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山东省青岛市李沧区、西海岸新区、胶州市、城阳区2023-—2024学年下学期八年级期末数学试卷
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这是一份山东省青岛市李沧区、西海岸新区、胶州市、城阳区2023-—2024学年下学期八年级期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题请用直尺，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1B．3x＞3yC．D．﹣2x＜﹣2y
2．（3分）下面四个图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．﹣a2b+ab2＝﹣ab（a﹣b）
B．x2﹣6x+9＝（x+3）2
C．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y）
D．a2（a﹣b）2﹣b2（b﹣a）2＝（a﹣b）2（a2+b2）
4．（3分）一次函数y＝kx+3的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．当x≥2时，kx+3≤0B．当x＜2时，kx+3＞0
C．当x＜0时，kx+3＜3D．当x≥0时，kx+3≤3
5．（3分）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
A．m＝﹣8B．n＝﹣4C．a＝6D．b＝0.2
6．（3分）C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为x km/h，则根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，将含有60°锐角的三角板△ABC绕60°的锐角顶点C逆时针旋转一个角度到△ECD，若AB、CE相交于点F，AE＝AF，则旋转角是（ ）
A．45°B．40°C．35°D．30°
8．（3分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今，如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），斜边为c，则下列结论：①a+b＞c；②a2+b2＞2ab；③（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；④，其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：2x3﹣8x＝ ．
10．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是 ．
11．（3分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 ．
12．（3分）如图，两个正方形的边长分别为m，n，若m+n＝11，m﹣n＝1，则图中阴影部分的面积为 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AB上一点，连接DE．若∠DEB＝30°，CD＝5，则DE的长为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，AD是BC边上的高，点F在边AB上，E为CF的中点，连接DE．若DE＝6，则AF的长为 ．
15．（3分）图①所示的彭罗斯地砖，是由获得诺贝尔奖的英国数学家罗杰•彭罗斯提出的一种铺满平面的方案．这种地砖蕴含着准晶体原子排列的秘密，打破了人们对品体认知的局限．它是由图②和图③所示的两种不同平行四边形镶嵌而成，则图③中∠EFG的度数是 °．
16．（3分）如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形，…，按此方式依次操作，则第2024个等边三角形的边长为 ．
三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17．（4分）已知：∠O及其一边上的两点A，B．
求作：Rt△ABC，使∠B＝90°，点C在∠O内部且到角两边的距离相等．
四、解答题（本大题共9小题，共68分）
18．（8分）（1）解不等式组：；
（2）分解因式：9a（x﹣y）+4b（y﹣x）．
19．（6分）化简式子÷（x﹣），从0、1、2中取一个合适的数作为x的值代入求值．
20．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2），M（m，n）为△ABC内任意一点．
（1）将△ABC平移得到△A1B1C1，点C的对应点是C1（2，﹣2），请在图中画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标（ ， ）；
（2）若△PQR是△ABC经过旋转得到的图形，点A，B，C的对应点分别是P，Q，R，观察变换前后各对应点之间的关系，则点M的对应点N的坐标为（ ， ）（用含m，n的式子表示）．
21．（6分）围棋与象棋作为两种深受人们喜爱的古老棋艺，它们不仅体现了中华民族智慧的精髓，同时也反映了中国文化的深厚底蕴．国家“双减”政策实施后，某校积极开设棋类社团，并计划为参加棋类社团的同学购买30副围棋和m（m≥20）副象棋，已知每副围棋的价格是60元，每副象棋的价格是25元．在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：
方案一：购买围棋超过10副时，每超过1副则赠送象棋1副；
方案二：按购买总金额的八折付款．
该学校选择哪一种方案支付的总费用较少？
22．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，AE＝AB．
（1）若∠C＝40°，求∠BAE的度数；
（2）若CD＝5，CF＝4，求△ABC的周长．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学兴趣小组要在AC上找两个点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
请回答下列问题：
（1）选择其中一种方案，并证明四边形BEDF为平行四边形；
（2）在（1）的基础上，若EF＝3AE，S△AED＝5，则▱ABCD的面积为 ．
24．（8分）类比推理是一种特殊的归纳推理，人们在探讨一些尚未观察到的事物性质时，以某些事物、道理之间存在相似性质为依据，推断出该事物可能与其他事物有着相似的性质，它是人类试图理解世界和做出决策的最常用方法之一．在日常数学学习中，我们常常借助类比推理研究新的知识，如：分式的基本性质与运算法则都是通过与分数类比得到的．
小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法：
即（x2+3x+2）+（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
【初步探究】
小明看到这样一道被墨水污染了无法辨认的因式分解题：x2+□x﹣3＝（x﹣3）（x+☆），（其中□、☆分别代表被污染的系数和常数），他列出了下列竖式：
通过计算，求得：□所代表的系数是 ，☆所代表的常数是 ；
【深入探究】
小明用上述方法对多项式x3﹣x2+2x+4进行因式分解，得到：x3﹣x2+2x+4＝（x+1）（※）（※代表一个多项式），则※所代表的多项式为 ；
【拓展应用】
我们知道，若a•b＝0则a＝0或b＝0，例如：（x﹣1）（x﹣2）＝0，则x﹣1＝0或x﹣2＝0，由此我们可以求出关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的一个解为x＝1，另一个解为x＝2．结合上述信息解答下列问题：
（1）若关于x的方程x2+x﹣6＝0的一个解为x＝2，则另一个解为 ；
（2）若关于x的方程2x3+5x2﹣x﹣6＝0有两个解为x＝1，x＝﹣2，则第三个解为 ．
25．（10分）某商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调的每台进价比乙种贵300元，用36000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同，请解答下列问题：
（1）甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元；
（2）若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价2000元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调的数量m（台）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过34500元购进两种空调，则甲、乙两种空调各购进多少台时，该商场获得的利润最大？最大利润是多少元？
26．（10分）如图，在▱ABCD中，CD＝8cm，BC＝16cm，∠A＝60°，BD⊥AB，过点D作DE⊥BC，垂足为E，动点P从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以4cm/s的速度沿射线BC运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为t s（0＜t＜8）．
（1）当PQ∥CD时，求t的值；
（2）连接BP，设四边形BPDE的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）当点P关于直线DQ的对称点恰好在直线CD上时，请直接写出t的值．
2023-2024学年山东省青岛市李沧区、西海岸新区、胶州市、城阳区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1B．3x＞3yC．D．﹣2x＜﹣2y
【解答】解：A、∵x＜y，
∴x﹣1＜y﹣1，
故A不符合题意；
B、∵x＜y，
∴3x＜3y，
故B不符合题意；
C、∵x＜y，
∴＜，
故C符合题意；
D、∵x＜y，
∴﹣2x＞﹣2y，
故D不符合题意；
故选：C．
2．（3分）下面四个图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符符合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．﹣a2b+ab2＝﹣ab（a﹣b）
B．x2﹣6x+9＝（x+3）2
C．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y）
D．a2（a﹣b）2﹣b2（b﹣a）2＝（a﹣b）2（a2+b2）
【解答】解：A、原式＝ab（﹣a+b）
＝﹣ab（a﹣b），符合题意；
B、原式＝（x﹣3）2，不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式＝a2（a﹣b）2﹣b2（a﹣b）2
＝（a﹣b）2（a2﹣b2）
＝（a﹣b）3（a+b），不符合题意．
故选：A．
4．（3分）一次函数y＝kx+3的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．当x≥2时，kx+3≤0B．当x＜2时，kx+3＞0
C．当x＜0时，kx+3＜3D．当x≥0时，kx+3≤3
【解答】解：A、观察图象知：当x≥2时，kx+3≤0，故不符合题意；
B、观察图象知：当x＜2时，kx+3＞0，故不符合题意；
C、观察图象知：当x＜0时，kx+3＞3，故C符合题意；
D、观察图象知：当x≥0时，kx+3≤3，不符合题意．
故选：C．
5．（3分）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
A．m＝﹣8B．n＝﹣4C．a＝6D．b＝0.2
【解答】解：由表格可得当x＝﹣4时，分式无意义，
则2×（﹣4）﹣m＝0，
解得：m＝﹣8，
则A不符合题意；
当x＝4时，分式的值为0，
则4+n＝0，
解得：n＝﹣4，
则B不符合题意；
当x＝a时，分式的值为0.1，
则＝0.1，
解得：a＝6，
经检验，a＝6是分式方程的解，
则C不符合题意；
当x＝16时，分式的值为b，
则b＝＝0.5，
则D符合题意；
故选：D．
6．（3分）C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为x km/h，则根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意，得．
故选：D．
7．（3分）如图，将含有60°锐角的三角板△ABC绕60°的锐角顶点C逆时针旋转一个角度到△ECD，若AB、CE相交于点F，AE＝AF，则旋转角是（ ）
A．45°B．40°C．35°D．30°
【解答】解：设旋转角＝α，
∴直角三角板ABC绕直角顶点C逆时针旋转角度α，得到△DCE，
∴∠ACF＝α，CA＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵∠AFE＝α+∠CAF＝α+30°，
∴α+30°＝90，
∴α＝40°，
故选：B．
8．（3分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今，如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），斜边为c，则下列结论：①a+b＞c；②a2+b2＞2ab；③（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；④，其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【解答】解：①由三角形的两边之和大于第三边可知a+b＞c，故①正确；
②∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＞0，a＞b，
即a2+b2＞2ab，故②正确；
③∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2+4ab＝a2+2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
④∵a2+b2＝c2，
∴[（a+b）]2﹣（2c）2
＝2（a+b）2﹣4（a2+b2）
＝2a2+4ab+2b2﹣4a2﹣4b2
＝﹣2a2﹣2b2+4ab
＝﹣2（a﹣b）2≤0，
又a＞b，且a、b、c都大于0，
∴（a+b）与2c都大于0，
∴﹣2（a﹣b）2＜0，
即，故④正确；
故选：D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：2x3﹣8x＝ 2x（x﹣2）（x+2） ．
【解答】解：2x3﹣8x，
＝2x（x2﹣4），
＝2x（x+2）（x﹣2）．
10．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是 10 ．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
（n﹣2）•180°＝4×360°，
解得n＝10，
故答案为：10．
11．（3分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 m≤1 ．
【解答】解：，
由①得：x＞2，
由②得：x＞m+1，
∵不等式组的解集是 x＞2，
∴2≥m+1，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
12．（3分）如图，两个正方形的边长分别为m，n，若m+n＝11，m﹣n＝1，则图中阴影部分的面积为 5.5 ．
【解答】解：∵m+n＝11，m﹣n＝1，
∴
＝
＝
＝5.5，
故答案为：5.5．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AB上一点，连接DE．若∠DEB＝30°，CD＝5，则DE的长为 6 ．
【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴，
∵∠ADE＝15°，
∴∠BAD＝∠ADE＝15°，
∴∠DEH＝∠DAE+∠ADE＝30°，
如图：过D作DH⊥AB于H，
即∠DHE＝90°，
∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴DH＝CD＝3，
∴∠DHE＝90°，∠DEH＝30°，
∴DE＝2DH＝6．
故答案为：6．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，AD是BC边上的高，点F在边AB上，E为CF的中点，连接DE．若DE＝6，则AF的长为 4 ．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴CD＝DB，
∵E为CF的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴BF＝2DE＝12，
∴AF＝AB﹣BF＝16﹣12＝4，
故答案为：4．
15．（3分）图①所示的彭罗斯地砖，是由获得诺贝尔奖的英国数学家罗杰•彭罗斯提出的一种铺满平面的方案．这种地砖蕴含着准晶体原子排列的秘密，打破了人们对品体认知的局限．它是由图②和图③所示的两种不同平行四边形镶嵌而成，则图③中∠EFG的度数是 36 °．
【解答】解：由图①可知，图②中的平行四边形ABCD的锐角∠B＝×360°＝72°，
∵CD∥AB，
∴∠C＝180°﹣∠B＝108°，
根据题意得2∠EFG+2∠C+∠B＝360°，
∴∠EFG＝×（360°﹣2×108°﹣72°）＝36°，
故答案为：36．
16．（3分）如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形，…，按此方式依次操作，则第2024个等边三角形的边长为 ． ．
【解答】解：如图，延长AB与第1个等边三角形的边相交于点D，
∵B为中点，BD∥OP，
∴BD＝＝OP，
∴，
易证△BDG为等边三角形，
∴PD＝DG＝BD＝，
∵四边形BCED为平行四边形，
∴，
∴第2个等边三角形的边长是第1个等边三角形的边长的 ，
易知下一个等边三角形的边长是前一个的等边三角形的边长的 ，
∴第n个等边三角形的边长为，
所以，第2024个等边三角形的边长为：．
故答案为：．
三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17．（4分）已知：∠O及其一边上的两点A，B．
求作：Rt△ABC，使∠B＝90°，点C在∠O内部且到角两边的距离相等．
【解答】解：如图，△ABC即为所求．
四、解答题（本大题共9小题，共68分）
18．（8分）（1）解不等式组：；
（2）分解因式：9a（x﹣y）+4b（y﹣x）．
【解答】解：（1）解第一个不等式得：x＞3，
解第二个不等式得：x≤，
故原不等式组的解集为3＜x≤；
（2）原式＝9a（x﹣y）﹣4b（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a﹣4b）．
19．（6分）化简式子÷（x﹣），从0、1、2中取一个合适的数作为x的值代入求值．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
∵x≠0，2，
∴当x＝1时，原式＝﹣1．
20．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2），M（m，n）为△ABC内任意一点．
（1）将△ABC平移得到△A1B1C1，点C的对应点是C1（2，﹣2），请在图中画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标（ 5 ， ﹣1 ）；
（2）若△PQR是△ABC经过旋转得到的图形，点A，B，C的对应点分别是P，Q，R，观察变换前后各对应点之间的关系，则点M的对应点N的坐标为（ ﹣m ， ﹣n ）（用含m，n的式子表示）．
【解答】解：（1）由题意得，△ABC向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，
如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，点A1的坐标为（5，﹣1）．
故答案为：5；﹣1．
（2）连接AP，BQ，CR，相交于点O，
则△ABC绕点O旋转180°得到△PQR，
点M的对应点N的坐标为（﹣m，﹣n）．
故答案为：﹣m；﹣n．
21．（6分）围棋与象棋作为两种深受人们喜爱的古老棋艺，它们不仅体现了中华民族智慧的精髓，同时也反映了中国文化的深厚底蕴．国家“双减”政策实施后，某校积极开设棋类社团，并计划为参加棋类社团的同学购买30副围棋和m（m≥20）副象棋，已知每副围棋的价格是60元，每副象棋的价格是25元．在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：
方案一：购买围棋超过10副时，每超过1副则赠送象棋1副；
方案二：按购买总金额的八折付款．
该学校选择哪一种方案支付的总费用较少？
【解答】解：设方案一、二购买的总费用分别为y1、y2，
由题意得：y1＝60×30+25（m﹣20）＝25m+1300，
y2＝0.8×（60×30+25m）＝20m+1440，
分三种情况：
①当y1＜y2时，25m+1300＜20m+1440，
解得：m＜28，
∴当10≤m＜28时，选择方案一支付的总费用较少；
②当y1＝y2时，25m+1300＝20m+1440，
解得：m＝28，
∴当m＝28时，两种方案支付的总费用相同；
③当y1＞y2时，25m+1300＞20m+1440，
解得：m＞28，
∴当m＞28时，选择方案二支付的总费用较少；
综上，当10≤m＜28时，选择方案一支付的总费用较少；当m＝28时，两种方案支付的总费用相同；当m＞28时，选择方案二支付的总费用较少．
22．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，AE＝AB．
（1）若∠C＝40°，求∠BAE的度数；
（2）若CD＝5，CF＝4，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠CAE＝40°，
∵∠AEB是△ACE的一个外角，
∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝80°，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠B＝80°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝20°，
∴∠BAE的度数为20°；
（2）∵EF是AC的垂直平分线，
∴AC＝2CF＝8，
∵AE＝AB，AD⊥BE，
∴DE＝BD，
∵AE＝CE，
∴CE＝AB，
∵CD＝5，
∴CE+DE＝5，
∴AB+BD＝5，
∴△ABC的周长＝AC+AB+BC
＝8+AB+BD+DE+CE
＝8+5+5
＝18，
即△ABC的周长为18．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学兴趣小组要在AC上找两个点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
请回答下列问题：
（1）选择其中一种方案，并证明四边形BEDF为平行四边形；
（2）在（1）的基础上，若EF＝3AE，S△AED＝5，则▱ABCD的面积为 50 ．
【解答】解：（1）甲方案，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，
∵∠BEF＝180°﹣∠AEB，∠DFE＝180°﹣∠CFD，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
乙方案，证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵EF＝3AE，
∴AC＝5AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABC＝S△ADC＝5S△AED＝5×5＝25，
∴S▱ABCD＝2×25＝50，
故答案为：50．
24．（8分）类比推理是一种特殊的归纳推理，人们在探讨一些尚未观察到的事物性质时，以某些事物、道理之间存在相似性质为依据，推断出该事物可能与其他事物有着相似的性质，它是人类试图理解世界和做出决策的最常用方法之一．在日常数学学习中，我们常常借助类比推理研究新的知识，如：分式的基本性质与运算法则都是通过与分数类比得到的．
小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法：
即（x2+3x+2）+（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
【初步探究】
小明看到这样一道被墨水污染了无法辨认的因式分解题：x2+□x﹣3＝（x﹣3）（x+☆），（其中□、☆分别代表被污染的系数和常数），他列出了下列竖式：
通过计算，求得：□所代表的系数是 ﹣2 ，☆所代表的常数是 1 ；
【深入探究】
小明用上述方法对多项式x3﹣x2+2x+4进行因式分解，得到：x3﹣x2+2x+4＝（x+1）（※）（※代表一个多项式），则※所代表的多项式为 x2﹣2x+4 ；
【拓展应用】
我们知道，若a•b＝0则a＝0或b＝0，例如：（x﹣1）（x﹣2）＝0，则x﹣1＝0或x﹣2＝0，由此我们可以求出关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的一个解为x＝1，另一个解为x＝2．结合上述信息解答下列问题：
（1）若关于x的方程x2+x﹣6＝0的一个解为x＝2，则另一个解为 x＝﹣3 ；
（2）若关于x的方程2x3+5x2﹣x﹣6＝0有两个解为x＝1，x＝﹣2，则第三个解为 x＝﹣ ．
【解答】解：根据题意，□+3＝☆，﹣3＝﹣3☆，
解得：□＝﹣2，☆＝1；
根据题意，列出竖式如下：
则※所代表的多项式为：x2﹣2x+4；
（1）将方程左边进行因式分解，得x2+x﹣6＝（x﹣2）（x+3），则另一个解为x＝﹣3；
（2）将方程左边进行因式分解，得2x3+5x2﹣x﹣6＝（x﹣1）（x+2）（2x+3），则第三个解为x＝﹣．
故答案为：﹣2，1；x2﹣2x+4；x＝﹣3；x＝﹣．
25．（10分）某商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调的每台进价比乙种贵300元，用36000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同，请解答下列问题：
（1）甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元；
（2）若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价2000元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调的数量m（台）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过34500元购进两种空调，则甲、乙两种空调各购进多少台时，该商场获得的利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设乙种空调每台的进价是x元，则甲种空调每台的进价是（x+300）元．
根据题意，得＝，
解得x＝1500，
经检验，x＝1500是所列分式方程的解，
1500+300＝1800（元），
∴甲种空调每台的进价是1800元，乙种空调每台的进价是1500元．
（2）由题意可知，购进乙种空调的数量为（20﹣m）台．
y＝（2400﹣1800）m+（2000﹣1500）（20﹣m）＝100m+10000，
∴y与m之间的函数关系式为y＝100m+10000．
（3）根据题意，得1800m+1500（20﹣m）≤34500，
解得m≤15；
∵y＝100m+10000，100＞0，
∴y随m的增大而增大，
∵m≤15，
∴当m＝15时，y的值最大，y最大＝100×15+10000＝11500，20﹣15＝5（台），
∴购进甲种空调15台、乙种空调5台时，该商场获得的利润最大，最大利润是11500元．
26．（10分）如图，在▱ABCD中，CD＝8cm，BC＝16cm，∠A＝60°，BD⊥AB，过点D作DE⊥BC，垂足为E，动点P从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以4cm/s的速度沿射线BC运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为t s（0＜t＜8）．
（1）当PQ∥CD时，求t的值；
（2）连接BP，设四边形BPDE的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）当点P关于直线DQ的对称点恰好在直线CD上时，请直接写出t的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
当PQ∥CD时，四边形DPQC是平行四边形，
∴PD＝CQ，
∴2t＝16﹣4t，
∴t＝；
（2））∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠CDE＝30°，
∴CE＝CD＝×8＝4，
∴DE＝＝4，
∵PD∥BC，
∴S＝•DE•（DP+BE）＝×4×（2t+16﹣4）＝4t+24（0＜t＜8）；
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝120°，
如图2，当点P的对称点在线段CD上时，
∴∠ADQ＝∠QDC＝60°，
∴∠QDC＝∠BCD＝60°，
∴△CDQ是等边三角形，
∴CD＝CQ＝8，
∴8＝16﹣4t，
∴t＝2；
如图3，当点P的对称点在线段CD的延长线上时，
∵∠CDA＝120°，
∴∠PDP'＝60°，
∵点P的对称点在线段CD的延长线上，
∴∠CDQ＝∠PDP'＝30°，
∵∠BCD＝∠CDQ+∠CQD，
∴∠CDQ＝∠CQD＝30°，
∴CD＝CQ＝8，
∴BQ＝16+8＝24，
∴4t＝24，
∴t＝6，
综上，t的值是2或6．
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﹣4
4
a
16
分式的值
无意义
0
0.1
b
甲方案
乙方案
在AO，CO上分别取点E，F，使得AE＝CF
作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F
x的取值
﹣4
4
a
16
分式的值
无意义
0
0.1
b
甲方案
乙方案
在AO，CO上分别取点E，F，使得AE＝CF
作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F
1．（3分）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1B．3x＞3yC．D．﹣2x＜﹣2y
2．（3分）下面四个图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．﹣a2b+ab2＝﹣ab（a﹣b）
B．x2﹣6x+9＝（x+3）2
C．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y）
D．a2（a﹣b）2﹣b2（b﹣a）2＝（a﹣b）2（a2+b2）
4．（3分）一次函数y＝kx+3的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．当x≥2时，kx+3≤0B．当x＜2时，kx+3＞0
C．当x＜0时，kx+3＜3D．当x≥0时，kx+3≤3
5．（3分）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
A．m＝﹣8B．n＝﹣4C．a＝6D．b＝0.2
6．（3分）C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为x km/h，则根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，将含有60°锐角的三角板△ABC绕60°的锐角顶点C逆时针旋转一个角度到△ECD，若AB、CE相交于点F，AE＝AF，则旋转角是（ ）
A．45°B．40°C．35°D．30°
8．（3分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今，如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），斜边为c，则下列结论：①a+b＞c；②a2+b2＞2ab；③（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；④，其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：2x3﹣8x＝ ．
10．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是 ．
11．（3分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 ．
12．（3分）如图，两个正方形的边长分别为m，n，若m+n＝11，m﹣n＝1，则图中阴影部分的面积为 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AB上一点，连接DE．若∠DEB＝30°，CD＝5，则DE的长为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，AD是BC边上的高，点F在边AB上，E为CF的中点，连接DE．若DE＝6，则AF的长为 ．
15．（3分）图①所示的彭罗斯地砖，是由获得诺贝尔奖的英国数学家罗杰•彭罗斯提出的一种铺满平面的方案．这种地砖蕴含着准晶体原子排列的秘密，打破了人们对品体认知的局限．它是由图②和图③所示的两种不同平行四边形镶嵌而成，则图③中∠EFG的度数是 °．
16．（3分）如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形，…，按此方式依次操作，则第2024个等边三角形的边长为 ．
三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17．（4分）已知：∠O及其一边上的两点A，B．
求作：Rt△ABC，使∠B＝90°，点C在∠O内部且到角两边的距离相等．
四、解答题（本大题共9小题，共68分）
18．（8分）（1）解不等式组：；
（2）分解因式：9a（x﹣y）+4b（y﹣x）．
19．（6分）化简式子÷（x﹣），从0、1、2中取一个合适的数作为x的值代入求值．
20．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2），M（m，n）为△ABC内任意一点．
（1）将△ABC平移得到△A1B1C1，点C的对应点是C1（2，﹣2），请在图中画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标（ ， ）；
（2）若△PQR是△ABC经过旋转得到的图形，点A，B，C的对应点分别是P，Q，R，观察变换前后各对应点之间的关系，则点M的对应点N的坐标为（ ， ）（用含m，n的式子表示）．
21．（6分）围棋与象棋作为两种深受人们喜爱的古老棋艺，它们不仅体现了中华民族智慧的精髓，同时也反映了中国文化的深厚底蕴．国家“双减”政策实施后，某校积极开设棋类社团，并计划为参加棋类社团的同学购买30副围棋和m（m≥20）副象棋，已知每副围棋的价格是60元，每副象棋的价格是25元．在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：
方案一：购买围棋超过10副时，每超过1副则赠送象棋1副；
方案二：按购买总金额的八折付款．
该学校选择哪一种方案支付的总费用较少？
22．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，AE＝AB．
（1）若∠C＝40°，求∠BAE的度数；
（2）若CD＝5，CF＝4，求△ABC的周长．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学兴趣小组要在AC上找两个点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
请回答下列问题：
（1）选择其中一种方案，并证明四边形BEDF为平行四边形；
（2）在（1）的基础上，若EF＝3AE，S△AED＝5，则▱ABCD的面积为 ．
24．（8分）类比推理是一种特殊的归纳推理，人们在探讨一些尚未观察到的事物性质时，以某些事物、道理之间存在相似性质为依据，推断出该事物可能与其他事物有着相似的性质，它是人类试图理解世界和做出决策的最常用方法之一．在日常数学学习中，我们常常借助类比推理研究新的知识，如：分式的基本性质与运算法则都是通过与分数类比得到的．
小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法：
即（x2+3x+2）+（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
【初步探究】
小明看到这样一道被墨水污染了无法辨认的因式分解题：x2+□x﹣3＝（x﹣3）（x+☆），（其中□、☆分别代表被污染的系数和常数），他列出了下列竖式：
通过计算，求得：□所代表的系数是 ，☆所代表的常数是 ；
【深入探究】
小明用上述方法对多项式x3﹣x2+2x+4进行因式分解，得到：x3﹣x2+2x+4＝（x+1）（※）（※代表一个多项式），则※所代表的多项式为 ；
【拓展应用】
我们知道，若a•b＝0则a＝0或b＝0，例如：（x﹣1）（x﹣2）＝0，则x﹣1＝0或x﹣2＝0，由此我们可以求出关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的一个解为x＝1，另一个解为x＝2．结合上述信息解答下列问题：
（1）若关于x的方程x2+x﹣6＝0的一个解为x＝2，则另一个解为 ；
（2）若关于x的方程2x3+5x2﹣x﹣6＝0有两个解为x＝1，x＝﹣2，则第三个解为 ．
25．（10分）某商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调的每台进价比乙种贵300元，用36000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同，请解答下列问题：
（1）甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元；
（2）若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价2000元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调的数量m（台）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过34500元购进两种空调，则甲、乙两种空调各购进多少台时，该商场获得的利润最大？最大利润是多少元？
26．（10分）如图，在▱ABCD中，CD＝8cm，BC＝16cm，∠A＝60°，BD⊥AB，过点D作DE⊥BC，垂足为E，动点P从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以4cm/s的速度沿射线BC运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为t s（0＜t＜8）．
（1）当PQ∥CD时，求t的值；
（2）连接BP，设四边形BPDE的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）当点P关于直线DQ的对称点恰好在直线CD上时，请直接写出t的值．
2023-2024学年山东省青岛市李沧区、西海岸新区、胶州市、城阳区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1B．3x＞3yC．D．﹣2x＜﹣2y
【解答】解：A、∵x＜y，
∴x﹣1＜y﹣1，
故A不符合题意；
B、∵x＜y，
∴3x＜3y，
故B不符合题意；
C、∵x＜y，
∴＜，
故C符合题意；
D、∵x＜y，
∴﹣2x＞﹣2y，
故D不符合题意；
故选：C．
2．（3分）下面四个图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符符合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．﹣a2b+ab2＝﹣ab（a﹣b）
B．x2﹣6x+9＝（x+3）2
C．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y）
D．a2（a﹣b）2﹣b2（b﹣a）2＝（a﹣b）2（a2+b2）
【解答】解：A、原式＝ab（﹣a+b）
＝﹣ab（a﹣b），符合题意；
B、原式＝（x﹣3）2，不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式＝a2（a﹣b）2﹣b2（a﹣b）2
＝（a﹣b）2（a2﹣b2）
＝（a﹣b）3（a+b），不符合题意．
故选：A．
4．（3分）一次函数y＝kx+3的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．当x≥2时，kx+3≤0B．当x＜2时，kx+3＞0
C．当x＜0时，kx+3＜3D．当x≥0时，kx+3≤3
【解答】解：A、观察图象知：当x≥2时，kx+3≤0，故不符合题意；
B、观察图象知：当x＜2时，kx+3＞0，故不符合题意；
C、观察图象知：当x＜0时，kx+3＞3，故C符合题意；
D、观察图象知：当x≥0时，kx+3≤3，不符合题意．
故选：C．
5．（3分）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
A．m＝﹣8B．n＝﹣4C．a＝6D．b＝0.2
【解答】解：由表格可得当x＝﹣4时，分式无意义，
则2×（﹣4）﹣m＝0，
解得：m＝﹣8，
则A不符合题意；
当x＝4时，分式的值为0，
则4+n＝0，
解得：n＝﹣4，
则B不符合题意；
当x＝a时，分式的值为0.1，
则＝0.1，
解得：a＝6，
经检验，a＝6是分式方程的解，
则C不符合题意；
当x＝16时，分式的值为b，
则b＝＝0.5，
则D符合题意；
故选：D．
6．（3分）C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为x km/h，则根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意，得．
故选：D．
7．（3分）如图，将含有60°锐角的三角板△ABC绕60°的锐角顶点C逆时针旋转一个角度到△ECD，若AB、CE相交于点F，AE＝AF，则旋转角是（ ）
A．45°B．40°C．35°D．30°
【解答】解：设旋转角＝α，
∴直角三角板ABC绕直角顶点C逆时针旋转角度α，得到△DCE，
∴∠ACF＝α，CA＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵∠AFE＝α+∠CAF＝α+30°，
∴α+30°＝90，
∴α＝40°，
故选：B．
8．（3分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今，如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），斜边为c，则下列结论：①a+b＞c；②a2+b2＞2ab；③（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；④，其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【解答】解：①由三角形的两边之和大于第三边可知a+b＞c，故①正确；
②∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＞0，a＞b，
即a2+b2＞2ab，故②正确；
③∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2+4ab＝a2+2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
④∵a2+b2＝c2，
∴[（a+b）]2﹣（2c）2
＝2（a+b）2﹣4（a2+b2）
＝2a2+4ab+2b2﹣4a2﹣4b2
＝﹣2a2﹣2b2+4ab
＝﹣2（a﹣b）2≤0，
又a＞b，且a、b、c都大于0，
∴（a+b）与2c都大于0，
∴﹣2（a﹣b）2＜0，
即，故④正确；
故选：D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：2x3﹣8x＝ 2x（x﹣2）（x+2） ．
【解答】解：2x3﹣8x，
＝2x（x2﹣4），
＝2x（x+2）（x﹣2）．
10．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是 10 ．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
（n﹣2）•180°＝4×360°，
解得n＝10，
故答案为：10．
11．（3分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 m≤1 ．
【解答】解：，
由①得：x＞2，
由②得：x＞m+1，
∵不等式组的解集是 x＞2，
∴2≥m+1，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
12．（3分）如图，两个正方形的边长分别为m，n，若m+n＝11，m﹣n＝1，则图中阴影部分的面积为 5.5 ．
【解答】解：∵m+n＝11，m﹣n＝1，
∴
＝
＝
＝5.5，
故答案为：5.5．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AB上一点，连接DE．若∠DEB＝30°，CD＝5，则DE的长为 6 ．
【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴，
∵∠ADE＝15°，
∴∠BAD＝∠ADE＝15°，
∴∠DEH＝∠DAE+∠ADE＝30°，
如图：过D作DH⊥AB于H，
即∠DHE＝90°，
∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴DH＝CD＝3，
∴∠DHE＝90°，∠DEH＝30°，
∴DE＝2DH＝6．
故答案为：6．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，AD是BC边上的高，点F在边AB上，E为CF的中点，连接DE．若DE＝6，则AF的长为 4 ．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴CD＝DB，
∵E为CF的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴BF＝2DE＝12，
∴AF＝AB﹣BF＝16﹣12＝4，
故答案为：4．
15．（3分）图①所示的彭罗斯地砖，是由获得诺贝尔奖的英国数学家罗杰•彭罗斯提出的一种铺满平面的方案．这种地砖蕴含着准晶体原子排列的秘密，打破了人们对品体认知的局限．它是由图②和图③所示的两种不同平行四边形镶嵌而成，则图③中∠EFG的度数是 36 °．
【解答】解：由图①可知，图②中的平行四边形ABCD的锐角∠B＝×360°＝72°，
∵CD∥AB，
∴∠C＝180°﹣∠B＝108°，
根据题意得2∠EFG+2∠C+∠B＝360°，
∴∠EFG＝×（360°﹣2×108°﹣72°）＝36°，
故答案为：36．
16．（3分）如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形，…，按此方式依次操作，则第2024个等边三角形的边长为 ． ．
【解答】解：如图，延长AB与第1个等边三角形的边相交于点D，
∵B为中点，BD∥OP，
∴BD＝＝OP，
∴，
易证△BDG为等边三角形，
∴PD＝DG＝BD＝，
∵四边形BCED为平行四边形，
∴，
∴第2个等边三角形的边长是第1个等边三角形的边长的 ，
易知下一个等边三角形的边长是前一个的等边三角形的边长的 ，
∴第n个等边三角形的边长为，
所以，第2024个等边三角形的边长为：．
故答案为：．
三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17．（4分）已知：∠O及其一边上的两点A，B．
求作：Rt△ABC，使∠B＝90°，点C在∠O内部且到角两边的距离相等．
【解答】解：如图，△ABC即为所求．
四、解答题（本大题共9小题，共68分）
18．（8分）（1）解不等式组：；
（2）分解因式：9a（x﹣y）+4b（y﹣x）．
【解答】解：（1）解第一个不等式得：x＞3，
解第二个不等式得：x≤，
故原不等式组的解集为3＜x≤；
（2）原式＝9a（x﹣y）﹣4b（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a﹣4b）．
19．（6分）化简式子÷（x﹣），从0、1、2中取一个合适的数作为x的值代入求值．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
∵x≠0，2，
∴当x＝1时，原式＝﹣1．
20．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2），M（m，n）为△ABC内任意一点．
（1）将△ABC平移得到△A1B1C1，点C的对应点是C1（2，﹣2），请在图中画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标（ 5 ， ﹣1 ）；
（2）若△PQR是△ABC经过旋转得到的图形，点A，B，C的对应点分别是P，Q，R，观察变换前后各对应点之间的关系，则点M的对应点N的坐标为（ ﹣m ， ﹣n ）（用含m，n的式子表示）．
【解答】解：（1）由题意得，△ABC向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，
如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，点A1的坐标为（5，﹣1）．
故答案为：5；﹣1．
（2）连接AP，BQ，CR，相交于点O，
则△ABC绕点O旋转180°得到△PQR，
点M的对应点N的坐标为（﹣m，﹣n）．
故答案为：﹣m；﹣n．
21．（6分）围棋与象棋作为两种深受人们喜爱的古老棋艺，它们不仅体现了中华民族智慧的精髓，同时也反映了中国文化的深厚底蕴．国家“双减”政策实施后，某校积极开设棋类社团，并计划为参加棋类社团的同学购买30副围棋和m（m≥20）副象棋，已知每副围棋的价格是60元，每副象棋的价格是25元．在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：
方案一：购买围棋超过10副时，每超过1副则赠送象棋1副；
方案二：按购买总金额的八折付款．
该学校选择哪一种方案支付的总费用较少？
【解答】解：设方案一、二购买的总费用分别为y1、y2，
由题意得：y1＝60×30+25（m﹣20）＝25m+1300，
y2＝0.8×（60×30+25m）＝20m+1440，
分三种情况：
①当y1＜y2时，25m+1300＜20m+1440，
解得：m＜28，
∴当10≤m＜28时，选择方案一支付的总费用较少；
②当y1＝y2时，25m+1300＝20m+1440，
解得：m＝28，
∴当m＝28时，两种方案支付的总费用相同；
③当y1＞y2时，25m+1300＞20m+1440，
解得：m＞28，
∴当m＞28时，选择方案二支付的总费用较少；
综上，当10≤m＜28时，选择方案一支付的总费用较少；当m＝28时，两种方案支付的总费用相同；当m＞28时，选择方案二支付的总费用较少．
22．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，AE＝AB．
（1）若∠C＝40°，求∠BAE的度数；
（2）若CD＝5，CF＝4，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠CAE＝40°，
∵∠AEB是△ACE的一个外角，
∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝80°，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠B＝80°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝20°，
∴∠BAE的度数为20°；
（2）∵EF是AC的垂直平分线，
∴AC＝2CF＝8，
∵AE＝AB，AD⊥BE，
∴DE＝BD，
∵AE＝CE，
∴CE＝AB，
∵CD＝5，
∴CE+DE＝5，
∴AB+BD＝5，
∴△ABC的周长＝AC+AB+BC
＝8+AB+BD+DE+CE
＝8+5+5
＝18，
即△ABC的周长为18．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学兴趣小组要在AC上找两个点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
请回答下列问题：
（1）选择其中一种方案，并证明四边形BEDF为平行四边形；
（2）在（1）的基础上，若EF＝3AE，S△AED＝5，则▱ABCD的面积为 50 ．
【解答】解：（1）甲方案，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，
∵∠BEF＝180°﹣∠AEB，∠DFE＝180°﹣∠CFD，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
乙方案，证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵EF＝3AE，
∴AC＝5AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABC＝S△ADC＝5S△AED＝5×5＝25，
∴S▱ABCD＝2×25＝50，
故答案为：50．
24．（8分）类比推理是一种特殊的归纳推理，人们在探讨一些尚未观察到的事物性质时，以某些事物、道理之间存在相似性质为依据，推断出该事物可能与其他事物有着相似的性质，它是人类试图理解世界和做出决策的最常用方法之一．在日常数学学习中，我们常常借助类比推理研究新的知识，如：分式的基本性质与运算法则都是通过与分数类比得到的．
小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法：
即（x2+3x+2）+（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
【初步探究】
小明看到这样一道被墨水污染了无法辨认的因式分解题：x2+□x﹣3＝（x﹣3）（x+☆），（其中□、☆分别代表被污染的系数和常数），他列出了下列竖式：
通过计算，求得：□所代表的系数是 ﹣2 ，☆所代表的常数是 1 ；
【深入探究】
小明用上述方法对多项式x3﹣x2+2x+4进行因式分解，得到：x3﹣x2+2x+4＝（x+1）（※）（※代表一个多项式），则※所代表的多项式为 x2﹣2x+4 ；
【拓展应用】
我们知道，若a•b＝0则a＝0或b＝0，例如：（x﹣1）（x﹣2）＝0，则x﹣1＝0或x﹣2＝0，由此我们可以求出关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的一个解为x＝1，另一个解为x＝2．结合上述信息解答下列问题：
（1）若关于x的方程x2+x﹣6＝0的一个解为x＝2，则另一个解为 x＝﹣3 ；
（2）若关于x的方程2x3+5x2﹣x﹣6＝0有两个解为x＝1，x＝﹣2，则第三个解为 x＝﹣ ．
【解答】解：根据题意，□+3＝☆，﹣3＝﹣3☆，
解得：□＝﹣2，☆＝1；
根据题意，列出竖式如下：
则※所代表的多项式为：x2﹣2x+4；
（1）将方程左边进行因式分解，得x2+x﹣6＝（x﹣2）（x+3），则另一个解为x＝﹣3；
（2）将方程左边进行因式分解，得2x3+5x2﹣x﹣6＝（x﹣1）（x+2）（2x+3），则第三个解为x＝﹣．
故答案为：﹣2，1；x2﹣2x+4；x＝﹣3；x＝﹣．
25．（10分）某商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调的每台进价比乙种贵300元，用36000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同，请解答下列问题：
（1）甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元；
（2）若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价2000元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调的数量m（台）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过34500元购进两种空调，则甲、乙两种空调各购进多少台时，该商场获得的利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设乙种空调每台的进价是x元，则甲种空调每台的进价是（x+300）元．
根据题意，得＝，
解得x＝1500，
经检验，x＝1500是所列分式方程的解，
1500+300＝1800（元），
∴甲种空调每台的进价是1800元，乙种空调每台的进价是1500元．
（2）由题意可知，购进乙种空调的数量为（20﹣m）台．
y＝（2400﹣1800）m+（2000﹣1500）（20﹣m）＝100m+10000，
∴y与m之间的函数关系式为y＝100m+10000．
（3）根据题意，得1800m+1500（20﹣m）≤34500，
解得m≤15；
∵y＝100m+10000，100＞0，
∴y随m的增大而增大，
∵m≤15，
∴当m＝15时，y的值最大，y最大＝100×15+10000＝11500，20﹣15＝5（台），
∴购进甲种空调15台、乙种空调5台时，该商场获得的利润最大，最大利润是11500元．
26．（10分）如图，在▱ABCD中，CD＝8cm，BC＝16cm，∠A＝60°，BD⊥AB，过点D作DE⊥BC，垂足为E，动点P从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以4cm/s的速度沿射线BC运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为t s（0＜t＜8）．
（1）当PQ∥CD时，求t的值；
（2）连接BP，设四边形BPDE的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）当点P关于直线DQ的对称点恰好在直线CD上时，请直接写出t的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
当PQ∥CD时，四边形DPQC是平行四边形，
∴PD＝CQ，
∴2t＝16﹣4t，
∴t＝；
（2））∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠CDE＝30°，
∴CE＝CD＝×8＝4，
∴DE＝＝4，
∵PD∥BC，
∴S＝•DE•（DP+BE）＝×4×（2t+16﹣4）＝4t+24（0＜t＜8）；
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝120°，
如图2，当点P的对称点在线段CD上时，
∴∠ADQ＝∠QDC＝60°，
∴∠QDC＝∠BCD＝60°，
∴△CDQ是等边三角形，
∴CD＝CQ＝8，
∴8＝16﹣4t，
∴t＝2；
如图3，当点P的对称点在线段CD的延长线上时，
∵∠CDA＝120°，
∴∠PDP'＝60°，
∵点P的对称点在线段CD的延长线上，
∴∠CDQ＝∠PDP'＝30°，
∵∠BCD＝∠CDQ+∠CQD，
∴∠CDQ＝∠CQD＝30°，
∴CD＝CQ＝8，
∴BQ＝16+8＝24，
∴4t＝24，
∴t＝6，
综上，t的值是2或6．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/14 5:56:45；用户：19944531502；邮箱：19944531502；学号：54883509x的取值
﹣4
4
a
16
分式的值
无意义
0
0.1
b
甲方案
乙方案
在AO，CO上分别取点E，F，使得AE＝CF
作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F
x的取值
﹣4
4
a
16
分式的值
无意义
0
0.1
b
甲方案
乙方案
在AO，CO上分别取点E，F，使得AE＝CF
作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F
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