2022新高考数学热点·重点·难点专练 热点03 函数及其性质

【命题趋势】

从新高考的考查情况来看，函数及其性质是高考中的一个热点，常以基本初等函数为载体，主要考查以下四方面内容：①函数的定义域、值域、解析式的求法；②求函数的单调区间，判断函数的单调性，利用单调性比较大小、解不等式、研究函数的最值等；③判定函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，与函数的单调性、周期性、对称性交汇命题；④利用零点存在性定理判断零点是否存在以及零点所在区间，判断函数零点、方程根的个数，根据零点（方程根）的情况求参数的取值范围。

1、函数图象识别问题

图象识别的三种常用方法：

（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域、值域；②从函数的奇偶性，判断图象的对称性； ③从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ④从周期性，判断图象的循环往复。⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.

（2）抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．

（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：

①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；

②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．

2、函数性质综合问题

函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：

（1）函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．

（2）周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

（3）单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．

（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．

3、解不等式、比大小问题

（1）给定具体函数，确定函数不等式的解，首先要判断函数的单调性；

（2）求解含“f”的函数不等式的解题思路:先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．

（3）先判断出函数的单调性，然后判断a，b，c之间的大小关系，利用单调性比较出f(a)，f(b)，f(c)之间的大小关系.一般地，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．

4、不等式恒成立（能成立）与方程解相关的求参问题

（1）直接法（分类讨论）：直接根据题设条件对参数进行相应的分区间讨论，虽然整个过程有点烦琐，却是正统解法，要仔细体会和掌握（该解法是解答题必备技能之一）；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

尤其对分段函数的求值、不等式恒成立（能成立）与方程解相关的求参问题考查频率较高，常以选择题或填空题的形式出现。主要考查数形结合思想、分类讨论思想的运用以及考生的数学抽象、数学运算、逻辑推理核心素养.

A卷（建议用时60分钟）

一、单选题

1．（2021·山东·高考真题）函数的定义域为（    ）

A．且  B．   C．且  D．

2．（2021·天津·高考真题）函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

3．（2021·江苏镇江·高三期中）已知函数，（为自然对数的底数），则图象为如图的函数可能是（    ）

A． B．

C． D．

4．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（    ）

A． B． C． D．

6．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（    ）

A． B． C．2 D．4

7．（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ）

A． B． C． D．

8．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（    ）

A． B． C． D．

9．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（）

A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6

10．（2021·湖北·高三阶段练习）已知函数，若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

11．（2021·陕西·西安中学高三阶段练习）设函数，下列结论错误的是（    ）

A．的值域为  B．是偶函数  C．不是周期函数  D．不是单调函数

12.（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）已知函数若方程恰有三个不同的实数解a，b，c（），则的取值范围是（    ）.

A．     B．    C．     D．

二、多选题

13．（2021·山东潍坊·高三期中）下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（    ）

A．    B．     C．     D．

14．（2021·海南昌茂花园学校高三阶段练习）下列函数中，不满足“，，都有”的有（    ）

A． B． C． D．

15．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数x，y，z满足，则下列正确的选项有（    ）

A． B． C． D．

16．（2021·江苏·灌云县第一中学高三阶段练习）已知函数是上的增函数，则实数的可能值为（    ）

A．2 B． C． D．

17．（2021·湖南·双峰县第一中学高三开学考试）已知，则（    ）

A．a＞b B．a＜b C．b＞c D．c＞a

18．（2021·江苏徐州·高三期中）若和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则下列式子中可以为的是（    ）

A．       B．        C．      D．

19．（2021·山东文登·高三期中）设函数是定义在R上的奇函数，满足．当时，，则下列结论中正确的是（    ）

A．4是函数的周期 B．函数的图象关于直线对称

C．当时， D．函数的图象关于点对称

20．（2021·江苏·海门中学高三期中）已知函数的定义域，且，若，则（    ）

A．                                           B．在上是偶函数

C．若，，则函数在上单调递增 D．若，，则

三、填空题

21．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则___________.

22．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.

23．（2021·湖北·高三期中）已知函数，则______．

24．（2021·江苏盐城·高三期中）若奇函数与偶函数满足，则___________．

25．（2021·江苏·高三阶段练习）设函数，若，则的取值范围为______．

26．（2021·广东·高三阶段练习）已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是____________.

27．（2021·北京市第四十三中学高三期中）已知函数则_______；的最小值为____．

28．（2021·山东聊城一中高三期中）已知函数，若是上的增函数，则实数的取值范围是___________；若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是___________.

29．（2021·浙江宁波·高三阶段练习）已知函数，则_____________，函数的单调递减区间是_______．

四．解答题

30．（2021·山东潍坊·高三期中）已知函数（为常数，）是上的奇函数．

（1）求实数的值；（2）若函数在区间上的值域为，求的值．

31．（2021·湖南·高三阶段练习）已知函数.

（1）若，求在上的最小值和最大值.（2）若，试问a，b是否可能均为正整数?如果可能，求正整数a，b的所有可能取值；如果不可能，说明理由.

B卷（建议用时90分钟）

一、单选题

1．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

3．（2021·四川省绵阳江油中学高三阶段练习）已知定义在R上的偶函数满足，当时，.给出下列四个结论：①的图象关于直线对称；②在上为减函数；③的值域为；④有4个零点，其中正确的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．（2021·天津市第二南开中学高三期中）已知函数在区间上为单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·全国·模拟预测）已知定义域为的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（    ）

A．8 B．7 C．6 D．5

二、多选题

6．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）函数的值域为，则下列选项中一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

7．（2021·福建省大田县第一中学高三期中）已知函数若存在，使得，则下列结论正确的有（    ）

A．                B．的最大值为4

C．的取值范围是      D．的取值范围是

8．（2021·江苏省前黄高级中学高三开学考试）已知函数，若函数有个零点，则实数的可能取值是（    ）

A． B． C． D．

9．（2021·重庆·西南大学附中高三阶段练习）设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“元周期函数”，非零常数为函数的“元周期”现有下面四个关于“元周期函数”的命题：所有正确结论的选项是（    ）

A．如果“元周期函数”的“元周期”为，那么它是周期为2的周期函数；

B．函数是“元周期函数”

C．常数函数是“元周期函数”

D．如果函数是“元周期函数”，那么“或”

10．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知函数，则下列有关结论正确的是（    ）

A．在其定义域内是单调递增的 B．有且仅有两个零点

C．的解集是 D．的值域是

12．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知定义在上的偶函数对任意的满足，当时，，函数且，则下列结论正确的有（    ）

A．是周期为的周期函数

B．当时，

C．若在上单调递减，则

D．若方程在上有个不同的实数根，则实数的取值范围是

13．（2021·山东·安丘市普通教育教学研究室高三阶段练习）已知函数，其中，下列结论正确的是（    ）

A．存在实数，使得函数为奇函数

B．存在实数，使得函数为偶函数

C．当时，若方程有三个实根，则

D．当时，若方程有两个实根，则

三、填空题

14．（2021·江苏省前黄高级中学高三阶段练习）函数，关于x的方程0恰有四个不同实数根，则实数m的取值范围为__________．

15．（2021·天津市武清区大良中学高三期中）已知函数（a>0且a）在R上单调递增，则实数a的取值范围是__________，若关于x的方程|f（x）|=x+3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是____________.

16．（2021·辽宁大连·高三期中）记表示不超过的最大整数，例如，，已知函数，则__________；方程的解的个数为_________．

17．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：

①若，恰 有2个零点；②存在负数，使得恰有个1零点；

③存在负数，使得恰有个3零点；④存在正数，使得恰有个3零点．

其中所有正确结论的序号是_______．

18．（2021·福建·福州三中模拟预测）设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称与在上是“密切函数”，区间称为“密切区间”.设函数与在上是“密切函数”，则实数的取值范围是___________.

19．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知函数是定义域为的奇函数，且，当时，.则满足的的取值集合为______.

20．（2021·陕西·西安中学高三阶段练习）设定义域为R的函数，若关于x的方程有8个不同的实根，到实数b的取值范围是___________.

21．（2021·天津蓟州·高三期中）已知函数是上的奇函数，且当时，，若关于的方程恰有四个互不相等的实数根，则实数的取值范围是___________.