新疆阿勒泰地区2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题（含答案）

这是一份新疆阿勒泰地区2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了本卷由试题卷和答题卡两部分组成，双曲线的渐近线方程为，下列数列是等差数列的是，已知直线和，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 试卷满分：150分
考生须知：
1．本卷由试题卷和答题卡两部分组成。要求在答题卡上答题，在试题卷上答题无效。
3．作答选择题时，请选出正确答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案字母涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案字母，在试卷上作答无效。
4．答题前，请用 0.5mm 黑色签字笔在答题卡相应位置上认真填写准考证号、姓名、考场号、座位号、 学校。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1．已知直线，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
4．两平行直线，的距离等于（ ）
A．B．C．D．
5．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．等差数列中，，，则该数列的公差为（ ）
A．B．2C．D．3
7．三棱柱中，为棱的中点，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）．
参考数据：
A．17.9万亿B．19.1万亿C．20.3万亿D．21.6万亿
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列数列是等差数列的是（ ）
A．0，0，0，0，0，…B．1，l，111，111l，…
C．－5，－3，－1，1，3，…D．1，2，3，5，8，…
10．已知直线和，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
11．已知，是空间中两条不同的直线，，是不同的两个平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，则
12．已知方程表示的曲线为,则以下四个判断正确的为（ ）
A．当时,曲线表示椭圆
B．当或时,曲线表示双曲线
C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆,则
D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线,则
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离 ．
14．已知空间向量，，则 ．
15．在等比数列中，，，则公比q是 .
16．由直线上的一点向圆引切线，则切线长（此点到切点的线段长）的最小值为 ．
五、解答题（本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)求经过点A且与直线BC平行的直线方程；（5分）
(2)在中，求BC边上的高线所在的直线方程．（5）
18．（12分）已知圆的圆心坐标为，且经过点．
(1)求圆的标准方程；（6分）
(2)若直线：与圆交于、两点，求线段的长度．（6分）
19．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为．
(1)求此椭圆的方程；（6分）
(2)若过点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A、B两点，求|AB|的值．（6分）
20．（12分）等差数列的前项和为，满足.
(1)求的通项公式（6分）；
(2)设，求证数列为等比数列，并求其前项和.（6分）
21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，E是棱PB上一点．
(1)求证：平面平面PBC；（6分）
(2)若E是PB的中点，求平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值．（6分）
22．（12分）已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的A、两点．
(1)求抛物线的方程；（4分）
(2)如果，证明直线过定点，并求定点坐标.（8分）
数学参考答案：
1．A
【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】直线l的斜率，由于，所以，
的倾斜角为.
故选：A.
2．A
【分析】根据双曲线方程可知焦点位置和a，b的值，然后可得.
【详解】由题知，双曲线C的焦点在x轴上，且，
所以，渐近线方程为，即.
故选：A
3．D
【分析】根据向量数乘和减法的坐标运算求解即可.
【详解】由题得，所以，
故选：D.
4．B
【分析】借助两平行线的距离公式即可得.
【详解】即为，
则.
故选：B.
5．B
【分析】由于抛物线的准线方程为，抛物线的准线方程即可求解.
【详解】由于抛物线的准线方程为，
则的准线方程为：.
故选：B
6．A
【分析】运用等差数列的性质计算即可.
【详解】设等差数列的公差为，
则②-①可得：，
所以.
故选：A.
7．D
【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可.
【详解】
故选：D.
8．B
【分析】根据给定信息，构建等比数列，再求出其中的项即可.
【详解】依题意，从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列，
其中，公比，
所以2022年进出口累计总额为（万亿）.
故选：B
9．AC
【分析】利用等差数列的定义判断即可
【详解】根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而BD中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数，
故选：AC．
10．BC
【分析】由两直线平行、垂直的条件计算可得答案.
【详解】若，则且，解得，故A错误，C正确；
若，则，解得，故B正确，D错误.
故选：BC.
11．AB
【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关定理对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，由于，，所以，所以A选项正确.
B选项，由于，，所以，
由于，所以，所以B选项正确.
C选项，若，，则可能平行、相交或异面，所以C选项错误.
D选项，若，，则，所以D选项错误.
故选：AB
12．BCD
【分析】根据椭圆、双曲线的定义及标准方程,逐项判断正误.
【详解】若曲线:表示椭圆,则,解得且,故A不正确;
若曲线:表示双曲线,则,解得或,故B正确;
若曲线:表示焦点在轴上的椭圆,则,解得,故C正确;
若曲线:表示焦点在轴上的双曲线,则,解得,故D正确.
故选:BCD.
13．14
【分析】借助椭圆定义即可得.
【详解】由，则，由在椭圆上，故有,
又，所以.
故答案为：.
14．
【分析】利用空间向量的加法运算及模的坐标表示即可得解.
【详解】因为，，
所以，则.
故答案为：.
15．2
【分析】运用等比数列通项公式的基本量计算即可.
【详解】解：根据题意，等比数列中，，，
所以，
所以.
故答案为：2.
16．
【分析】数形结合的方法.设为直线上一点，为切线长，直角中，，故最小时，切线长也最小.根据点到直线距离公式，可求的最小值，再由勾股定理可得的最小值.
【详解】解：∵圆的圆心为，半径
∴圆心C到直线的距离为

当点P在直线上运动时，P与圆心C在直线上的射影重合时，
切线长达到最小值．设切点为A，得中，
即切线长（此点到切点的线段长）的最小值为．
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）根据题意，求得边上的高线斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】（1）解：由的三个顶点的坐标分别为，，，
可得直线的斜率，————————————————————1分
所以过点且与直线平行的直线方程为，——————————1分
即.—————————————————————————————3分
（2）解：由直线的斜率，可得边上的高线斜率，————1分
所以边上的高线方程为，————————————————1分
即边上的高线所在的直线方程为.——————————————3分
18．(1)
(2)
【分析】（1）求出圆D的半径，即可得圆的标准方程；
（2）利用圆的弦长公式即可得出答案.
【详解】（1）由题意可得：圆D的半径，————————————2分
所以圆D的标准方程为；—————————————————4分
（2）由（1）可知圆心，半径，————————————————1分
则圆心到直线l：的距离，————————2分
所以.————————————————————————3分
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的性质即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程，由弦长公式即可求解.
【详解】（1）由，————————————————————1分
得，———————————a正确得1分，b正确得1分
∴椭圆方程为———————————————————————3分
（2）由题意可知直线的方程为：，—————————————1分
由得，
解得．—————————————————————————2分
∴．—————————————————3分
20．(1)；
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据题意，由等差数列的通项公式以及前项和公式，列出方程，即可得到结果；
（2）根据题意，由等比数列的定义即可证明，再结合等比数列的前项和公式，即可得到结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
∴，——————————————————————————2分
解得，—————————————————————————————1分
∴.—————————————————3分
（2）由（1）可得，————————————————————1分
∴，——————————————————————2分
∴数列为等比数列，首项为，公比为———————————1分
∴——————————————————————2分
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明；
（2）利用空间向量的坐标运算，求平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）因为，
取中点M，连接CM，则，————————————————1分
,,所以,
即,————————————————————————————1分
又平面ABCD，平面ABCD，所以，—————————1分
且平面，——————————————————1分
所以平面，
又因为平面，所以平面平面PBC；———————————2分
（2）以CM为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系（或在图中标注出坐标系）————————————————————————————————————1分
因为E是PB的中点,则
所以．

设平面EAC的法向量为，
则即，令，则
所以平面EAC的法向量为，————————————————2分
显然，平面PDC的法向量为.——————————————————2分
设平面PDC和平面EAC的夹角为，为锐角
则．
故平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值为．—————————————1分
22．(1)
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）将已知点坐标代入抛物线方程求得即得；
（2）设，，设，代入抛物线方程应用韦达定理得，，代入可求得，从而得定点坐标.
【详解】（1）由题意可知，将点代入抛物线方程，
可得，—————————————————————————1分
解得，—————————————————————————————1分
则抛物线方程为．———————————————————————2分
（2）因为直线与抛物线相交于不同的A、两点，
所以直线不与x轴平行，可设，与联立，得，
设，，∴，．
，
由
，解得，
∴过定点．——————————————————————8分