【新结构】2024学年上海市闵行区七宝中学高三（下）月考数学试卷（3月份）

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一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知m，n是空间中两条不同的直线，平面α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若m//n，n⊂α，则m//αB. 若m⊥α，α⊥β，则m//β
C. 若m⊥α，m//n，n//β，则α⊥βD. 若m//α，n//α，m，n⊂β，则α//β
2.下列命题中不正确的是( )
A. 中位数就是第50百分位数
B. 已知随机变量ξ∼N(μ,σ2)，且函数f(x)=P(x<ξC. 已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为130
D. 已知随机变量X∼B(n,12)，若D(2X+1)=5，则n=5
3.中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为d，双曲线C的两条渐近线与直线y=1，y=−1以及双曲线C的右支围成的图形(如图中阴影部分所示)绕y轴旋转一周所得几何体的体积为 2dcπ(其中c2=a2+b2)，则双曲线的离心率为( )
A. 2B. 22C. 3D. 33
4.已知函数y=f(x)(x∈R)，其导函数为y=f′(x)，有以下两个命题：
①若y=f′(x)为偶函数，则y=f(x)为奇函数；
②若y=f′(x)为周期函数，则y=f(x)也为周期函数.
那么( )
A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①、②都是真命题D. ①、②都是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题4.5分，共54分。
5.设集合A={x|4x2≤1}，B={x|lnx<0}，则A∩B=______.
6.已知向量a=(−2,2),b=(1,1)，则a−b在b方向上的投影向量为______.
7.若(3x2+ x)5的展开式中的常数项是______.
8.已知等比数列{an}中an>0，若4a1，12a3，3a2成等差数列，则a2021−a2023a2020−a2022=______.
9.某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用：x(单位：万元)与销售利润y(单位：万元)的相关数据，如表所示，根据表中数据，得到经验回归方程l:y =b x+a ，则下列命题正确的是______(请填写序号)
①b >0；
②a >0；
③直线l必过点(4,7)；
④直线l必过点(5,6)
10.已知函数y=f(x)，其中f(x)=2sin(2x+π3)在[0,a]，(a>0)上是严格增函数，则a的最大值为______.
11.若曲线y=alnx+x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是[π3,π2),则a=______.
12.关于x的实系数一元二次方程x2+px+2=0的两个虚数根为z1、z2，若z1、z2在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为______.
13.在三棱锥P−ABC中，PA=PB=AB= 2，PC=a，AC=b，BC=c.若△PAC和△PBC都是等腰直角三角形，则满足条件的有序实数对(a,b,c)的个数为______.
14.设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，记a*b=x1x2−y1y2，若圆C：x2+y2−4x+8y=0上的任意三点A1，A2，A3，且A1A2⊥A2A3，则|OA1*OA2+OA2*OA3|的最大值是______.
15.已知曲线C由抛物线x2=4y及抛物线x2=−4y组成，若A(4,3)，B(4,−3)，D，E是曲线C上关于x轴对称的两点，A，B，D，E四点不共线，其中点D在第一象限，则四边形ABED周长的最小值为______.
16.已知数列{an}满足an+1=2an+2an−3，其首项a1=a，若数列{an}是单调递增数列，则实数a的取值范围是______.
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanA+btanB=c 3csA.
(1)求角B；
(2)若D是AC边上的点，且AD=3DC=3，∠A=∠ABD=θ，求sinθ的值.
18.(本小题14分)
在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子.
(1)计算主持人打开4号箱的概率；
(2)当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选1号或3号箱？(以获得奖品的概率最大为决策依据)
19.(本小题16分)
如图所示，A−BCP是圆锥的一部分，O是底面圆的圆心，∠BOC=2π3，P是弧BC上一动点(不与B、C重合)，满足∠COP=θ，M是AB的中点，OA=2OB=2.
(1)若MP//平面AOC，求sinθ的值；
(2)若四棱锥M−OCPB的体积大于14，求三棱锥A−MPC体积的取值范围.
20.(本小题16分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1，F2.
(1)若双曲线的离心率为 2，且M(0,2 6)，△MF1F2是正三角形，求C的方程；
(2)若a=1，点M在双曲线C的右支上，且直线F1M的斜率为1b.若∠F1MF2=3π4，求b.
(3)在(1)的条件下，若动直线l与C恰有1个公共点P且与C的两条渐近线分别交于A、B记△AOP的面积为S1，△BOP的面积为S2(O是坐标原点)，问：1S1+1S2是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由.
21.(本小题18分)
已知函数f(x)=ln(x+1)−ax的图像在x=1处的切线与直线x+2y−1=0平行.
(1)求实数a的值；
(2)若关于x的方程f(x)=14(m−3x)在[2,4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.
(3)是否存在正整数p，使得满足an+1=an+ln(p−an)，a1=5lnp− p3的无穷数列{an}是存在的，如果存在，求出所有的正整数p的值，如果不存在，说明理由.
广告费用x
3
4
5
8
销售利润y
4
5
7
8