2023-2024学年新疆乌鲁木齐十二中高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆乌鲁木齐十二中高二（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，A地在高压线l(不计高度)的东侧0.50km处，B地在A地东北方向1.00km处，公路沿线PQ上任意一点到A地与高压线l的距离相等．现要在公路旁建一配电房向A、B两地降压供电(分别向两地进线).经协商，架设低压线路部分的费用由A、B两地用户分摊，为了使分摊费用总和最小，配电房应距高压线l( )
A. 1.21kmB. 0.50kmC. 0.75kmD. 0.96km
2.在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln(1+1n)，则an=( )
A. 2+lnnB. 2+(n−1)lnnC. 2+nlnnD. 1+n+lnn
3.已知抛物线y2=8x的焦点到双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线的距离不大于 3，则双曲线E的离心率的取值范围是( )
A. (1, 2]B. (1,2]C. [ 2,+∞)D. [2,+∞)
4.若点P为抛物线x2=4y上一点，F为焦点，且|PF|=3，则点P到x轴的距离为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.直线x+2y−5=0与2x+4y+a=0之间的距离为 5，则a等于( )
A. 0B. −20C. 0或−20D. 0或−10
6.已知直线y=kx−2上存在点P，满足过P点作圆x2+y2−4x−2y+4=0的两条切线，切点分别为A，B，且∠APB=60°，则实数k的最小值为( )
A. −512B. −1C. 1D. 512
7.直线x− 3y+m=0的倾斜角等于( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
8.在等差数列{an}中，若a1+a4+a7=18，a6=12，则数列{an}的公差是( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线C上的两点，AB的中点M在C的准线上的投影为N，则( )
A. 曲线C的准线方程为x=−2B. 若|AF|=4，则△AOF的面积为 3
C. 若OA⊥OB，则|OA|⋅|OB|≥32D. 若∠AFB=60°，则|MN|≤|AB|
10.已知a=(x2+x,1,3)，b=(2,y,3)，若a/​/b，则x+y的值可能为( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
11.经过点P(4,−2)的抛物线的标准方程为( )
A. y2=xB. y2=−xC. y2=−8xD. x2=−8y
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}的通项公式为an=n−32n−17，前n项和为Sn，则Sn取得最小值时n的值为______ ．
13.已知圆O1：x2+y2=1，圆O2：(x−4)2+y2=4，请写出一条与两圆都相切的直线的方程： ．
14.设F1，F2分别是椭圆x216+y29=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1||PF2|= ______ ；
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知圆C的圆心为(3,1)，且该圆被直线l：x−y−1=0截得弦长为 2．
(1)求该圆的方程；
(2)求过点A(4,−3)的该圆的切线方程．
16.(本小题15分)
如图，空间四边形ABCD的每条边和AC，BD的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD．
17.(本小题15分)
贾先生买了一套总价为840万元的商品房，首付300万元，其余540万元(本金)向银行申请贷款，贷款月利率0.5%.从贷款后的第一个月后开始还款(即第一次还款日距贷款发放日正好一个月)，30年还清.(精确到1元)
(1)若每月等额偿还本金(540万元)，则贷款利息随本金逐月递减，还款额也逐月递减，其计算方法是：每月还款金额=(贷款本金/还款月数)+(本金−已归还本金累计额)×每月利率，请计算第3个月还款金额是多少元？
(2)为图方便，若每月还款金额相等，问每月应还款多少元？(注：如果上个月欠银行贷款a元，则一个月后，应还给银行固定数额x元，此时贷款余额为a(1+0.5%)−x元)
(3)请问30年后还清贷款时，用这两种不同还款方式归还贷款，实际还款总额分别是多少元？(不考虑时间价值等因素)．
18.(本小题15分)
根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
(1)斜率是 3，且经过点A(5,3)；
(2)斜率为4，在y轴上的截距为−2；
(3)经过A(−1,5)，B(2,−1)两点．
19.(本小题17分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4=4S2，a2n=2an+1(n∈N*).
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)设数列{bn}满足b1+3b2+…+(2n−1)bn=n(n∈N*)，记数列{(−1)n4n⋅bnan+1}的前n项和为Tn，求Tn．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，配电房为M
建立如图所示的坐标系，
则抛物线的方程为y2=x，
根据抛物线的定义知：欲求分摊费用总和最小，即求抛物线上的点到A，B的距离和最小，此时BM⊥l．
∵B地在A地东北方向1.00km处，
∴B的纵坐标为 22，
∴BM⊥l时，M的坐标为(12, 22)，
∴配电房应距高压线l：0.5+0.25=0.75km．
故选：C．
依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，配电房为M，欲求分摊费用总和最小，即求抛物线上的点到A，B的距离和最小，此时BM⊥l．
本题考查了抛物线方程的应用，考查了学生根据实际问题选择函数模型的能力，考查了计算能力，是中档题．
2.【答案】A
【解析】解：∵数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln(1+1n)，
即an+1−an=lnn+1n=ln(n+1)−lnn，
故a2−a1=ln2−ln1，
a3−a2=ln3−ln2，
a4−a3=ln4−ln3，
an−an−1=lnn−ln(n−1)，
以上各式相加可得：an−a1=lnn−ln1，
即an=lnn+2，(n=1也成立)．
故选：A．
根据递推关系式得到an+1−an=lnn+1n=ln(n+1)−lnn，再利用累加法求通项即可．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题．
3.【答案】B
【解析】解：抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，
双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为bx+ay=0，
则焦点到渐近线的距离d=2b b2+a2≤ 3，
即有2b≤ 3c，
∴4b2≤3c2，
∴4(c2−a2)≤3c2，
∴e≤2，
∵e>1，
∴1故选：B．
求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到．
本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式，考查离心率的求法，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：因为抛物线方程为x2=4y，所以抛物线准线方程为y=−1，
由抛物线的定义可知点P到准线的距离为3，从而求得点P到x轴的距离为3−1=2．
故选A．
求得准线方程，再由抛物线的定义可知点P到x轴的距离．
本题考查了抛物线的定义、方程，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查两条平行线间的距离，考查学生的计算能力，比较基础．
直线x+2y−5=0，可化为2x+4y−10=0，利用直线x+2y−5=0与2x+4y+a=0之间的距离为 5，建立方程，即可求出a．
【解答】
解：直线x+2y−5=0，可化为2x+4y−10=0，
∵直线x+2y−5=0与2x+4y+a=0之间的距离为 5，
∴|a+10| 4+16= 5，
∴a=0或−20．
故选：C．
6.【答案】D
【解析】解：由x2+y2−4x−2y+4=0，得(x−2)2+(y−1)2=1，
则圆心坐标为C(2,1)，半径为1，
如图，
∵∠APB=60°，∴∠APC=30°，又AC=1，∴PC=2，
即P在以C(2,1)为圆心，以2为半径的圆上，
又点P在直线y=kx−2上，∴|2k−2−1| k2+1≤2，解得k≥512，
即实数k的最小值为512，
故选：D．
化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再求出满足与圆有两条切线，使∠APB=60°的P到已知圆心的距离，由点到直线的距离公式列式求解．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化、数形结合的思想，考查运算求解能力，是中档题．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可知y= 33x+ 33m，可知直线的斜率k= 33，
设直线的倾斜角为α，且α∈[0,π)，
又k=tanα= 33，所以直线的倾斜角α=π6．
故选：A．
将直线的一般式改成斜截式，根据倾斜角和斜率的关系，即可求出结果．
本题考查直线的倾斜角的大小的求法，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a4+a7=18，a6=12，
∴3(a1+3d)=18，a1+5d=12，
解得d=3．
故选：B．
利用等差数列的通项公式即可得出结论．
本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：∵抛物线C方程为：y2=4x，
∴抛物线的焦点F(1,0)，准线l：x=−1，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则y12=4x1，y22=4x2，y1≠y2，
对A选项，∵曲线C的准线方程为x=−1，∴A选项错误；
对B选项，∵|AF|=x1+1=4，∴x1=3，∴|y1|=2 3，
∴△AOF的面积S△AOF=12|OF|⋅|y1|= 3，∴B选项正确；
对C选项，∵OA⊥OB，
∴OA⋅OB=x1x2+y1y2=y12y2216+y1y2=0，显然y1y2≠0，
∴y1y2=−16，x1x2=16，
∴|OA|⋅|OB|= x12+y12⋅ x22+y22= (x1x2)2+(y1y2)2+x12y22+x22y12= 162+162+4x1x2(x1+x2)
= 512+64(x1+x2)≥ 512+64×2 x1x2=32，
当且仅当x1=x2=4时取等号，∴C选项正确；
对D选项，设点M的横坐标为x0，∴x1+x2=2x0，
∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=2(x0+1)=2|MN|，
在△AFB中，∵∠AFB=60°，
∴由余弦定理得|AB|2=|AF|2+|BF|2−2|AF|⋅|BF|cs∠AFB，
∵|AF|⋅|BF|≤(|AF|+|BF|2)2，
∴|AB|2=(|AF|+|BF|)2−3|AF|⋅|BF|≥(|AF|+|BF|)2−3⋅(|AF|+|BF|2)2=|MN|2，
当且仅当|AF|=|BF|时取等号，
∴|MN|≤|AB|，∴D选项正确．
故选：BCD．
根据抛物线的标准方程，求出准线方程判断A；求出点A的纵坐标计算判断B；设出点A，B的坐标，结合向量垂直的坐标表示及均值不等式求解判断C；利用抛物线定义结合余弦定理、均值不等式推理判断D作答．
本题考查抛物线的几何性质，化归转化思想，基本不等式的应用，属中档题．
10.【答案】BD
【解析】解：∵a=(x2+x,1,3)，b=(2,y,3)，a/​/b，
∴x2+x2=1y=33，
解得x=1，y=1或x=−2，y=1，
∴x+y=2或x+y=−1．
故选：BD．
利用向量平行的性质直接求解．
本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：根据题意，点P(4,−2)在第四象限，故抛物线可能开口向右，也可能开口向下．
故可设抛物线的标准方程为y2=2px，或x2=−2my，p，m>0，
把点P(4,−2)代入方程可得p=12或m=4，
故抛物线的标准方程y2=x 或x2=−8y，
故选：AD．
根据题意，分析可得抛物线可能开口向右，也可能开口向下．故可设抛物线的标准方程为y2=2px，或x2=−2my，p，m>0；把点P(4,−2)代入方程可得p值，即得抛物线方程．
本题考查抛物线的标准方程的计算，注意分析抛物线的开口方向，属于基础题．
12.【答案】8
【解析】解：数列{an}的通项公式为an=n−32n−17，
根据数列的通项公式，
当n=1，2，…，8，9时，a1=−2−15=215，a2=−1−13=113，a3=0，a4=1−9，…，a8=−51=−5，a9=6，
所以，数列的各项的特点呈现先减后增，
故当n=8时，S8取得最小值．
故答案为：8．
直接利用数列的通项公式和数列的单调性的应用求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
13.【答案】y= 1515x+4 1515或y=− 1515x−4 1515或y=3 77x−4 77或y=−3 77x+4 77(答案不唯一)
【解析】解：由题可知：两圆外离，所以两圆有4条公切线，设切线与两圆圆心连线的交点为A(x0,y0).
①当切线为外公切线时：AO1AO2=r1r2=12,AO1=12AO2，所以(−x0,−y0)=12(4−x0,−y0)，
得x0=−4y0=0，所以A(−4,0)，设公切线l：y=k(x+4)，所以圆心O1到切线l的距离d=|4k| 1+k2=1，
解得k=± 1515，所以公切线为y= 1515x+4 1515或y=− 1515x−4 1515；
②当切线为内公切线时：AO1AO2=r1r2=12,O1A=13O1O2，所以(x0,y0)=13(4,0)，所以A(43,0)，
设公切线l：y=k(x−43)，所以圆心O1到切线l的距离d=|43k| 1+k2=1，解得k=±3 77，
所以公切线为y=3 77x−4 77或y=−3 77x+4 77．
故答案为：y= 1515x+4 1515或y=− 1515x−4 1515或y=3 77x−4 77或y=−3 77x+4 77(答案不唯一)．
由题可知：两圆外离，所以两圆有4条公切线，设切线与两圆圆心连线的交点为A(x0,y0)，分①当切线为外公切线和②当切线为内公切线两种情况分别计算即可．
本题考查了两圆的公切线方程的计算，属于中档题．
14.【答案】239
【解析】解：椭圆的a=4，b=3，c= 7，
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=8，
由中位线定理可得PF2⊥x轴，
令x= 7，可得y=±94，
即有|PF2|=94，|PF1|=8−94=234，则|PF1||PF2|=239．
故答案为：239．
求得椭圆的a，b，c，运用椭圆的定义和三角形的中位线定理，可得PF2⊥x轴，即可得|PF2|，|PF1|，即可所求值．
本题考查椭圆的定义，三角形的中位线定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
15.【答案】解：(1)圆C的圆心(3,1)到直线l：x−y−1=0的距离为：
d=|3−1−1| 2= 22，
则弦长为2 r2−d2=2 r2−( 22)2= 2，解得r2=1，
所以圆的方程为：(x−3)2+(y−1)2=1；
(2)当直线的斜率不存在时，直线方程为：x=4，
则圆心到直线的距离为d=|4−3|=1=r，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y+3=k(x−4)，即kx−y−3−4k=0，
则圆心到直线的距离d=|3k−1−3−4k| 1+k2=1，解得k=−158，
所以直线的方程为：15x+8y−36=0，
综上：该圆的切线方程为：x=4或15x+8y−36=0．
【解析】(1)利用弦长公式求得半径即可；
(2)分直线的斜率存在和不存在，由圆心到直线的距离等于半径求解．
本题考查圆的方程与圆的切线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用，是中档题．
16.【答案】证明：如图，

∵AB=BC=AC=AD=BD=CD=a，
∴△ABC≌△ABD，
又M为AB的中点，∴CM=DM，
又N为CD的中点，∴MN⊥CD；
同理可证，MN⊥AB．
【解析】由空间四边形ABCD的每条边和AC，BD的长都等于a，可知四面体A−BCD为正四面体，然后结合三角形全等得边长相等，再由等腰三角形底边上的中线即为底边上的高证得答案．
本题考查直线与直线垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)假设程先生在第n个月的还款金额是bn万元，
第1个月还款金额：b1=54030×12+540×0.5%=4.2万元，
第2个月还款金额：b2=54030×12+(540−4.2)×0.5%=4.2−0.5%b1=4.179万元，
第3个月还款金额：b3=54030×12+(540−4.2−4.179)×0.5%=4.2−0.5%(b1+b2)≈4.158万元，
所以第3个月还款金额为4158元；
(2)设程先生在第n个月时还欠银行贷款an万元，每月固定还款x万元，
则an=an−1(1+0.5%)−x，a0=540，
令an+λ=1.005(an−1+λ)则an=1.005an−1+0.005λ，
所以λ=−200x，
所以{an−200x}是公比为1.005的等比数列，
即an−200x=(a0−200x)⋅1.005n，
由a360=0，a0=540得x=3.2376万元，
故每月应还款32376元．
(3)每月等额偿还本金，由(1)知：bn=4.2−0.5%Sn−1，则bn+1=4.2−0.5%Sn，
两式相减，并整理得bn+1bn=99.5%，故bn=4.2×(99.5%)n−1，n=360，
所以共还款为S360=4.2×[1−(99.5%)360]1−99.5%=701.7744万元，
每月还款金额相等，共还款为T360=3.2376×360=1165.536万元．
【解析】(1)分别计算各个月份的还款金额；
(2)根据题干确定递推公式，进而得解；
(3)分别计算前n项和即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了等比数列的定义，以及前n项和公式，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由直线的点斜式方程可得y−3= 3(x−5)，
即 3x−y+3−5 3=0；
(2)由直线的斜截式方程可得y=4x−2，
即4x−y−2=0；
(3)由A(−1,5)，B(2,−1)两点，可得直线AB的斜率kAB=5−(−1)−1−2=−2，
所以直线AB的方程为y−5=−2(x+1)，
即2x+y−3=0．
【解析】(1)由直线的点斜式方程可求解；
(2)由直线的斜截式方程求解；
(3)由直线的两点可得直线的斜率，代入点斜式方程可得直线的方程式，最后都化成一般式方程即可．
本题考查直线方程的求法，属于基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，由S4=4S2，
可得4a1+6d=4(2a1+d)，
即2a1=d记为①．
又因为a2n=2an+1(n∈N*)，
取n=1，
所以a2=2a1+1，
即a1+1=d记为②，
由①②可得a1=1，
d=2．
故{an}的通项公式为an=2n−1．
(Ⅱ)由b1+3b2+…+(2n−1)bn=n，
可得b1=1且b1+3b2+…+(2n−3)bn−1=n−1(n≥2)
上述两式作差可得bn=12n−1(n≥2)，
由b1=1可知bn=12n−1(n∈N*).
所以(−1)n4n⋅bnan+1=(−1)n4n(2n−1)(2n+1)=(−1)n(12n−1+12n+1)．
当n为偶数时Tn=−(1+13)+(13+15)−(15+17)+…−(12n−3+12n−1)+(12n−1+12n+1)，
∴Tn=−1+12n+1=−2n2n+1．
当n为奇数时，Tn=−(1+13)+(13+15)−(15+17)+…−(12n−1+12n+1)
∴Tn=−1−12n+1=−2n+22n+1．
故Tn=−2n2n+1(n为偶数)−2n+22n+1(n为奇数)．
【解析】(Ⅰ)直接利用选项的条件和递推关系式的应用求出数列的通项公式；
(Ⅱ)利用裂项相消法的应用求出数列的和；
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．