的图象及应用
【题型4】对数函数过定点问题
【题型5】指对幂比较大小
【题型6】解对数方程或不等式
【题型7】对数函数模型的实际应用
【题型8】对数型复合函数的单调问题
【题型9】对数型复合函数的最值与值域问题
【题型10】对数型复合函数的奇偶性问题
【题型11】反函数问题
【题型12】对数函数的综合问题
【题型1】指数对数混合运算
1、对数计算公式
（1）同底对数加减运算：；
（2）底数和真数是乘方数时：
（3）对数恒等式：
（4）倒数式：
2、对数运算的常用技巧
（1）在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
（2）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.（3）指对互化：（a>0，且a≠1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
1．化简下列各式：
(1)；
(2).
【巩固练习1】
2．化简的值为（ ）
A．B．C．D．-1
【巩固练习2】
3．求值
(1)
(2)
(3)
(4)
【题型2】换底公式的应用
换底公式：（a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0）．
4．已知，，则 .(用，表示)
5．已知，，则 .（用表示）
6．已知，则 ．
【巩固练习1】
7．设，，
（1）用含，的式子表示，形式为 .
（2）用含，的式子表示，形式为 .
【巩固练习2】
8．设，求的值．
【题型3】 对数函数的图象及应用
对数函数的图象（底大图低）
方法技巧：对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当时，对数函数的图像呈上升趋势；当时，对数函数的图像呈下降趋势.
9．已知函数的大致图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
10．函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．(0，1)B．(0， )C．(0，1]D．[1，+∞)
【巩固练习1】（2024·河南信阳·模拟预测）
12．函数的大致图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习2】
13．已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【巩固练习3】
14．已知函数，若且，则的取值范围为 .
【题型4】对数函数过定点问题
对数函数过定点（1，0），即x＝1时，y＝0；
函数过定点
15．函数 (且)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
（2024·安徽安庆·模拟预测）
16．已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）．
A．B．C．3D．
【巩固练习1】
17．已知函数恒过定点，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【巩固练习2】
18．已知直线经过函数图象过的定点（其中均大于0），则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【巩固练习3】
19．函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．D．
【题型5】指对幂比较大小
1、常规法：比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．
2、当底数和真数的差或倍数一样时， 可以考虑拆出一个1
例1：和（倍数一致）
简析：；，由图像可知
例2：和（差一致）
简析：；，由图像可知
20．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
21．设，则（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习1】（2024·天津·二模）
22．设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习2】
23．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习3】
24．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习4】
25．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【题型6】解对数方程或不等式
【方法技巧】
（1）对于形如的形式，利用转化；对于形如的形式，可借助换元法转化为二次方程求解.
（2）解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个不等式即可．
26．方程的解为
27．设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．，
28．不等式的解集为 ．
【巩固练习1】
29．方程的解是（ ）
A．1B．2C．eD．3
【巩固练习2】
30．已知，则的值为 ．
【巩固练习3】
31．若实数x满足不等式，则实数x的取值范围是 ．
【巩固练习4】
32．已知实数，且满足不等式，则不等式的解集为 ．
【题型7】对数函数模型的实际应用
对数函数应用题的基本类型和求解策略
（1）基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析
式，然后根据实际问题求解．
（2）求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
33．如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将 块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．（参考数据：．）
34．为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%，那么此人在开车前至少要休息（参考数据：，）（ ）
A．4.1小时B．4.2小时C．4.3小时D．4.4小时
【巩固练习1】
35．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度可由公式求得.其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于的常数.现有的物体，放在的空气中冷却，分钟以后物体的温度是，则约等于（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】
36．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则 年我国人口将超过20亿．（，，）
【巩固练习3】
37．我们可以把看作每天的"进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.利用计算工具计算并回答下列问题：
（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？
（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？
【题型8】对数型复合函数的单调问题
对数型复合函数的单调问题
1、模板解决思路：判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.
2、模板解决步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
38．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
39．若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是 ．
【巩固练习1】
40．函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习2】
41．已知函数在定义域上是增函数，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习3】（2024·重庆·模拟预测）
42．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习4】
43．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 .
【题型9】对数型复合函数的最值与值域问题
对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
44．函数的最小值是（ ）．
A．10B．1C．11D．
45．已知函数的最大值为2，则 ．
【巩固练习1】
46．已知函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】
47．若函数的最大值为0，则实数a的值为 .
【巩固练习3】（2024·全国·模拟预测）
48．已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【题型10】对数型复合函数的奇偶性问题
常见指对型函数奇偶模型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）是偶函数，如，
49．设函数，则使得成立的的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
50．函数的部分图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习1】
51．已知是定义在上的奇函数，且当时，．
(1)求；
(2)解不等式．
【巩固练习2】
52．设函数为偶函数．
(1)求k的值；
(2)写出函数的单调性（不需证明），并解不等式．
【题型11】反函数问题
指数函数（a>0且a≠1）与对数函数（a>0且a≠1）互为反函数
（2024·江苏扬州·模拟预测）
53．设方程和方程的根分别为，设函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习1】（2024·高三·江西南昌·开学考试）
54．已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】（2024·广东佛山·模拟预测）
55．已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
【题型12】对数函数的综合问题
1、对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内层是对数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解．
2、已知不等式能恒成立求参数值（取值范围）问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决．
56．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习】
57．设定义域为R的函数，若关于x的方程有8个不同的实根，到实数b的取值范围是 .
近5年考情（2020-2024）
考题统计
考点分析
考点要求
2024年II卷第8题，5分
从近四年的高考情况来看，对数运算与对数函数是高考的一个重点也是一个难点，常与二次函数、幂函数、指数函数、三角函数综合，考查数值大小的比较和函数方程问题.在利用对数函数的图像与性质应用上，体现了逻辑推理与数学运算素养.
（1）对数的概念及运算性质（2）对数函数的图象
（3）对数函数的性质
2024年北京卷第7题，4分
2024年天津卷第5题，5分
2023年北京卷第11题，5分
2023年I卷第10题，5分
2022年I卷I卷第7题，5分
2022年浙江卷第7题，5分
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
（0，＋∞）
值域
R
过定点
过定点（1，0），即x＝1时，y＝0
函数值的变化
当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0
单调性
是（0，＋∞）上的增函数
是（0，＋∞）上的减函数
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）、（2）利用对数的运算法则求解即可.
【详解】（1）原式.
（2）原式
.
2．A
【分析】运用对数的运算性质即可求解.
【详解】解析：
故选：A.
3．(1)；
(2)0；
(3)3；
(4)13
【分析】（1）根据对数的运算法则和换底公式计算；
（2）根据对数的运算法则计算；
（3）根据对数的运算法则和换底公式计算；
（4）根据对数的运算法则和换底公式计算.
【详解】（1）原式=;
（2）原式=
=;
（3）原式=;
（4）原式.
4．
【解析】用对数来表示，然后根据对数的运算可得答案.
【详解】因为，，所以，，
，所以.
故答案为：.
5．
【分析】根据指数与对数的关系得到，再根据对数的运算性质计算可得.
【详解】因为，所以，
又，所以
.
故答案为：
6．3
【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式的互化关系，再利用对数的运算性质及换底公式计算得解.
【详解】依题意，，
则．
故答案为：3
7．
【分析】根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确运算，即可求解.
【详解】因为，，
（1）由；
（2）由.
故答案为：；.
8．1
【分析】根据指数幂与对数的互化公式，得到，再结合对数的运算法则，即可求解.
【详解】由，可得，，则，
所以.
故答案为：.
9．A
【分析】作直线，则由，可得，进而由不等式性质可以判断A正确，由不等式可加性可判断BCD错误.
【详解】
作直线，则由，
可得，
则由不等式性质可得，所以A正确.
由不等式可加性可得，故D错误，
不能推出B、C，故B、C错误.
故选：A.
10．B
【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据函数值的正负确定.
【详解】解：，
因为，
所以是偶函数，故排除AD，
当时，令，得或，
当或时，，当时，，
故选：B
11．D
【分析】根据对数函数的图象结合图象平移变换可得．
【详解】的图象是由的图象向左平移个单位所得．的图象过点，函数为增函数，因此．
故选：D．
12．BCD
【分析】易得函数为偶函数，再结合对数函数的性质即可得解.
【详解】函数的定义域为，
因为，所以函数为偶函数，
当时，为减函数，且过定点，
故函数的大致图象不可能为BCD选项.
故选：BCD.
13．D
【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
14．
【分析】作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】画出的图象如图：
∵，且，
∴且，，
∴，即，∴，，
由图象得在上为减函数，
∴，
∴的取值范围是.
故答案为：.
15．C
【分析】由对数函数的性质即可得答案.
【详解】解：因为对数函数(且)恒过定点，
所以函数 (且)的图象必过定点.
故选：C.
16．A
【分析】利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果.
【详解】由题意可知，
则，
当且仅当，时，
的最小值为，
故选:A．
17．C
【分析】令，即可求解恒过定点，进而求解.
【详解】令，解得，此时，
所以恒过定点，则，
所以.
故选：C
18．C
【分析】首先求出定点坐标然后代入直线方程可得之间的关系，最后结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以函数图象过的定点为，
将其代入直线方程得，即，
又，
所以，
当且仅当即时，等号成立，故有最小值4.
故选：C.
19．B
【分析】根据指数函数与对数函数性质求得，然后妙用“1”可得.
【详解】当时，，
所以，函数过定点，得，
所以，，
因为，，
所以，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，的最小值为8.
故选：B
20．C
【分析】根据对数函数的单调性比较与大小，再利用指数函数单调性得到与1的大小关系即可.
【详解】∵，
，
则，
故选：C.
21．D
【分析】根据对数函数的性质即可得到结果.
【详解】因为，，，
又由对数函数的性质:当时，底数越大，图像越低，可得，
所以.
故选: D.
22．C
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性再结合两个中间量“0”和“”比较大小即可.
【详解】，
，
，
，.
故选：C.
23．D
【分析】构造指数函数，结合单调性分析即可.
【详解】在R上单调递减，，
∴；
在R上单调递增，，
∴；
∴
故选：D
24．A
【分析】利用对数性质比较的大小关系，即得的关系.
【详解】由对数运算公式得，，，
，易知，即，
故.
故选：A.
25．D
【分析】先根据函数单调性得到，，对利用换底公式变形后作差，结合基本不等式，得到，从而得到答案.
【详解】因为单调递减，所以，
又与均单调递增，故，，
其中，，
，其中，故，
其中，
故，
所以，即，
故.
故选：D
26．
【分析】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，即可求解.
【详解】由方程，根据指数幂与对数的互化公式，可得.
故答案为：.
27．C
【分析】根据对数函数的单调性即可得结果.
【详解】由，得：，因为，所以，取交集得：．
所以的取值范围是，
故选：C.
28．
【分析】设函数，先求出函数的定义域，进而根据，将不等式转化为.判断函数的单调性，即可列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】设函数，
则应有，解得，所以，定义域为.
又，
所以，由，可得.
因为以及均在上单调递增，
所以，在上单调递增，
所以，.
综上所述，.
所以，不等式的解集为.
故答案为：.
29．D
【分析】利用指数与对数的转化即可得到结果.
【详解】∵，∴，∴.
故选：D.
30．
【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合指数幂运算公式进行求解即可.
【详解】由，得，所以，
即，所以，，所以．
故答案为：
31．
【分析】根据对数函数的单调性及定义域建立不等式组求解即可.
【详解】，
，
解得或，
故答案为：
32．
【分析】根据指数函数的单调性求出a的范围，再根据对数函数的单调性求出答案.
【详解】因为，所以，而，则，于是.
故答案为：.
33．
【分析】构造不等式，利用对数运算法则解不等式可求得结果.
【详解】假设需要块这样的玻璃，则，，
，
至少需要7块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的.
故答案为：.
34．B
【分析】根据题意列不等式，然后利用对数运算公式解不等式即可.
【详解】设经过小时，血液中的酒精含量为，则.
由，得，则.因为，则
，所以开车前至少要休息4.2小时.
故选：B.
35．A
【分析】列方程，根据对数的运算性质计算即可
【详解】解：由题意得，，
，
两边取自然对数得，，
所以，
故选：A
36．2037
【分析】根据条件，列出不等式，再利用对数运算解不等式即可.
【详解】设x年我国人口将超过20亿，
由题意，列方程得：
∴，
∴，
解得，又，故.
故答案为：
37．（1）1480.7倍（2）115天、230天、345天
【解析】（1）根据所给条件，利用指数幂的性质变形，最后利用计算器计算可得.
（2）根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，分别利用计算器计算可得.
【详解】解：（1）.
∴一年后“进步”的大约是“落后”的倍
（2）由得
∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.
由得.
∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.
由得解得
∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.
【点睛】本题考查指数和对数的互化，计算器的应用，属于基础题.
38．D
【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合对数函数、二次函数的单调性、对数的定义进行求解即可.
【详解】由对数的定义可知：或，
二次函数的对称轴为，所以该二次函数的单调递增区间为，
所以的单调递增区间是，
故选：D
39．
【分析】利用复合函数单调性的原则进行计算即可.
【详解】由函数在区间上是单调增函数，只需
函数在上是单调增函数，且当时恒成立，所以满足解得．
故答案为：
40．C
【分析】根据对数复合函数的单调性，结合二次函数的单调性、对数型函数的定义域进行求解即可.
【详解】由，
二次函数的对称轴为：，
所以二次函数的单调递增区间为，递减区间为，
而函数是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知：
函数的单调增区间为，
故选：C
41．B
【分析】首先得到分段函数在各段均为增函数，要使函数在定义域上是增函数，只需函数在断点处左侧的函数值不超过右侧的函数值，即可得到不等式，解得即可；
【详解】解：因为在定义域上是增函数，
当时单调递增且，当时也单调递增，
所以，即，所以，即；
故选：B
42．B
【分析】根据复合函数单调性的规则以及函数在上有意义列不等式求解即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以，解得.
故选：B.
43．
【分析】换元法转化为二次函数的给定区间的单调性求解.
【详解】，
令，为增函数，
所以，所以在单调递减，
所以，即，解得，
故答案为:.
44．B
【分析】利用换元法，令，则，先求出的范围，从而可求出函数的最小值
【详解】设，则，
因为，
所以，所以的最小值为1，
故选：B
45．6
【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得.
【详解】因为函数由与复合而成，
而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值，
由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得．
故答案为：
46．D
【分析】首先求出的范围，然后可得答案.
【详解】因为，所以，所以，
故选：D
47．
【分析】因为的最大值为0，所以应有最小值1，利用二次函数的性质列式即可求解.
【详解】因为的最大值为0，所以应有最小值1，因此应有解得.
故答案为：.
48．B
【分析】根据开口向上，故需在区间上有最小值，且，从而得到不等式，求出答案.
【详解】要使函数在区间上有最大值或最小值，
由于开口向上，
故需函数在区间上有最小值，且．
该函数图像的对称轴为直线，所以，
解得，
所以，且，即实数的取值范围为．
故选：B．
49．D
【分析】方法一 :求出的解析式,直接带入求解.
方法二 : 设，则，判断出在上为增函数,由得，解不等式即可求出答案.
【详解】方法一 :
由得，
则，解得或.
方法二 :
根据题意，函数，其定义域为，
有，即函数为偶函数，
设，则，
在区间上，为增函数且，在区间上为增函数，
则在上为增函数，
，
解得或，
故选：D．
50．A
【分析】分析函数的奇偶性及其最小值，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对任意的，，则函数的定义域为，
因为，
，则函数为偶函数，排除CD选项，
又因为，当且仅当时，等号成立，排除B选项.
故选：A.
51．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数奇偶性和部分解析式即可求出，，则得到最后答案；
（2）根据复合函数单调性函数奇偶性即可得到在上的单调性，则得到不等式，解出即可.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，
则，，
则.
（2）当时，，因为为单调增函数，
根据复合函数单调性知为单调减函数，又因为为单调减函数，
所以函数为单调减函数，
又因为是定义在上的奇函数，
所以是在为单调减函数，
因为，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
52．(1)1
(2)单调性见解析，不等式解集为
【分析】（1）根据得到方程，求出；
（2）根据定义法得到函数的单调性，并根据单调性解不等式.
【详解】（1）∵为定义在R上的偶函数，
∴，即，
故，即，
解得；
（2）在上单调递减，在上单调递增，
理由如下：，
设
任取，且，
则
，
因为，且，
所以，，
故，
所以在单调递增，
由复合函数同增异减可得，在单调递增，
又在R上为偶函数，故在上单调递减，
，
∴，
解得或，
∴不等式解集为.
53．B
【分析】画出的图象，由反函数的性质得，结合二次函数性质即可得解.
【详解】由得，由得，
所以令，这3个函数图象情况如下图所示：
设交于点，交于点，
由于的图象关于直线对称，
而的交点为，所以，
注意到函数的对称轴为直线，即，
且二次函数的图象是开口向上的抛物线方程，
从而.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于画出的图象，利用数形结合再由反函数的对称性得到方程的根或交点.
54．D
【分析】作出函数和的图象以及直线的图象，即可判断大小没判断A；利用反函数的性质可判断B；利用基本不等式可判断C，D.
【详解】作出函数和的图象以及直线的图象，如图，

由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，
结合图象可知，A错误；
由题意知，也即，
由于函数和互为反函数，
二者图象关于直线对称，而为和的图象与直线的交点，
故关于对称，故，B错误；
由，故，C错误；
因为，故，
结合，即得，D正确，
故选：D
55．C
【分析】由与关于直线对称，关于直线对称可得与为同一点即可求得结果.
【详解】由已知条件可知，，，
令，，，
如图所示，
曲线与曲线关于直线对称，曲线关于直线对称，
设曲线分别与曲线，交于点， ，
则点，关于直线对称，
而点关于直线对称的点为，即为点，
则，即.
故选：C.
56．C
【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案.
【详解】变形为：，即在上恒成立，
若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；
当时，画出两个函数的图像，

要想满足在上恒成立，只需，即，
解得：，综上：实数a的取值范围是.
故选：C
57．
【分析】由解析式画出函数图象，若且、为的两根，结合图像可知：、，再应用判别式、根与系数关系及对勾函数的值域求b的取值范围.
【详解】由题设，的图象如下图示：
令，则化为，
∴要使原方程有8个不同实根，则有2个不同的实根且两根、，
∴，可得，又在上递减，在上递增，且，，即，
综上，.
故答案为：.