2023-2024学年新疆阿勒泰地区高二下学期期末联考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆阿勒泰地区高二下学期期末联考数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={0,1,2},B={3,m}，若A∩B={2}，则A∪B=( )
A. {0,1,2,3}B. {0,1,2}C. {1,2,3}D. {2,3}
2.命题“∃x>0,x2+x−1>0”的否定是( )
A. ∀x>0,x2+x−1>0B. ∀x>0,x2+x−1≤0
C. ∃x≤0,x2+x−1>0D. ∃x≤0,x2+x−1≤0
3.已知z=1+i1−i，则z=( )
A. 2B. 1C. 22D. 3
4.某工厂的每月各项开支x与毛利润y(单位：万元)之间有如表关系，y与x的线性回归方程y=6.5x+a，则a=( )
A. 17.5B. 17C. 15D. 15.5
5.随机变量X∼N1,σ2(σ>0)，若P(1A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
6.已知等差数列an的前15项之和为60，则a3+a13=( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
7.某市人民政府新招聘进5名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门，每人只去一个部门，若教育部门必须安排2人，其余部门各安排1人，则不同的方案数为( )
A. 52B. 60C. 72D. 360
8.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的右支上有一点A,AF1与双曲线的左支交于点B，线段AF2的中点为M，且满足BM⊥AF2，若∠F1AF2=π3，则双曲线C的离心率为( )
A. 2B. 6C. 7D. 13
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若两直线l1:a−1x−3y−2=0与l2:x−a+1y+2=0平行，则实数a的值可以为( )
A. 3B. 2C. −2D. 1
10.下列函数求导正确的有( )
A. xsinx′=sinx−xcsxB. π+ 2′=0
C. lnx+x3′=1x+3x2D. x2+1x′=1+1x2
11.设m,n是不同的直线，α,β,γ是不同的平面，则下列说法不正确的是( )
A. 若m//n，m//α，则n//αB. 若m//α，m//β，则α//β
C. 若m⊥α，n⊥β，m//n，则α//βD. 若α⊥β，α⊥γ，则β//γ
12.已知数列an，bn中，an=2n+1,bn=2n，则( )
A. 数列anbn的前4项和为226B. (−1)nan的前100项和为100
C. 1anan+1的前n项和Tn,Tn<16D. 数列lg3bn仍为等比数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数fx=2lga4x+1+1(a>0且a≠1)图象恒过的定点坐标为
14.若向量a，b的夹角为150∘，a= 3，b=4，则a+b= ．
15.2+1x(1−x)7的展开式中x2的系数为 ．
16.剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国古老的民间艺术之一，已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为2的圆形纸片，记为⊙O，在⊙O内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为⊙O1，并裁剪去该正方形内多余的部分(如图所示阴影部分)，记为一次裁剪操作，……重复上述裁剪操作4次，最终得到该剪纸．则第4次裁剪操作结束后，所有裁剪操作中裁剪去除的面积之和为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB= 3b.
(1)求角A的大小；
(2)若a=7，b+c=10，求△ABC的面积．
18.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．
(1)求证：平面ACB1⊥平面C1CBB1；
(2)求直线AB与平面ACB1所成角的余弦值．
19.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，离心率为12．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F−43,0作斜率为32的直线交椭圆C于P,Q两点，求弦PQ中点坐标．
20.(本小题12分)
某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450∼950分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：
将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．
(1)求a的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)现采用分层抽样的方式从分数落在550,650,750,850内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；
21.(本小题12分)
已知各项都不相等的等差数列an的前六项和为60，且a6为a1和a21的等比中项．
(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn；
(2)若数列bn满足bn+1−bn=an，且b1=3，求数列1bn的前n项和Tn．
22.(本小题12分)
已知函数fx=lnx+bx+1,b∈R
(1)若b=0，求函数y=f(x)在x=1处的切线方程；
(2)若b=2，求函数y=f(x)的极值;
(3)讨论函数y=f(x)的单调性．
答案解析
1.A
【解析】解：因为集合A={0,1,2},B={3,m}，若A∩B={2}，则m=2，
即集合B={2,3}，所以A∪B=0,1,2,3．
故选：A
2.B
【解析】
解：根据存在量词命题的否定为全称量词命题，
即命题“∃x>0,x2+x−1>0”的否定为“∀x>0,x2+x−1≤0”.
故选：B．
3.B
【解析】解：因为z=1+i1−i=1+i21−i1+i=2i2=i，
所以z=1．
故选：B
4.A
【解析】解：x−=2+4+5+6+85=5，y−=30+40+60+50+705=50．
因为y与x的线性回归方程为y=6.5x+a，
可得50=6.5×5+a，
解得a=17.5．
故选：A．
5.C
【解析】解：因为X∼N1,σ2(σ>0)且P(1所以P(0则P(X<0)=P(X<1)−P(0故选：C
6.C
【解析】解：∵S15=15a1+a152=60，∴a1+a15=8，
所以a3+a13=a1+a15=8．
故选：C．
7.B
【解析】解： 5 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门， 每人只去一个部门，
人数分配为2,1,1,1，可得C52C31C21C11A33=C52，
若教育部门必须安排 2 人，其余部门各安排 1 人，则可得C52A33=60.
故选：B．
8.C
【解析】解：
因为M是线段AF2的中点，且BM⊥AF2，所以AB=BF2，
又∠F1AF2=π3，所以△ABF2是等边三角形，
设△ABF2的边长为m，由双曲线的定义知，AF1−AF2=2a，BF2−BF1=2a，
所以AF1=m+2a,BF1=m−2a，
又AF1−BF1=AB=m，所以m+2a−(m−2a)=m，即m=4a，
所以AF1=6a,AF2=4a，
在△AF1F2中，由余弦定理知，F1F22=AF12+AF22−2AF1AF2csπ3，
所以(2c)2=36a2+16a2−2×6a×4a×12=28a2
即c= 7a，所以离心率e=ca= 7．
故选：C
9.BC
【解析】解：若两直线l1:a−1x−3y−2=0与l2:x−a+1y+2=0平行，
则−a+1a−1−−3×1=0，解得4−a2=0,∴a=±2，经检验符合题意．
故选：BC．
10.BC
【解析】解：(xsinx)′=sinx+xcsx，A不正确；
(π+ 2)′=0， B正确；
lnx+x3′=1x+3x2， C正确；
x2+1x′=1−1x2，D不正确．
故选：BC
11.ABD
【解析】解：对于A，若m//n，m//α，则n//α或n⊂α，故 A错误；
对于B，若α∩β=l，m//l，m⊄α,β，则l⊂α,β，从而有m//α，m//β，但不满足α//β，故 B错误；
对于C，若m⊥α，n⊥β，m//n，所以n⊥α，因为α,β是不同的平面，所以α//β，故C正确；
对于D，若α⊥β，α⊥γ，则β//γ或β与γ相交，故D错误．
故选：ABD
12.ABC
【解析】解：由数列an，bn中，an=2n+1,bn=2n，
对于A中，可得anbn=2n+1⋅2n，可得数列anbn前4项的和为：
a1b1+a2b2+a3b3+a4b4=3×21+5×22+7×23+9×24=226，所以 A正确；
对于B中，由(−1)nan=(−1)n(2n+1)，可得a2−a1=a4−a3=⋯=a2n−a2n−1=2，
则数列(−1)nan的前100项和为：
(−1)nan=−a1+a2+−a3+a4+⋯+−a99+a100=2×50=100，所以 B正确；
对于C中，由1anan+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，
则1anan+1的前n项和Tn=12⋅[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n+1−12n+3)]=12⋅(13−12n+3)=16−12⋅12n+3<16，所以 C正确；
对于D中，由lg3bn=lg32n=nlg32，则lg3bn+1lg3bn=(n+1)lg32nlg32=n+1n，
所以数列lg3bn不是等比数列，所以D不正确．
故选：ABC．
13.0,1
【解析】解：令4x+1=1，解得x=0，所以f0=2lga1+1=1，
所以函数fx=2lga4x+1+1(a>0且a≠1)图象恒过的定点坐标为0,1．
故答案为：0,1．
14. 7
【解析】解：向量a，b的夹角为150∘，a= 3，b=4，有a⋅b=abcs150∘=−6，
则a+b= a+b2= a2+2a⋅b+b2= 3−12+16= 7．
故答案为： 7．
15.7
【解析】解：(1−x)7的展开式通项公式Tr+1=C7r−xr，
当x=2时，T3=C72−x2=21x2，
当x=3时，T4=C73−x3=−35x3，
故2+1x(1−x)7的展开式中x2的系数为2×21−35×1=7．
故答案为：7
16.15−15π4
【解析】解：第i次剪去正方形内多余部分的面积记为Si；
因为⊙O的半径为2，由其内接正方形对角线为直径，所以内接正方形的边长为2 2，
即a1=2 2，再作第一个内切圆⊙O1，其直径为该正方形的边长，即R1= 2，
所以第一次剪去部分的面积为S1=2 22−π 22=8−2π，
同理：a2= 2R1=2，R2=a22=1，S2=22−π×12=4−π，
a3= 2R2= 2，R3=a32= 22，S3= 22−π 222=2−π2，
a4= 2R3=1，R4=a42=12，S4=12−π122=1−π4，
所以前四次裁剪操作中裁剪去除部分的面积之和为：S1+S2+S3+S4=8−2π+4−π+2−π2+1−π4=15−15π4，
故答案为：15−15π4．
17.解：(1)由2asinB= 3b，
利用正弦定理得：2sinAsinB= 3sinB，
∵sinB≠0，
∴sinA= 32，又A为锐角，
则A=π3；
(2)由余弦定理得：a2=b2+c2−2bc⋅csA，
即49=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc=100−3bc，
∴bc=17，
又sinA= 32，
则S△ABC=12bcsinA=17 34．
【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及三角面积公式，考查学生的思维转换能力，属基础题．
(1)由正弦定理，得到2sinAsinB= 3sinB，根据角A为锐角，即可求出答案；
(2)由余弦定理可以得到bc，由(1)中sinA的值，利用三角面积公式，即可求解．
18.解：(1)证明：在直三棱柱中，AC⊥CC1，
∵AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，
又BC∩CC1=C，BC⊂平面CBB1C1，CC1⊂平面CBB1C1，
∴AC⊥平面C1CBB1，又AC⊂平面ACB1，
∴平面ACB1⊥平面C1CBB1；
(2)连接BC1交B1C于O，连接OA，
∵四边形CC1B1B为正方形，∴BC1⊥CB1，
又由(1)知平面ACB1⊥平面C1CBB1，平面C1CBB1∩平面ACB1=B1C
又BC1⊂平面C1CBB1．
∴BC1⊥平面ACB1
∴∠OAB是直线AB平面ACB1所成角，
在Rt△AOB中，∴sin∠OAB=OBAB=2 25，
∴cs∠OAB= 1−(2 25)2= 175
【解析】本题考查了面面垂直的判定以及直线与平面所成角的计算，属于中档题
(1)先证得AC⊥CC1，AC⊥BC，即可得AC⊥平面C1CBB1，从而可得证；
(2)利用垂直关系找出直线与平面所成的角，求解即可
19.解：(1)依题意得：c=1
∵e=ca，即12=1a，解得a=2
∵b2=a2−c2，解得b= 3
∴椭圆C的方程为x24+y23=1
(2)如图所示：

设Px1,y1,Qx2,y2，PQ中点为Mx0,y0，
所以x1+x2=2x0y1+y2=2y0
则kPQ=y1−y2x1−x2=32
又P,Q两点在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，可得x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1,
两式相减可得x12−x22a2+y12−y22b2=0，整理得
y1−y2x1−x2=−b2x1+x2a2y1+y2=−34×2x02y0=−x0×3y0×4=32,x0y0=−2，①．
过点F−43,0斜率为32的直线为y=32x+43．
因为Mx0,y0在直线上，故y0=32x0+43，②
联立①②，解得x0=−1,y0=12
所以PQ中点坐标为−1,12．
【解析】(1)根据抛物线的焦点求出c的值，然后由椭圆的离心率计算a，再由平方关系得到b，可写出椭圆的方程；
(2)设P,Q,M的坐标，点差法计算出坐标之间的关系，再根据中点所在直线可求出点的坐标．
20.解：(1)由题意知100×0.0015+a+0.0025+0.0015+0.001=1，
解得a=0.0035，
样本平均数为x=500×0.15+600×0.35+700×0.25+800×0.15+900×0.10=670，
由于100×0.0015+0.0035=0.5，故中位数650，
众数600．
(2)由题意，从550,650中抽取7人，从750,850中抽取3人，
随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3．
PX=k=C3kC73−kC103k=0,1,2,3，
所以随机变量X的分布列为：
随机变量X的数学期望EX=63120+2×21120+3×1120=910．
【解析】(1)由频率分布直方图中频率和为1可求得a，由频率分布直方图数据求解
(2)由频率分布直方图知从[550,650)中抽取7人，从[750,850)中抽取3人，随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3，求出各概率得分布列，然后由期望公式得期望；
21.解：(1)设等差数列an的公差为d(d≠0)，
则6a1+15d=60a1a1+20d=a1+5d2,
解得d=2a1=5,∴an=2n+3．
∴Sn=n5+2n+32=nn+4；
(2)由bn+1−bn=an，
∴bn−bn−1=an−1n≥2,n∈N∗，
bn=bn−bn−1+bn−1−bn−2+⋯+b2−b1+b1
=an−1+an−2+⋯+a1+b1
=n−15+2n+12+3=nn+2.当n=1时，b1=3也符合上式
∴bn=nn+2n∈N∗．
∴1bn=1nn+2=121n−1n+2
Tn=121−13+12−14+⋯+1n−1n+2
=1232−1n+1−1n+2=3n2+5n4n+1n+2．

【解析】(1)根据等差数列的前n项和公式及等比中项的概念，可建立首项和公差的方程组，解出首项和公差，写出通项公式及前n项和；
(2)因为bn+1−bn=an=2n+3，故可采取累加法，求得bn=nn+2，从而1bn=1nn+2=121n−1n+2，采用裂项相消的办法求和即可．
22.解：(1)因为b=0，所以f(x)=lnx+1,
所以f′x=1x，
f′1=1f1=0+1=1,
∴函数y=f(x)在x=1处的切线方程为：y−1=x−1,即y=x．
(2)若b=2，则fx=lnx+2x+1x>0，
f′x=1x−2x2=x−2x2，
令f′x=0，所以x=2，
当x>2时,f′x>0，fx在2,+∞单调递增；
当0当x=2时，fx有极小值f2=2+ln2，无极大值．
(3)因为f(x)=lnx+bx+1，定义域0,+∞．
所以f′(x)=1x−bx2=x−bx2，因为x>0，
当b≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在0,+∞上单调递增，
当b>0时，令f′x=0，所以x=b，
当x>b时,f′x>0，fx在b,+∞单调递增；当0
【解析】(1)求出f′x=1x，由f′1=1f1=1可得结果；
(2)求得f′x=x−2x2，由f′x=0可得x=2，判断x=2左右两边导函数的符号，从而可得结果．
(3)求得f′(x)=x−bx2在定义域内，讨论b≤0，b>0两种情况，分别令f′x>0求得x的范围，可得函数fx增区间，f′x<0求得x的范围，可得函数fx的减区间．
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
X
0
1
2
3
P
35120
63120
21120
1120