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高考热点03 函数及其性质-2022年高考数学【热点•重点•难点】专练（解析版）
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这是一份高考热点03 函数及其性质-2022年高考数学【热点•重点•难点】专练（解析版），共36页。
热点03 函数及其性质
【命题趋势】
从新高考的考查情况来看，函数及其性质是高考中的一个热点，常以基本初等函数为载体，主要考查以下四方面内容：①函数的定义域、值域、解析式的求法；②求函数的单调区间，判断函数的单调性，利用单调性比较大小、解不等式、研究函数的最值等；③判定函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，与函数的单调性、周期性、对称性交汇命题；④利用零点存在性定理判断零点是否存在以及零点所在区间，判断函数零点、方程根的个数，根据零点（方程根）的情况求参数的取值范围。
1、函数图象识别问题
图象识别的三种常用方法：
（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域、值域；②从函数的奇偶性，判断图象的对称性； ③从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ④从周期性，判断图象的循环往复。⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
（2）抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
2、函数性质综合问题
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：
（1）函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
（3）单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．
3、解不等式、比大小问题
（1）给定具体函数，确定函数不等式的解，首先要判断函数的单调性；
（2）求解含“f”的函数不等式的解题思路:先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．
（3）先判断出函数的单调性，然后判断a，b，c之间的大小关系，利用单调性比较出f(a)，f(b)，f(c)之间的大小关系.一般地，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
4、不等式恒成立（能成立）与方程解相关的求参问题
（1）直接法（分类讨论）：直接根据题设条件对参数进行相应的分区间讨论，虽然整个过程有点烦琐，却是正统解法，要仔细体会和掌握（该解法是解答题必备技能之一）；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
尤其对分段函数的求值、不等式恒成立（能成立）与方程解相关的求参问题考查频率较高，常以选择题或填空题的形式出现。主要考查数形结合思想、分类讨论思想的运用以及考生的数学抽象、数学运算、逻辑推理核心素养.
A卷（建议用时60分钟）
一、单选题
1．（2021·山东·高考真题）函数的定义域为（ ）
A．且 B． C．且 D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.
【详解】由函数解析式有意义可得且所以函数的定义域是且，故选：A.
2．（2021·天津·高考真题）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.
【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.故选：B.
3．（2021·江苏镇江·高三期中）已知函数，（为自然对数的底数），则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图象经过，且，排除AB，再由当时，排除C求解.
【详解】由图象知：图象经过，又，
所以，不符合题意；
对于，当时，，不符合题意；
对于，是偶函数，且，当时，，符合题意；故选：D
4．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.
故选：B.
5．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.
6．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】由奇函数是定义在上的单调函数，，可得，即，所以，化简后利用基本不等式可求得结果
【详解】解：因为，所以，
因为奇函数是定义在上的单调函数，所以，
所以，即，所以，即，
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.故选：B
7．（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，故.故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
8．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.故选：C.
9．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.故选：C.
10．（2021·湖北·高三阶段练习）已知函数，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据题意得到为奇函数，且在上单调递增，根据得到，再解不等式即可.
【详解】因为函数的定义域为，，所以为奇函数，
又因为当时，单调递增，所以在上单调递增.
因为，所以，
则，即，解得.所以的取值范围为.故选：B
11．（2021·陕西·西安中学高三阶段练习）设函数，下列结论错误的是（ ）
A．的值域为 B．是偶函数 C．不是周期函数 D．不是单调函数
【答案】C
【分析】根据函数的值域，奇偶性，周期性和单调性依次判断选项即可.
【详解】对选项A，由题知：函数的值域为，故A正确，
对选项B，若是有理数，则也是有理数，所以，
若是无理数，则也是无理数，所以，
所以函数满足，即是偶函数，故B正确.
对选项C，若是有理数，则也是有理数，所以，
若是无理数，则也是无理数，所以，
所以函数满足，即是周期为的函数，故C错误.
对选项D，根据，，，，
显然函数不是单调函数，故D正确.故选：C
12.（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）已知函数若方程恰有三个不同的实数解a，b，c（），则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出的图象，数形结合可得求出.
【详解】画出的图象．
所以方程恰有三个不同的实数解a，b，c（），
可知m的取值范围为，由题意可知，，
所以，所以．故选：A.
二、多选题
13．（2021·山东潍坊·高三期中）下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据题意，结合三角函数的图象性质以及图象的变换，一一判断即可.
【详解】对于选项A，因为在上单调递减，所以上单调递减，故A错；
对于选项B，结合的图象性质，易知是以为周期且在上单调递增的偶函数，故B正确；对于选项C，结合的图象性质，易知没有 周期性，故C错；
对于选项D，令，易知是以为周期且在上单调递增的偶函数，因也是单调递增的，所以是以为周期且在上单调递增的偶函数，故D正确.故选：BD.
14．（2021·海南昌茂花园学校高三阶段练习）下列函数中，不满足“，，都有”的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】已知条件转化为函数在上是减函数．然后根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质得出结论．
【详解】因为，，都有，即时，，在上是减函数．由一次函数、二次函数、反比例函数的性质知，BD满足题意，AC不满足题意．选：AC．
15．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数x，y，z满足，则下列正确的选项有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】设，把指数式改写为对数式，利用对数的运算法则判断．
【详解】设，则，，，
所以．所以．故选：BD．
16．（2021·江苏·灌云县第一中学高三阶段练习）已知函数是上的增函数，则实数的可能值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】BC
【分析】首先根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】因为函数是上的增函数，
所以.故选：BC
17．（2021·湖南·双峰县第一中学高三开学考试）已知，则（ ）
A．a＞b B．a＜b C．b＞c D．c＞a
【答案】AC
【分析】令，利用导数说明其单调性，即可判断A、B，再根据对数函数，指数函数的性质判断C、D；
【详解】解：因为，即，，，故，，故C正确，D错误；又，，
设，，则，所以在上单调递增，所以，即，当时，所以，即，故A正确，B错误；故选：AC
18．（2021·江苏徐州·高三期中）若和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则下列式子中可以为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由方程有实数解可得，再用替代，即 有解，逐个判断选项即可得出答案.
【详解】由方程有实数解可得，再用替代，即 有解.
对于A，，即，方程有解，故A正确；
对于B，，即，方程无解，故B错误；
对于C，当令，因为，，
由零点的存在性定理可知，在上存在零点，所以方程有解，故选项C正确；
对于D，当时，为方程的解，所以方程有解，故选项D正确.故选：ACD.
19．（2021·山东文登·高三期中）设函数是定义在R上的奇函数，满足．当时，，则下列结论中正确的是（ ）
A．4是函数的周期 B．函数的图象关于直线对称
C．当时， D．函数的图象关于点对称
【答案】ACD
【分析】A.由得到判断；B. 由函数是奇函数，且，得到判断；C.由时，得到求解判断；D.由函数是奇函数，且，得到判断.
【详解】因为函数满足，所以，所以4是函数的周期，故A正确；因为函数是定义在R上的奇函数，且，
所以，则，即，所以函数的图象关于直线对称，故B错误；当时，，则，所以，故C正确；因为函数是定义在R上的奇函数，且，
所以，则 ，
即，所以，所以函数的图象关于点对称，故D正确.
故选：ACD
20．（2021·江苏·海门中学高三期中）已知函数的定义域，且，若，则（ ）
A． B．在上是偶函数
C．若，，则函数在上单调递增 D．若，，则
【答案】ACD
【分析】用赋值法可判断出ABD的正误，C选项可根据定义法判断函数单调性的方法得到证明.
【详解】令，故A正确；
对于B，令，为上的奇函数，故B错；
对于C，任取且，则
而
在上单调递增，故C正确；
对于D，在原式中，令, ,
是首项为1，公比为2的等比数列，，故D正确.故选：ACD
三、填空题
21．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则___________.
【答案】2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】，故，故答案为：2.
22．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，因为为偶函数，故，
时，整理得到，故，故答案为：1
23．（2021·湖北·高三期中）已知函数，则______．
【答案】
【分析】直接根据分段函数的解析式，即可得到答案；
【详解】，故答案为：
24．（2021·江苏盐城·高三期中）若奇函数与偶函数满足，则___________．
【答案】
【分析】令x＝2和－2，列出方程组即可求出g(2)＝g(－2)，即得答案﹒
【详解】由题知，①，②
①＋②得，，故答案为：﹒
25．（2021·江苏·高三阶段练习）设函数，若，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】分、两种情况讨论，结合可求得实数的取值范围.
【详解】当时，则，合乎题意；当时，，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.
26．（2021·广东·高三阶段练习）已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解.
【详解】函数，在上单调递增
所以，即实数的取值范围是，故答案为：
27．（2021·北京市第四十三中学高三期中）已知函数则_______；的最小值为____．
【答案】
【分析】根据函数，先求得，再求即可；分和讨论求解最小值.
【详解】因为函数所以，；
当时，，
当时，，的最小值为，故答案为：，
28．（2021·山东聊城一中高三期中）已知函数，若是上的增函数，则实数的取值范围是___________；若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】（1）首先，一次函数和“指数型”函数都是增函数，可得．其次当时，一次函数的取值要小于或等于指数式的值．由此建立不等式，再取交集可得实数的取值范围．
（2）若是递增数列，则，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】解：当时，函数是单调递增函数，解得
当时，函数是单调递增函数
又当时，一次函数的取值要小于或等于指数式的值，解之得
综上所述，得实数的取值范围是，
若数列满足，且是递增数列，所以，即，解得，即故答案为：；．
29．（2021·浙江宁波·高三阶段练习）已知函数，则_____________，函数的单调递减区间是_______．
【答案】5
【分析】根据分段函数依次计算即可得的值；分段求出函数的单调区间即可得解.
【详解】因函数，则，所以；
当时，在上单调递增，在上单调递减，，
当时，在上单调递减，且，
所以函数的单调递减区间是.故答案为：5；
四．解答题
30．（2021·山东潍坊·高三期中）已知函数（为常数，）是上的奇函数．
（1）求实数的值；（2）若函数在区间上的值域为，求的值．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由求得参数值，再检验即可；（2）由函数的单调性得，代入可求得．
（1）由是奇函数得，，此时是奇函数；
（2）由复合函数的性质得在定义域内是增函数，
所以，，，或（舍去），，所以．
31．（2021·湖南·高三阶段练习）已知函数.
（1）若，求在上的最小值和最大值.（2）若，试问a，b是否可能均为正整数?如果可能，求正整数a，b的所有可能取值；如果不可能，说明理由.
【答案】（1）最小值为1，最大值为11（2）可能，，
【分析】（1）由函数的单调性得最大值和最小值；
（2）由已知求出关系，分类时求得值，时确定，从而得出满足题意的结论．
（1）因为，所以.
因为，在上均为增函数，所以在上为增函数，
所以在上的最小值为，最大值为.
（2）因为，所以.
当时，；当时，b为负数.
故a，b可能均为正整数，且正整数a，b的取值只有一组，即，.
B卷（建议用时90分钟）
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期．
所以．故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
2．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，，
当时，，无零点；当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，则可解得a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
3．（2021·四川省绵阳江油中学高三阶段练习）已知定义在R上的偶函数满足，当时，.给出下列四个结论：①的图象关于直线对称；②在上为减函数；③的值域为；④有4个零点，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据的奇偶性和周期性，结合当，时，，可得到函数的图象，可判断①②③；在同一直角坐标系中画出与f(x)的图象，即可判断④的正误．
【详解】由题意知，为偶函数，且当，时，，∴当，时，．
又∵，∴周期为2．∴当，时，；当，时，．
故可画出的图象，如图所示：
由图可知，关于对称，在先减后增，的值域为，，故①正确，②③错误；
再在同一直角坐标系下画出的图象，由图可知，与有4个交点，
即有4个零点，故④正确．故选：B．
4．（2021·天津市第二南开中学高三期中）已知函数在区间上为单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用分段函数的单调性求出的一个范围，然后将函数有三个不同的零点，转化为和有三个不同的交点，利用数形结合法可知，当时，和有1个不同的交点，从而得到与有一个交点，再利用图象分析求解即可.
【详解】因为函数
当时，，所以在上单调递减，
又因为在区间上为单调函数，所以且，解得，
令，即，令，，
则函数有三个不同的零点，等价于和有三个不同的交点，
当时，分别画出和的图象如图所示，
由图可知，当时，和有2个不同的交点，
故只需满足：当时，和有1个不同的交点，
即当时，，化简，即，
令，即与有一个交点，画出函数的图象如下图所示，
易知，
，所以或，解得或，
当时，如图 只有两个交点，不符合题干中的要求三个零点，舍去
故，综上：的取值范围为.故选：D
【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
5．（2021·全国·模拟预测）已知定义域为的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【分析】根据已知条件求出的对称轴，作出函数与在区间上的图象，由图象与图象对称轴相同，数形结合即可求解.
【详解】因为满足，所以，所以的图象关于直线对称，
令，则的图象关于直线对称，作出函数与在上的图象，
由图知：与的图象在区间上共有个交点，且两两关于直线对称，
所以方程在区间上所有解的和为，故选：A．
二、多选题
6．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）函数的值域为，则下列选项中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】判断函数在上的单调性，再根据函数的值域即可求出的范围，即可判断A；根据函数在上的单调性即可判断B；利用导数判断函数在上的单调性，令，求出函数在上的单调性，即可判断与的大小，从而可判断C；令，求出函数在上的单调性，再根据函数在上的单调性即可判断D.
【详解】解：当时，，则，
所以函数在上递增，，
当时，在上递减，则，解得，故A正确；
则，所以，故B错误；则，故，
令，则，所以函数在上递增，
所以，所以，即，
所以，故C正确；令，则，
当时，，所以函数在上递增，
所以，即，所以，故D正确.故选：ACD.
7．（2021·福建省大田县第一中学高三期中）已知函数若存在，使得，则下列结论正确的有（ ）
A． B．的最大值为4
C．的取值范围是 D．的取值范围是
【答案】AD
【分析】根据函数性质得，是方程的两根，再运用数形结合的思想逐项验证选项可得出答案.
【详解】由题意可知，且，则，
因为，所以，故选项A正确，选项B错误；
作出的图象，如图所示，由图可知的取值范围是，选项错误；
因为，所以，又则的取值范围是，选项D正确.
故选：AD.
8．（2021·江苏省前黄高级中学高三开学考试）已知函数，若函数有个零点，则实数的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由分段函数解析式判断函数性质并画出函数图象，讨论参数判断不同a对应值域的的范围，结合函数图象判断解的情况，即可确定有个零点时的范围.
【详解】在上单调递增且值域为；在上单调递减且值域为；
在上单调递增且值域为；故的图象如下：
由题设，有个零点，即有7个不同解，
当时有，即，此时有1个零点；
当时有，即，
∴有1个零点，有3个零点，此时共有4个零点；
当时有或或，
∴有1个零点，有3个零点，有3个零点，此时共有7个零点；当时有或或，
∴有1个零点，有3个零点，有2个零点，此时共有6个零点；当时有或，
∴有3个零点，有2个零点，此时共有5个零点；
综上，要使有7个零点时，则，()故选：BD
【点睛】关键点点睛：由解析式确定分段函数的性质并画出草图，进而讨论参数确定对应的取值范围，结合函数图象判断零点情况.
9．（2021·重庆·西南大学附中高三阶段练习）设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“元周期函数”，非零常数为函数的“元周期”现有下面四个关于“元周期函数”的命题：所有正确结论的选项是（ ）
A．如果“元周期函数”的“元周期”为，那么它是周期为2的周期函数；
B．函数是“元周期函数”
C．常数函数是“元周期函数”
D．如果函数是“元周期函数”，那么“或”
【答案】ACD
【分析】根据题意，首先理解“元周期函数”的定义，逐一分析，从而可判断命题的真假.
【详解】A选项：∵“元周期函数”的“元周期”为，
，，
故它是周期为2的周期函数，故A正确；
B选项：若函数是“元周期函数”，则存在非零常数，使，
即恒成立，故成立，但无解，故B错误；
C选项：常数函数是“元周期函数”，则存在非零常数，使，即恒成立，时恒成立，故C正确；
D选项：若函数是“元周期函数”，则存在非零常数，则，
即恒成立，故恒成立，
即恒成立，故，可得或，
故或，故D正确.故选：ACD
10．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知函数，则下列有关结论正确的是（ ）
A．在其定义域内是单调递增的 B．有且仅有两个零点
C．的解集是 D．的值域是
【答案】CD
【分析】，可得函数在和上是增函数，在求出即可判断A；
当时，可得，再根据函数的单调性，即可判断B；
根据及函数的单调性，即可不等式，从而判断C；
，根据函数的单调性即可求出函数的值域，从而判断D.
【详解】解：定义域，，
因为函数时增函数，函数在和上是增函数，
所以函数在和上是增函数，
又，所以在其定义域内不是单调递增的，故A错误；
当时，，所以，则函数在上无零点，
当时，因为函数在上是增函数，所以函数在上最多一个零点，故B错误；当时，无解，
当时，，因为函数在上是增函数，所以，
所以的解集是，故C正确；
因为函数的定义域为，所以，
当时，，所以，
又，函数在上是增函数，
所以的值域是，故D正确.故选：CD.
12．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知定义在上的偶函数对任意的满足，当时，，函数且，则下列结论正确的有（ ）
A．是周期为的周期函数
B．当时，
C．若在上单调递减，则
D．若方程在上有个不同的实数根，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【分析】根据周期性定义可知A正确；由，可知B错误；
由分段函数单调性可确定两段函数单调性及分段处大小关系，由此得到不等式组知C正确；
分别在和两种情况下，采用数形结合的方式确定不等关系，解得的范围，知D正确.
【详解】对于A，，是周期为的周期函数，A正确；
对于B，当时，，，
又是周期为的周期函数，当时，，B错误；
对于C，若在上单调递减，则，，C正确；
对于D，当时，若在上有个不同的实数根，则大致图象如下图所示，
，解得：；
当时，若在上有个不同的实数根，则大致图象如下图所示，
，解得：；
综上所述：的取值范围为，D正确.故选：ACD.
【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
13．（2021·山东·安丘市普通教育教学研究室高三阶段练习）已知函数，其中，下列结论正确的是（ ）
A．存在实数，使得函数为奇函数
B．存在实数，使得函数为偶函数
C．当时，若方程有三个实根，则
D．当时，若方程有两个实根，则
【答案】AD
【分析】取可判断A；令，结合A中结论可判断B；分析分段函数性质，转化为有三个交点，数形结合可判断C；转化为有两个交点，此时直线与在的部分相切，可判断D
【详解】选项A，当时，，函数定义域为R，
为奇函数，故A正确；
选项B，若函数为偶函数，则，即，由A，当时，函数为奇函数，不成立，故B错误；选项C，
当时，在单调递减，单调递增，在取得这一段最小值
当时，在单调递增
函数简图如图所示，若有三个实根，即有三个交点，由图像可知两个函数不可能有三个交点，故C错误；
选项D，，若方程有两个实根，即有两个交点，此时直线与在的部分相切，即由，故D正确
故选：AD
三、填空题
14．（2021·江苏省前黄高级中学高三阶段练习）函数，关于x的方程0恰有四个不同实数根，则实数m的取值范围为__________．
【答案】
【分析】先利用导数求出函数的单调区间和极值，令，由题意可知，方程有两个不同的实数根，，根据数形结合求得实数根，的分布情况，再令，数形结合分类讨论，由此即可求出的取值范围．
【详解】，令得，或1，
当时，，函数在上单调递增，且，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以极大值为，极小值为，令，
因为关于的方程恰有四个不同的实数解，
所以方程有两个不同的实数根，，且一个根在内，一个根在内，
或者两个根都在内，或者一根为，另一根在内；
当实数根，，一个根在内，一个根在内，令，因为，
所以只需，即，得，即的取值范围为：；
当实数根，，都在内，令，因为，
所以只需，解得，即的取值范围为：；
当实数根，，一根为，另一根在内，
令，因为，且开口向上，故此种情况不可能成立；
综上可知：实数m的取值范围为
故答案为：
15．（2021·天津市武清区大良中学高三期中）已知函数（a>0且a）在R上单调递增，则实数a的取值范围是__________，若关于x的方程|f（x）|=x+3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是____________.
【答案】
【分析】(1)分段函数在R上单调递增，则在x＝0左右两侧均递增，且在分界线x＝0处，左边函数值小于或等于右边函数值；(2)将方程的根的个数转化为两个函数图像的交点个数进行求解．
【详解】①当时，，因为该函数在上单调递增，所以，若要在上单调递增，还需满足，即，所以②作出图像：
当时，易知直线与曲线一定只有一个公共点，故只需直线与曲线只有一个公共点即可；
由，得，令，得，代入，得，由，得，此时直线与曲线相切，有且只有一个公共点；
当，即时，直线与曲线有且只有一个公共点．
又1，所以综上可知，的取值范围是故答案为：﹒
16．（2021·辽宁大连·高三期中）记表示不超过的最大整数，例如，，已知函数，则__________；方程的解的个数为_________．
【答案】
【分析】（1）先计算，即得解；（2）方程的解的个数即函数和函数的交点的个数，画出两函数的图象即得解.
【详解】（1）由题得，所以；
（2）因为，所以，
方程的解的个数即函数和函数的交点的个数，
两函数的图象如图所示，当时，，当时，的值域为，
函数和函数的交点的个数有7个.故答案为：；7.
17．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；②存在负数，使得恰有个1零点；
③存在负数，使得恰有个3零点；④存在正数，使得恰有个3零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
18．（2021·福建·福州三中模拟预测）设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称与在上是“密切函数”，区间称为“密切区间”.设函数与在上是“密切函数”，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由“密切函数”的定义可得即对于恒成立，令，利用导数求出最值，解不等式即可求解.
【详解】因为函数与在上是“密切函数”，
则即对于恒成立，
所以，即对于恒成立，
令，则，
当时，；当时，；
所以，
，，所以，
所以，可得，所以实数的取值范围是：.故答案为：
19．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知函数是定义域为的奇函数，且，当时，.则满足的的取值集合为______.
【答案】
【分析】先求出函数的周期，再求出在一个周期上的不等式的解，从而可得满足的的取值集合.
【详解】因为在上为增函数，，
故在上的解，而，故的图象关于对称，
故在上的解，而为奇函数，故在上解为，
而，故，
故，故是周期为8的周期函数，故的解为，，
故的解为，即，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：解函数不等式，需利用函数的奇偶性和单调性去掉对应法则，如果函数有周期性，则可以求出一个周期上的不等式的解即可得到给定范围上的解.
20．（2021·陕西·西安中学高三阶段练习）设定义域为R的函数，若关于x的方程有8个不同的实根，到实数b的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由解析式画出函数图象，若且、为的两根，结合图像可知：、，再应用判别式、根与系数关系及对勾函数的值域求b的取值范围.
【详解】
由题设，的图象如下图示：
令，则化为，
∴要使原方程有8个不同实根，则有2个不同的实根且两根、，
∴，可得，又在上递减，在上递增，且，，即，综上，.故答案为：.
21．（2021·天津蓟州·高三期中）已知函数是上的奇函数，且当时，，若关于的方程恰有四个互不相等的实数根，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】作出函数的图象，找出直线与曲线相切以及过点、时对应的实数的值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】解：因为函数是上的奇函数，则，且当时，，
作出函数的图象如下图所示：
①当直线过点时，可得，则，此时直线与函数的图象有三个公共点；
②当直线过点时，，若，，则，
所以，直线与曲线相切于点，
此时，直线函数的图象有三个公共点；
③当时， ，则，
若直线与曲线相切，
对函数求导得，令，可得，此时，
所以，切点为，将切点坐标代入直线方程得，可得.
综上所述，由图可知，当或时，直线与函数的图象有四个公共点.
因此，实数的取值范围是.故答案为：.
热点03 函数及其性质
【命题趋势】
从新高考的考查情况来看，函数及其性质是高考中的一个热点，常以基本初等函数为载体，主要考查以下四方面内容：①函数的定义域、值域、解析式的求法；②求函数的单调区间，判断函数的单调性，利用单调性比较大小、解不等式、研究函数的最值等；③判定函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，与函数的单调性、周期性、对称性交汇命题；④利用零点存在性定理判断零点是否存在以及零点所在区间，判断函数零点、方程根的个数，根据零点（方程根）的情况求参数的取值范围。
1、函数图象识别问题
图象识别的三种常用方法：
（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域、值域；②从函数的奇偶性，判断图象的对称性； ③从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ④从周期性，判断图象的循环往复。⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
（2）抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
2、函数性质综合问题
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：
（1）函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
（3）单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．
3、解不等式、比大小问题
（1）给定具体函数，确定函数不等式的解，首先要判断函数的单调性；
（2）求解含“f”的函数不等式的解题思路:先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．
（3）先判断出函数的单调性，然后判断a，b，c之间的大小关系，利用单调性比较出f(a)，f(b)，f(c)之间的大小关系.一般地，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
4、不等式恒成立（能成立）与方程解相关的求参问题
（1）直接法（分类讨论）：直接根据题设条件对参数进行相应的分区间讨论，虽然整个过程有点烦琐，却是正统解法，要仔细体会和掌握（该解法是解答题必备技能之一）；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
尤其对分段函数的求值、不等式恒成立（能成立）与方程解相关的求参问题考查频率较高，常以选择题或填空题的形式出现。主要考查数形结合思想、分类讨论思想的运用以及考生的数学抽象、数学运算、逻辑推理核心素养.
A卷（建议用时60分钟）
一、单选题
1．（2021·山东·高考真题）函数的定义域为（ ）
A．且 B． C．且 D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.
【详解】由函数解析式有意义可得且所以函数的定义域是且，故选：A.
2．（2021·天津·高考真题）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.
【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.故选：B.
3．（2021·江苏镇江·高三期中）已知函数，（为自然对数的底数），则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图象经过，且，排除AB，再由当时，排除C求解.
【详解】由图象知：图象经过，又，
所以，不符合题意；
对于，当时，，不符合题意；
对于，是偶函数，且，当时，，符合题意；故选：D
4．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.
故选：B.
5．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.
6．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】由奇函数是定义在上的单调函数，，可得，即，所以，化简后利用基本不等式可求得结果
【详解】解：因为，所以，
因为奇函数是定义在上的单调函数，所以，
所以，即，所以，即，
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.故选：B
7．（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，故.故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
8．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.故选：C.
9．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.故选：C.
10．（2021·湖北·高三阶段练习）已知函数，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据题意得到为奇函数，且在上单调递增，根据得到，再解不等式即可.
【详解】因为函数的定义域为，，所以为奇函数，
又因为当时，单调递增，所以在上单调递增.
因为，所以，
则，即，解得.所以的取值范围为.故选：B
11．（2021·陕西·西安中学高三阶段练习）设函数，下列结论错误的是（ ）
A．的值域为 B．是偶函数 C．不是周期函数 D．不是单调函数
【答案】C
【分析】根据函数的值域，奇偶性，周期性和单调性依次判断选项即可.
【详解】对选项A，由题知：函数的值域为，故A正确，
对选项B，若是有理数，则也是有理数，所以，
若是无理数，则也是无理数，所以，
所以函数满足，即是偶函数，故B正确.
对选项C，若是有理数，则也是有理数，所以，
若是无理数，则也是无理数，所以，
所以函数满足，即是周期为的函数，故C错误.
对选项D，根据，，，，
显然函数不是单调函数，故D正确.故选：C
12.（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）已知函数若方程恰有三个不同的实数解a，b，c（），则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出的图象，数形结合可得求出.
【详解】画出的图象．
所以方程恰有三个不同的实数解a，b，c（），
可知m的取值范围为，由题意可知，，
所以，所以．故选：A.
二、多选题
13．（2021·山东潍坊·高三期中）下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据题意，结合三角函数的图象性质以及图象的变换，一一判断即可.
【详解】对于选项A，因为在上单调递减，所以上单调递减，故A错；
对于选项B，结合的图象性质，易知是以为周期且在上单调递增的偶函数，故B正确；对于选项C，结合的图象性质，易知没有 周期性，故C错；
对于选项D，令，易知是以为周期且在上单调递增的偶函数，因也是单调递增的，所以是以为周期且在上单调递增的偶函数，故D正确.故选：BD.
14．（2021·海南昌茂花园学校高三阶段练习）下列函数中，不满足“，，都有”的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】已知条件转化为函数在上是减函数．然后根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质得出结论．
【详解】因为，，都有，即时，，在上是减函数．由一次函数、二次函数、反比例函数的性质知，BD满足题意，AC不满足题意．选：AC．
15．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数x，y，z满足，则下列正确的选项有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】设，把指数式改写为对数式，利用对数的运算法则判断．
【详解】设，则，，，
所以．所以．故选：BD．
16．（2021·江苏·灌云县第一中学高三阶段练习）已知函数是上的增函数，则实数的可能值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】BC
【分析】首先根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】因为函数是上的增函数，
所以.故选：BC
17．（2021·湖南·双峰县第一中学高三开学考试）已知，则（ ）
A．a＞b B．a＜b C．b＞c D．c＞a
【答案】AC
【分析】令，利用导数说明其单调性，即可判断A、B，再根据对数函数，指数函数的性质判断C、D；
【详解】解：因为，即，，，故，，故C正确，D错误；又，，
设，，则，所以在上单调递增，所以，即，当时，所以，即，故A正确，B错误；故选：AC
18．（2021·江苏徐州·高三期中）若和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则下列式子中可以为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由方程有实数解可得，再用替代，即 有解，逐个判断选项即可得出答案.
【详解】由方程有实数解可得，再用替代，即 有解.
对于A，，即，方程有解，故A正确；
对于B，，即，方程无解，故B错误；
对于C，当令，因为，，
由零点的存在性定理可知，在上存在零点，所以方程有解，故选项C正确；
对于D，当时，为方程的解，所以方程有解，故选项D正确.故选：ACD.
19．（2021·山东文登·高三期中）设函数是定义在R上的奇函数，满足．当时，，则下列结论中正确的是（ ）
A．4是函数的周期 B．函数的图象关于直线对称
C．当时， D．函数的图象关于点对称
【答案】ACD
【分析】A.由得到判断；B. 由函数是奇函数，且，得到判断；C.由时，得到求解判断；D.由函数是奇函数，且，得到判断.
【详解】因为函数满足，所以，所以4是函数的周期，故A正确；因为函数是定义在R上的奇函数，且，
所以，则，即，所以函数的图象关于直线对称，故B错误；当时，，则，所以，故C正确；因为函数是定义在R上的奇函数，且，
所以，则 ，
即，所以，所以函数的图象关于点对称，故D正确.
故选：ACD
20．（2021·江苏·海门中学高三期中）已知函数的定义域，且，若，则（ ）
A． B．在上是偶函数
C．若，，则函数在上单调递增 D．若，，则
【答案】ACD
【分析】用赋值法可判断出ABD的正误，C选项可根据定义法判断函数单调性的方法得到证明.
【详解】令，故A正确；
对于B，令，为上的奇函数，故B错；
对于C，任取且，则
而
在上单调递增，故C正确；
对于D，在原式中，令, ,
是首项为1，公比为2的等比数列，，故D正确.故选：ACD
三、填空题
21．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则___________.
【答案】2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】，故，故答案为：2.
22．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，因为为偶函数，故，
时，整理得到，故，故答案为：1
23．（2021·湖北·高三期中）已知函数，则______．
【答案】
【分析】直接根据分段函数的解析式，即可得到答案；
【详解】，故答案为：
24．（2021·江苏盐城·高三期中）若奇函数与偶函数满足，则___________．
【答案】
【分析】令x＝2和－2，列出方程组即可求出g(2)＝g(－2)，即得答案﹒
【详解】由题知，①，②
①＋②得，，故答案为：﹒
25．（2021·江苏·高三阶段练习）设函数，若，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】分、两种情况讨论，结合可求得实数的取值范围.
【详解】当时，则，合乎题意；当时，，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.
26．（2021·广东·高三阶段练习）已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解.
【详解】函数，在上单调递增
所以，即实数的取值范围是，故答案为：
27．（2021·北京市第四十三中学高三期中）已知函数则_______；的最小值为____．
【答案】
【分析】根据函数，先求得，再求即可；分和讨论求解最小值.
【详解】因为函数所以，；
当时，，
当时，，的最小值为，故答案为：，
28．（2021·山东聊城一中高三期中）已知函数，若是上的增函数，则实数的取值范围是___________；若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】（1）首先，一次函数和“指数型”函数都是增函数，可得．其次当时，一次函数的取值要小于或等于指数式的值．由此建立不等式，再取交集可得实数的取值范围．
（2）若是递增数列，则，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】解：当时，函数是单调递增函数，解得
当时，函数是单调递增函数
又当时，一次函数的取值要小于或等于指数式的值，解之得
综上所述，得实数的取值范围是，
若数列满足，且是递增数列，所以，即，解得，即故答案为：；．
29．（2021·浙江宁波·高三阶段练习）已知函数，则_____________，函数的单调递减区间是_______．
【答案】5
【分析】根据分段函数依次计算即可得的值；分段求出函数的单调区间即可得解.
【详解】因函数，则，所以；
当时，在上单调递增，在上单调递减，，
当时，在上单调递减，且，
所以函数的单调递减区间是.故答案为：5；
四．解答题
30．（2021·山东潍坊·高三期中）已知函数（为常数，）是上的奇函数．
（1）求实数的值；（2）若函数在区间上的值域为，求的值．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由求得参数值，再检验即可；（2）由函数的单调性得，代入可求得．
（1）由是奇函数得，，此时是奇函数；
（2）由复合函数的性质得在定义域内是增函数，
所以，，，或（舍去），，所以．
31．（2021·湖南·高三阶段练习）已知函数.
（1）若，求在上的最小值和最大值.（2）若，试问a，b是否可能均为正整数?如果可能，求正整数a，b的所有可能取值；如果不可能，说明理由.
【答案】（1）最小值为1，最大值为11（2）可能，，
【分析】（1）由函数的单调性得最大值和最小值；
（2）由已知求出关系，分类时求得值，时确定，从而得出满足题意的结论．
（1）因为，所以.
因为，在上均为增函数，所以在上为增函数，
所以在上的最小值为，最大值为.
（2）因为，所以.
当时，；当时，b为负数.
故a，b可能均为正整数，且正整数a，b的取值只有一组，即，.
B卷（建议用时90分钟）
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期．
所以．故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
2．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，，
当时，，无零点；当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，则可解得a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
3．（2021·四川省绵阳江油中学高三阶段练习）已知定义在R上的偶函数满足，当时，.给出下列四个结论：①的图象关于直线对称；②在上为减函数；③的值域为；④有4个零点，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据的奇偶性和周期性，结合当，时，，可得到函数的图象，可判断①②③；在同一直角坐标系中画出与f(x)的图象，即可判断④的正误．
【详解】由题意知，为偶函数，且当，时，，∴当，时，．
又∵，∴周期为2．∴当，时，；当，时，．
故可画出的图象，如图所示：
由图可知，关于对称，在先减后增，的值域为，，故①正确，②③错误；
再在同一直角坐标系下画出的图象，由图可知，与有4个交点，
即有4个零点，故④正确．故选：B．
4．（2021·天津市第二南开中学高三期中）已知函数在区间上为单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用分段函数的单调性求出的一个范围，然后将函数有三个不同的零点，转化为和有三个不同的交点，利用数形结合法可知，当时，和有1个不同的交点，从而得到与有一个交点，再利用图象分析求解即可.
【详解】因为函数
当时，，所以在上单调递减，
又因为在区间上为单调函数，所以且，解得，
令，即，令，，
则函数有三个不同的零点，等价于和有三个不同的交点，
当时，分别画出和的图象如图所示，
由图可知，当时，和有2个不同的交点，
故只需满足：当时，和有1个不同的交点，
即当时，，化简，即，
令，即与有一个交点，画出函数的图象如下图所示，
易知，
，所以或，解得或，
当时，如图 只有两个交点，不符合题干中的要求三个零点，舍去
故，综上：的取值范围为.故选：D
【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
5．（2021·全国·模拟预测）已知定义域为的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【分析】根据已知条件求出的对称轴，作出函数与在区间上的图象，由图象与图象对称轴相同，数形结合即可求解.
【详解】因为满足，所以，所以的图象关于直线对称，
令，则的图象关于直线对称，作出函数与在上的图象，
由图知：与的图象在区间上共有个交点，且两两关于直线对称，
所以方程在区间上所有解的和为，故选：A．
二、多选题
6．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）函数的值域为，则下列选项中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】判断函数在上的单调性，再根据函数的值域即可求出的范围，即可判断A；根据函数在上的单调性即可判断B；利用导数判断函数在上的单调性，令，求出函数在上的单调性，即可判断与的大小，从而可判断C；令，求出函数在上的单调性，再根据函数在上的单调性即可判断D.
【详解】解：当时，，则，
所以函数在上递增，，
当时，在上递减，则，解得，故A正确；
则，所以，故B错误；则，故，
令，则，所以函数在上递增，
所以，所以，即，
所以，故C正确；令，则，
当时，，所以函数在上递增，
所以，即，所以，故D正确.故选：ACD.
7．（2021·福建省大田县第一中学高三期中）已知函数若存在，使得，则下列结论正确的有（ ）
A． B．的最大值为4
C．的取值范围是 D．的取值范围是
【答案】AD
【分析】根据函数性质得，是方程的两根，再运用数形结合的思想逐项验证选项可得出答案.
【详解】由题意可知，且，则，
因为，所以，故选项A正确，选项B错误；
作出的图象，如图所示，由图可知的取值范围是，选项错误；
因为，所以，又则的取值范围是，选项D正确.
故选：AD.
8．（2021·江苏省前黄高级中学高三开学考试）已知函数，若函数有个零点，则实数的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由分段函数解析式判断函数性质并画出函数图象，讨论参数判断不同a对应值域的的范围，结合函数图象判断解的情况，即可确定有个零点时的范围.
【详解】在上单调递增且值域为；在上单调递减且值域为；
在上单调递增且值域为；故的图象如下：
由题设，有个零点，即有7个不同解，
当时有，即，此时有1个零点；
当时有，即，
∴有1个零点，有3个零点，此时共有4个零点；
当时有或或，
∴有1个零点，有3个零点，有3个零点，此时共有7个零点；当时有或或，
∴有1个零点，有3个零点，有2个零点，此时共有6个零点；当时有或，
∴有3个零点，有2个零点，此时共有5个零点；
综上，要使有7个零点时，则，()故选：BD
【点睛】关键点点睛：由解析式确定分段函数的性质并画出草图，进而讨论参数确定对应的取值范围，结合函数图象判断零点情况.
9．（2021·重庆·西南大学附中高三阶段练习）设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“元周期函数”，非零常数为函数的“元周期”现有下面四个关于“元周期函数”的命题：所有正确结论的选项是（ ）
A．如果“元周期函数”的“元周期”为，那么它是周期为2的周期函数；
B．函数是“元周期函数”
C．常数函数是“元周期函数”
D．如果函数是“元周期函数”，那么“或”
【答案】ACD
【分析】根据题意，首先理解“元周期函数”的定义，逐一分析，从而可判断命题的真假.
【详解】A选项：∵“元周期函数”的“元周期”为，
，，
故它是周期为2的周期函数，故A正确；
B选项：若函数是“元周期函数”，则存在非零常数，使，
即恒成立，故成立，但无解，故B错误；
C选项：常数函数是“元周期函数”，则存在非零常数，使，即恒成立，时恒成立，故C正确；
D选项：若函数是“元周期函数”，则存在非零常数，则，
即恒成立，故恒成立，
即恒成立，故，可得或，
故或，故D正确.故选：ACD
10．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知函数，则下列有关结论正确的是（ ）
A．在其定义域内是单调递增的 B．有且仅有两个零点
C．的解集是 D．的值域是
【答案】CD
【分析】，可得函数在和上是增函数，在求出即可判断A；
当时，可得，再根据函数的单调性，即可判断B；
根据及函数的单调性，即可不等式，从而判断C；
，根据函数的单调性即可求出函数的值域，从而判断D.
【详解】解：定义域，，
因为函数时增函数，函数在和上是增函数，
所以函数在和上是增函数，
又，所以在其定义域内不是单调递增的，故A错误；
当时，，所以，则函数在上无零点，
当时，因为函数在上是增函数，所以函数在上最多一个零点，故B错误；当时，无解，
当时，，因为函数在上是增函数，所以，
所以的解集是，故C正确；
因为函数的定义域为，所以，
当时，，所以，
又，函数在上是增函数，
所以的值域是，故D正确.故选：CD.
12．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知定义在上的偶函数对任意的满足，当时，，函数且，则下列结论正确的有（ ）
A．是周期为的周期函数
B．当时，
C．若在上单调递减，则
D．若方程在上有个不同的实数根，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【分析】根据周期性定义可知A正确；由，可知B错误；
由分段函数单调性可确定两段函数单调性及分段处大小关系，由此得到不等式组知C正确；
分别在和两种情况下，采用数形结合的方式确定不等关系，解得的范围，知D正确.
【详解】对于A，，是周期为的周期函数，A正确；
对于B，当时，，，
又是周期为的周期函数，当时，，B错误；
对于C，若在上单调递减，则，，C正确；
对于D，当时，若在上有个不同的实数根，则大致图象如下图所示，
，解得：；
当时，若在上有个不同的实数根，则大致图象如下图所示，
，解得：；
综上所述：的取值范围为，D正确.故选：ACD.
【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
13．（2021·山东·安丘市普通教育教学研究室高三阶段练习）已知函数，其中，下列结论正确的是（ ）
A．存在实数，使得函数为奇函数
B．存在实数，使得函数为偶函数
C．当时，若方程有三个实根，则
D．当时，若方程有两个实根，则
【答案】AD
【分析】取可判断A；令，结合A中结论可判断B；分析分段函数性质，转化为有三个交点，数形结合可判断C；转化为有两个交点，此时直线与在的部分相切，可判断D
【详解】选项A，当时，，函数定义域为R，
为奇函数，故A正确；
选项B，若函数为偶函数，则，即，由A，当时，函数为奇函数，不成立，故B错误；选项C，
当时，在单调递减，单调递增，在取得这一段最小值
当时，在单调递增
函数简图如图所示，若有三个实根，即有三个交点，由图像可知两个函数不可能有三个交点，故C错误；
选项D，，若方程有两个实根，即有两个交点，此时直线与在的部分相切，即由，故D正确
故选：AD
三、填空题
14．（2021·江苏省前黄高级中学高三阶段练习）函数，关于x的方程0恰有四个不同实数根，则实数m的取值范围为__________．
【答案】
【分析】先利用导数求出函数的单调区间和极值，令，由题意可知，方程有两个不同的实数根，，根据数形结合求得实数根，的分布情况，再令，数形结合分类讨论，由此即可求出的取值范围．
【详解】，令得，或1，
当时，，函数在上单调递增，且，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以极大值为，极小值为，令，
因为关于的方程恰有四个不同的实数解，
所以方程有两个不同的实数根，，且一个根在内，一个根在内，
或者两个根都在内，或者一根为，另一根在内；
当实数根，，一个根在内，一个根在内，令，因为，
所以只需，即，得，即的取值范围为：；
当实数根，，都在内，令，因为，
所以只需，解得，即的取值范围为：；
当实数根，，一根为，另一根在内，
令，因为，且开口向上，故此种情况不可能成立；
综上可知：实数m的取值范围为
故答案为：
15．（2021·天津市武清区大良中学高三期中）已知函数（a>0且a）在R上单调递增，则实数a的取值范围是__________，若关于x的方程|f（x）|=x+3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是____________.
【答案】
【分析】(1)分段函数在R上单调递增，则在x＝0左右两侧均递增，且在分界线x＝0处，左边函数值小于或等于右边函数值；(2)将方程的根的个数转化为两个函数图像的交点个数进行求解．
【详解】①当时，，因为该函数在上单调递增，所以，若要在上单调递增，还需满足，即，所以②作出图像：
当时，易知直线与曲线一定只有一个公共点，故只需直线与曲线只有一个公共点即可；
由，得，令，得，代入，得，由，得，此时直线与曲线相切，有且只有一个公共点；
当，即时，直线与曲线有且只有一个公共点．
又1，所以综上可知，的取值范围是故答案为：﹒
16．（2021·辽宁大连·高三期中）记表示不超过的最大整数，例如，，已知函数，则__________；方程的解的个数为_________．
【答案】
【分析】（1）先计算，即得解；（2）方程的解的个数即函数和函数的交点的个数，画出两函数的图象即得解.
【详解】（1）由题得，所以；
（2）因为，所以，
方程的解的个数即函数和函数的交点的个数，
两函数的图象如图所示，当时，，当时，的值域为，
函数和函数的交点的个数有7个.故答案为：；7.
17．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；②存在负数，使得恰有个1零点；
③存在负数，使得恰有个3零点；④存在正数，使得恰有个3零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
18．（2021·福建·福州三中模拟预测）设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称与在上是“密切函数”，区间称为“密切区间”.设函数与在上是“密切函数”，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由“密切函数”的定义可得即对于恒成立，令，利用导数求出最值，解不等式即可求解.
【详解】因为函数与在上是“密切函数”，
则即对于恒成立，
所以，即对于恒成立，
令，则，
当时，；当时，；
所以，
，，所以，
所以，可得，所以实数的取值范围是：.故答案为：
19．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知函数是定义域为的奇函数，且，当时，.则满足的的取值集合为______.
【答案】
【分析】先求出函数的周期，再求出在一个周期上的不等式的解，从而可得满足的的取值集合.
【详解】因为在上为增函数，，
故在上的解，而，故的图象关于对称，
故在上的解，而为奇函数，故在上解为，
而，故，
故，故是周期为8的周期函数，故的解为，，
故的解为，即，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：解函数不等式，需利用函数的奇偶性和单调性去掉对应法则，如果函数有周期性，则可以求出一个周期上的不等式的解即可得到给定范围上的解.
20．（2021·陕西·西安中学高三阶段练习）设定义域为R的函数，若关于x的方程有8个不同的实根，到实数b的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由解析式画出函数图象，若且、为的两根，结合图像可知：、，再应用判别式、根与系数关系及对勾函数的值域求b的取值范围.
【详解】
由题设，的图象如下图示：
令，则化为，
∴要使原方程有8个不同实根，则有2个不同的实根且两根、，
∴，可得，又在上递减，在上递增，且，，即，综上，.故答案为：.
21．（2021·天津蓟州·高三期中）已知函数是上的奇函数，且当时，，若关于的方程恰有四个互不相等的实数根，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】作出函数的图象，找出直线与曲线相切以及过点、时对应的实数的值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】解：因为函数是上的奇函数，则，且当时，，
作出函数的图象如下图所示：
①当直线过点时，可得，则，此时直线与函数的图象有三个公共点；
②当直线过点时，，若，，则，
所以，直线与曲线相切于点，
此时，直线函数的图象有三个公共点；
③当时， ，则，
若直线与曲线相切，
对函数求导得，令，可得，此时，
所以，切点为，将切点坐标代入直线方程得，可得.
综上所述，由图可知，当或时，直线与函数的图象有四个公共点.
因此，实数的取值范围是.故答案为：.
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