【4】【新结构】2024年江苏省四校联合高考数学适应性试卷

这是一份【4】【新结构】2024年江苏省四校联合高考数学适应性试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的
A．倍B．倍C．倍D．倍
2．已知，是两个不共线的单位向量，向量．“，且”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知等差数列的前项和为，，，则
A．7B．8C．9D．10
4．设为虚数单位，若复数为纯虚数，则
A．B．1C．0D．2
5．甲、乙、丙、丁四人参加垃圾分类竞赛，四人对于成绩排名的说法如下
甲：乙在丙之前
乙：我在第三；
丙：丁不在第二或第四
丁：乙在第四
若四人中只有一人说法是错误的，则甲的成绩排名为
A．第一名B．第二名C．第三名D．第四名
6．已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值是
A．B．C．D．
7．若全集为，定义集合与的运算：且，则
A．B．C．D．
8．设，则
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若，为正整数且，则
A．B．
C．D．
10．设函数，则
A．是偶函数B．在上单调递增
C．的最小值为D．在，上有4个零点
11．已知定圆，点是圆所在平面内一定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能为
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为 ．
13．围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算．假设大小为的眼有口气，大小为的眼有口气，则与满足的关系是，，，则的通项公式为 ．
14．，，，四点均在同一球面上，，是边长为2的等边三角形，则面积的最大值为 ，四面体体积最大时球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角．
（1）求证：；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．
16．（15分）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数．
（1）求的概率分布；
（2）求的数学期望．
参考数据：．
17．（15分）已知函数，其中．
（1）若，证明；
（2）讨论的极值点的个数．
18．（17分）已知等轴双曲线的顶点分别为椭圆的焦点，．
（1）求的方程；
（2）若为上异于顶点的任意一点，直线，与椭圆的交点分别为，与，，求的最小值．
19．（17分）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设，，，是直线上互异且非无穷远的四点，则称（分式中各项均为有向线段长度，例如为，，，四点的交比，记为，；，．
（1）证明：；
（2）若，，，为平面上过定点且互异的四条直线，，为不过点且互异的两条直线，与，，，的交点分别为，，，，与，，，的交点分别为，，，，证明：，；，，；，；
（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若与△的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则与△对应边的交点在一条直线上．
2024年江苏省四校联合高考数学适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的
A．倍B．倍C．倍D．倍
【解析】：水平放置的平面图形的面积与斜二测画法所得直观图的面积之比是，
所以用斜二测画法作一个五边形的直观图，其直观图的面积是原来五边形面积的倍，
即倍．
故选：．
2．已知，是两个不共线的单位向量，向量．“，且”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】：已知，是两个不共线的单位向量，向量，
则，，
当，且时，
则，
当时，
不妨设，，显然满足“”，
即当时，可能有，，
即“，且”是“”的充分而不必要条件．
故选：．
3．已知等差数列的前项和为，，，则
A．7B．8C．9D．10
【解析】：根据题意，等差数列中，，，，，也成等差数列，
其首项，第二项，则其公差，
则，故．
故选：．
4．设为虚数单位，若复数为纯虚数，则
A．B．1C．0D．2
【解析】：为纯虚数，
，解得．
故选：．
5．甲、乙、丙、丁四人参加垃圾分类竞赛，四人对于成绩排名的说法如下
甲：乙在丙之前
乙：我在第三；
丙：丁不在第二或第四
丁：乙在第四
若四人中只有一人说法是错误的，则甲的成绩排名为
A．第一名B．第二名C．第三名D．第四名
【解析】：①如果只有甲说的是错误的，丙和丁的说法矛盾，不合题意；
②如果只有乙说的是错误的，甲和丁的说法矛盾，不合题意；
③如果只有丙说的是错误的，乙和丁的说法矛盾，不合题意；
④如果只有丁说的是错误的，顺序为丁、甲、乙、丙，符合题意．
故选：．
6．已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值是
A．B．C．D．
【解析】：如图所示：
因为，，
设，则，
当时，取得最小值，此时，最大，最小，
且．
故选：．
7．若全集为，定义集合与的运算：且，则
A．B．C．D．
【解析】：由题意得，且，即图中的区域，Ⅲ，
则为图中区域和Ⅱ，即为．
故选：．
8．设，则
A．B．C．D．
【解析】：，
设，，则，
所以在上单调递增，所以，
所以在上恒成立，则，即，
设，，
则在上恒成立，
则，则在上恒成立，
令，则，则，
设，
则在，上恒成立，
所以在，上单调递增，所以，
即在，上恒成立，
令，则，所以，即，
所以．
故选：．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若，为正整数且，则
A．B．
C．D．
【解析】：由组合数的性质可得，故正确．
，故错误．
由，为正整数且，，
而，故错误．
，
而，
故有，故正确．
故选：．
10．设函数，则
A．是偶函数B．在上单调递增
C．的最小值为D．在，上有4个零点
【解析】：的定义域为，且满足，
是偶函数，正确；
又当时，单调递增，
可化为，其对称轴方程为，
在上单调递减，由复合函数的单调性可知，在上单调递减，
由知，是偶函数，故在上单调递增，正确；
由知，当时，（当且仅当时取等号），
的最小值为，正确；
当时，令，得或，
则，或，或，
在，上有6个零点，错误．
故选：．
11．已知定圆，点是圆所在平面内一定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能为
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
【解析】：因为是线段的中垂线上的点，所以，
若在圆内部，且不为圆心，则，，
此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆，故正确．
若在圆外部，则，，
此时点的轨迹是以，为焦点的双曲线，故正确．
若在圆上，则的中垂线恒过圆心，即的轨迹为点．
若为圆的圆心，即与重合时，为半径的中点，
此时点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，故正确．
根据以上的分析可知：不论点与圆是何种位置关系，点的轨迹都不可能是抛物线，故错误．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为 7.5 ．
【解析】：根据题意得：，解得，
这组数据的中位数为：．
故答案为：7.5．
13．围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算．假设大小为的眼有口气，大小为的眼有口气，则与满足的关系是，，，则的通项公式为 ．
【解析】：已知，
则，
即时，，
又时，满足上式，
时，不满足上式，
即．
故答案为：．
14．，，，四点均在同一球面上，，是边长为2的等边三角形，则面积的最大值为 ，四面体体积最大时球的表面积为 ．
【解析】：①因为，
所以，
又，
即，
所以，
所以，
即面积的最大值为，
②过作，垂足为，
，
则面积的最大时，最大，的最大值为，
此时为等腰三角形，为中点，
，，
则当平面时，最大，此时面面，
如图，
设为四面体外接球的球心，，分别为，的外接圆的圆心．
平面，平面，
在中，
，
，
四面体外接球的半径，
外接球的表面积为，
故答案为：，．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角．
（1）求证：；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】：（1）证明：由于底面是边长为2的正方形，则，
由于二面角为直二面角，则平面，
由于平面，则，又，，、平面，
则平面，由于平面，则．
（2）取中点，连、，由知，由于二面角为直二面角，
则平面，于是，由于底面是边长为2的正方形，则，
，于是，同理，于是，又，设到平面距离为，则由得：，于是解得：，故直线与平面所成角的正弦值为：．
16．（15分）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数．
（1）求的概率分布；
（2）求的数学期望．
参考数据：．
【解析】：（1）某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立，
设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数，
将每次祈愿获取五星角色的概率记为，的所有可能取值为1，2，3，，90，
从而，，，，，，
所以的概率分布为；
（2）的数学期望
，
，
，
，
因为，所以．
17．（15分）已知函数，其中．
（1）若，证明；
（2）讨论的极值点的个数．
【解答】（1）证明：当时，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
从而（1）；
（2）解：函数的定义域为，，
设，，则在上单调递增，
①当时，在上单调递增，
因为，（1）
所以函数在内有一个变号零点，
故函数在上有且仅有一个极值点；
②当时，由（1）知，函数在上有且仅有一个极值点；
③当时，，，
因为，所以，，
又（1），
所以函数在内有一个零点，
所以函数在上有且仅有一个极值点，
综上所述，函数在上有且仅有一个极值点．
18．（17分）已知等轴双曲线的顶点分别为椭圆的焦点，．
（1）求的方程；
（2）若为上异于顶点的任意一点，直线，与椭圆的交点分别为，与，，求的最小值．
【解析】：（1）易知，
解得，
即，，
不妨设等轴双曲线的方程为，
因为等轴双曲线的顶点分别为椭圆的焦点，，
解得，
则的方程为；
（2）不妨设直线的方程为，直线的方程为，，，，，，，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以
，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以
，
联立，
解得，
因为点在双曲线上，
所以，
解得，
此时
，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最小值为．
19．（17分）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设，，，是直线上互异且非无穷远的四点，则称（分式中各项均为有向线段长度，例如为，，，四点的交比，记为，；，．
（1）证明：；
（2）若，，，为平面上过定点且互异的四条直线，，为不过点且互异的两条直线，与，，，的交点分别为，，，，与，，，的交点分别为，，，，证明：，；，，；，；
（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若与△的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则与△对应边的交点在一条直线上．
【解答】证明：（1）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用，
设，，，是直线上互异且非无穷远的四点，
则称（分式中各项均为有向线段长度，例如为，，，四点的交比，记为，；，．
，
；
（2）
；
（3）设与交于，与交于，与交于，
连接，与交于，与交于，与交于，
欲证，，三点共线，只需证在直线上，
考虑线束，，，，由第（2）问知，；，，；，，
再考虑线束，，，，由第（2）问知，；，，；，，
从而得到，；，，；，，
于是由第（2）问的逆命题知，，，交于一点，即为点，
从而过点，故在直线上，，，三点共线．