人教版九年级数学上册精品专题24.2.2切线的判定与性质(第2课时)(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册精品专题24.2.2切线的判定与性质(第2课时)(原卷版+解析)，共40页。
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级课时练习）平面内，⊙的半径为，点到圆心的距离为，过点可作⊙的切线条数（ ）
A．条B．条C．条D．无数条
2．(2023·全国·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线D．过圆的半径外端的直线是圆的切线
3．(2023·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）如图，AB是圆O的直径，D是BA延长线上一点，DC与圆O相切于点C，连接BC，∠ABC＝20°，则∠BDC的度数为（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
4．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，已知⊙O上三点A、B、C，连接AB、AC、OB、OC，切线BD交OC的延长线于点D，∠A=25°，则∠D的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
5．(2023·重庆荣昌·九年级学业考试）如图，是的切线，切点为，是的直径，连接，，，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·广东·惠州一中九年级开学考试）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．44B．42C．46D．47
7．(2023·全国·九年级课时练习）如图中的数轴可以度量直径，则圆形图片的直径是（ ）
A．5﹣1B．5﹣(﹣1)C．﹣5﹣1D．﹣5﹣(﹣1)
8．(2023·全国·九年级）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB与小圆相切，已知AB=10cm，则两圆形成的圆环的面积等于（ ）
A．B．C．D．
9．(2023·河北唐山·一模）下列语句：①平分弦的直径垂直于弦；②三角形的内心到三角形各边的距离相等；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④过平面内三点可以作一个圆；⑤经过半径并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；⑥的圆周角所对的弦是直径；⑦相等的圆心角所对的弧相等．其中正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
10．(2023·重庆鼓楼学校一模）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对角线相互平分且相等的四边形为菱形
B．多边形的外角和为
C．若，则
D．过半径外端点且垂直于半径的直线为圆的切线
二、填空题
11．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C．若∠BCD＝50°，则∠ABC的大小为______°．
12．(2023·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线的解析式为若直线与半圆只有一个交点，则t的取值范围是________．
13．(2023·全国·九年级专题练习）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可）
14．(2023·全国·九年级课时练习）如图，为的直径，，当________时，直线与相切．
15．(2023·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级阶段练习）如图，切于点A，交于点，点在上，，则的度数是__________．
三、解答题
16．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．
17．(2023·全国·九年级课时练习）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，CD＝CB，∠D＝∠A
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，求BD的长．
18．(2023·全国·九年级课时练习）如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为6，∠BAC=60°，则DE=________．
19．(2023·全国·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线．
20．(2023·云南·会泽县大井镇第二中学校九年级期中）如图，△ABC内接于⊙O，PA，PB是切线，A、B分别为切点，若∠C=62°，求∠APB的度数．
21．(2023·全国·九年级专题练习）如图，O为菱形 ABCD对角线上一点，⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·江苏·模拟预测）如图，直线AE与四边形ABCD的外接圆相切于A点．若∠DAE＝12°， ，则∠ABC的度数是（ ）
A．64°B．65°C．67°D．68°
2．(2023·内蒙古包头·模拟预测）给出下列命题：
①三角形的三条高相交于一点；②垂直于半径的直线是圆的切线；
③如果不等式的解集为，那么；
④如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这个三角形是直角三角形．
其中正确的命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．(2023·全国·九年级课时练习）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则是⊙O的切线B．若，则是⊙O的切线
C．若，则是⊙O的切线D．若是⊙O的切线，则
4．(2023·全国·九年级专题练习）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（ ）
A．110°B．120°C．125°D．130°
5．(2023·全国·九年级单元测试）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，记切点为A、B，点C为⊙O上一点，连接AC、BC．若∠ACB＝62°，则∠APB等于（ ）
A．68°B．64°C．58°D．56°
二、填空题
6．(2023·全国·九年级课时练习）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线．
三、解答题
7．(2023·河北秦皇岛·一模）如图，点A和点B的坐标分别为（0，1），（0，5），点P是x轴上的一个动点．
（1）使∠APB＝30°的点P有______个；
（2）若点P在x轴上运动，当∠APB取得最大值时点P的坐标为______．
8．(2023·江苏·盐城市大丰区实验初级中学益民路分校九年级阶段练习）如图，已知 AB、AC 分别为⊙O 的直径和弦，D 为弧 BC 的中点，DE⊥AC 于 E，DE=6，AC=16．
(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2)求直径AB的长．
9．(2023·福建师范大学附属中学初中部九年级阶段练习）在圆O中，AB为弦，C为的中点，过B作BD⊥CB交圆O于点D，连接AB，作DE∥AB交CB延长线于点E．
(1)求证：DE为圆O的切线；
(2)求的最大值．
10．(2023·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是BA上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点P，与AC相切于点D，已知AB=8，⊙O的半径为r．
(1)如图1，若AP=DP，则⊙O的半径r值为_______；
(2)求BC=6，求⊙O的半径r长；
(3)若AD的垂直平分线和⊙O有公共点，求半径r的取值范围．
24.2.2切线的判定与性质（第2课时）（作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级课时练习）平面内，⊙的半径为，点到圆心的距离为，过点可作⊙的切线条数（ ）
A．条B．条C．条D．无数条
答案:A
分析：先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可得到答案．
【详解】⊙的半径为，点到圆心的距离为，
,
点与⊙的位置关系是：点在⊙的内部，
过点可以作⊙的条切线．
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，切线的定义，切线是圆与直线有且只有一个公共点的直线，正确的理解定义是解题的关键．
2．(2023·全国·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线D．过圆的半径外端的直线是圆的切线
答案:B
分析：根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可判定C、D错误；由切线的定义：到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，可判定A错误，B正确．注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线，故本选项错误；
B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；
C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误；
D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】此题考查了切线的判定．此题难度不大，注意掌握切线的判定定理与切线的定义是解此题的关键．
3．(2023·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）如图，AB是圆O的直径，D是BA延长线上一点，DC与圆O相切于点C，连接BC，∠ABC＝20°，则∠BDC的度数为（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
答案:A
【详解】连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据圆周角定理得到∠COD＝2∠ABC＝40°，根据三角形内角和定理即可得到结论．
【解答】解：连接OC，如图：
∵DC与圆O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠ABC＝20°，
∴∠COD＝2∠ABC＝40°，
∴∠BDC＝90°﹣40°＝50°，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键．
4．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，已知⊙O上三点A、B、C，连接AB、AC、OB、OC，切线BD交OC的延长线于点D，∠A=25°，则∠D的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
答案:C
分析：根据切线的性质得∠OBD=90°，再根据圆周角定理得到∠BOC=50°，然后利用互余计算出∠D的度数．
【详解】解：∵BD为切线，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD=90°，
∵∠BOC=2∠A=2×25°=50°，
∴∠D=90°-∠BOD=90°-50°=40°．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
5．(2023·重庆荣昌·九年级学业考试）如图，是的切线，切点为，是的直径，连接，，，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，可得∠ACB=∠BAD=90°，进而可以解决问题．
【详解】解：∵CD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，
∴∠DBC=∠OBA=90°，
∴∠DBO=∠ABC=50°，
∵OB=OD，
∴∠D=∠DBO=50°，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．
6．(2023·广东·惠州一中九年级开学考试）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．44B．42C．46D．47
答案:A
分析：根据圆的切线的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AD+BC＝AB+CD＝22，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的外切四边形的周长问题，掌握圆的切线的性质是解题的关键．
7．(2023·全国·九年级课时练习）如图中的数轴可以度量直径，则圆形图片的直径是（ ）
A．5﹣1B．5﹣(﹣1)C．﹣5﹣1D．﹣5﹣(﹣1)
答案:B
分析：根据图形，过和垂直于数轴的直线与圆相切，结合圆的切线性质，两个切点间的距离就是圆形图片的直径，根据数轴上两点之间的距离直接求解即可．
【详解】解：结合数轴，圆形图片的直径是5﹣（﹣1），
故选：B．
【点睛】本题考查圆的概念、切线性质及数轴上两点之间的距离求法，掌握数轴的基本性质是解决问题的关键．
8．(2023·全国·九年级）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB与小圆相切，已知AB=10cm，则两圆形成的圆环的面积等于（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：连接OC、OA，构造出Rt△AOC，求出的值，再乘以π即为环形的面积．
【详解】连接OC、OA，则OC⊥AB，
在Rt△AOC中，
=25
环形的面积为
故选B.
【点睛】本题考查切线的性质，解题关键在于求出的值
9．(2023·河北唐山·一模）下列语句：①平分弦的直径垂直于弦；②三角形的内心到三角形各边的距离相等；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④过平面内三点可以作一个圆；⑤经过半径并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；⑥的圆周角所对的弦是直径；⑦相等的圆心角所对的弧相等．其中正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
答案:A
分析：根据圆的相关知识以及内心是角平分线的交点进行逐一判断即可．
【详解】解：①平分弦（非直径）的直径垂直于弦，说法错误；
②三角形的内心是三条角平分线的交点，到三角形各边的距离相等，说法正确；
③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，说法错误；
④过平面内不在同一直线上的三点可以作一个圆，说法错误；
⑤经过圆上一点并且垂直于这点与圆心的连线的直线是圆的切线，说法错误；
⑥的圆周角所对的弦是直径，说法正确；
⑦在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，说法错误；
故选A．
【点睛】本题主要考查了圆的相关知识，三角形内心，熟知相关知识是解题的关键．
10．(2023·重庆鼓楼学校一模）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对角线相互平分且相等的四边形为菱形
B．多边形的外角和为
C．若，则
D．过半径外端点且垂直于半径的直线为圆的切线
答案:A
分析：根据菱形的判定定理，多边形的外角和，等式的性质，切线的定义逐项分析判断即可
【详解】解：A. 对角线相互平分且垂直的四边形为菱形，故该选项是假命题，符合题意；
B. 多边形的外角和为，故该选项是真命题，不符合题意；
C. 若，则，故该选项是真命题，不符合题意；
D. 过半径外端点且垂直于半径的直线为圆的切线，故该选项是真命题，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了命题的判定，掌握菱形的判定定理，多边形的外角和，等式的性质，切线的定义是解题的关键．
二、填空题
11．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C．若∠BCD＝50°，则∠ABC的大小为______°．
答案:40
分析：直接利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出答案．
【详解】解：连接CO，
∵CD切⊙O于点C，
∴CO⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠BCD=50°，
∴∠OCB=90°-50°=40°，
∵CO=BO，
∴∠ABC=∠OCB=40°．
故答案为：40．
【点睛】此题主要考查了切线的性质，正确得出∠OCB的度数是解题关键．
12．(2023·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线的解析式为若直线与半圆只有一个交点，则t的取值范围是________．
答案:或
分析：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A），当直线和半圆相切于点C时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的的锐角是45°，从而求得∠DOC=45°，即可得出点C的坐标，进一步得出t的值；当直线过点B时，直线根据待定系数法求得t的值.
【详解】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）
当直线和半圆相切于点C时，直线与x轴所形成的的锐角是45°，
∴∠DOC=45°，
又∵半圆的半径1，
∴CD=OD=
∴
代入解析式，得
当直线过点A时，把A代入直线解析式，得
当直线过点B时，把B代入直线解析式，得
即当或，直线和半圆只有一个交点.
【点睛】此题综合考查了直线和圆的位置关系，以及用待定系数法求解直线的解析式等方法.
13．(2023·全国·九年级专题练习）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可）
答案:∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）
分析：根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可．
【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，
∵∠ABT=∠ATB=45°，
∴∠BAT=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AT是圆O的切线，
故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．
14．(2023·全国·九年级课时练习）如图，为的直径，，当________时，直线与相切．
答案:1
分析：直线与相切时，，根据勾股定理即可求出．
【详解】解：当时，直线与相切，
∴（cm），
故答案为：1．
【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键．
15．(2023·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级阶段练习）如图，切于点A，交于点，点在上，，则的度数是__________．
答案:##25度
分析：连接OA．根据切线的性质可知，从而可求出．再根据圆周角定理即可求出的度数．
【详解】如图，连接OA．
∵切于点A，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理．连接常用的辅助线是解题关键．
三、解答题
16．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．
答案:（1）相切，理由见解析；（2）⊙O的半径为6
分析：（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OBE中，根据OE2＝EB2+OB2，可得（16﹣r）2＝r2+82，推出r＝6，即可解决问题．
【详解】解：（1）相切，理由如下，
如图，连接OC，
在△OCB与△OCD中，
，
∴△OCB≌△OCD（SSS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，
∴（16﹣r）2＝r2+82，
∴r＝6，
∴⊙O的半径为6．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相关知识解决问题是关键．
17．(2023·全国·九年级课时练习）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，CD＝CB，∠D＝∠A
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，求BD的长．
答案:（1）见解析；（2）BD＝2
分析：（1）由等腰三角形的性质得出∠CBD+∠OBC＝90°，则∠OBD＝90°，可得出结论；
（2）证明△OBC为等边三角形，得出∠BOC＝60°，根据直角三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠BOC+2∠OBC＝180°，
∵∠BOC＝2∠A，
∴∠A+∠OBC＝90°，
又∵BC＝CD，
∴∠D＝∠CBD，
∵∠A＝∠D，
∴∠CBD+∠OBC＝90°，
∴∠OBD＝90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠OBD＝90°，∠D＝∠CBD，
∴∠OBC＝∠BOC，
∴OC＝BC，
又∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∵BC＝2，
∴OB＝2，
∴BD＝2．
【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
18．(2023·全国·九年级课时练习）如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为6，∠BAC=60°，则DE=________．
答案:（1）见解析；（2）见解析；（3）．
分析：（1）连接AD，由直径所对的圆周角度数及中点可证AD是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得结论；
（2）连接OD，由中位线的性质可得OD∥AC，由平行的性质与切线的判定可证；
（3）易知是等边三角形，由等边三角形的性质可得CB长及度数，利用直角三角形30度角的性质及勾股定理可得结果.
【详解】（1）连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．

又∵DC=BD，
AD是BC的垂直平分线
∴AB=AC．
（2）连接OD．
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∵O为AB中点，D为BC中点，
∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠CED=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（3）由（1）得
是等边三角形


在中，

根据勾股定理得
【点睛】本题考查了圆与三角形的综合，涉及的知识点主要有圆的切线的判定、圆周角定理的推论、垂直平分线的性质、等边三角形与直角三角形的性质，灵活的将图形与已知条件相结合是解题的关键.
19．(2023·全国·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线．
答案:证明见解析．
分析：利用半径OA＝OC可得∠COB＝2∠A，然后利用∠COB＝2∠PCB即可证得结论，再根据圆周角定理，易得∠PCB＋∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线．
【详解】连接AC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO．
∴∠COB＝2∠ACO．
又∵∠COB＝2∠PCB，
∴∠ACO＝∠PCB．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定及圆周角定理的运用，关键是利用半径OA＝OC可得∠COB＝2∠A．
20．(2023·云南·会泽县大井镇第二中学校九年级期中）如图，△ABC内接于⊙O，PA，PB是切线，A、B分别为切点，若∠C=62°，求∠APB的度数．
答案:56°
分析：连接OA、OB，根据切线的性质可得，然后根据圆周角定理可得，进而问题可求解．
【详解】解：连接OA、OB，如图所示：
∵PA，PB是切线，A、B分别为切点，
∴，
∵∠C=62°，
∴，
在四边形AOBP中，，
∴．
【点睛】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
21．(2023·全国·九年级专题练习）如图，O为菱形 ABCD对角线上一点，⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．
答案:见解析
分析：连接OM，过点O作ON⊥CD于垂足为N，只要证明OM=ON即可得出结论．
【详解】证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于垂足为N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC，OM为半径，
∴∠OMC=∠ONC=90°，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD，
∵OC=OC，
∴△OMC≌△ONC（AAS），
∴ON=OM=半径，∠ONC=90°，
∴CD与⊙O相切．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，菱形的性质，熟知无交点，作垂直，证半径是解题的关键．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·江苏·模拟预测）如图，直线AE与四边形ABCD的外接圆相切于A点．若∠DAE＝12°， ，则∠ABC的度数是（ ）
A．64°B．65°C．67°D．68°
答案:D
分析：如图：作直径AF、连接DF，根据切线的性质求出∠F的度数，求出弧AD、弧DC的度数，进而弧ADC的度数即可.
【详解】解：如图：作直径AF，连接DF，
∵AE是圆O的切线，
∴∠EAF=90°，
∵∠ADF=90°，
∴∠EAD+∠DAF=90°，∠F+∠DAF=90°，
∴∠F=∠DAE
∵∠DAE=12°（已知），
∴∠F=12°，
∴的度数是2×12°=24°，
∵，
∴弧的度数是×（360°-24°）=112°，
∴的度数是24°+112°=136°，
∴∠ABC=×136°=68°．
故答案为D.
【点睛】本题主要考查了切线的性质的应用、圆周角定理、弦切角等于该弦与切线所夹弧所对的圆周角等知识点，正确作出辅助线、求出的度数是解答本题的关键．
2．(2023·内蒙古包头·模拟预测）给出下列命题：
①三角形的三条高相交于一点；②垂直于半径的直线是圆的切线；
③如果不等式的解集为，那么；
④如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这个三角形是直角三角形．
其中正确的命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:B
分析：由三角形高的定义、圆的切线的定义，解不等式，三角形外角的性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：①三角形的三条高所在直线相交于一点；故此项错误；
②垂直于半径并且经过半径外端的直线是圆的切线，故此选项错误；
③如果不等式的解集为，那么；故此项正确；
④如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这个三角形是直角三角形；故此项正确；
∴正确的选项有③④，共两个；
故选：B．
【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及三角形高的定义、圆的切线的定义，解不等式，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识分别进行判断．
3．(2023·全国·九年级课时练习）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则是⊙O的切线B．若，则是⊙O的切线
C．若，则是⊙O的切线D．若是⊙O的切线，则
答案:A
分析：根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确；
若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确；
根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确；
若，没有理由可证明DE是⊙O的切线．
【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；
当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴CD∥BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，所以D选项正确；
当CD=BD时，又AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．
若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
4．(2023·全国·九年级专题练习）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（ ）
A．110°B．120°C．125°D．130°
答案:C
分析：连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角定理可求∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
【详解】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠ADB＝∠AOB＝55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA、OB，求出∠AOB．
5．(2023·全国·九年级单元测试）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，记切点为A、B，点C为⊙O上一点，连接AC、BC．若∠ACB＝62°，则∠APB等于（ ）
A．68°B．64°C．58°D．56°
答案:D
分析：根据切线性质求出∠PAO＝∠PBO＝90°，圆周角定理求得∠AOB，再根据四边形内角和定理即可求得．
【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°，
∵∠ACB＝62°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×62°＝124°，
∴∠APB＝180°﹣124°＝56°，
故选：D．
【点睛】此题考查了切线的性质、圆周角定理、四边形内角和，解题的关键熟记同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
二、填空题
6．(2023·全国·九年级课时练习）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线．
答案:60
分析：由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．
【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．
三、解答题
7．(2023·河北秦皇岛·一模）如图，点A和点B的坐标分别为（0，1），（0，5），点P是x轴上的一个动点．
（1）使∠APB＝30°的点P有______个；
（2）若点P在x轴上运动，当∠APB取得最大值时点P的坐标为______．
答案: 4 或
分析：(1)先作等边△CAB，再以C点为圆心，CA为半径作圆交x轴于P点，利用圆周角定理得到∠APB=∠ACB= 30°，然后找出圆与x轴的交点个数即可；
(2)当过A、B的⊙D于x轴相切P点时，∠APB取得最大值，如图，连接DA，DP⊥x轴且DP= 3，再利用勾股定理计算出DE，然后利用对称性得到点P的坐标．
【详解】（1）如图：
作等边 △CAB，再以C点为圆心，CA为半径作圆交x轴于P点，
则∠APB=∠ACB=30°
如图，满足条件的P点有4个；
故答案为：4
(2)当过A、B的⊙D于x轴相切P点时，∠APB取得最大值，如图，连接DA，
则DP⊥x轴；
∵点D在AB的垂直平分线上
∴DP=3
在Rt△DEA中，DA=3，
∴DE=
∴此时P点的坐标为：
同理可得P点的坐标为：
当∠APB取得最大值时点P的坐标为或
故答案为：或．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
8．(2023·江苏·盐城市大丰区实验初级中学益民路分校九年级阶段练习）如图，已知 AB、AC 分别为⊙O 的直径和弦，D 为弧 BC 的中点，DE⊥AC 于 E，DE=6，AC=16．
(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2)求直径AB的长．
答案:(1)见解析
(2)20
分析：（1）连接OD，BC，要证明DE是⊙O的切线只要证明OD⊥DE即可，根据已知条件可以证明OD⊥BC；
（2）由（1）可得四边形CFDE为矩形，从而得到CF=DE=6，BC=2CF=12，利用勾股定理即可求得AB的长．
（1）
证明：如图，连接OD，BC；
∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴BCDE；
∵D为弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）
设BC与DO交于点F，
由（1）可得四边形CFDE为矩形；
∴CF=DE=6，
∵OD⊥BC，
∴BC=2CF=12，
在Rt△ABC中，
AB==20．
【点睛】本题主要考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证它们垂直即可解决问题．
9．(2023·福建师范大学附属中学初中部九年级阶段练习）在圆O中，AB为弦，C为的中点，过B作BD⊥CB交圆O于点D，连接AB，作DE∥AB交CB延长线于点E．
(1)求证：DE为圆O的切线；
(2)求的最大值．
答案:(1)见解析
(2)
分析：（1）连接CO交AB于点F，连AO，BO，由C为的中点可得∠AOC=∠BOC ，从而得出∠OFB=90° ，连接CD，得出C，O，D三点共线，再由平行线性质得到∠ODE= 90°，从而证得结论；
（2）取CE中点M，连接DM，由CE=2DM得出，再由DE≥DB，得出结果
（1）
证明：连接CO交AB于点F，连AO，BO
∵C为的中点
∴∠AOC=∠BOC
∵AO=BO
∴∠OFB=90°
∵BD⊥CB
连接CD，
∴∠CBD=90°
∴CD为圆O的直径
∴C，O，D三点共线
∵AB∥DE
∴∠ODE=180°-∠BFD=90°
∴半径OD⊥DE于D
∴DE为圆O的切线
（2）
解：取CE中点M，连接DM
∵∠CDE=90°
∴在Rt△CDE中，CE=2DM
∴
∵在Rt△DBE中，DE≥DB
∴当E，B重合时，最大值为1
∴当E，B重合时，的最大值为
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，平行线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
10．(2023·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是BA上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点P，与AC相切于点D，已知AB=8，⊙O的半径为r．
(1)如图1，若AP=DP，则⊙O的半径r值为_______；
(2)求BC=6，求⊙O的半径r长；
(3)若AD的垂直平分线和⊙O有公共点，求半径r的取值范围．
答案:(1)
(2)3
(3)
分析：（1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由AP=DP，得∠PDA=∠A，再由等角的余角相等证明∠PDO=∠POD，则AP=OP=OB=r，列方程可求出r的值；
（2）连接OC、OD，由勾股定理求出AC的长，再根据面积等式列方程即可求出r的值；
（3）设AD的垂直平分线交AD于点F，与的一个交点为点E，当EF与相切时r的值最小，可求出r的最小值；再由OB+OD