新疆阿勒泰地区2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题

这是一份新疆阿勒泰地区2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、单选题（每题5分．）
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合，根据交集的定义求解即可.
【详解】因为，
所以，又，
所以.
故选：B.
2. 函数的零点一定位于区间（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点的存在性定理即可得出答案.
【详解】解：，
又因为函数在区间上都是增函数，
所以在区间上为增函数，所以其零点一定位于区间.
故选：C.
3. “”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，根据包含关系结合充分、必要条件分析求解.
【详解】由，解得；
由，解得；
因为是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 如果，则正确的是（ ）
A. 若a>b，则B. 若a>b，则
C. 若a>b，c>d，则a+c>b+dD. 若a>b，c>d，则ac>bd
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.
【详解】对于A:取则，故A错，
对于B:若，则，故B错误，
对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确，
对于D:若，则，，故D错误.
故选：C
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据的单调性判断与1的大小关系，再根据b与1的大小关系即可得解.
【详解】因为在上单调递增，所以，即.
因为，所以．
故选：B．
6. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据三角函数定义求出，，再根据两角和的余弦公式计算可得；
【详解】解：因为角的终边过点，所以，，所以；
故选：B
7. 函数的部分图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，可排除A,C;判断函数在上的单调性，可排除D，由此可得答案.
【详解】∵，∴，∴，且．
令，
则，∴，
∴为偶函数，
其图象关于y轴对称故排除A,C;
令，函数在区间上单调递增，
∴函数在区间上单调递增，排除D,
故选：B．
8. 如图所示的时钟显示的时刻为3：30，此时时针与分针的夹角为.若一个扇形的圆心角为a，弧长为10，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，再由弧长公式求出扇形半径，代入扇形面积公式计算即可.
【详解】由图可知，，
则该扇形的半径，
故面积.
故选：D
二、多选题（每题5分．）
9. （多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（ ）
A. 甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B. 甲从家到公园的时间是30 min
C. 甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D. 当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
【答案】BD
【解析】
【分析】根据图表逐项判断即可
【详解】在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；
由题中图象知，B正确；
甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；
当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得，D正确.
故选：BD
10. 下列命题中错误的是（ ）
A. 命题“”的否定是“”
B. 若幂函数的图象经过点，则解析式为
C. 若两个角的终边相同，则这两个角相等
D. 满足的的取值集合为
【答案】AC
【解析】
【分析】写出命题的否定，即可判断A项；待定系数法设出幂函数的解析式，代入坐标，求解，即可判断B项；取特殊值，即可说明C项；根据的图象，即可得出不等式在上的解集，然后根据周期性，即可得出结果.
【详解】对于A项，根据全称量词命题的否定可知，命题“”的否定是“”，故A项错误；
对于B项，设幂函数解析式为.
由已知可得，，所以，所以，故B项正确；
对于C项，因为，所以和终边相同，显然，故C项错误；
对于D项，作出的图象.
由图可知，在上，满足的的取值集合为，根据正弦函数的周期性可知，满足的的取值集合为，故D项正确.
故选：AC.
11. 已知函数的图象经过点，则（ ）
A. 的图象经过点
B. 为奇函数
C. 在定义域上单调递减
D. 在内的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】将代入求出函数解析式，根据幂函数性质判断选项即可.
【详解】函数的图象经过点，得，得，
所以，
对于A. 代入，即成立，故A正确；
对于B. 的定义域为，满足，是奇函数，
故B正确
对于C.在定义域内不单调，在上单调递减.故C错.
对于D.当时，，即在内的值域为.故D正确.
故选：ABD
12. 已知函数的部分图象如图所示．则（ ）
A. 的图象关于中心对称
B. 在区间上单调递增
C. 函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象
D. 将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意首先求出函数的表达式，对于A，直接代入检验即可；对于B，由复合函数单调性、正弦函数单调性判断即可；对于CD，直接由三角函数的平移、伸缩变换法则进行运算即可.
【详解】由图象可知，，解得，
又，所以，即，结合，可知，
所以函数的表达式为，
对于A，由于，即的图象关于中心对称，故A正确；
对于B，当时，，由复合函数单调性可知在区间上单调递增，故B正确；
对于C，函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数，故C错误；
对于D，将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题（每题5分）
13. 化简_____
【答案】
【解析】
【分析】利用指数与对数运算法则、对数的换底公式求解可得答案．
【详解】
．
故答案为：．
14. 函数的定义域为_________________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正切函数的性质即可得解.
【详解】因为，
所以，则，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
15. 已知，则____________．
【答案】##
【解析】
【分析】首先求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】因为，所以，
所以
.
故答案为：
16. 已知函数存在两个不同的零点，则实数的取值范围为________.
【答案】##
【解析】
【分析】将问题转化为，的交点，应用数形结合求的取值范围.
【详解】令，得，
在同一直角坐标系中分别作出，的大致图象如图所示，
观察可知，.
故答案为：
四、解答题（17题10分，18-22题每题12分．）
17. 已知
（1）化简；
（2）若角是三角形ABC的内角，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由诱导公式即可化简；
（2）由同角三角函数的平方和商的关系即可求解．
【小问1详解】
．．
即．
【小问2详解】
由，得，所以，．
所以角是钝角，．
，，
所以．．
18. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）时，直接求即可；
（2）由得，分与两类讨论求解即可.
【小问1详解】
由题意可得.
当时，
则
【小问2详解】
因为，所以，
则当时，，解得；
当时，若，需，
解得.
综上，a的取值范围是.
19. 已知，.
（1）求；
（2）若角的终边上有一点，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件求得，将所求式展开计算
（2）由条件求得与，再由二倍角与两角和的正切公式计算
【小问1详解】
，，则
故
【小问2详解】
角终边上一点，
则
由（1）可得，
20. 设，函数（）．
（1）若函数是奇函数，求a的值；
（2）请判断函数的单调性，并用定义证明．
【答案】（1）
（2）函数在上为增函数，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质，，即可求解；
（2）首先根据解析式的形式，判断函数的单调性，再利用函数单调性的定义，即可证明.
【小问1详解】
若函数为奇函数，则，
，则，
解得，由，得；
【小问2详解】
函数为单调递增函数，证明如下：
设，
因为，所以，即，且，，
所以，即，
所以函数在上为增函数.
21. 投资理财是指投资者通过合理安排资金，运用合法的投资理财工具对资产进行管理和分配，达到保值增值的目的，从而加速资产的增长.小薛有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报20元.
方案二：第一天回报5元，以后每天比前一天多回报5元.
方案三：第一天回报0.8元，以后每天的回报比前一天翻一番.
设第天所得回报元.
（1）若小薛采用方案三进行投资，试写出关于的函数关系式.
（2）若小薛计划用该笔资金投资8天，试问哪种方案所得的总回报最多？最多为多少元？
【答案】（1），
（2）第三种方案所得的总回报最多，最多为204元.
【解析】
【分析】（1）由题意，若小薛采用方案三进行投资，则第天所得回报成指数型函数增长，由此可直接写出关于的函数关系式；
（2）分别计算按照三种投资方案投资的回报，比较即可得出结果.
【小问1详解】
由题意，若小薛采用方案三进行投资，则，.
【小问2详解】
若小薛采用方案一进行投资8天，则所得的总回报元；
若小薛采用方案二进行投资8天，则所得的总回报元；
若小薛采用方案三进行投资8天，则所得的总回报元.
因为，所以第三种方案所得的总回报最多，最多为204元.
22. 已知函数.
（1）求的最小正周期和的单调递减区间；
（2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.
【答案】（1）π；；（2）当时，函数取得最小值，最小值为．
【解析】
【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标；解不等式，可得出函数的单调递减区间；
（2）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的的值.
【详解】（1），
所以，函数的最小正周期为.
由，可得，
函数的对称中心为；
解不等式，解得
因此，函数的单调递减区间为；
（2）当时，，
当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．
【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.