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【暑假衔接】人教版新高二物理 暑假衔接讲义 第十讲 复习专题九 水平面、竖直面和斜面内的圆周运动（教师版+学生版）
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知识点1：不同面上的圆周运动
圆周运动中的临界问题
明确临界状态：题目中出现“刚好”、“恰好”、“取值范围”等词语一般可判断题中存在临界条件；如果题中出现“最大”“最小”等词语表明题中存在极值，这个极值经常是临界状态。
明确临界条件：分析临界状态出现的条件并用数学语言表示出来。
物理规律的选择：确定了临界状态和临界条件后，对于不同的运动过程要选择恰当的物理规律并列等式求解。
水平面临界问题
竖直面内圆周运动的求解思路
确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。
确定临界点：v临＝eq \r(gr)，对轻绳，模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点。
确定研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。
进行受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程F合=F向。
进行过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。
水平面内的圆周运动
一、单选题
1．绳a长为L，与水平方向成θ角时绳b恰好在水平方向伸直。当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a、b绳均拉直。重力加速度为g，则（ ）
A．a绳的拉力可能为零
B．a绳的拉力随角速度的增大而增大
C．当角速度时，b绳中拉力不为零
D．当角速度时，若a绳突然被剪断，则b绳仍可保持水平
2．一片树叶落在雨伞上面，通过旋转雨伞可以将树叶甩出去。雨伞平面可以看作圆锥面，树叶可看作质点与伞柄的距离为R，如图所示。雨伞的角速度逐渐增大，达到时，树叶即将发生滑动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．随着增大，树叶受到的合力大于向心力，最终脱离伞面
B．树叶与伞面之间的动摩擦因数
C．树叶滑动之前，随着增大，树叶受到的摩擦力变大
D．树叶滑动之前，随着增大，树叶受到的支持力变大
3．如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO＇的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
A．b一定比a后开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．时b相对圆盘未发生相对滑动
D．当时，a所受摩擦力的大小为
4．如图所示，在半径为R的半球形陶罐的内表面上，一质量为m的光滑小球在距碗口高度为h的水平面内做匀速圆周运动，小球可视为质点，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动的周期为B．小球运动的线速度为
C．陶罐对小球的支持力为D．小球运动的向心加速度为
5．用一根细线一端系一可视为质点的小球，另一端固定在一光滑锥顶上，如图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω。线的张力为FT，则FT随ω2变化的图象是下图中的（ ）
A．B．
C．D．
6．如图所示，在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，当火车以规定的行驶速度v转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压。已知火车质量为m，轨道平面与水平面夹角为θ，重力加速度为g。在火车转弯的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．火车受重力、支持力和向心力
B．该弯道的半径
C．铁轨对火车的支持力等于
D．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的侧向挤压
二、多选题
7．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A、B两个质量相等的小物块。A离轴心距离r=10cm，B离轴心距离2r=20cm，A、B与盘面间动摩擦因数均为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g=10m/s2，开始时细绳恰好伸直。当圆盘转动的角速度ω从零开始逐渐增大的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当ω=5rad/s时，绳子没有拉力
B．当ω=5rad/s时，A所受的静摩擦力为零
C．ω在5rad/s＜ω＜5rad/s范围内增大时，A所受的摩擦力一直增大
D．若当A、B两物体刚好开始相对桌面滑动时剪断细绳，B将做离心运动，A将做近心运动
8．若将中国短道速滑运动员林孝俊在弯道转弯的过程看成在水平冰面上的一段匀速圆周运动，转弯时冰刀嵌入冰内从而使冰刀受与冰面夹角为θ（蹬冰角）的支持力，不计一切摩擦，弯道半径为R，重力加速度为g。以下说法正确的是（ ）
A．地面对运动员的作用力与重力的合力提供向心力
B．运动员转弯时速度的大小为
C．若转弯速度变大则需要减小冰角
D．运动员做匀速圆周运动，他所受合外力保持不变
竖直面内的圆周运动
一、单选题
1．如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方有一钉子C，O、C的距离为，把悬线另一端的小球A拉到跟悬点在同一水平面处无初速度释放，小球运动到悬点正下方，悬线碰到钉子瞬间（ ）
A．小球的线速度突然增大为原来的2倍
B．小球的加速度突然增大为原来的2倍
C．小球受的拉力突然增大为原来的2倍
D．小球的向心力突然增大为原来的4倍
2．如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是（ ）
A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座位不可能产生压力
C．人在最低点时对座位的压力等于mg
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
3．如图所示，在粗糙水平板上放一个物块，使水平板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动。、为水平直径，、为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则（ ）
A．物块始终受到三个力作用
B．从a到b，物块处于超重状态
C．从b到a，物块处于超重状态
D．只有在四点，物块受到的合外力才指向圆心
4．如图所示，长为3L的轻杆可绕光滑水平转轴O转动，在杆两端分别固定质量均为m的球A、B，球A距轴O的距离为已知。现给系统一定能量，使杆和球在竖直平面内转动。当球B运动到最高点时，水平转轴O对杆的作用力恰好为零，忽略空气阻力，已知重力加速度为g，则球B在最高点时，下列说法正确的是（ ）
A．球B的速度为
B．球B的速度为2
C．球B的速度为2
D．杆对球B的弹力方向竖直向上
5．如图所示，一辆可视为质点的汽车以恒定的速率驶过竖直面内的凸形桥。已知凸形桥面是圆弧形柱面，则下列说法中正确的是（ ）
A．汽车在凸形桥上行驶的过程中，所受合力始终为零
B．汽车在凸形桥上行驶的过程中，始终处于失重状态
C．汽车从桥底行驶到桥顶的过程中，其机械能守恒
D．汽车从桥底行驶到桥顶的过程中，所受重力做功为零
6．重庆巴南区的一段“波浪形”公路如图甲所示，公路的坡底与坡顶间有一定高度差，若该公路可看作由半径相同的凹凸路面彼此连接而成，如图乙所示。如甲图所示重力为G的货车平行于中心标线行驶，先后经过了某段凸形路面的最高点M和凹形路面的最低点N时，对路面的压力大小分别为、。则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．如图所示，质量为m的小球置于内表面光滑的正方体盒子中，盒子的棱长略大于球的直径。某同学拿着这个盒子在竖直面内做半径为R的匀速圆周运动，盒子在运动过程中不发生转动，已知重力加速度为g，盒子经过最高点A时与小球间恰好无作用力。以下说法正确的是（ ）
A．该盒子做匀速圆周运动的周期为
B．该盒子做匀速圆周运动的线速度为
C．盒子经过与圆心O等高处的B点时，小球对盒子左壁的压力大小为mg
D．盒子经过最低点C时与小球之间的作用力大小为mg
8．如图所示，圆心为的竖直光滑半圆轨道ab、圆心为的竖直光滑半圆管道cd与水平粗糙平面bc连接，轨道ab半径与管道cd半径均为R，bc距离也为R。一小滑块以某一速度从半圆轨道最高点a水平向左进入半圆轨道做圆周运动，最终从半圆管道最高点d水平向左飞出。若小滑块在轨道ab最高点a和管道cd最高点d受到弹力大小均为0.6mg。重力加速度为g，小滑块可视为质点，管道内径较小，则（ ）
A．滑块在a点的速度与经过d点时的速度大小相等
B．滑块从a点水平飞出的速度为
C．水平粗糙平面bc的动摩擦因数为0.6
D．滑块对轨道ab最低点和管道cd最低点的压力大小比为11:9
9．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，轻杆与小球之间弹力的大小为F，小球速度的大小为，其图像如图乙所示。则（ ）
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．时，小球对轻杆的弹力方向向上
D．时，小球受到的弹力与重力大小不相等
10．周日，一同学和父母一起自驾外出游玩，途中某段路面由两个半径相同的圆弧相切组成，该同学乘坐的汽车（视为质点）以不变的速率通过这段路面，在通过凸形路面最高点B时，汽车对路面的压力恰好为零。已知汽车及车上人的总质量为m，圆弧路面的半径为R，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．汽车的速率为
B．汽车的速率为
C．汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为3mg
D．汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为2mg
斜面上的圆周运动
一、单选题
1．如图所示，在倾角为的光滑斜面上，有一根长为的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为的小球，沿斜面做圆周运动，取，小球在A点最小速度为（ ）
A．B．C．D．
2．倾角θ的光滑斜面上的O点固定有一根长为L的轻质细线，细线的另一端拴住质量为m的小球（视为质点），P点钉有一颗光滑钉子（），如图所示．现将小球拉至与O点等高的A点由静止释放，释放前细线刚好拉直，之后小球恰能绕钉子做半径为R的完整圆周运动．则下列说法中正确的是（ ）
A．由题意判断可得
B．小球刚被释放后的加速度大小为
C．细线碰到钉子之前，小球在运动过程中合外力全部提供向心力
D．细线碰到钉子以后，小球在运动过程中的最小速率为
3．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度转动，盘面上离转轴0.1m处有一小物体，小物体与圆盘始终保持相对静止，小物体与盘面间的动摩擦因数为。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面间的夹角为30°，。则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
4．如图所示，一倾斜的匀质圆盘可绕通过圆心、垂直于盘面的固定轴以不同的角速度匀速转动，盘面上离转轴距离为处有一可视为质点的小物体始终相对静止在圆盘上。已知物块与盘面间的动摩擦因数为，盘面与水平面的夹角，重力加速度大小为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．小物体运动到最高点时所受静摩擦力可能为零
B．若要小物体与圆盘始终保持相对静止，圆盘角速度的最大值为
C．圆盘做匀速圆周运动，小物体运动到与圆盘圆心等高点时摩擦力方向指向圆盘中心
D．小物体运动过程中静摩擦力方向始终都是通过圆盘中心，但不一定指向圆盘中心，也可能是背离圆盘中心
5．如图所示，将一个小物体置于斜面长为、倾角为的斜面的中点，斜面可绕竖直轴做匀速圆周运动，物体与斜面间的动摩擦因数为，要使物体与斜面保持相对静止，则斜面转动的最大角速度为（假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，=，sin37°=0.6，cs37°=0.8）（ ）
A．1.00rad/sB．0.75rad/s
C．0.50rad/sD．0.25rad/s
6．如图所示，一倾角为θ＝30°的斜劈静置于粗糙水平面上，斜劈上表面光滑，一轻绳的一端固定在斜面上的O点，另一端系一小球。在图示位置垂直于绳给小球一初速度，使小球恰好能在斜面上做圆周运动。已知O点到小球球心的距离为l，重力加速度为g，整个过程中斜劈静止，下列说法正确的是（ ）
A．小球在顶端时，速度大小为
B．小球在底端时，速度大小为
C．小球运动过程中，地面对斜劈的摩擦力大小不变
D．小球运动过程中，地面对斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和
二、多选题
7．如图所示，在倾角为的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻杆一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻杆与斜面平行，不计一切摩擦。下列说法正确的是（ ）
A．小球通过A点时所受轻杆的作用力大小为
B．小球通过B点时的最小速度为
C．小球通过A点时斜面对小球的支持力与小球的速度无关
D．若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻杆，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L
8．如图所示，倾角θ=30°的斜面ABC固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，斜面最低点A在转轴OO₁上。可视为质点、质量为m的小物块随转台一起以角速度ω匀速转动，此时小物块到A点的距离为L，其与斜面之间动摩擦因数为重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则物块随斜面一起转动且无相对滑动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小物块对斜面的压力大小可能等于
B．小物块对斜面的压力大小不可能等于
C．水平转台转动角速度ω可能为
D．水平转台转动角速度ω不可能为
一、解答题
1．如图，一半径为的光滑四分之一圆弧轨道竖直放置，其末端A与一水平传送带相连，传送带以的速度向右匀速转动（不计转轮大小），在传送带右端B的正下方有一水平放置的静止圆盘，在其右边缘C点固定一个高度不计且没有底的光滑小桶，传送带与圆盘直径平行且传送带右端B与圆盘左边缘D点在同一竖直线上，其高度差为。一质量为的物块（可视为质点）从四分之一圆孤轨道上某处由静止滑下，无能量损失地滑上传送带后，先加速，经与传送带共速，后经传送带右端B水平抛出，恰好落入小桶内，圆盘随即开始加速转动至角速度后匀速转动，在此过程中，物块与圆盘始终保持相对静止。已知物块与传送带间的动摩擦因数为，物块与圆盘间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小取。求：
（1）圆盘的半径R和物块经过A点时，对四分之一圆弧轨道的压力大小；
（2）圆盘匀速转动时，小桶对物块的作用力大小F（结果可用分数表示）；
（3）圆盘所在水平面与地面间的高度差为，匀速转动时，若将小桶轻轻拿走，求物块落地点与圆盘圆心O的水平距离d。
2．如图所示，竖直固定的四分之一粗糙圆轨道下端B点水平，半径R1=1m，质量M=1kg的长薄板静置于倾角θ=37°的粗糙斜面CD上，其最上端刚好在斜面顶端C点。一质量为m=1.5kg的滑块（可看做质点）从圆轨道A点由静止滑下，运动至B点时对轨道的压力大小为FN=39N，接着从B点水平抛出，恰好以平行于斜面的速度落到薄板最上端，并在薄板上开始向下运动；当小物体落到薄板最上端时，薄板无初速度释放并开始沿斜面向下运动，其运动至斜面底端时与竖直固定的光滑半圆轨道DE底端粘接在一起。已知斜面CD长L2=7.875m，薄板长L1=2.5m，厚度忽略不计，其与斜面的动摩擦因数μ1=0.25，滑块与长薄板间的动摩擦因数为μ2=0.5，滑块在斜面底端的能量损失和运动过程中空气阻力均忽略不计，g=10m/s2，sin37°=0.6，cs37°=0.8，试求：
（1）滑块运动至B点时速度大小v及滑块由A到B运动过程中克服摩擦力做的功Wf；
（2）滑块运动到D点时的速度大小；
（3）如果要使滑块不会中途脱离竖直半圆轨道DE，其半径R2需要满足什么条件？
3．如图所示，一水平放置的内表面光滑对称“V”型二面体AB－CD－EF，可绕其竖直中心轴在水平面内匀速转动，置于AB中点P的小物体（视为质点）恰好在ABCD面上没有相对滑动。二面体的二面角为120°。面ABCD和面CDEF的长和宽均为L＝20cm，CD距水平地面的高度为h＝1.1m，取重力加速度。
（1）求“V”型二面体匀速转动的角速度的大小；
（2）若“V”型二面体突然停止转动，求小物体从二面体上离开的位置距A点的距离。
4．长为的杆OC固定在地面上且与倾斜圆盘AB（厚度不计）垂直，装置截面如图所示，盘面与水平面夹角，圆盘可以以杆为轴旋转，利用该装置可以研究匀速圆周运动的相关规律，研究过程如下：将一大小可忽略。质量的物块放置于圆盘边缘最低点A点，物块与圆盘间动摩擦因数，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，观察到若圆盘做匀速圆周运动时的角速度小于等于lrad/s时，物块能够随圆盘一起匀速转动，否则会飞离圆盘，求：（g取）
（1）圆盘直径D；
（2）物块转到圆盘边缘最高点B点时受到的摩擦力：
（3）当圆盘做匀速圆周运动的角速度为1rad/s，物块旋转到最低点A点时，圆盘因故障突然停止转动，物块滑离圆盘，物块落地点距C点的距离。
类型
描述
方法
水平面内的圆周运动
此类问题相对简单，物体所受合外力充当向心力，合外力大小不变，方向总是指向圆心。
选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象；分析物体受力情况，其合外力提供向心力；由Fn＝meq \f(v2,r)=mrω2列方程求解。
竖直面内的圆周运动
拱桥模型
受力特征：下有支撑，上无约束
临界特征：FN＝0 ，mg＝mv2max，即vmax＝eq \r(gR)。过最高点条件：v≤eq \r(gr)。讨论分析：v≤eq \r(gr)时：mg－FN＝meq \f(v2,r)，FN＝mg－meq \f(v2,r)eq \r(gr)时：到达最高点前做斜上抛运动飞离桥面。
轻绳模型
受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零
临界特征：FN＝0 ，mg＝meq \f(v\\al(2,min),R)即vmin＝eq \r(gR)。过最高点条件：在最高点的速度v≥eq \r(gR)。讨论分析：过最高点时，v≥eq \r(gr)，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，绳、圆轨道对球产生弹力FN；不能过最高点时，v轻杆模型
受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上。
临界特征：v＝0即F向＝0 FN＝mg。
过最高点条件：在最高点的速度v≥0。讨论分析：当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心；当0当v>eq \r(gr)时，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，FN指向圆心并随v的增大而增大。
斜面上的圆周运动
静摩擦力控制下的圆周运动
在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。
与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。
轻杆控制下的圆周运动
轻绳控制下的圆周运动
临界状态
临界条件
接触面分离
接触面弹力为0
接触面相对滑动
接触面间的摩擦力为最大静摩擦力
轻绳拉直
轻绳拉力易燃为0
知识点1：不同面上的圆周运动
圆周运动中的临界问题
明确临界状态：题目中出现“刚好”、“恰好”、“取值范围”等词语一般可判断题中存在临界条件；如果题中出现“最大”“最小”等词语表明题中存在极值，这个极值经常是临界状态。
明确临界条件：分析临界状态出现的条件并用数学语言表示出来。
物理规律的选择：确定了临界状态和临界条件后，对于不同的运动过程要选择恰当的物理规律并列等式求解。
水平面临界问题
竖直面内圆周运动的求解思路
确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。
确定临界点：v临＝eq \r(gr)，对轻绳，模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点。
确定研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。
进行受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程F合=F向。
进行过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。
水平面内的圆周运动
一、单选题
1．绳a长为L，与水平方向成θ角时绳b恰好在水平方向伸直。当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a、b绳均拉直。重力加速度为g，则（ ）
A．a绳的拉力可能为零
B．a绳的拉力随角速度的增大而增大
C．当角速度时，b绳中拉力不为零
D．当角速度时，若a绳突然被剪断，则b绳仍可保持水平
2．一片树叶落在雨伞上面，通过旋转雨伞可以将树叶甩出去。雨伞平面可以看作圆锥面，树叶可看作质点与伞柄的距离为R，如图所示。雨伞的角速度逐渐增大，达到时，树叶即将发生滑动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．随着增大，树叶受到的合力大于向心力，最终脱离伞面
B．树叶与伞面之间的动摩擦因数
C．树叶滑动之前，随着增大，树叶受到的摩擦力变大
D．树叶滑动之前，随着增大，树叶受到的支持力变大
3．如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO＇的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
A．b一定比a后开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．时b相对圆盘未发生相对滑动
D．当时，a所受摩擦力的大小为
4．如图所示，在半径为R的半球形陶罐的内表面上，一质量为m的光滑小球在距碗口高度为h的水平面内做匀速圆周运动，小球可视为质点，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动的周期为B．小球运动的线速度为
C．陶罐对小球的支持力为D．小球运动的向心加速度为
5．用一根细线一端系一可视为质点的小球，另一端固定在一光滑锥顶上，如图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω。线的张力为FT，则FT随ω2变化的图象是下图中的（ ）
A．B．
C．D．
6．如图所示，在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，当火车以规定的行驶速度v转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压。已知火车质量为m，轨道平面与水平面夹角为θ，重力加速度为g。在火车转弯的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．火车受重力、支持力和向心力
B．该弯道的半径
C．铁轨对火车的支持力等于
D．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的侧向挤压
二、多选题
7．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A、B两个质量相等的小物块。A离轴心距离r=10cm，B离轴心距离2r=20cm，A、B与盘面间动摩擦因数均为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g=10m/s2，开始时细绳恰好伸直。当圆盘转动的角速度ω从零开始逐渐增大的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当ω=5rad/s时，绳子没有拉力
B．当ω=5rad/s时，A所受的静摩擦力为零
C．ω在5rad/s＜ω＜5rad/s范围内增大时，A所受的摩擦力一直增大
D．若当A、B两物体刚好开始相对桌面滑动时剪断细绳，B将做离心运动，A将做近心运动
8．若将中国短道速滑运动员林孝俊在弯道转弯的过程看成在水平冰面上的一段匀速圆周运动，转弯时冰刀嵌入冰内从而使冰刀受与冰面夹角为θ（蹬冰角）的支持力，不计一切摩擦，弯道半径为R，重力加速度为g。以下说法正确的是（ ）
A．地面对运动员的作用力与重力的合力提供向心力
B．运动员转弯时速度的大小为
C．若转弯速度变大则需要减小冰角
D．运动员做匀速圆周运动，他所受合外力保持不变
竖直面内的圆周运动
一、单选题
1．如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方有一钉子C，O、C的距离为，把悬线另一端的小球A拉到跟悬点在同一水平面处无初速度释放，小球运动到悬点正下方，悬线碰到钉子瞬间（ ）
A．小球的线速度突然增大为原来的2倍
B．小球的加速度突然增大为原来的2倍
C．小球受的拉力突然增大为原来的2倍
D．小球的向心力突然增大为原来的4倍
2．如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是（ ）
A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座位不可能产生压力
C．人在最低点时对座位的压力等于mg
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
3．如图所示，在粗糙水平板上放一个物块，使水平板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动。、为水平直径，、为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则（ ）
A．物块始终受到三个力作用
B．从a到b，物块处于超重状态
C．从b到a，物块处于超重状态
D．只有在四点，物块受到的合外力才指向圆心
4．如图所示，长为3L的轻杆可绕光滑水平转轴O转动，在杆两端分别固定质量均为m的球A、B，球A距轴O的距离为已知。现给系统一定能量，使杆和球在竖直平面内转动。当球B运动到最高点时，水平转轴O对杆的作用力恰好为零，忽略空气阻力，已知重力加速度为g，则球B在最高点时，下列说法正确的是（ ）
A．球B的速度为
B．球B的速度为2
C．球B的速度为2
D．杆对球B的弹力方向竖直向上
5．如图所示，一辆可视为质点的汽车以恒定的速率驶过竖直面内的凸形桥。已知凸形桥面是圆弧形柱面，则下列说法中正确的是（ ）
A．汽车在凸形桥上行驶的过程中，所受合力始终为零
B．汽车在凸形桥上行驶的过程中，始终处于失重状态
C．汽车从桥底行驶到桥顶的过程中，其机械能守恒
D．汽车从桥底行驶到桥顶的过程中，所受重力做功为零
6．重庆巴南区的一段“波浪形”公路如图甲所示，公路的坡底与坡顶间有一定高度差，若该公路可看作由半径相同的凹凸路面彼此连接而成，如图乙所示。如甲图所示重力为G的货车平行于中心标线行驶，先后经过了某段凸形路面的最高点M和凹形路面的最低点N时，对路面的压力大小分别为、。则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．如图所示，质量为m的小球置于内表面光滑的正方体盒子中，盒子的棱长略大于球的直径。某同学拿着这个盒子在竖直面内做半径为R的匀速圆周运动，盒子在运动过程中不发生转动，已知重力加速度为g，盒子经过最高点A时与小球间恰好无作用力。以下说法正确的是（ ）
A．该盒子做匀速圆周运动的周期为
B．该盒子做匀速圆周运动的线速度为
C．盒子经过与圆心O等高处的B点时，小球对盒子左壁的压力大小为mg
D．盒子经过最低点C时与小球之间的作用力大小为mg
8．如图所示，圆心为的竖直光滑半圆轨道ab、圆心为的竖直光滑半圆管道cd与水平粗糙平面bc连接，轨道ab半径与管道cd半径均为R，bc距离也为R。一小滑块以某一速度从半圆轨道最高点a水平向左进入半圆轨道做圆周运动，最终从半圆管道最高点d水平向左飞出。若小滑块在轨道ab最高点a和管道cd最高点d受到弹力大小均为0.6mg。重力加速度为g，小滑块可视为质点，管道内径较小，则（ ）
A．滑块在a点的速度与经过d点时的速度大小相等
B．滑块从a点水平飞出的速度为
C．水平粗糙平面bc的动摩擦因数为0.6
D．滑块对轨道ab最低点和管道cd最低点的压力大小比为11:9
9．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，轻杆与小球之间弹力的大小为F，小球速度的大小为，其图像如图乙所示。则（ ）
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．时，小球对轻杆的弹力方向向上
D．时，小球受到的弹力与重力大小不相等
10．周日，一同学和父母一起自驾外出游玩，途中某段路面由两个半径相同的圆弧相切组成，该同学乘坐的汽车（视为质点）以不变的速率通过这段路面，在通过凸形路面最高点B时，汽车对路面的压力恰好为零。已知汽车及车上人的总质量为m，圆弧路面的半径为R，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．汽车的速率为
B．汽车的速率为
C．汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为3mg
D．汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为2mg
斜面上的圆周运动
一、单选题
1．如图所示，在倾角为的光滑斜面上，有一根长为的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为的小球，沿斜面做圆周运动，取，小球在A点最小速度为（ ）
A．B．C．D．
2．倾角θ的光滑斜面上的O点固定有一根长为L的轻质细线，细线的另一端拴住质量为m的小球（视为质点），P点钉有一颗光滑钉子（），如图所示．现将小球拉至与O点等高的A点由静止释放，释放前细线刚好拉直，之后小球恰能绕钉子做半径为R的完整圆周运动．则下列说法中正确的是（ ）
A．由题意判断可得
B．小球刚被释放后的加速度大小为
C．细线碰到钉子之前，小球在运动过程中合外力全部提供向心力
D．细线碰到钉子以后，小球在运动过程中的最小速率为
3．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度转动，盘面上离转轴0.1m处有一小物体，小物体与圆盘始终保持相对静止，小物体与盘面间的动摩擦因数为。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面间的夹角为30°，。则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
4．如图所示，一倾斜的匀质圆盘可绕通过圆心、垂直于盘面的固定轴以不同的角速度匀速转动，盘面上离转轴距离为处有一可视为质点的小物体始终相对静止在圆盘上。已知物块与盘面间的动摩擦因数为，盘面与水平面的夹角，重力加速度大小为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．小物体运动到最高点时所受静摩擦力可能为零
B．若要小物体与圆盘始终保持相对静止，圆盘角速度的最大值为
C．圆盘做匀速圆周运动，小物体运动到与圆盘圆心等高点时摩擦力方向指向圆盘中心
D．小物体运动过程中静摩擦力方向始终都是通过圆盘中心，但不一定指向圆盘中心，也可能是背离圆盘中心
5．如图所示，将一个小物体置于斜面长为、倾角为的斜面的中点，斜面可绕竖直轴做匀速圆周运动，物体与斜面间的动摩擦因数为，要使物体与斜面保持相对静止，则斜面转动的最大角速度为（假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，=，sin37°=0.6，cs37°=0.8）（ ）
A．1.00rad/sB．0.75rad/s
C．0.50rad/sD．0.25rad/s
6．如图所示，一倾角为θ＝30°的斜劈静置于粗糙水平面上，斜劈上表面光滑，一轻绳的一端固定在斜面上的O点，另一端系一小球。在图示位置垂直于绳给小球一初速度，使小球恰好能在斜面上做圆周运动。已知O点到小球球心的距离为l，重力加速度为g，整个过程中斜劈静止，下列说法正确的是（ ）
A．小球在顶端时，速度大小为
B．小球在底端时，速度大小为
C．小球运动过程中，地面对斜劈的摩擦力大小不变
D．小球运动过程中，地面对斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和
二、多选题
7．如图所示，在倾角为的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻杆一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻杆与斜面平行，不计一切摩擦。下列说法正确的是（ ）
A．小球通过A点时所受轻杆的作用力大小为
B．小球通过B点时的最小速度为
C．小球通过A点时斜面对小球的支持力与小球的速度无关
D．若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻杆，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L
8．如图所示，倾角θ=30°的斜面ABC固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，斜面最低点A在转轴OO₁上。可视为质点、质量为m的小物块随转台一起以角速度ω匀速转动，此时小物块到A点的距离为L，其与斜面之间动摩擦因数为重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则物块随斜面一起转动且无相对滑动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小物块对斜面的压力大小可能等于
B．小物块对斜面的压力大小不可能等于
C．水平转台转动角速度ω可能为
D．水平转台转动角速度ω不可能为
一、解答题
1．如图，一半径为的光滑四分之一圆弧轨道竖直放置，其末端A与一水平传送带相连，传送带以的速度向右匀速转动（不计转轮大小），在传送带右端B的正下方有一水平放置的静止圆盘，在其右边缘C点固定一个高度不计且没有底的光滑小桶，传送带与圆盘直径平行且传送带右端B与圆盘左边缘D点在同一竖直线上，其高度差为。一质量为的物块（可视为质点）从四分之一圆孤轨道上某处由静止滑下，无能量损失地滑上传送带后，先加速，经与传送带共速，后经传送带右端B水平抛出，恰好落入小桶内，圆盘随即开始加速转动至角速度后匀速转动，在此过程中，物块与圆盘始终保持相对静止。已知物块与传送带间的动摩擦因数为，物块与圆盘间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小取。求：
（1）圆盘的半径R和物块经过A点时，对四分之一圆弧轨道的压力大小；
（2）圆盘匀速转动时，小桶对物块的作用力大小F（结果可用分数表示）；
（3）圆盘所在水平面与地面间的高度差为，匀速转动时，若将小桶轻轻拿走，求物块落地点与圆盘圆心O的水平距离d。
2．如图所示，竖直固定的四分之一粗糙圆轨道下端B点水平，半径R1=1m，质量M=1kg的长薄板静置于倾角θ=37°的粗糙斜面CD上，其最上端刚好在斜面顶端C点。一质量为m=1.5kg的滑块（可看做质点）从圆轨道A点由静止滑下，运动至B点时对轨道的压力大小为FN=39N，接着从B点水平抛出，恰好以平行于斜面的速度落到薄板最上端，并在薄板上开始向下运动；当小物体落到薄板最上端时，薄板无初速度释放并开始沿斜面向下运动，其运动至斜面底端时与竖直固定的光滑半圆轨道DE底端粘接在一起。已知斜面CD长L2=7.875m，薄板长L1=2.5m，厚度忽略不计，其与斜面的动摩擦因数μ1=0.25，滑块与长薄板间的动摩擦因数为μ2=0.5，滑块在斜面底端的能量损失和运动过程中空气阻力均忽略不计，g=10m/s2，sin37°=0.6，cs37°=0.8，试求：
（1）滑块运动至B点时速度大小v及滑块由A到B运动过程中克服摩擦力做的功Wf；
（2）滑块运动到D点时的速度大小；
（3）如果要使滑块不会中途脱离竖直半圆轨道DE，其半径R2需要满足什么条件？
3．如图所示，一水平放置的内表面光滑对称“V”型二面体AB－CD－EF，可绕其竖直中心轴在水平面内匀速转动，置于AB中点P的小物体（视为质点）恰好在ABCD面上没有相对滑动。二面体的二面角为120°。面ABCD和面CDEF的长和宽均为L＝20cm，CD距水平地面的高度为h＝1.1m，取重力加速度。
（1）求“V”型二面体匀速转动的角速度的大小；
（2）若“V”型二面体突然停止转动，求小物体从二面体上离开的位置距A点的距离。
4．长为的杆OC固定在地面上且与倾斜圆盘AB（厚度不计）垂直，装置截面如图所示，盘面与水平面夹角，圆盘可以以杆为轴旋转，利用该装置可以研究匀速圆周运动的相关规律，研究过程如下：将一大小可忽略。质量的物块放置于圆盘边缘最低点A点，物块与圆盘间动摩擦因数，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，观察到若圆盘做匀速圆周运动时的角速度小于等于lrad/s时，物块能够随圆盘一起匀速转动，否则会飞离圆盘，求：（g取）
（1）圆盘直径D；
（2）物块转到圆盘边缘最高点B点时受到的摩擦力：
（3）当圆盘做匀速圆周运动的角速度为1rad/s，物块旋转到最低点A点时，圆盘因故障突然停止转动，物块滑离圆盘，物块落地点距C点的距离。
类型
描述
方法
水平面内的圆周运动
此类问题相对简单，物体所受合外力充当向心力，合外力大小不变，方向总是指向圆心。
选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象；分析物体受力情况，其合外力提供向心力；由Fn＝meq \f(v2,r)=mrω2列方程求解。
竖直面内的圆周运动
拱桥模型
受力特征：下有支撑，上无约束
临界特征：FN＝0 ，mg＝mv2max，即vmax＝eq \r(gR)。过最高点条件：v≤eq \r(gr)。讨论分析：v≤eq \r(gr)时：mg－FN＝meq \f(v2,r)，FN＝mg－meq \f(v2,r)
轻绳模型
受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零
临界特征：FN＝0 ，mg＝meq \f(v\\al(2,min),R)即vmin＝eq \r(gR)。过最高点条件：在最高点的速度v≥eq \r(gR)。讨论分析：过最高点时，v≥eq \r(gr)，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，绳、圆轨道对球产生弹力FN；不能过最高点时，v
受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上。
临界特征：v＝0即F向＝0 FN＝mg。
过最高点条件：在最高点的速度v≥0。讨论分析：当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心；当0
斜面上的圆周运动
静摩擦力控制下的圆周运动
在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。
与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。
轻杆控制下的圆周运动
轻绳控制下的圆周运动
临界状态
临界条件
接触面分离
接触面弹力为0
接触面相对滑动
接触面间的摩擦力为最大静摩擦力
轻绳拉直
轻绳拉力易燃为0
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