【新结构】2024年广东省佛山市桂城中学高考数学适应性试卷（5月份）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x||x|<3}，B={x|x=2k,k∈Z}，则A∩B=( )
A. {0,2}B. {−2,2}C. {−2,0,2}D. {−2,−1,0,1,2}
2.欧拉公式eix=csx+isinx(x∈R)是瑞士数学家欧拉发现的，若复数z=eπ4i的共轭复数为z−，则z−=( )
A. − 22− 22iB. − 22+ 22iC. 22+ 22iD. 22− 22i
3.已知平面向量a=(−1,2)，b=(3,4)，则a在b上的投影向量为( )
A. (−35,−45)B. (35,45)C. (−14,−13)D. (14,13)
4.圆x2+y2=9，以M(2,1)为中点的弦所在的直线方程为( )
A. x+2y−4=0B. 4x+y−9=0C. 2x−y−3=0D. 2x+y−5=0
5.在数列{an}中，a1=20，对任意正整数n，an+1=an−3，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为( )
A. 77B. 76C. 75D. 74
6.上、下底面均为等边三角形的三棱台的所有顶点都在同一球面上，若三棱台的高为3，上、下底面边长分别为 15，2 6，则该球的表面积为( )
A. 32πB. 36πC. 40πD. 42π
7.记函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)=−12，且x=π2为f(x)的一条对称轴，则ω的最小值为( )
A. 23B. 43C. 83D. 103
8.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，过焦点F作圆x2+y2=b2的一条切线l交椭圆E的一个交点为A，切点为Q，且OA+OF=2OQ(O为坐标原点)，则椭圆E的离心率为( )
A. 53B. 33C. 63D. 32
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知10个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的8个样本数据的方差为s12，平均数x1−；最大和最小两个数据的方差为s22，平均数x2−；原样本数据的方差为S2，平均数x−，若x1−=x2−，则( )
A. 剩下的8个样本数据与原样本数据的中位数不变
B. x−=x−1
C. 剩下8个数据的下四分位数大于原样本数据的下四分位数
D. S2=45s12+15s22
10.已知点P为双曲线C：x24−y2=1上的任意一点，过点P作渐近线的垂线，垂足分别是E，F，则( )
A. PE+PF=4 55B. PE⋅PF=45C. PE⋅PF=−1225D. S△PEF为825
11.意大利画家列奥纳多⋅达⋅芬奇(1452.4−1519.5)的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达⋅芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：f(x)=acshxa，其中a为悬链线系数，cshx称为双曲余弦函数，其函数表达式为cshx=ex+e−x2，相应地双曲正弦函数的表达式为sinhx=ex−e−x2.若直线x=m与双曲余弦函数C1与双曲正弦函数C2的图象分别相交于点A，B，曲线C1在点A处的切线l1与曲线C2在点B处的切线l2相交于点P，则下列结论正确的为( )
A. csh(x−y)=cshxcshy−sinhxsinhy
B. y=sinhxcshx是偶函数
C. (cshx)′=sinhx
D. 若△PAB是以A为直角顶点的直角三角形，则实数m=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.随机变量X服从正态分布，即X∼N(10,9)，随机变量Y=2X−3，则E(Y)=______，D(Y)=______.
13.要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是______.
14.函数f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，恒有f(x)+f(y)=2f(x+y2)⋅f(x−y2).若f(1)=12，则f(−1)=______，n=12024f(n)=______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某中外合作办学学院为了统计学院往届毕业生薪酬情况，面向学院部分毕业生发放问卷统计了其薪资情况，共有200名毕业生进行了问卷填写.毕业生年薪(单位：万元)，以[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80)分组的频率分布直方图如图所示，年薪在[50,60)的毕业生人数比年薪在[10,20)的毕业生人数多22人.
(1)求直方图中x，y的值；
(2)①用样本估计总体，比较学院毕业生与同类型合作办学高校毕业生薪资水平，如果至少77%的毕业生年薪高于同类型合作办学高校毕业生平均薪资水平，则说明同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为多少；
②若将频率视为概率，现从该学院毕业生中随机抽取4人，其中年薪高于50万的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ).
16.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax−ln(x+1)，a∈R.
(I)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(II)求函数f(x)在区间[0,e−1]上的最小值．
17.(本小题12分)
如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，且VA−BCD= 36.
(1)证明：OA⊥CD；
(2)在棱AD上是否存在点E，使二面角E−BC−D的大小为45∘？若存在，并求出AEED的值.
18.(本小题12分)
如图所示，M、D分别为椭圆x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点，离心率为 32.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过M点作两条互相垂直的直线MA，MB与椭圆交于A，B两点，求△DAB面积的最大值.
19.(本小题12分)
二阶递推公式特征方程是一种常见的数学方法，主要用于求解二阶线性递推数列的通项公式.例如：一个数列满足递推关系an+2=pan+1+qan，且a1，a2为给定的常数(有时也可以是a0，a1为给定的常数)，特征方程就是将上述的递推关系转化为关于x的二次特征方程：x2=px+q，若α，β是特征方程的两个不同实根，我们就可以求出数列的通项公式an=Aαn+Bβn，其中A和B是两个常数，可以由给定的a1，a2(有时也可以是a0，a1)求出.
(1)若数列{an}满足：a1=2，a2=3，an+2=−an+1+2an，求数列{an}的通项公式an；
(2)若an=3− 36(2+ 3)n，试求a2024的十分位数码(即小数点后第一位数字)，并说明理由；
(3)若定义域和值域均为(0,+∞)的函数f(x)满足：f(f(x))=12x−f(x)，求f(x)的解析式.