沪教版九年级上册数学专题训练专题15相似三角形单元测试卷(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题15相似三角形单元测试卷(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了已知，则的值为，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
1．若△ABC∽△DEF，且对应中线比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：16
2．如图，以点O为位似中心，将缩小后得到，已知，则与的面积的比为
A．1：3B．1：4C．1：5D．1：9
3．如图，在4×4正方形网格中画出的三角形中，与图中的三角形相似的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．下列命题正确的是（ ）
A．相似三角形的面积比等于相似比
B．等边三角形是中心对称图形
C．若直线经过一、二、四象限，则
D．二次函数的最小值是
6．若△ABC∽△DEF，相似比为4：3，则△ABC与△DEF对应的中线之比为（ ）
A．4：3B．3：4C．16：9D．9：16
7．如图，将△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，连接BB'、CC'，则BB'：CC'等于（ ）
A．AB：ACB．BC：AC
C．AB：BCD．AC：AB
8．如图，是的直径，是的切线，与交于点为上一点，若则等于（ ）
A．B．C．D．
9．如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点E、F，满足AB＝EF，点P是BC的中点，连接AF、PE，若AB＝8，则当AF+PE最小值时，线段AF的长度为( )
A．6B．C．2D．3
10．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A．B．C．D．
11．△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=30°，△ABC∽△A′B′C′，则∠C′=（ ）
A．30°B．60°C．50°D．75°
12．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（ ）
A．①②④B．②④⑤C．①②③④D．①②③⑤
第II卷（非选择题）
13．已知线段a、b、c、d是成比例线段，且a=2cm，b=0.6cm，c=4cm，那么d=______㎝．
14．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是S1=1，S2=4，S3=9，则△ABC的面积是___________
15．如图，点在射线上，点在射线上，且，．若，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为___________．
16．如图，l1//l2//l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若BC＝2AB，AD＝2，CF＝6，则BE的长为_____．
17．大唐芙蓉园位于古都西安大雁塔东侧，是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园．该园占地面积约为800000m2，小明按比例尺1∶2000缩小后画出该园示意图，其面积大约为____________m2．
18．如图所示，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是______，△ABC与△A′B′C′的相似比为______．
19．如图，△ABC中，D在AC上，且AD：DC=1：n，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，那么的值为_____（用n表示）．
20．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于________．
21．正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上．
（1）如图，若，则的值为___________；
（2）将△绕点D旋转得到△，连接、．若，则的值为___________．
G是△DEF的重心，若EF过点G且EF//BC，交AB、AC于E、F，若BC=2，则EF=______．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点A，．
（1）求直线的解析式；
（2）如图，点C在的延长线上，点D在x轴的负半轴上，连接交直线于点E，点E为线段的中点，设点D的横坐标为t，点C的纵坐标为d，求d与t的函数解析式；
（3）如图，在（2）的条件下，过点E作轴于点F，点G在的延长线上，点M为的中点，连接并延长交线段于点H，点N在的延长线上，连接、、，为钝角，若，求点G的坐标．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）平移△AOB，使得点A移动到点D，画出平移后的三角形（不写画法，保留画图痕迹）；
（2）在第（1）题画好的图形中，除了菱形ABCD外，还有哪种特殊的平行四边形？请给予证明．
25．数学活动 实验、猜想与证明
问题情境
（1）数学活动课上，小颖向同学们提出了这样一个问题：如图（1），在矩形ABCD中，AB=2BC，M、N分别是AB，CD的中点，作射线MN，连接MD，MC，请直接写出线段MD与MC之间的数量关系．
解决问题
（2）小彬受此问题启发，将矩形ABCD变为平行四边形，其中∠A为锐角，如图（2），AB=2BC，M，N分别是AB，CD的中点，过点C作CE⊥AD交射线AD于点E，交射线MN于点F，连接ME，MC，则ME=MC，请你证明小彬的结论；
（3）小丽在小彬结论的基础上提出了一个新问题：∠BME与∠AEM有怎样的数量关系？请你回答小丽提出的这个问题，并证明你的结论．
26．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接AF，CE．求证：四边形AECF是平行四边形．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
2021-2022学年九年级上册相似三角形单元测试卷
第I卷（选择题）
1．若△ABC∽△DEF，且对应中线比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：16
2．如图，以点O为位似中心，将缩小后得到，已知，则与的面积的比为
A．1：3B．1：4C．1：5D．1：9
3．如图，在4×4正方形网格中画出的三角形中，与图中的三角形相似的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．下列命题正确的是（ ）
A．相似三角形的面积比等于相似比
B．等边三角形是中心对称图形
C．若直线经过一、二、四象限，则
D．二次函数的最小值是
6．若△ABC∽△DEF，相似比为4：3，则△ABC与△DEF对应的中线之比为（ ）
A．4：3B．3：4C．16：9D．9：16
7．如图，将△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，连接BB'、CC'，则BB'：CC'等于（ ）
A．AB：ACB．BC：AC
C．AB：BCD．AC：AB
8．如图，是的直径，是的切线，与交于点为上一点，若则等于（ ）
A．B．C．D．
9．如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点E、F，满足AB＝EF，点P是BC的中点，连接AF、PE，若AB＝8，则当AF+PE最小值时，线段AF的长度为( )
A．6B．C．2D．3
10．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A．B．C．D．
11．△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=30°，△ABC∽△A′B′C′，则∠C′=（ ）
A．30°B．60°C．50°D．75°
12．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（ ）
A．①②④B．②④⑤C．①②③④D．①②③⑤
第II卷（非选择题）
13．已知线段a、b、c、d是成比例线段，且a=2cm，b=0.6cm，c=4cm，那么d=______㎝．
14．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是S1=1，S2=4，S3=9，则△ABC的面积是___________
15．如图，点在射线上，点在射线上，且，．若，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为___________．
16．如图，l1//l2//l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若BC＝2AB，AD＝2，CF＝6，则BE的长为_____．
17．大唐芙蓉园位于古都西安大雁塔东侧，是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园．该园占地面积约为800000m2，小明按比例尺1∶2000缩小后画出该园示意图，其面积大约为____________m2．
18．如图所示，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是______，△ABC与△A′B′C′的相似比为______．
19．如图，△ABC中，D在AC上，且AD：DC=1：n，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，那么的值为_____（用n表示）．
20．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于________．
21．正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上．
（1）如图，若，则的值为___________；
（2）将△绕点D旋转得到△，连接、．若，则的值为___________．
G是△DEF的重心，若EF过点G且EF//BC，交AB、AC于E、F，若BC=2，则EF=______．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点A，．
（1）求直线的解析式；
（2）如图，点C在的延长线上，点D在x轴的负半轴上，连接交直线于点E，点E为线段的中点，设点D的横坐标为t，点C的纵坐标为d，求d与t的函数解析式；
（3）如图，在（2）的条件下，过点E作轴于点F，点G在的延长线上，点M为的中点，连接并延长交线段于点H，点N在的延长线上，连接、、，为钝角，若，求点G的坐标．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）平移△AOB，使得点A移动到点D，画出平移后的三角形（不写画法，保留画图痕迹）；
（2）在第（1）题画好的图形中，除了菱形ABCD外，还有哪种特殊的平行四边形？请给予证明．
25．数学活动 实验、猜想与证明
问题情境
（1）数学活动课上，小颖向同学们提出了这样一个问题：如图（1），在矩形ABCD中，AB=2BC，M、N分别是AB，CD的中点，作射线MN，连接MD，MC，请直接写出线段MD与MC之间的数量关系．
解决问题
（2）小彬受此问题启发，将矩形ABCD变为平行四边形，其中∠A为锐角，如图（2），AB=2BC，M，N分别是AB，CD的中点，过点C作CE⊥AD交射线AD于点E，交射线MN于点F，连接ME，MC，则ME=MC，请你证明小彬的结论；
（3）小丽在小彬结论的基础上提出了一个新问题：∠BME与∠AEM有怎样的数量关系？请你回答小丽提出的这个问题，并证明你的结论．
26．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接AF，CE．求证：四边形AECF是平行四边形．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
参考答案
1．C
解析：
分析：根据相似三角形对应中线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可得.
【详解】∵△ABC∽△DEF，对应中线比为2：3，
∴△ABC与△DEF的相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：9，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的中线比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键.
2．D
分析：
先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
【详解】
∵OB=3OB′，
∴，
∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴．
∴，
故选D．
【点睛】
此题是位似变换，主要考查了位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质．
3．B
解析：
由图可知，三角形是直角三角形，两直角边分别为、2，
A、不是直角三角形，与图中的三角形不相似，故本选项错误；
B、是直角三角形，两分别为直角边2、4，与图中的三角形相似，故本选项正确；
C、是直角三角形，两分别为直角边2、3，与图中的三角形不相似，故本选项错误；
D、不是直角三角形，与图中的三角形不相似，故本选项错误．
故选B．
4．B
分析：
根据比的性质，可得a，b，c，代入代数式求值，可得答案．
【详解】
解：由a：b：c=2：4：5，
设a=2x，b=4x，c=5x．
∴==，
故选B．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用比的性质得出a=2x，b=4x，c=5x是解题的关键．
5．D
分析：
根据等边三角形的性质，相似三角形的性质，一次函数图像特点，二次函数的最值分别判断得出即可．
【详解】
解：（1）相似三角形的面积比等于相似比的平方，此命题错误；
（2）等边三角形不是中心对称图形，此命题错误；
（3）若直线经过一、二、四象限，则，，故此选项错误；
（4）二次函数可化为，故二次函数的最小值是，此命题正确；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关的性质定理做出判断是解题关键．
6．A
分析：
根据相似三角形的对应中线的比等于相似比计算．
【详解】
解：∵△ABC∽△DEF，相似比为4：3，
∴△ABC与△DEF对应的中线之比为4：3，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比是解题的关键．
7．A
解析：
分析：
利用旋转的性质得∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC，则可判断△ABB′∽△ACC′，然后利用相似三角形的性质可对各选项进行判断．
【详解】
解：∵△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，
∴∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC，
∴△ABB′∽△ACC′，
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
8．C
分析：
连接BC，证明，即可解决问题．
【详解】
连接．
∵是的切线，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理及其推论，以及切线的性质．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．
9．B
分析：
取CD的中点M，连接AM交CD于F，过P作交BD于E，此时，AF+PE的值最小，根据三角形的中位线的性质得到PM=BD，，根据平行四边形的判定和性质得到EP=FM，根据勾股定理得到AM==4，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：取CD的中点M，连接AM交CD于F，过P作PE∥AM交BD于E，此时，AF+PE的值最小，
在正方形ABCD中，,
∵P是BC的中点， M为CD的中点，
∴PM=，，
又∵，
∴四边形PEFM是平行四边形，
∴PM=EF，EP=FM，
∴，
故点EF为所求点．
∵AM=．
∵，
∴△ABF△MDF，
∴=，
∴
∴AF=．
故选B．
【点睛】
本题是四边形的综合题．考查了正方形的性质，轴对称﹣最短距离问题，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，正确的作出E，F的位置是解题的关键．
10．D
分析：
由已知条件易求得BE：BC＝1：5，由DE∥AC可证△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，可得DE：AC的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】
解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，
∴BE：EC＝1：4，∴BE：BC＝1：5，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，
∴DE：AC＝BE：BC＝1：5，
∴S△DOE：S△AOC＝（）2＝.
故选：D．
【点睛】
本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键.
11．D
分析：
利用相似三角形的对应角相等即可得到答案．
【详解】
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=30°，∴∠C=（180°﹣∠A）÷2=75°．
∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C′=∠C=75°．
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及相似三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得等腰三角形底角的度数．
12．A
解析：
①，且，
∴，成立．
②且，
∴，成立．
③，但比一定与相等，故与不一定相似．
④且，
∴，成立．
⑤由，得无法确定出，
故不能证明：与相似．
故答案为．
点睛：本题考查了相似三角形的判定定理:(1)两角对应相等的两个三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;(3)三边对应成比例的两个三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
13．1.2．
【详解】
解：∵a：b=c：d，∴ad=bc，∴2d=4×0.6，∴d=1.2cm．
故答案为1.2．
【点睛】
本题考查比例线段．
14．36
分析：
根据相似三角形的面积比是相似比的平方，先求出相似比．再根据平行四边形的性质及相似三角形的性质得到BC：DM=6：1，即S△ABC：S△FDM=36：1，从而得到△ABC面积．
【详解】
解：过M作BC的平行线交AB、AC于D、E，
过M作AC的平行线交AB、BC于F、H，
过M作AB的平行线交AC、BC于I、G，
因为△1、△2、△3的面积比为1：4：9，
所以他们对应边边长的比为1：2：3，
因为DE//BC，FH//AC，GI//AB，
所以四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，
所以DM=BG，EM=CH，
设DM为x，则ME=2x，GH=3x，
所以BC=BG+GH+CH=DM+GH+ME=x+2x+3x=6x，
所以BC：DM=6x：x=6：1，
因为DE//BC，FH//AC，
所以∠FDM=∠B∠DFM=∠A，
所以△ABC∽△FDM，
由面积比等于相似比的平方故可得出：S△ABC：S△FDM=36：1，
所以S△ABC=36×S△FDM=36×1=36．
故答案为：36．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质．熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．
15．10.5
解析：
由平行可得相似，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，得，根据平行线间的距离相等，得，则，同理，，故三个阴影三角形面积之和
16．．
分析：
过A作DF的平行线，交BE于G，交CF于H，依据BGCH，即可得到＝，进而得出BE的长．
【详解】
解：如图所示，过A作DF的平行线，交BE于G，交CF于H，
则AD＝GE＝HF＝2，CH＝6﹣2＝4，
∵BG//CH，
∴＝，即＝，
∴BG＝，
∴BE＝BG+GE＝+2＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例，是重要考点，掌握相关知识、作出正确的辅助线是解题关键．
17．0.2
分析：
根据相似图形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】
解：设缩小后画出该园示意图的面积为x
由题意可得
解得：
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是相似图形的性质，掌握相似图形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键．
18．(9，0) 1∶2
解析：
分析：
首先连接B`B并延长交于C`C的延长线于点D,则点D即为位似中心,则可求得位似中心的坐标;又由△ABC与△A`B`C`的相似比即是其对应边的比,则可求得答
【详解】
连接B'B并延长交
于C'C的延长线于点D,则点D即为位似中心
则位似中心的坐标是:(9,0)
∵BC与B'C'是对应边,且BC=2,B`C'=4
△ABC与△A`B`C`的相似比为
BC:B`C`=2:4=1:2
故答案为:(9,0),1:2
【点睛】
此题考查位似变换，做辅助线是解题关键
19．
解析：
分析：
作DG平行于AF交BC于G．由平行线分线段成比例定理、比例的性质求得 ；然后根据三角形中位线的定义知BF=FG，所以由等量代换证得结论．
【详解】
证明：如图，作DG平行于AF交BC于G，则 ,

∵AD：DC=1：n，
∴AD：AC=1：（n+1）
根据比例的性质知，,
又E是BD的中点，
∴EF是△BGD的中位线，
∴BF=FG．
∴ ，
故答案为： 。
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例．列比例式时，一定要找准对应线段，以防错解．
20．
【详解】
∵AB∥CD∥EF，
∴ ，
故答案为．
21．；
【详解】
试题分析：（1）因为四边形CEDF是正方形，所以CE=DE,∠C=∠BED=90°，因为所以所以=；（2）如图：连结DC,DC′,易证△BB′D∽△CC′D,∴,设DC=，则DE=3x，DB=5x，∴BE=4x，∴tan∠B=tan∠BDE=．
考点：1．正方形的性质2．相似三角形的判定与性质3．图形的旋转4．锐角三角函数．
22．
分析：
连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG=2GP，则AG：AP=2：3，又EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC=2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC=AF：AC=2：3，代入BC的值即可求解．
【详解】
如下图所示，连接AG并延长，交BC于点P，
∵G为△ABC的重心，
∴AG=2GP，
∴，
∵EF过点G且EF∥BC，
∴△AGF∽△APC，
∴，
又∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∵BC=2，
∴，
故填：．
【点睛】
本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定及性质．三角形三边的中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
23．（1）y=-x+3；（2）d=-t+6；（3）（6，0）
分析：
（1）由题意可得A、B坐标，再利用待定系数法可得直线 AB 的解析式；
（2）由题意可得E点坐标为（0.5t，0.5d）,再根据E在直线AB上可得d与t的函数解析式；
（3）由题意可得△ACM∽△NDG，再根据已知条件可得OG=2OB，从而得到G点坐标．
【详解】
解：（1）∵直线 y=kx+b 交x轴于点B，交y轴于点A， OA=OB=3 ．
∴A（0，3）、B（3，0），
将A、B两点坐标代入y=kx+b得：
b=3，3k+b=0，
∴k=-1，
∴直线AB的解析式为：y=-x+3；
（2）由题意得：D（t,0）、C（0，d）,
∵E是CD中点，
∴E为（），
又E在直线AB上，
∴，
整理得：d=-t+6，
∴d与t的函数解析式：d=-t+6；
（3）由已知得F为（），
∵点M为EB中点，
∴M点坐标为（）,
∵FG=d，设G（x,0），
∴x-0.5t=d，
∴x=0.5t+d，
又∵∠MNG 为钝角，∠ACM=∠GDN,MG=2NG
∴△ACM∽△NDG，
∴OG=2OB，
∴G点坐标为（6，0）．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和解析式的求法是解题关键．
24．（1）如下图；（2）矩形OCED
解析：
试题分析：（1）根据平移变换的基本作法作出△AOB的三个顶点的对应点，再顺次连接即可；
（2）根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=OC，BO=OD，根据平移的性质可得AO=CO，BO=CE，即可证得四边形OCDE是平行四边形，再结合AC⊥BD可得□OCED是矩形．
（1）如图所示：
（2）还有特殊的四边形是矩形OCED．理由如下：
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AO=OC，BO=OD
由平移知：AO=CO，BO=CE
∴OC=DE，OD=CE
∴四边形OCDE是平行四边形
∵AC⊥BD
∴∠COD=90°
∴□OCED是矩形．
考点：基本作图-平移变换，菱形的性质，矩形的判定
点评：解题的关键是熟练掌握平移不改变图形的形状和大小；菱形的对角线互相垂直平分.
25．（1）MD=MC；（2）证明见解析；（3）∠BME=3∠AEM，证明见解析
分析：
（1）根据矩形的性质可得AD=BC，∠A=∠B=90°，然后利用SAS证出△AMD≌△BMC，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的判定证出四边形AMND和四边形MBCN为平行四边形，利用平行线分线段成比例定理证出CF=EF，从而得出MN垂直平分CE，根据垂直平分线的性质即可证出结论；
（3）根据平行四边形的性质可得AD∥MN∥BC，CF∥BM，MN=BC，然后根据平行线的性质、三线合一和等边对等角证出∠AEM=∠EMF、∠BMC=∠NMC、∠EMF=∠NMC，从而证出结论．
【详解】
解：（1）MD=MC
∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，∠A=∠B=90°
∵点M为AB的中点
∴AM=BM
在△AMD和△BMC中
∴△AMD≌△BMC
∴MD=MC
（2）∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AM=BM，CN=DN
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD
∴AM=BM= CN=DN
∴四边形AMND和四边形MBCN为平行四边形
∴AD∥MN
∴
∴CF=EF
∵CE⊥AD
∴CE⊥MN
∴MN垂直平分CE
∴ME = MC
（3）∠BME=3∠AEM，证明如下：
∵四边形AMND和四边形MBCN为平行四边形
∴AD∥MN∥BC，CF∥BM，MN=BC
∴∠AEM=∠EMF，∠NCM=∠BMC
∵AB=2BC，AB=CD=2CF
∴CF=MN
∴∠NCM=∠NMC
∴∠BMC=∠NMC
∵ME = MC，MF⊥CE
∴∠EMF=∠NMC
∴∠BME=∠EMF＋∠NMC＋∠BMC=3∠EMF=3∠AEM
即∠BME=3∠AEM
【点睛】
此题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握矩形的性质、平行四边形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解决此题的关键．
26．见解析.
分析：
由矩形的性质得到AB‖CD,AB=CD，再根据E、F分别是边AB、CD的中点可得：AE＝CF，再中上AE//CF可得出结论.
【详解】
∵矩形ABCD
∴AB‖CD,AB=CD
∵E,F分别是AB,CD的中点
∴AE=AB,CF=CD
∴AE=CF
∵AB‖CD
∴四边形AECF是平行四边形
【点睛】
考查了矩形的性质和平行四边形的判定，解答本题的关键是熟练掌握矩形的对边平行且相等．