[数学][期末]湖南省永州市新田县2023-2024学年八年级下学期期末试题(解析版)

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一、选择题
1. 下列图形中既是中心对称又是轴对称的是（ ）
A. 可回收垃圾B. 其他垃圾C. 有害垃圾D. 厨余垃圾
【答案】C
【解析】A．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，
B．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，
C．既是中心对称又是轴对称图形，
D．是轴对称图形但不是中心对称图形，
故选C．
2. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】小手盖住的是第四象限的点，其点坐标特征为：横坐标为正数，纵坐标为负数，
故选：D．
3. 以下不能构成直角三角形三边的数组是（ ）
A. （1，，2）B. （2，3，）
C. （5，12，13）D. （7，15，17）
【答案】D
【解析】A.因为，故能构成直角三角形；
B.因为，故能构成直角三角形；
C.因为，故能构成直角三角形；
D.因为，故不能构成直角三角形；
故选：D．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 顺次连接任意一个四边形四边的中点，所得到的四边形一定是平行四边形．
B. 平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
C. 任意多边形的内角和是
D. 只要是证明两个直角三角形全等，都可以用“”定理．
【答案】A
【解析】A.顺次连接任意一个四边形四边的中点，连接原四边形的对角线，新四边形的4条边分别是对应三角形的中位线，每组对边平行于一条原四边形的对角线，故所得到的四边形一定是平行四边形，说法正确，符合题意；
B.平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，原说法错误，不符合题意；
C.边形的内角和，原说法错误，不符合题意；
D.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形，可以用“”定理，原说法错误，不符合题意；
故选：A．
5. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，正多边形的边数为，
其内角和为．
故选C.
6. 尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A. ①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ
B. ①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C. ①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ
D. ①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
【答案】D
【解析】Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；
Ⅱ.作线段的垂直平分线，观察可知图③符合；
Ⅲ.过直线上一点作这条直线垂线，观察可知图④符合；
Ⅳ.作角的平分线，观察可知图①符合，
所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，
故选：D．
7. 下列命题正确的是( )
A. 正方形的对角线相等且互相平分B. 对角互补的四边形是平行四边形
C. 矩形的对角线互相垂直D. 一组邻边相等的四边形是菱形
【答案】A
【解析】A.正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确；
B.对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误；
C.矩形对角线不一定垂直，但相等，描述错误；
D.一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误．
故选：A．
8. 对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是（ ）
A. 函数值随自变量的增大而减小
B. 函数的图象不经过第三象限
C. 函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象
D. 函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）
【答案】D
【解析】A．∵一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2＜0，
∴函数值随x的增大而减小，故本选项正确；
B．∵一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2＜0，b=4＞0，
∴此函数的图象经过一．二．四象限，不经过第三象限，故本选项正确；
C．由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象，故本选项正确；
D．∵令y=0，则x=2，∴函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故本选项错误．
故选D．
9. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，则的长是（ ）

A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】如图，连接、，

正方形和正方形中，，，
，，
，
，
由勾股定理得，，
是的中点，
．
故选：B．
10. 如图，矩形纸片，点M、N分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点P与点A重合时，；③的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③
【答案】C
【解析】①如图1，
∵，
∴，
∵折叠，∴，NC=NP
∴，
∴，
∴PM=CN，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴平行四边形为菱形，
故①正确，符合题意；
②当点P与A重合时，如图2所示
设，则，
在中，，即，解得：，
∴，，∴，
又∵四边形为菱形，∴，且，
∴∴，
故②错误，不符合题意．
③当过点D时，如图3所示：
此时，最短，四边形的面积最小，则S最小为，
当P点与A点重合时，最长，四边形的面积最大，则S最大为，
∴，故③正确，符合题意．
故答案为：①③．
故选：C
二、填空题
11. 已知点P（﹣3，4），关于x轴对称的点的坐标为_____．
【答案】(-3，-4)
【解析】关于x轴对称，则有横坐标不变，纵坐标互为相反数．
故为(-3，-4)
12. 若点在y轴上，则a的值为_________．
【答案】2
【解析】∵点是y轴上的点，
∴点M的横坐标是0，即，
解得：．
故答案为：2 ．
13. 公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形ABCD的面积是____.
【答案】4
【解析】∵勾，弦，
∴股b=，
∴小正方形的边长＝，
∴小正方形的面积
故答案为4
14. 如图，在中，，点，，分别为，，的中点，若，则的长度_________．
【答案】3
【解析】在中，，D为的中点，，
∴，
∵E，F分别为，的中点，
∴．
故答案为：3
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=________．
【答案】
【解析】∵∠ADB=30°，∠BAD=90°，
∴∠ABD=60°．
∵由翻折的性质可知：∠ABE=120°，AB=BE=3，∠E=∠A=90°，
∴∠FBE=30°,
∴∠BFE=60°,
∴，
解得：EF=．
故答案为．
16. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点B逆时针旋转90°后得到，则点的坐标是_____．
【答案】（4，）
【解析】在中，令x=0得，y=4，
令y=0，得，解得x=，
∴A（，0），B（0，4），
由旋转可得△AOB ≌△A1O1B，∠ABA1=90°，
∴∠ABO=∠A1BO1，∠BO1A1=∠AOB=90°，OA=O1A1=，OB=O1B=4，
∴∠OBO1=90°，
∴O1B∥x轴，
∴点A1的纵坐标为OB-OA的长，即为4=；
横坐标为O1B=OB=4，
故点A1的坐标是（4，），
故答案为：（4，）．
17. 如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．若，求的面积是________．
【答案】
【解析】在中，
，
，
平分，
，
，
∴，
；
过D作交的延长线于H，
，
，
，
，
，
的面积．
故答案为：．
18. 如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动，将绕点旋转，使与重合，得到，
∴为等边三角形，点在垂直于的直线上，
∴，，
作，则即为的最小值，即当与重合时，作，
∵四边形是正方形，，
∴，，
由旋转性质可知，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
19. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点．

（1）求直线所对应的函数表达式．
（2）若点在直线上，求的值．
（3）利用图象直接写出：当时，的取值范围．
解：（1）设直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴，解得，
∴直线l所对应的函数表达式为．
（2）∵点在直线上，∴；
（3）根据函数图象可知，点B的坐标为，∴当时，．
20. 如图，点，，，在同一直线上，，，． 求证：．
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴、是直角三角形，
在和中，，
∴，∴．
21. 去年期末，某校八年级学生全部参加“城区初中学业水平监测”，从中抽取了部分学生的生物考试成绩，将他们的成绩进行统计后分为四个等级，并将统计结果绘制成如下的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题．

（1）抽取了_ 名学生成绩；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）扇形统计图中等级所在的扇形的圆心角度数是_ ；
（4）若四个等级分别为优秀、良好、合格、不合格，该校八年级共有名学生，请估计生物考试成绩等级在合格以上(包括合格）的学生约有多少人．
解：（1）抽取的学生总数为：23÷46%=50(名)，
故答案为：50；
（2）D等级的学生有50-（10+23+12）=5(名)，
补频数分布全直方图，如图所示：

（3）A等级所在的扇形的圆心角度数=(10÷50)×360°=72°，
故答案为：72°；
（4）根据题意得：全年级生物合格的学生共约有900×(1-5÷50)=810(人)，
故答案为：810人；
22. 如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，AC=4，求▱ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∵∠AOB=60°，AB= AO=2，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD为矩形，
∴，
∴，
∴．
23. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长；
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，∴四边形是平行四边形，
∵，∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，∴，
∴在中，由勾股定理得，∴，
∵，点O为中点，∴．
24. 为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．

解：（1）当0≤x<20时，设y与x的函数关系式为：y=mx，
把（20，160）代入y=mx，得160=20m，
解得m=8,
故当0≤x<20时，y与x的函数关系式为：y=8x；
当x≥20时，设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
把（20，160），（40，288）代入y=kx+b得：
，
解得：，
∴y=6.4x+32．
∴y与x的函数关系式为：y=8x（0≤x<20），y=6.4x+32（x≥20）；
（2）∵B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，
∴，
∴22.5≤x≤35，
设总费用为W元，则W=6.4x+32+7（45﹣x）=﹣0.6x+347，
∵k=﹣0.6，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=35时，W总费用最低，W最低=﹣0.6×35+347=326（元）．
25. 如图，已知四边形为矩形，，点在上，，将沿翻折到，连接．

（1）求证：；
（2）若，求的面积．
（1）证明：四边形是矩形，
， ，
，
，
，
由翻折得：，，，
，
，
，
，
在和中
，
()．
（2）解：如图，过作交于，交于，

，
四边形是矩形，
，，
四边形矩形，
，，
，
设，则，
由（1）得：，，
，
，，
，
即，
，
在，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
解得：，
，，
．
26. （1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则①的长为______；②点的坐标为______（直接写结果）
（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰直角如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式．
（3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点，过点作轴，垂足为点，作轴，垂足为点是线段上的一个动点，点是直线上一动点．问是否存在以点为直角顶点的等腰直角，若存在，请直接写出此时点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）如图1，作轴于F，轴于E.
由A点坐标可知
在中，根据勾股定理可得；
为等腰直角三角形

轴于F，轴于E
又



所以B点坐标为：
（2）如图，过点作轴．
为等腰直角三角形
轴，
又
，∴，
∴，∴．
设直线的表达式为
将和代入，得，解得，
∴直线的函数表达式．
（3）如图3，分两种情况，点Q可在x轴下方和点Q在x轴上方
设点Q坐标为，点P坐标为
当点Q在x轴下方时，连接，过点作 交其延长线于M，则M点坐标为
为等腰直角三角形


又
由题意得
，
解得 ，所以
当点Q在x轴上方时，连接，过点作 交其延长线于N，则N点坐标为
同理可得,
由题意得
，
解得 ，所以
综上的坐标为：．