2023-2024学年新疆克州高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆克州高二（上）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.经过点P(2,1)和Q(3,4)的直线斜率为( )
A. −13B. 13C. 3D. −3
2.圆心是(3,0)，且过点(2,2)的圆的方程为( )
A. (x+3)2+y2= 5B. (x+3)2+y2=5
C. (x−3)2+y2=5D. (x−3)2+y2= 5
3.我国古代著名的思想家庄子在《庄子⋅天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．这样，每日剩下的部分都是前一日的一半．如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么剩下的部分所成的数列的通项公式为( )
A. an=12nB. an=n12C. an=(12)nD. an=2n
4.直线l1的方向向量v1=(1,0,−1)，直线l2的方向向量v2=(−2,0,2)，则直线l1与l2的位置关系是( )
A. 平行B. 相交C. 垂直D. 不能确定
5.若点(2,k)到直线5x−12y+6=0的距离是4，则k的值是( )
A. 1B. −3C. 1或53D. −3或173
6.抛物线y2=4x的焦点到准线的距离为( )
A. 4B. 2C. 1D. 12
7.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若AB=a,AD=b，AA1=c，则与DM相等的向量是( )
A. 12a+12b+cB. −12a−12b+c
C. 12a−12b+cD. −12a+12b+c
8.若双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线和圆x2+y2−4x+3=0相切，则该双曲线的离心率为( )
A. 2 33B. 43C. 2D. 2
二、多选题：本题共4小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l： 3x+y−2=0，则下列选项中正确的有( )
A. 直线l的斜率为− 3B. 直线l的倾斜角为5π6
C. 直线l不经过第四象限D. 直线l的一个方向向量为v=(− 3,3)
10.关于椭圆x24+y22=1，下列结论正确的是( )
A. 长轴长为4B. 短轴长为1C. 焦距为2 2D. 离心率为 22
11.已知空间向量a=(−2,−1,1)，b=(3,4,5)，则下列结论正确的是( )
A. (2a+b)/​/aB. 5|a|= 3|b|
C. a⊥(5a+4b)D. a在b上的投影数量为− 22
12.我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是( )
A. a，b，c依次成公比为2的等比数列B. a，b，c依次成公比为12的等比数列
C. a=1007D. c=507
三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.设数列{an}为等差数列，若a2+a5+a8=15，则a5=______．
14.若椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为2，则椭圆C的标准方程为______．
15.如图，M，N分别是正方体ABCD−A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，则MN和CD′所成角的大小为______．
16.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，在C上有一点P，|PF|=8，则PF的中点M到y轴的距离为 ．
四、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知Sn是等差数列{an}的前n项和．
(1)若a4+a8=20，a7=12，求数列{an}的通项公式；
(2)若a1=7，a50=101，求S50．
18.(本小题8分)
(1)求经过点A(8,−2)，倾斜角为60°的直线的一般式方程．
(2)△ABC的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)，求边BC上的中线所在的直线方程．
19.(本小题8分)
已知圆C：(x−a)2+(y−2)2=4(a∈R)及直线l：x−y+3=0．
(1)当a=1时，判断直线l与圆C的位置关系；
(2)当直线l被圆C截得的弦长为2 2时，求a的值．
20.(本小题8分)
已知等比数列{an}满足a1=1，a4=8，Sn为数列{an}的前n项和．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若Sn=63，求n的值．
21.(本小题10分)
已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，O为AB中点．
(Ⅰ)证明：PO⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求PC与平面POD所成角的正弦值．
22.(本小题10分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为2，右焦点为( 5,0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线y=x+2与双曲线C交于不同的两点A，B，求|AB|．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由P，Q的坐标可得直线PQ的斜率k=4−13−2=3．
故选：C．
由两点的坐标，直接求出直线的斜率．
本题考查直线的斜率的求法，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题可得圆的半径为r= (3−2)2+(0−2)2= 5，
又圆心为(3,0)，所以圆的方程为(x−3)2+y2=5．
故选：C．
由题意，利用两点间距离公式求半径，然后可得方程．
本题主要考查求圆的标准方程，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等比数列通项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列性质的合理运用．
由题意知剩下的部分所成的数列为以12为首项，以12为公比的等比数列，由此能求出结果．
【解答】解：由题意知剩下的部分所成的数列为12,14,18,…，
是以12为首项，以12为公比的等比数列，
∴an=(12)n．
故选C．
4.【答案】A
【解析】解：因为v1=(1,0,−1),v2=(−2,0,2)，
所以v2=−2v1，
所以l1//l2，
故选：A．
根据两直线方向向量平行两直线平行即可求解．
本题考查了两直线方向向量的位置关系的判断，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．
本题考查的知识点是点到直线的距离公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
【解答】
解：∵点(2,k)到直线5x−12y+6=0的距离是4，
∴|5×2−12k+6| 52+(−12)2=4，解得k=−3或173．
故选：D．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意可知2p=4，∴p=2，
∴焦点到准线的距离是2，
故选：B．
根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．
本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．
7.【答案】C
【解析】解：如图：
根据空间向量的线性运算可知DM=DD1+D1M=AA1+12D1B1=AA1+12(D1A1+A1B1)=AA1+12(−AD+AB)=12a−12b+c．
故选：C．
以a,b,c为基底，计算出DM的表达式，再一一对照选项．
本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切，求双曲线的离心率，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单性质等知识，属于基础题．
根据圆方程，得到圆心坐标C(2,0)，圆x2+y2−4x+3=0与渐近线相切，说明C到渐近线的距离等于半径1，再根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，算出c=2a，即可得出该双曲线的离心率．
【解答】
解：圆x2+y2−4x+3=0可化为(x−2)2+y2=1
∴圆心坐标C(2,0)
∵双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为ax±by=0，
圆x2+y2−4x+3=0与渐近线相切，
∴圆心C到渐近线的距离为|2a| a2+b2=1，且c2=a2+b2
则c=2a
因此该双曲线的离心率为e=ca=2
故选：D
9.【答案】AD
【解析】解：由直线l的方程整理可得：y=− 3x+2，
A中，可得直线的斜率为− 3，所以A正确；
B中，设直线的倾斜角为θ，θ∈[0,π)，所以tanθ=− 3，可得θ=2π3，所以B不正确；
C中，因为直线的斜率小于0，所以直线一定过第四象限，所以C不正确；
D中，由方向向量v的坐标，可得v所在的直线的斜率为−3 3=− 3，所以D正确．
故选：AD．
由直线的方程，可得直线的斜率及倾斜角的大小，还有过第四象限，判断出A，B，C的真假；求出v所在的直线的斜率，判断出D的真假．
本题考查直线的斜率，倾斜角的求法及由直线的方向向量求直线的斜率的方法，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：因为椭圆x24+y22=1，
所以a=2，b= 2，c= 2．
长轴长为4，
故A正确；
短轴长为2 2，
故B错误；
焦距为2 2，
故C正确；
离心率e=ca= 22，
故D正确．
故选：ACD．
结合椭圆的几何性质依次判断即可．
本题考查了椭圆的性质，属基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：由已知得：2a+b=(−1,2,7),a=(−2,−1,1)，因为−1−2≠2−1，故A不正确；
因为|a|= 6,|b|=5 2，所以5|a|= 3|b|，故B正确；
因为a⋅(5a+4b)=(−2,−1,1)⋅(2,11,25)=10≠0，故C错；
因为a在b上的投影向量为：|a|cs〈a,b〉=a⋅b|b|=−55 2=− 22，故D正确；
故选：BD．
根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，向量的投影即可解决．
本题考查坐标条件下空间向量的平行、垂直关系的应用以及投影向量的计算，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：根据题意得：
a=2b，b=2c，∴a，b，c依次成公比为12的等比数列，故A错误，B正确；
∵a+b+c=50，
∴4c+2c+c=7c=50,c=507,a=4c=2007.故C错误，D正确．
故选：BD．
根据已知条件判断a，b，c的关系，结合等比数列的知识求得a，c，从而确定正确选项．
本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】3
【解析】解：∵数列{an}为等差数列，且a2+a5+a8=15，
∴3a5=15，得a5=3．
故答案为：3．
由已知直接利用等差中项的概念得答案．
本题考查等差数列的性质，考查等差中项的概念，是基础题．
14.【答案】x24+y23=1
【解析】解：椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为2，
可得a=2，c=1，所以b= 3，
所以椭圆方程为：x24+y23=1．
故答案为：x24+y23=1．
利用已知条件求解a，b，推出椭圆方程．
本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基础题．
15.【答案】60°
【解析】解：连接A1B，BC1，A1C1，如图所示：
M，N分别为BB1和B1C1的中点，MN/​/BC1，
正方体中A1D1/​/BC且A1D1=BC，四边形A1BCD1为平行四边形，
∴CD1//A1B，
所以∠A1BC1或其补角就是MN和CD1所成角，而△A1BC1是等边三角形，∠A1BC1=60°．
故答案为：60°．
异面直线所成的角，通过平移使其相交，使角在一个三角形中，由三角形的边角关系求解．
本题考查异面直线所成角，属于基础题．
16.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查抛物线的定义、性质，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力，属于基础题．
画出图形，结合抛物线的定义，转化求解即可．
【解答】
解：设抛物线C的准线为l，过点P作PH⊥l于点H，准线与x轴的交点为A，
由抛物线的定义可知|PF|=|PH|=8，|FA|=2，
故PF的中点M到C的准线l的距离为|MB|=12(|FA|+|PH|)=5，
抛物线准线为x=−1，
故PF的中点M到y轴的距离为4．
故答案为：4．
17.【答案】解：(1)根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
若a4+a8=20，则有若a4+a8=2a6=20，解可得a6=10，
又由a7=12，则d=2，
故an=a7+(n−7)d=2n−2；
(2)若a1=7，a50=101，
则S50=(a1+a50)×502=2700．
【解析】(1)根据题意，设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的性质求出a6的值，进而求出d，分析可得答案；
(2)根据题意，由等差数列前n项和公式计算可得答案．
本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质和通项公式，属于基础题．
18.【答案】解：求经过点A(8,−2)，倾斜角为60°的直线的斜率为tan60°= 3，
故它的方程为y+2= 3(x−8)，即 3x−y−2−8 3=0．
(2)△ABC的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)，故线段BC的中点为D(3,5)，
故边BC上的中线AD所在的直线方称为y−50−5=x−34−3，即5x+y−20=0．
【解析】(1)由题意，利用斜率公式求出直线的斜率，再用点斜式求出它的方程，再化为一般式．
(2)先求出中点坐标，再利用两点式求直线的方程．
本题主要考查中点公式、斜率公式，用点斜式、两点式求直线的方程，属于基础题．
19.【答案】解：(1)当a=1时，圆C：(x−1)2+(y−2)2=4，
圆心C(1,2)，半径r=2，
∵圆心C(1,2)到直线l：x−y+3=0的距离d=|1−2+3| 12+(−1)2= 2<2=r，
∴直线l与圆C的位置关系为相交．
(2)∵直线l被圆C截得的弦长为2 2，
∴圆心(a,2)到直线l的距离d1=|a−2+3| 12+(−1)2= 22−(2 22)2= 2，解得a=1或a=−3，
故a的值为1或−3．
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握点到直线的距离公式是解本题的关键，属于基础题．
(1)根据已知条件，先求出直线到圆C的距离，再将其与半径比较，即可求解．
(2)根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解．
20.【答案】解：(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q，
因为a1=1，a4=8，
所以q3=a4a1=8，
所以q=2，
所以an=1×2n−1=2n−1；
(Ⅱ)由(I)知Sn=a1(1−qn)1−q=2n−1，
由Sn=63，得2n−1=63，
解得n=6．
【解析】(Ⅰ)由已知结合等比数列的通项公式先求出公比q，进而可求；
(Ⅱ)由已知结合等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，属于基础题．
21.【答案】(1)证明：∵△PAB是正三角形，O为AB的中点，
∴PO⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴PO⊥AB，
∴PO⊥平面ABCD．
(2)解：方法一：取CD的中点E，连接OE在正方形ABCD中，O为AB中点，∴OE⊥AB，
由(Ⅰ)知，PO⊥平面ABCD，
所以以O为原点，以OA，OE，OP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系O−xyz．
∵AB=2，
∴P(0,0, 3)，C(1,2,0)，O(0,0,0)，D(−1,2,0)，
∴PC=(1,2,− 3)，OP=(0,0, 3)，OD=(−1,2,0)，
设平面POD法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅OP= 3z=0n⋅OD=−x+2y=0，取y=1，得n=(2,1,0)．
cs〈PC,n〉=PC⋅n|PC||n|=42 2× 5= 105，
设PC与平面POD所成角θ，则sinθ= 105．
所以PC与平面POD所成角的正弦值为 105．
方法二：连接OC，在等边三角形PAB中AB=2，
所以PO= 3．
在直角三角形OBC中OB=1，BC=2，
所以OC= 5．
由(1)知PO⊥平面ABCD，所以△POC与△POD都是直角三角形，
所以PC= PO2+OC2= 3+5=2 2．S△POD=12×PO×OD=12× 3× 5= 152．
设C到平面POD的距离为h，
由VC−POD=VP−OCD得13×S△POD×h=13×S△OCD×PO，
即13× 152×h=13×2× 3，解得h=4 55．
设PC与平面POD所成的角为θ，
则sinθ=hPC=4 552 2= 105，
所以PC与平面POD所成角的正弦值为 105．
【解析】(1)证明PO⊥AB，利用平面与平面垂直的判断定理，推出结果即可．
(2)方法一：取CD的中点E，连接OE在正方形ABCD中，O为AB中点，以O为原点，以OA，OE，OP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系O−xyz.求出平面POD法向量，利用空间向量的数量积求解PC与平面POD所成角的正弦值即可．
方法二：连接OC，设C到平面POD的距离为h，利用VC−POD=VP−OCD，解得h.然后通过求解三角形推出
PC与平面POD所成角的正弦值即可．
本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
22.【答案】解：(1)由已知2a=2，a=1，
又c= 5，则b= c2−a2=2，
所以双曲线方程为x2−y24=1；
(2)由y=x+2x2−y24=1，得3x2−4x−8=0，
则Δ=(−4)2−4×3×(−8)=112>0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=43，x1x2=−83，
所以|AB|= 1+12|x1−x2|= 2× 1123=4 143．
【解析】(1)根据实轴长可求a，根据焦点坐标可求c，然后可得方程；
(2)联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案．
本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于中档题．