北师大版八年级上册4 平行线的性质集体备课ppt课件

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数学 八年级上册 BS版
1. 平行线的性质.（1）性质定理1：两直线 ，同位角 ⁠.如图1，用符号语言表示：∵ a ∥ b （已知），∴∠1 ∠2（两直线平行，同位角相等）.
（2）性质定理2：两直线 ， 相等.如图2，用符号语言表示：∵ a ∥ b （已知），∴∠1 ∠2（两直线平行，内错角相等）.
（3）性质定理3：两直线 ，同旁内角 ⁠.
如图3，用符号语言表示：∵ a ∥ b （已知），∴∠1 ∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）.
2. 平行线的判定定理.平行于同一条直线的两条直线 ⁠.3. 平行线的判定与平行线的性质的联系.平行线的判定与性质是互逆关系，平行线的判定的条件是平行线的性质的结论，而平行线的判定的结论是平行线的性质的条件.
问题 平行线的判定方法是什么？
思考 反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?
两条直线被第三条直线所截，
问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”，你能作出相关的图形吗？
问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.已知：如图，直线 AB∥CD，∠1 和∠2 是直线 AB、CD 被直线 EF 所截得的同位角.求证：∠1 =∠2.
问题3：你能说说证明的思路吗？
证明：假设∠1 ≠ ∠2，过点 M 作直线 GH，使∠EMH =∠2，如图. 根据“同位角相等，两直线平行”，可知 GH∥CD.又因为 AB∥CD，这样经过点 M 存在两条直线 AB 和 GH 都与直线 CD 平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.这说明∠1 ≠ ∠2 的假设不成立，所以∠1 =∠2.
如果∠1 ≠ ∠2，AB 与 CD 的位置关系会怎样呢？
一般地，平行线具有如下性质：
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.
∴∠1 =∠2（两直线平行，同位角相等）.
利用上述性质，你能证明哪些熟悉的结论？两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角互补.
性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
已知：直线 a∥b，∠1 和∠2 是直线 a，b 被直线 c 截得的内错角.求证：∠1 =∠2.
证明：∵ a∥b (已知)，∴∠2＝∠3 (两条直线平行，同位角相等).∵∠1＝∠3 (对顶角相等)，∴∠1＝∠2 (等量代换).
性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
已知：直线 a∥b，∠1 和∠2 是直线 a，b 被直线 c 截得的同旁内角.求证：∠1 +∠2 = 180°.
证明：∵ a∥b (已知)，∴∠2 =∠3 (两条直线平行，同位角相等).∵∠1 +∠3 = 180° (平角的定义)，∴∠1 +∠2 = 180° (等量代换) .
证明：∵ a∥b，c∥b，∴∠1 =∠2，∠2 =∠3.∴∠1 =∠3.∴ a∥c.
定理：平行于同一条直线的两条直线平行.
已知：如图，直线 a，b，c 被直线 d 所截，且 a∥b，c∥b.求证：a∥c.
性质定理 1：两直线平行，同位角相等.∵ a∥b，∴∠1 =∠2.
性质定理 2：两直线平行，内错角相等.∵ a∥b，∴∠1 =∠2.
性质定理 3：两直线平行，同旁内角互补.∵ a∥b，∴∠1 +∠2 = 180°.
这些结论，以后可以直接运用.
（1）如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E ， F 分别是三条边上的点，且 EF ∥ AC ， DF ∥ AB ，∠ B ＝45°，∠ C ＝60°，则∠ EFD ＝（　B　）
【解析】∵ EF ∥ AC （已知），∴∠ EFB ＝∠ C ＝60°（两直线平行，同位角相等）.∵ DF ∥ AB （已知），∴∠ DFC ＝∠ B ＝45°（两直线平行，同位角相等）.∵∠ EFB ＋∠ EFD ＋∠ DFC ＝180°（平角的定义），∴∠ EFD ＝180°－∠ EFB －∠ DFC ＝180°－60°－45°＝75°（等式的性质）.故选B.
（2）如图，已知 AB ∥ CD ，直线 EF 分别交 AB ， CD 于点 E ， F ， FG 平分∠ CFE . 若∠1＝140°，则∠2的度数为 ⁠.
【点拨】同旁内角的基本图形是“ ”，当两直线平行时，同旁内角的数量关系是互补，不是相等.内错角的基本图形是“ ” ，当两直线平行时，利用平行线的性质可以把未知角度 转化为已知角度进行计算.
如图，已知 DE ∥ BC ， BE 平分∠ ABC . 若∠1＝70°，则∠ CBE 的度数为 ⁠.
2. 如图，已知 OP ∥ QR ∥ ST . 若∠2＝100°，∠3＝120°，则 ∠1＝ ⁠.
如图，已知 AB ∥ CD ，∠ BCF ＝180°， BD 平分∠ ABC ， CE 平分∠ DCF ，∠ ACE ＝90°，求证： AC ⊥ BD .
【点拨】平行线和角的大小关系、直线的位置关系等是紧密联 系在一起的，通过角的关系可以判断两直线平行，反过来根据 两直线平行可以得到角的关系，再利用这些角的关系（相等、 互补）证明其他结论，因此两直线平行就是将原本没有关系的 数学问题建立起联系的桥梁.
1. 如图，已知直线 a ⊥ c ， b ⊥ c ，∠1＝140°，则∠2的度数是（　A　）
2. 如图，已知 DC ∥ FP ，∠1＝∠2，∠ FED ＝32°，∠ AGF ＝80°， FH 平分∠ EFG . （1）求证： DC ∥ AB ；
（1）证明：∵ DC ∥ FP ，∴∠3＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠1.∴ DC ∥ AB .
（2）求∠ PFH 的度数.
探究：（1）如图1，若 AB ∥ CD ，求证：∠ B ＋∠ D ＝∠ BED . （2）如图2，若 AB ∥ CD ，则∠ B ，∠ D ，∠ BED 之间有什么数量关系？请说明理由.（3）如图3，若 AB ∥ CD ，则∠ B ，∠ D ，∠ BED 之间有什么数量关系？请说明理由.（4）如图4，若 AB ∥ CD ，则∠ E ＋∠ G 与∠ B ＋∠ F ＋∠ D 又有何关系？请直接写出结论.
（5）如图5，若 AB ∥ CD ，则∠ E1＋∠ E2＋…＋∠ En ＝ ⁠ ⁠.
图1　　　　 　图2　　　　 图3　　 　 图4　　 　 图5 　
＋∠ F1＋∠ F2＋…＋∠ Fn－1＋∠ D 　
（1）证明：如图1，过点 E 作 EF ∥ AB ，
∴∠ BEF ＝∠ B .
∵ AB ∥ CD ，
∴ EF ∥ CD .
∴∠ DEF ＝∠ D .
∴∠ B ＋∠ D ＝∠ BEF ＋∠ DEF ＝∠ BED .
（2）解：∠ B ＋∠ D ＋∠ BED ＝360°.理由如下：
如图2，过点 E 作 EF ∥ AB .
∴∠ BEF ＋∠ B ＝180°.
又∵ AB ∥ CD ，
∴∠ D ＋∠ DEF ＝180°.
∴∠ B ＋∠ D ＋∠ BEF ＋∠ DEF ＝∠ B ＋∠ D ＋∠ BED ＝360°.
（3）解：∠ D ＋∠ BED ＝∠ B . 理由如下：如图3，过点 E 作 EF ∥ AB . ∴∠ B ＝∠ BEF . ∵ AB ∥ CD ，∴ EF ∥ CD . ∴∠ D ＝∠ DEF . ∴∠ D ＋∠ BED ＝∠ DEF ＋∠ BED ＝∠ BEF ＝∠ B .
（5）【解析】由规律可知，∠ E1＋∠ E2＋…＋∠ En ＝∠ B ＋∠ F1＋∠ F2＋…＋∠ Fn－1＋∠ D . 故答案为∠ B ＋∠ F1＋∠ F2＋…＋∠ Fn－1＋∠ D .
【点拨】解决此类问题时，可分别过除了 B ， D 外的每个拐角 的顶点作已知平行线的平行线，利用平行线的性质解题.
（4）解：∠ E ＋∠ G ＝∠ B ＋∠ F ＋∠ D .
如图，已知 AB ∥ CD . 试解决下列问题：
（1）如图1，∠1＋∠2＝ ⁠；
（2）如图2，∠1＋∠2＋∠3＝ ⁠；
（3）如图3，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ ⁠；
（4）如图4，试探究：∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠ n ＝ ⁠ ⁠.
180°（ n－1）　
【解析】（1）∵ AB ∥ CD ，∴∠1＋∠2＝180°.故答案为180°.
（2）如图1，过点 E 作 EF ∥ AB . ∵ AB ∥ CD ，∴ AB ∥ CD ∥ EF . ∴∠1＋∠ AEF ＝180°，∠3＋∠ FEC ＝180°.又∵∠2＝ ∠ FEC ＋∠ AEF ，∴∠1＋∠2＋∠3＝360°.故答案为360°.
（3）如图2，分别过点 E ， F 作 EG ∥ AB ， FH ∥ AB . ∵ AB ∥ CD ，∴ AB ∥ EG ∥ FH ∥ CD . ∴∠1＋∠ AEG ＝180°，∠ GEF ＋∠ EFH ＝180°，∠ HFC ＋∠4＝180°.又∵∠2＝∠ AEG ＋∠ GEF ，∠3＝∠ EFH ＋∠ HFC ，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°.故答案为540°.
（4）如图3，根据上述规律，作（ n －2）条辅助线，构造出（ n －1）组同旁内角，运用（ n －1）次平行线的性质，即可得到 n 个角的和是180°（ n －1），即∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠ n ＝180°（ n －1）.故答案为180°（ n －1）.