【新结构】2024年广东省大湾区高考数学模拟试卷（二）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合{x∈N|−1≤x≤1}的真子集的个数为( )
A. 3B. 4C. 7D. 8
2.(2x−y)5的展开式中x2y3的系数为( )
A. 80B. −80C. 40D. −40
3.某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为 2，则该圆台的体积为( )
A. 7π3B. 5π3C. 2π3D. 3π
4.已知正实数m，n满足12lnm=ln(m−2n)−12lnn，则nm=( )
A. 1B. 14C. 4D. 1或14
5.两个非零向量a，b满足|a+b|=|a−b|=2|a|，则向量a+b与a的夹角为 ( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
6.tan7.5∘−tan82.5∘+2tan15∘=( )
A. −2B. −4C. −2 3D. −4 3
7.抛掷一枚质地均匀的硬币n(n≥2)次，记事件A=“n次中至多有一次反面朝上”，事件B=“n次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若A与B独立，则n的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.法国数学家加斯帕尔⋅蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆.根据此背景，设M为椭圆C:x2+y212=1的一个外切长方形(M的四条边所在直线均与椭圆C相切)，若M在第一象限内的一个顶点纵坐标为2，则M的面积为( )
A. 13 3B. 26C. 1125D. 1145
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知一组数据x1，x2，…，x11是公差不为0的等差数列，若去掉数据x6，则( )
A. 中位数不变B. 平均数变小C. 方差变大D. 方差变小
10.函数f(x)的定义域为R，f(1)=1，若对任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，则( )
A. f(0)=0B. f(−1)=−e2
C. exf(x)为奇函数D. f(x)在(0,+∞)上为单调函数
11.如图，已知直三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均为3，D，E，F，G分别在棱A1B1、A1C1、AB，AC上，且A1D=A1E=BF=CG，H，P分别为BC，A1H的中点，则( )
A. DE//平面PFG
B. 若M，N分别是平面A1ABB1和A1ACC1内的动点，则△MNP周长的最小值为94
C. 若BF=13AB，过P，F，G三点的平面截三棱柱所得截面的面积为3 394
D. 过点A且与直线AA1和BC所成的角都为45∘的直线有且仅有1条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设θ∈R，i为虚数单位，定义eiθ=csθ+i⋅sinθ，则复数eiπ6+i的模为______.
13.函数f(x)=|sin(ωx+π3)|(ω>0)的部分图象如图所示，则ω=______.
14.在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点O(0,0)和点A(0,4)，与x轴正半轴相交于点B.若在第一象限内的圆弧AB上存在点P，使cs∠OPA=2 55，则圆C的标准方程为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90∘，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60∘，AC=2，平面ABC⊥平面ACC1A1.
(1)证明：A1C⊥AB1；
(2)求点C1到平面ABB1A1的距离.
16.(本小题15分)
已知数列{an}为等差数列，a1=−4，前n项和为Sn，满足：当n∈N*且n<9时，S1+S22+⋯+Snn=S1+S22+⋯+S9−n9−n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)定义集合Mn={ai+aj|i,j∈N∗且i,j⩽n}，记Mn的元素个数为bn，数列{bn}的前n项和为Tn，求T10
17.(本小题15分)
一个袋子中装有6个黑球，2个白球，它们除颜色外完全相同.现每次从袋中不放回地随机取出一个球，直到2个白球都被取出为止.以X表示袋中还剩下的黑球个数.
(1)记事件Ak表示“第k次取出的是白球”，k=1，2，⋯，8，求P(A5|A2)；
(2)求X的分布列和数学期望.
18.(本小题17分)
双曲线C：y2a2−x2b2=1(a,b>0)的焦点为F1，F2(F1在F2下方)，虚轴的右端点为A，过点F2且垂直于y轴的直线l交双曲线于点P(P在第一象限)，与直线AF1交于点B，记△ABF2的周长为m，△BPF1的周长为n，|m−n|=4.
(1)若C的一条渐近线为y= 2x，求C的方程；
(2)已知动直线l′与C相切于点T，过点T且与l′垂直的直线分别交x轴，y轴于M，N两点，Q为线段MN上一点，设MQ=λMN，λ∈(0,1)为常数.若||QF2|−|QF1||为定值，求λb的最大值.
19.(本小题17分)
拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，其内容为：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不断，在开区间(a,b)内的导数为f′(x)，那么在区间(a,b)内存在点c，使得f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)成立.设f(x)=ex+x−4，其中e为自然对数的底数，e≈2.71828.易知，f(x)在实数集R上有唯一零点r，且r∈(1,32)
(1)证明：当x∈(r,r+19)时，0(2)从图形上看，函数f(x)=ex+x−4的零点就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标.直接求解f(x)=ex+x−4的零点r是困难的，运用牛顿法，我们可以得到f(x)零点的近似解：先用二分法，可在(1,3)中选定一个x0作为r的初始近似值，使得0横坐标为x1，称x1是r的一次近似值；在点(x,f(x))处作曲线y=f(x)的切线，切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列x0x1，x2，⋯xn⋯.
①当xn>r时，证明：xn>xn+1>r；
②根据①的结论，运用数学归纳法可以证得：{xn}为递减数列，且∀n∈N，xn>r.
请以此为前提条件，证明：0