专题18 竖直面和斜面内的圆周运动【暑假衔接】新高二物理暑假查漏补缺（全国通用）

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1.竖直面内的圆周运动中的“绳、杆”模型
2.斜面内的圆周运动
在斜面上做圆周运动的物体，除受到重力、支持力外，还会受到静摩擦力或绳的作用、杆的作用，其分析方法与竖直面内的圆周运动类似，只是由于重力垂直斜面向下的分力与支持力平衡，所以向心力由斜面内指向圆心方向的合力提供．
1．有关竖直面内圆周运动的基本模型如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．如图甲，“水流星”在竖直面内做圆周运动的过程中，在最高点处水对碗底压力大于其在最低处水对碗底的压力
B．如图乙，小球通过竖直光滑圆形管道（半径为R）最高点的最小速度为gR（g为重力加速度）
C．如图丙滚筒洗衣机里衣物随着滚筒做高速匀速圆周运动，衣物运动到最高点A点时脱水效果更好
D．如图丁汽车越野赛的一段赛道上a、b、c三处中，c处最容易爆胎
【答案】D
【解析】A．“水流星”匀速转动过程中，在最高点处水对碗底压力 F1=mv2l−mg
在最低处水对碗底的压力 F2=mv2l+mg
则在最高点处水对碗底压力小于其在最低处水对碗底的压力，故A错误；
B．小球在竖直光滑圆形管道里做圆周运动，在最高点速度可以等于0，故B错误；
C．根据牛顿第二定律，在最低点有 FN1−mg=mv2R 解得 FN1=mg+mv2R
在最高点有 FN2+mg=mv2R 解得 FN2=mv2R-mg
FN1＞FN2 衣物运动到最低点B点时脱水效果更好，故C错误；
D．汽车越野赛的一段赛道上a、b、c三处中，在b处时 FNb=mg-mv2R在ac两处时地面对车的支持力为 FN=mg+mv2R>mg
c处轨道半径小于b处，则c处地面对车的弹力较大，则轮胎受的压力较大，即c处最容易爆胎，选项D正确。 故选D。
2．如图所示，细线一端拴一个小球，另一端固定在O点，小球沿弧线ABC来回摆动，B点是悬线的最低点，则（ ）
A．小球摆到B点时，速度为水平方向，加速度为零 B．小球摆到A点时，速度为零，且处于平衡状态
C．小球在整个运动过程中一定有一个位置处于平衡状态 D．小球摆到B点时，细线对小球的拉力最大
【答案】D
【解析】A．小球摆到B点时，速度为水平方向，但此时有向心加速度，故A错误；
B．小球摆到A点时，速度为零，之后会往回运动，所以不可能处于平衡状态，故B错误；
C．小球沿弧线ABC来回摆动，作非匀速圆周运动，合外力和加速度始终不为零，不会处于平衡状态，故C错误；
D．小球摆到B点时，线速度最大，由牛顿第二定律可知
此时细线对小球的拉力最大，故D正确。 故选D。
3．质量为m的小球用长为L的轻质细线悬挂在O点，在O点的正下方L2处有一光滑小钉子P，把细线沿水平方向拉直，如图所示，无初速度地释放小球，当细线碰到钉子的瞬间，细线没有断裂，则下列说法正确的是（ ）

A．小球的线速度突然增大 B．小球的角速度突然减小
C．小球对细线的拉力突然增大 D．小球的向心加速度突然减小
【答案】C
【解析】AB．根据题意可知，当细线碰到钉子的瞬间，小球的线速度不变，半径变为原来的12，则由v=ωr可知，角速度变大，故AB错误；
C．根据题意，设细线的拉力为F，由牛顿第二定律有 F−mg=mv2r 解得 F=mg+mv2r
由于v不变，r减小，则F增大，由牛顿第三定律可知，小球对细线的拉力突然增大，故C正确；
D．由公式a=v2r可知，由于v不变，r减小，则a变大，故D错误。 故选C。
4．(多选)如图所示，长为L的轻绳一端固定在O点，另一端系质量为m的小球，小球的半径忽略不计，现让小球从A位置由静止释放，且轻绳与水平方向成30°，下列说法正确的是（ ）
A．小球刚释放时的加速度为g
B．小球运动到细绳与竖直方向成60°位置时的向心力为2mg
C．小球从静止释放到细绳与竖直方向成60°位置前的过程中，细绳对小球的作用力越来越大
D．小球运动到最低点时，细绳对小球的作用力大小为3.5mg
【答案】AD
【解析】A．小球刚释放瞬间只受重力作用，故小球刚释放时的加速度为g，故A选项正确；
B．由于小球和细绳在水平方向以上，且初速度为零，所以小球先做自由落体运动，等细绳和小球运动到再次与O点距离为L的B点时，绳立即绷紧，设小球到达B点的速度为，此速度可分解为沿着绳子方向的速度，沿着圆周切线方向运动的速度，分速度在细绳绷紧瞬间消失，小球以分速度沿着圆周开始做圆周运动，直至最低点C点，设小球在C点的瞬时速度为，如图所示，小球运动到轻绳与竖直方向成60°角位置即B点，绷紧前，根据
所以此位置小球的向心力为 故B选项错误；
C．小球从静止释放到细绳与竖直方向成60°位置前的过程中，小球做自由落体运动，细绳对小球的作用力为零，故C选项错误；
D．小球从B点开始做圆周运动到达C点的过程中，根据动能定理
得出
再根据牛顿第二定律，有 解得 故D选项正确。故选AD。
5．(多选)如图所示，已知质量为m的小球恰好能在竖直平面内绕固定点O做圆周运动。重力加速度为g，不考虑一切摩擦。小球做圆周运动过程中，下列判断正确的是（ ）
A．若小球和O点间用细线相连，则在最高点细线对小球的拉力为
B．若小球和O点间用细线相连，则在最高点细线对小球的拉力为0
C．若小球和O点间用轻杆相连，则在最高点轻杆对小球的压力为
D．若小球和O点间用轻杆相连，则在最高点轻杆对小球的压力为0
【答案】BC
【解析】AB．若为细线连接小球，由于小球恰好能在竖直平面内绕固定点O做圆周运动，则在最高点仅仅由重力提供向心力 此时细线对小球的拉力为0，A错误，B正确；
CD．若为轻杆连接小球，由于小球恰好能在竖直平面内绕固定点O做圆周运动，则此时小球在最高点的速度为0，所需向心力为0，可知轻杆对小球的压力大小为，C正确，D错误。 故选BC。
6．如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则小球对管内上壁有压力 B．若，则小球对管内下壁有压力
C．若，则小球对管内下壁有压力 D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力
【答案】C
【解析】A．在最高点，只有重力提供向心力时，有 解得
此时小球对管内壁无压力，故A错误；
B．若 则有
此时小球受向下的压力，这表明小球对管内上壁有压力，故B错误；
CD．若 则有
此时小球受向上的支持力，表明小球对管内下壁有压力，故C正确，D错误。 故选C。
7．如图所示，上表面光滑，半径为的半圆柱体放在水平面上，小物块位于半圆柱体顶端，若给小物块一水平速度，重力加速度取，下列说法正确的是（ ）
A．小物块将沿半圆柱体表面滑下来 B．小物块落地时水平位移大小为
C．小物块落地速度大小为 D．小物块落地时速度方向与水平地面成角
【答案】C
【解析】A．设小物块在半圆柱体顶端做圆周运动的临界速度为，则重力刚好提供向心力时，由牛顿第二定律得 解得
因为 所以小物块将离开半圆柱体做平抛运动，故A错误；
B．小物块做平抛运动时竖直方向满足 水平位移为
联立解得 故B错误；
C．小物块落地时竖直方向分速度大小为 落地时速度的大小为
联立解得 故C正确；
D．由于 故落地时速度方向与水平地面成角，满足
解得 故D错误。故选C。
8．如图所示,两根等长的轻绳,一端共同系住质量为m的小球,另一端分别固定在等高的A、B两点,已知两根轻绳和AB构成一等腰直角三角形,重力加速度大小为g．今使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动,若小球在最高点的速度大小为v时,两根绳的拉力恰好均为零,则小球在最高点的速度大小为2v时,每根绳的拉力大小为
A．mgB．mgC．mgD．mg
【答案】A
【解析】小球在最高点速度为v时，两根绳子的拉力恰好为零，可知：
当小球在最高点速度为2v时，根据牛顿第二定律得：
解得： ．
A．mg，与结论相符，选项A正确； B．mg，与结论不相符，选项B错误；
C．mg，与结论不相符，选项C错误； D．mg，与结论不相符，选项D错误；
8．如图所示，质量为m的小球被一根轻绳AC和一根橡皮绳BC系住，当小球静止时，AC在水平，BC与竖直方向成θ角，下列判断中正确的是（ ）
A．在AC被突然剪断的瞬间，BC对小球的拉力大小会突变
B．在AC被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为gtanθ
C．在BC被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为g
D．在BC被突然剪断的瞬间，小球的加速度大小为gsinθ
【答案】BC
【解析】A．在AC被突然剪断的瞬间，由于橡皮筋BC来不及发生形变，所以BC对小球的拉力大小不会发生突变，故A错误；
B．在AC剪断前，根据平衡条件可知橡皮筋BC的拉力与小球重力的合力与细绳AC的拉力等大反向，大小
F合=TAC=mgtanθ 由于在AC剪断瞬间，橡皮筋BC的拉力与小球重力的合力不变，
对小球根据牛顿第二定律有 F合=mgtanθ=ma 可得小球的加速度大小为 a=gtanθ 故B正确；
CD．在BC被突然剪断的瞬间，细绳及橡皮筋的拉力均突变为0，小球只受重力的作用，则其加速度大小为g，故C正确，D错误。 故选BC。
10．如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从点脱离后做平抛运动，经过后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰。已知半圆形管道的半径为，小球可看做质点且其质量为，取。则（ ）
A．小球在斜面上的相碰点与点的水平距离是
B．小球在斜面上的相碰点与点的水平距离是
C．小球经过管道的点时，受到上管道的作用力的大小是
D．小球经过管道的点时，受到下管道的作用力的大小是
【答案】A
【解析】AB．小球从B点脱离后做平抛运动，经过0.3s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰，则在C点的竖直分速度为
因小球恰好垂直撞在斜面上，则平抛运动水平初速度为
小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离为 故A正确，B错误；
CD．设小球经过B点时，受到上管道竖直向下的作用力，根据牛顿第二定律可得
联立方程，解得
负号说明小球在B点受到下管道的作用力的大小是1N，方向竖直向上，故CD错误。 故选A。
11．如图所示，某电动工具置于水平地面上。该电动工具底座质量为M，半径为R的转动圆盘质量可不计，在圆盘边缘固定有质量为m的物块（可视为质点），重力加速度为g。要使该电动工具底座不离开地面（不考虑底座翻转的情况），允许圆盘转动的最大转速为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当物块转动到最高点，物块对圆盘拉力的大小刚好等于电动工具底座的重力时，底座刚要离开地面，此时圆盘的转速即为题求最大转速，则有
对物块有 解得 则转速为 故选C。
12．(多选)如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，则（ ）
A．小球通过最高点A时的速度 B．小球通过最高点A时的速度
C．小球通过最高点A时，细线对小球的拉力T=0 D．小球通过最高点A时，细线对小球的拉力T=mgsin θ
【答案】AC
【解析】小球在斜面上做圆周运动的等效重力为
恰好通过最高点A时，只有等效重力提供向心力，故此时有
解得 故选AC。
13．如图所示为工厂中的行车示意图，悬挂重物的钢丝绳长为L，所悬挂重物可视为质点，质量为m，离地的高度为H，行车吊着重物以速度v0在轨道上水平匀速行驶，在行驶过程中由于出现故障行车紧急制动（即行车瞬间停下，时间可忽略），钢丝绳刚好被拉断，空气阻力忽略不计，重力加速度为g。求：
（1）重物落地时的速度及水平拋出的距离；
（2）钢丝绳能承受的最大拉力。
【答案】（1），与水平方向正切值，；（2）
【解析】（1）绳断后，重物做平拖运动 竖直方向 落地时竖直速度
落地时水平速度 落地时速度
方向：与水平方向成夹角为，且满足 落地时水平抛出的距离 得
（2）行车紧急制动时，悬点突然停止运动，重物将以的速度绕悬点做圆周运动，重物受重力mg绳的拉力F，则由圆周运动可得
所以绳能承受的最大拉力
14．如图所示，两种不同的半圆形光滑竖直轨道AB，底端都与一光滑水平轨道相连 并相切于B点，两轨道的半径均为R，图2中管道的直径略大于小球直径（管道和小球的直径相对R可忽略不计）。现有一质量为m的小球以不同的初速度从水平轨道冲入圆轨道，且都能运动到最高点A，重力加速度为g。
（1）若小球以速度v进入图1圆弧轨道中的最低点B，求此时小球对轨道的压力；
（2）若小球以速度gR通过图2轨道中的最高点A，求此时小球对轨道的压力大小；
（3）若C点与圆心O等高且OC的距离为R，在图1和图2中能否调整初速度使得小球过A点后能恰好落到C点，若能，则求出A点的速度；若不能，则说明理由。
【答案】（1）mg+mv2R，方向竖直向下；（2）0；（3）图1不能落到C点，图2能落到C点。
【解析】（1）图1中B点的小球受力分析可知 FN-mg=mv2R
可得 FN= mg+mv2R 由牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小为mg+mv2R，方向竖直向下；
（2）图2中A点的小球受力分析可知 FN+mg=mvA2R
代入vA=gR可得 FN=0， 那么小球对轨道的压力为0；
（3）无论是图1还是图2，从A点运动到C点的时间均为 t=2Rg
对于图1，vA≥gR 水平位移 x=vAt≥2R， 因此不能落到C点
对于图2，水平位移 R=vAt 可得：vA=gR2，满足vA≥0因此能落到C点
15．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一质量m=0.4 kg的小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为32，（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2。求：
（1）当角速度ω=0时小物体所受的摩擦力；
（2）角速度ω的最大值为多少；
（3）当角速度ω为最大值时，小物体运动到圆心等高位置A时小物体所受的摩擦力的大小。
【答案】（1）2 N；（2）1rad /s；（3）5N
【解析】（1）当圆盘不转动时，滑块受力平衡，则有 f=mgsin 30°=0.4×10×12N=2 N
（2）当物体转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律，得 μmgcs 30°−mgsin 30°=mω2r 则 ω=gμcs30∘−sin30∘r=10×32×32−122.5rad/s=1rad/s
（3）当物体转到与圆心等高的位置A，重力沿斜面分力与摩擦力的合力等于向心力F=mω2r=0.4×1×2.5 N=1 N 摩擦力 f=F2+mgsin30∘2=12+0.4×10×122N=5N
绳模型
杆模型
常见类型
过最高点的临界条件
小球恰好通过轨道最高点、恰好能做完整的圆周运动，隐含着小球运动到最高点时绳或轨道对小球的作用力恰好为零。由mg＝meq \f(v2,r)得v小＝eq \r(gr)
由小球恰能运动到最高点得v临＝0
讨论分析
(1）若通过最高点时v>eq \r(gr)，则绳、轨道对球产生向下的弹力F
由F＋mg＝meq \f(v2,r)可得F随v的增大而增大
(2)不能过最高点时v(1) 当mg＝meq \f(v2,r)即v＝eq \r(gr)时，FN＝0此时杆或管道对小球恰好没有作用力
(2)当0(3) 当v>eq \r(gr)时，球受到向下的拉力，
由 FN＋mg＝meq \f(v2,r)可得FN随v的增大而增大
(4) 当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心