人教版九年级数学上册同步精品讲义第02课配方法（原卷版+解析）

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这是一份人教版九年级数学上册同步精品讲义第02课配方法（原卷版+解析），共20页。试卷主要包含了直接开平方法的解读，方程x2=p的根的情况，配方，开方，求解等内容，欢迎下载使用。

知识精讲
知识点01 直接开方法
1、直接开平方法的解读
2、方程x2=p的根的情况
【注意】
（1）用直接开平方法解一元二次方程时,要把方程化成左边是含未知数的，右边是非负数的形式，开方的结果要注意取正、负两种情况.
（2）对于形如的关于x的一元二次方程，要运用整体思想，直接开平方，得
，即；
（3）当一元二次方程的二次项系数不为1时,一般先根据等式的性质,将二次项系数化为1,再配方求解.
（4）所有有实数解的一元二次方程都可以用配方法进行求解。
知识点02 配方法
1、配方法的目的：
对于无法进行直接开方的方程，转化为可以直接开方的形式：
2、配方法的依据：
完全平方公式：
【配方五步法】
1、移项:使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数.
2、化1:方程的两边同除以 ,把二次项系数化为1.
3、配方:在方程的两边同时加上 ,化成(x+m)2=n的形式.
4、开方:若n≥0,则两边直接开平方得到一元一次方程,若n<0,则原方程 .
5、求解:解所得到的一元一次方程,得出原方程的解.
知识点03 配方法的应用
配方法的应用是基于，当要说明一个二次多项式的值为非负数，可用配方法进行说明；
举例：
证明：的值恒为正；
能力拓展
考法01 直接开方法
【例题1】解方程
【即学即练1】用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A．x2－5＝5B．－3x2＝0
C．x2＋4＝0D．(x＋1)2＝0
【即学即练2】方程的根是______________．
考法02 配方法
【例题2】用配方法解方程时，配方结果正确的是（）
A．B．
C．D．
【即学即练1】用配方法解一元二次方程，配方正确的是（）．
A．B．
C．D．
【即学即练2】解方程：（用配方法）
考法03 配方法的应用
【例题3】对于任意实数x，多项式x2-5x+8的值是一个（）
A．非负数B．正数C．负数D．无法确定
【即学即练1】多项式的最小值为（）
A．B．C．D．
【即学即练2】已知（为任意实数），则的大小关系为（）
A．B．C．D．不能确定
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝___．
2．一元二次方程（x+1）2＝4的解为_____．
3．若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为( )
A．x=B．x＝±1C．.D．
4．用适当的正数填空：
（1）_____=(x-_____)2；
（2）x2-______x+16=(x-____)2；
（3）(x＋____)2；
（4）______=(x-____)2．
5．一元二次方程配方后可变形为（）
A．B．C．D．
6．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）
A．，21B．，11C．4，21D．，69
7．解下列方程．
（1）
（2）
8．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．
题组B 能力提升练
1．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（）
A．x1=-6，x2=-1B．x1=0，x2=5C．x1=-3，x2=5D．x1=-6，x2=2
2．已知三角形三边长为a、b、c，且满足，，，则此三角形的形状是（）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．无法确定
3．已知,,（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（）
A．P＞QB．P=QC．P＜QD．不能确定
4．代数式的最小值是（）
A．10B．9C．19D．11
5．若把代数式化为的形式，其中、为常数，则______．
6．
题组C 培优拔尖练
1．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为【】
A．0B．1C．﹣1D．i
2．关于代数式，有以下几种说法，
①当时，则的值为-4.
②若值为2，则.
③若，则存在最小值且最小值为0.
在上述说法中正确的是（）
A．①B．①②C．①③D．①②③
3．阅读材料:若，求m、n的值.
解:，
，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题:
（1）已知，求的值.
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值.
（3）若已知，求的值.
4．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：x2﹣4x+5＝（x ）2+ ；
（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；
（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．
课程标准
（1）能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=0的一元二次方程.
（2）能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程.
（3）体会“降次”的数学思想.
（4）知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，会用配方法解一元二次方程.
（5）通过配方进一步体会“降次”的转化思想.
开平方
解读
若
则
解一元二次方程的基本思想是“降次”,通过“降次”把一元二次方程转化为 .
直接开平方法的实质就是把一个一元二次方程通过“降次”即 ,转化为两个一元一次方程。
p的取值
方程x2=p的根的情况

步骤
示例
解释
1、移
移项得：

将常数项移到等号的右侧
2、化
二次项系数化为1：

利用等式的性质，等式两边同乘以二次项系数
3、配
配方得：

利用等式的性质，在等式两边同时加上

4、开
开方得：

根据开平方的定义，进行开方
5、解

两个平方根一个取正，一个取负，解出方程
第一步
将二次项系数作为公因数提出来

第二步
在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数

第三步
将前三项因式分解，剩余常数放到括号外

第02课配方法
目标导航
知识精讲
知识点01 直接开方法
1、直接开平方法的解读
2、方程x2=p的根的情况
【注意】
（1）用直接开平方法解一元二次方程时,要把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，开方的结果要注意取正、负两种情况.
（2）对于形如的关于x的一元二次方程，要运用整体思想，直接开平方，得
，即；
（3）当一元二次方程的二次项系数不为1时,一般先根据等式的性质,将二次项系数化为1,再配方求解.
（4）所有有实数解的一元二次方程都可以用配方法进行求解。
知识点02 配方法
1、配方法的目的：
对于无法进行直接开方的方程，转化为可以直接开方的形式：
2、配方法的依据：
完全平方公式：
【配方五步法】
1、移项:使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数.
2、化1:方程的两边同除以二次项系数,把二次项系数化为1.
3、配方:在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方,化成(x+m)2=n的形式.
4、开方:若n≥0,则两边直接开平方得到一元一次方程,若n<0,则原方程无解.
5、求解:解所得到的一元一次方程,得出原方程的解.
知识点03 配方法的应用
配方法的应用是基于，当要说明一个二次多项式的值为非负数，可用配方法进行说明；
举例：
证明：的值恒为正；
能力拓展
考法01 直接开方法
【例题1】解方程
【答案】，
【解析】
，
【即学即练1】用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A．x2－5＝5B．－3x2＝0
C．x2＋4＝0D．(x＋1)2＝0
【答案】C
【解析】
解：要利用直接开平方法解一元二次方程，先将一元二次方程进行变形，变形为等号左边是数的平方或完全平方形式，等号右边为常数，且当常数要大于或等于0时，方程有实数解，因为选项C，移项后变形为，根据平方根的性质，此时方程无解，
故选：C
【即学即练2】方程的根是______________．
【答案】，
【解析】
解：两边开平方：3x+2=x-1或3x+2=1-x
∴，
考法02 配方法
【例题2】用配方法解方程时，配方结果正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
移项得：，
配方得：，即
故选：A．
【即学即练1】用配方法解一元二次方程，配方正确的是（）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
解：，
移项得，
二次项系数化1的，
配方得，
即，
故选：A．
【即学即练2】解方程：（用配方法）
【答案】，；
【解析】
解：
∴，
考法03 配方法的应用
【例题3】对于任意实数x，多项式x2-5x+8的值是一个（）
A．非负数B．正数C．负数D．无法确定
【答案】B
【解析】
x2-5x+8=x2-5x++=（x-）2+，
任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，
所以（x-）2+的最小值是，
故多项式x2-5x+8的值是一个正数，
故选B．
【即学即练1】多项式的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51
=x2﹣4xy+4y2+12x﹣24y+36+x2+2xy+y2+15
=(x﹣2y)2+12(x﹣2y)+36+(x+y)2+15
=(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15
∵(x﹣2y+6)2≥0，(x+y)2≥0，
∴(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15≥15．
故选：C．
【即学即练2】已知（为任意实数），则的大小关系为（）
A．B．C．D．不能确定
【答案】B
【解析】
根据题意，得
＝，
∵
∴
∴，
故选B．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝___．
【答案】−1
【解析】
解：把x＝0代入（a−1）x2−2x＋a2−1＝0得a2−1＝0，
解得a＝±1，
∵a−1≠0，
∴a＝−1．
故答案为：−1．
2．一元二次方程（x+1）2＝4的解为_____．
【答案】x1=1，x2=-3
【解析】
解：（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
解得：x1=1，x2=-3，
故答案为x1=1，x2=-3.
3．若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为( )
A．x=B．x＝±1C．.D．
【答案】C
【解析】
解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得：（2x+1）（2x﹣1）=1；
整理得：4x2﹣1=1，移项得：4x2=2，系数化为1得：x2=；
开方得：x=±．
故选C．
4．用适当的正数填空：
（1）_____=(x-_____)2；
（2）x2-______x+16=(x-____)2；
（3）(x＋____)2；
（4）______=(x-____)2．
【答案】（1）4；2；（2）8；4；（3）；（4）；
【解析】
解：（1）
故答案为：4；2；
（2）x2-8x+16=(x-4)2
故答案为：8；4；
（3）(x＋)2
故答案为：；
（4）=(x-)2
故答案为：；．
5．一元二次方程配方后可变形为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
，
，
，
，
故选C．
6．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）
A．，21B．，11C．4，21D．，69
【答案】A
【解析】
解：
移项得，
配方得，
即，
∴a=-4，b=21．
故选：A
7．解下列方程．
（1）
（2）
【答案】（1），；（2），
【解析】
（1）∵，，
∴
∴方程有两个不相等的实数根．
∴
∴，．
（2）∵
∴
∴
∴；
即：，．
8．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．
【答案】x1=，x2=．
【解析】
解：∵2x2﹣4x﹣1=0，
∴2x2﹣4x=1，
则x2﹣2x=，
∴x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，
则x﹣1=±，
∴x1=，x2=．
题组B 能力提升练
1．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（）
A．x1=-6，x2=-1B．x1=0，x2=5C．x1=-3，x2=5D．x1=-6，x2=2
【答案】B
【解析】
解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h±，
而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，
所以-h-=-3，-h+=2，
方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h±，
所以x1=3-3=0，x2=3+2=5．
故选：B．
2．已知三角形三边长为a、b、c，且满足，，，则此三角形的形状是（）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．无法确定
【答案】A
【解析】
解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．故选A．
3．已知,,（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（）
A．P＞QB．P=QC．P＜QD．不能确定
【答案】C
【解析】
解：∵
=
=
=
∴
故选：C．
4．代数式的最小值是（）
A．10B．9C．19D．11
【答案】A
【解析】
解：
∵
∴代数式的最小值是10．
故选：A．
5．若把代数式化为的形式，其中、为常数，则______．
【答案】-7
【解析】
x−4x−5=x−4x+4−4−5
=(x−2) −9，
所以m=2，k=−9，
所以m+k=2−9=−7.
故答案为-7
6．
【答案】
【解析】
两边开方得：2（x﹣1）＝±（x+2），∴2（x﹣1）＝x+2，2（x﹣1）＝-（x+2），∴x1=4，x2=0．
题组C 培优拔尖练
1．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为【】
A．0B．1C．﹣1D．i
【答案】D
【解析】
由题意得，i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1，
可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵2013÷4=503…1，∴i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013=i．
故选D．
2．关于代数式，有以下几种说法，
①当时，则的值为-4.
②若值为2，则.
③若，则存在最小值且最小值为0.
在上述说法中正确的是（）
A．①B．①②C．①③D．①②③
【答案】C
【解析】
解：①当时，
．
故①正确；
②若值为2，
则，
∴a2+2a+1=2a+4，
∴a2=3，
∴．
故②错误；
③若a＞-2，则a+2＞0，
∴=
=
=≥0．
∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0．
故③正确．
综上，正确的有①③．
故选：C．
3．阅读材料:若，求m、n的值.
解:，
，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题:
（1）已知，求的值.
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值.
（3）若已知，求的值.
【答案】（1）2（2）6（3）7
【解析】
（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0
∴（x+y）2+（y+1）2=0
∴x+y=0y+1=0
解得：x=1，y=﹣1
∴x﹣y=2；
（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0
∴a﹣3=0，b﹣4=0
解得：a=3，b=4
∵三角形两边之和＞第三边
∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6；
（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．
故答案为7．
4．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：x2﹣4x+5＝（x ）2+ ；
（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；
（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．
【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x2﹣1＞2x﹣3
【解析】
解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
故答案为：-2，1；
（2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，
（x﹣2）2+（y+1）2＝0，
则x﹣2＝0，y+1＝0，
解得x＝2，y＝﹣1，
则x+y＝2﹣1＝1；
（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）
=x2﹣2x+2
=（x﹣1）2+1，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+1＞0，
∴x2﹣1＞2x﹣3．课程标准
（1）能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=0的一元二次方程.
（2）能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程.
（3）体会“降次”的数学思想.
（4）知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，会用配方法解一元二次方程.
（5）通过配方进一步体会“降次”的转化思想.
开平方
解读
若
则
解一元二次方程的基本思想是“降次”,通过“降次”把一元二次方程转化为一元一次方程.
直接开平方法的实质就是把一个一元二次方程通过“降次”即开平方,转化为两个一元一次方程。
p的取值
方程x2=p的根的情况
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
步骤
示例
解释
1、移
移项得：
将常数项移到等号的右侧
2、化
二次项系数化为1：
利用等式的性质，等式两边同乘以二次项系数
3、配
配方得：

利用等式的性质，在等式两边同时加上
一次项系数一半的平方
4、开
开方得：
根据开平方的定义，进行开方
5、解
或
即
两个平方根一个取正，一个取负，解出方程
第一步
将二次项系数作为公因数提出来
第二步
在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数
第三步
将前三项因式分解，剩余常数放到括号外