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数学九年级上册1 菱形的性质与判定课前预习ppt课件
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这是一份数学九年级上册1 菱形的性质与判定课前预习ppt课件，共27页。PPT课件主要包含了课前预习，课堂导学，菱形的性质，典例讲练等内容，欢迎下载使用。
数学 九年级上册 BS版
1. 菱形的定义.有一组邻边 的平行四边形叫做菱形.
2. 菱形的性质定理.（1）菱形的四条边 ；（2）菱形的对角线 ；（3）菱形的两条对角线互相 ，并且每一条对角 线 一组对角；（4）菱形是 ，它的 是它 的对称轴；菱形也是 ，对称中心是 .注：菱形具有一般平行四边形的所有性质.
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
思考 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变，仅改变边的长度，让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢?
平行四边形不一定是菱形.
活动1 如何利用折纸、剪裁的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
点击视频 开始播放
问题2 根据上面的折叠过程，猜想菱形的四边在数量 上有什么关系？菱形的两条对角线有什么关系？
活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形 (如图)，并回答以下问题：
问题1 菱形是轴对称图形吗? 如果是指出它的对称轴. 是，两条对角线所在的直线都是它的对称轴
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角 线平分一组对角.
求证：(1) AB = BC = CD = AD； (2) AC⊥BD，∠DAC =∠BAC，∠DCA =∠BCA，∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD.
证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = CD，AD = BC (平行四边形的对边相等). 又∵ AB = AD， ∴ AB = BC = CD = AD.
已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
(2) ∵ AB = AD， ∴△ABD 是等腰三角形. 又∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OB = OD（平行四边形的对角线互相平分）. 在等腰三角形 ABD 中，OB = OD， ∴ AO⊥BD，AO 平分∠BAD， 即 AC⊥BD，∠DAC =∠BAC. 同理可证∠DCA =∠BCA， ∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD.
菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
角：对角相等.边：对边平行且相等.对角线：相互平分.
（1）如图，在菱形 ABC D中，对角线 AC ， B D相交于点O. 下列说法：① A D∥ BC ；②O A ＝O C ；③ AC ⊥ B D；④ AC ＝ B D. 其中正确的是 （填序号）.
【解析】∵四边形 ABCD 为菱形，∴ AD ∥ BC ， OA ＝ OC ， AC ⊥ BD .
∴①②③的说法正确，④的说法错误.
【点拨】（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的一切特征.具体特征如下：①边：对边平行且四条边相等； ②角：对角相等，邻角互补；③对角线：互相垂直，互相平分，每一条对角线都平分一组对角；④对称性：菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心是对角线的交点， 它的对称轴是对角线所在的直线.（2）菱形的周长等于边长的4倍.（3）如果菱形的一个内角为60°，那么这个菱形的两边与较短的对角线可构成等边三角形.
（2）菱形的两条对角线把菱形分成 个全等的 三角形.
【点拨】菱形是特殊的平行四边形，它的“特殊”主要体现在它的“轴对称性”.
1. 下列性质中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ C ）
2. 如图，在菱形 ABC D中，已知∠D＝130°，则∠1的度数为 .
如图，已知四边形 ABC D是菱形，周长为20 cm ，点O是两条对角线的交点， A O＝3 cm ，求菱形两条对角线的长.
【点拨】菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理计算.
如图，在菱形 ABC D中，已知点E是 AB 的中点，且DE⊥ AB 于点E， AB ＝4 cm ，求对角线 AC 的长.
解：如答图，连接 BD ，与 AC 交于点 O .
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AD ＝ AB ， BD ⊥ AC ， AO ＝ CO ， DO ＝ BO .
∵点 E 是 AB 的中点，
∴ AE ＝ BE .
又∵ DE ⊥ AB ，
∴ AD ＝ BD .
∴ AD ＝ BD ＝ AB ＝4 cm .
在Rt△ AOB 中，由勾股定理，得
如图，已知菱形 ABC D的边长为6，∠ B ＝60°，点E，F分别是边 BC ， C D上的动点（不与端点重合），且∠E A F＝60°.
（1）求证：△ A EF是等边三角形.
【思路导航】（1）连接 AC ，证明△ BA E≌△ CA F（ ASA ），推出 A E＝ A F，即可得出结论
（1）证明：如图，连接 AC .
∴∠ D ＝∠ B ＝60°， AB ＝ BC ＝ CD ＝ AD .
∴△ ABC ，△ ACD 都是等边三角形.
∴ AB ＝ AC ，∠ B ＝∠ BAC ＝∠ ACD ＝∠ EAF ＝60°.
∴∠ BAE ＝∠ CAF .
∴△ BAE ≌△ CAF （ A S A ）.
∴ AE ＝ AF .
又∵∠ EAF ＝60°，
∴△ AEF 是等边三角形.
（2）在点E，F的运动过程中，四边形 A E C F的面积是否变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出四边形 A E C F的面积.
（2）解：四边形 AECF 的面积不发生变化.理由如下：由（1）知，△ BAE ≌△ CAF ，
如图，过点 A 作 AH ⊥ BC 于点 H .
∵菱形 ABCD 的边长为6，∠ B ＝60°，
【点拨】（1）菱形的对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形.当菱形中出现60°或120°的角时，常常需要连接较短的对角线构造等边三角形，进而利用全等三角形的性质解决问题.（2）对于动态非特殊四边形 AECF 的面积，常常连接对角线，利用等面积法转化为固定图形的面积求解.
已知四边形 ABC D是菱形， AB ＝4，∠ ABC ＝60°，∠ MAN 的两 边分别与射线 CB ，D C 相交于点E，F，且∠ MAN ＝60°.（1）如图1，当点E是线段 CB 的中点时，则 A E与EF之间的数 量关系为 .
（3）如图3，将图2中的∠ MAN 绕点 A 继续顺时针旋转，当α＝45°时，求点F到 BC 的距离.
数学 九年级上册 BS版
1. 菱形的定义.有一组邻边 的平行四边形叫做菱形.
2. 菱形的性质定理.（1）菱形的四条边 ；（2）菱形的对角线 ；（3）菱形的两条对角线互相 ，并且每一条对角 线 一组对角；（4）菱形是 ，它的 是它 的对称轴；菱形也是 ，对称中心是 .注：菱形具有一般平行四边形的所有性质.
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
思考 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变，仅改变边的长度，让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢?
平行四边形不一定是菱形.
活动1 如何利用折纸、剪裁的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
点击视频 开始播放
问题2 根据上面的折叠过程，猜想菱形的四边在数量 上有什么关系？菱形的两条对角线有什么关系？
活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形 (如图)，并回答以下问题：
问题1 菱形是轴对称图形吗? 如果是指出它的对称轴. 是，两条对角线所在的直线都是它的对称轴
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角 线平分一组对角.
求证：(1) AB = BC = CD = AD； (2) AC⊥BD，∠DAC =∠BAC，∠DCA =∠BCA，∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD.
证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = CD，AD = BC (平行四边形的对边相等). 又∵ AB = AD， ∴ AB = BC = CD = AD.
已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
(2) ∵ AB = AD， ∴△ABD 是等腰三角形. 又∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OB = OD（平行四边形的对角线互相平分）. 在等腰三角形 ABD 中，OB = OD， ∴ AO⊥BD，AO 平分∠BAD， 即 AC⊥BD，∠DAC =∠BAC. 同理可证∠DCA =∠BCA， ∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD.
菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
角：对角相等.边：对边平行且相等.对角线：相互平分.
（1）如图，在菱形 ABC D中，对角线 AC ， B D相交于点O. 下列说法：① A D∥ BC ；②O A ＝O C ；③ AC ⊥ B D；④ AC ＝ B D. 其中正确的是 （填序号）.
【解析】∵四边形 ABCD 为菱形，∴ AD ∥ BC ， OA ＝ OC ， AC ⊥ BD .
∴①②③的说法正确，④的说法错误.
【点拨】（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的一切特征.具体特征如下：①边：对边平行且四条边相等； ②角：对角相等，邻角互补；③对角线：互相垂直，互相平分，每一条对角线都平分一组对角；④对称性：菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心是对角线的交点， 它的对称轴是对角线所在的直线.（2）菱形的周长等于边长的4倍.（3）如果菱形的一个内角为60°，那么这个菱形的两边与较短的对角线可构成等边三角形.
（2）菱形的两条对角线把菱形分成 个全等的 三角形.
【点拨】菱形是特殊的平行四边形，它的“特殊”主要体现在它的“轴对称性”.
1. 下列性质中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ C ）
2. 如图，在菱形 ABC D中，已知∠D＝130°，则∠1的度数为 .
如图，已知四边形 ABC D是菱形，周长为20 cm ，点O是两条对角线的交点， A O＝3 cm ，求菱形两条对角线的长.
【点拨】菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理计算.
如图，在菱形 ABC D中，已知点E是 AB 的中点，且DE⊥ AB 于点E， AB ＝4 cm ，求对角线 AC 的长.
解：如答图，连接 BD ，与 AC 交于点 O .
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AD ＝ AB ， BD ⊥ AC ， AO ＝ CO ， DO ＝ BO .
∵点 E 是 AB 的中点，
∴ AE ＝ BE .
又∵ DE ⊥ AB ，
∴ AD ＝ BD .
∴ AD ＝ BD ＝ AB ＝4 cm .
在Rt△ AOB 中，由勾股定理，得
如图，已知菱形 ABC D的边长为6，∠ B ＝60°，点E，F分别是边 BC ， C D上的动点（不与端点重合），且∠E A F＝60°.
（1）求证：△ A EF是等边三角形.
【思路导航】（1）连接 AC ，证明△ BA E≌△ CA F（ ASA ），推出 A E＝ A F，即可得出结论
（1）证明：如图，连接 AC .
∴∠ D ＝∠ B ＝60°， AB ＝ BC ＝ CD ＝ AD .
∴△ ABC ，△ ACD 都是等边三角形.
∴ AB ＝ AC ，∠ B ＝∠ BAC ＝∠ ACD ＝∠ EAF ＝60°.
∴∠ BAE ＝∠ CAF .
∴△ BAE ≌△ CAF （ A S A ）.
∴ AE ＝ AF .
又∵∠ EAF ＝60°，
∴△ AEF 是等边三角形.
（2）在点E，F的运动过程中，四边形 A E C F的面积是否变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出四边形 A E C F的面积.
（2）解：四边形 AECF 的面积不发生变化.理由如下：由（1）知，△ BAE ≌△ CAF ，
如图，过点 A 作 AH ⊥ BC 于点 H .
∵菱形 ABCD 的边长为6，∠ B ＝60°，
【点拨】（1）菱形的对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形.当菱形中出现60°或120°的角时，常常需要连接较短的对角线构造等边三角形，进而利用全等三角形的性质解决问题.（2）对于动态非特殊四边形 AECF 的面积，常常连接对角线，利用等面积法转化为固定图形的面积求解.
已知四边形 ABC D是菱形， AB ＝4，∠ ABC ＝60°，∠ MAN 的两 边分别与射线 CB ，D C 相交于点E，F，且∠ MAN ＝60°.（1）如图1，当点E是线段 CB 的中点时，则 A E与EF之间的数 量关系为 .
（3）如图3，将图2中的∠ MAN 绕点 A 继续顺时针旋转，当α＝45°时，求点F到 BC 的距离.
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