高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系优秀课后练习题

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一、单选题
1．（2023秋·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考期末）若，满足，，且，则的值为（ ）
A．B．C．9D．11
【答案】A
【分析】依题可得，，为方程的两个不等实根，
由根与系数的关系即可求解
【详解】依题可得，，为方程的两个不等实根，
所以，，
所以.
故选：A.
2．（2022秋·甘肃兰州·高一校考期末）如果方程的解为，则实数的值分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将两根代入二次方程，待定系数求解即可
【详解】由题意，方程的解为，
故，
解得.
故选：A
3．（2022秋·北京·高一和平街第一中学校考期中）若关于x的方程的两根分别是，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】由韦达定理可得，然后，即可算出答案.
【详解】因为是方程的两根，所以
所以
故选：C
4．（2022秋·高一单元测试）已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21.则实数的值是（ ）
A．17B．－1C．17或－1D．－17或1
【答案】B
【分析】根据题意设出方程的两个实根分别为，用韦达定理表示出，结合方程有两实根条件，把问题转化为含参数的方程来解即可.
【详解】设方程的两个实根分别为，则.
由方程的这两个实数根的平方和比两个根的积大21得：，
，
解得：或，
又方程有两个实数根，
，得，.
故选：B
5．（2022秋·全国·高一专题练习）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则，则的值是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合题干条件，化简计算，即可得答案.
【详解】由题意得且
解得，
又，
解得或（舍）.
故选：B
6．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知p，q是关于x的一元二次方程的两根，其中，则的值（ ）
A．仅与a有关B．仅与b有关
C．与ab均有关D．是与ab无关的定值
【答案】D
【分析】根据实系数一元二次方程的根与系数的关系，及满足方程化简后可求解.
【详解】因为p，q是关于x的一元二次方程的两根，
所以由韦达定理得，
又，所以，
同理，
所以.
故选：D
二、多选题
7．（2021秋·高一校考课时练习）已知关于x的方程，下列说法正确的是（ ）
A．若方程有两个互为相反数的实数根，则
B．若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根
C．若二次三项式是完全平方式，则
D．若，则方程必有两个不相等的实数根
【答案】ABC
【分析】对A，根据韦达定理判断即可；对B，根据判别式正负分析即可；对C，令再展开根据系数关系判断即可；对D，举反例判断即可.
【详解】对A，若方程有两个互为相反数的实数根，则由韦达定理可得，即，故A正确；
对B，若方程没有实数根，则，故.
又，故，则方程判别式，故方程必有两个不相等的实数根，故B正确；
对C，若二次三项式是完全平方式，则令有，故，则成立，故C正确；
对D，若，则，解得仅有，故D错误.
故选：ABC
8．（2022·江苏·高一专题练习）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究过程中得到一个代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根请借助代数基本定理解决下面问题：设实系数一元四次方程，在复数集内的根为，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】由，并展开右式即可判断各选项的正误.
【详解】由题设知：，
∴，
∴，
∴，，，.
故选：AC
三、填空题
9．（2023·高一课时练习）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，并且满足，则实数为
【答案】
【分析】化简后根据根与系数的关系求出m，再由判别式检验即可.
【详解】因为是一元二次方程的两个不相等的实数根，
所以，，所以，
解得或，
又因为，得，所以.
故答案为：3
10．（2022秋·辽宁大连·高一大连市第十二中学校考阶段练习）若方程的两根为，且，则 ．
【答案】12
【分析】结合韦达定理，列出方程求解即可
【详解】由韦达定理得，，，，
即 ，可解得
故答案为：12
11．（2022秋·上海·高一专题练习）关于的方程的两个根为素数，则 ．
【答案】
【分析】设关于x的方程的两根分别为，由韦达定理得，则中一个是偶数一个是奇数，从而得，进而求出参数．
【详解】设关于x的方程的两根分别为，且
则因为均为素数，所以中一个是偶数一个是奇数，
故，所以．
故答案为：．
四、解答题
12．（2021秋·甘肃平凉·高一静宁县第一中学校考阶段练习）已知关于的方程有两个不等实根.
(1)求实数的取值范围；
(2)设方程的两个实根为，且，求实数的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得到，即可求解；
（2）由根与一元二次方程的关系，得到，结合题意，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，关于的方程有两个不等实根
则，即，解得，
即实数的取值范围为.
（2）解：由方程的两个实根为，
可得，解得
且，
因为，可得，
解得或（舍去），
所以实数的值为.
13．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）若是方程，的两个根．
(1)求实数的取值范围；
(2)用表示．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由判别式即可求解；
（2）由韦达定理即可求解.
【详解】（1）因为方程有两个根，
所以，且有，
即，解得：.
综上：或.
（2）由韦达定理得：，，
所以.
14．（2022秋·北京西城·高一北京市西城外国语学校校考阶段练习）已知关于的方程
(1)当，求方程两实数根差的绝对值；
(2)若方程的两个实数根的平方和等于11，求的值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】(1)将代入，利用韦达定理 求出两根之和和两根之积，进而求出结果.
(2)根据判别式大于零，求出的取值范围，再根据韦达定理，化简出两个实数根的平方和，根据题意算出的值.
【详解】（1）解：由题知，，所以方程可化为，
，所以方程有两根，不妨设为，
所以由韦达定理可得，
所以，
故.
（2）由题知，方程有两根，所以，
即，不妨设方程两根为，
由韦达定理可得，
所以，
故，或(舍)，
故.
一、单选题
1．（2023春·陕西西安·高二西安建筑科技大学附属中学校考期中）我国古代数学名著《九章算术》的“论割圆术”中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如表达式（“…”代表无限次重复）可以通过方程来求得，即；类似上述过程及方法，则的值为（ ）
A．B．C．7D．
【答案】B
【分析】根据题意得，则得到，解出即可.
【详解】由题意,令,则,
整理得，解得，，，
故选：B.
2．（2022·上海·高一专题练习）若是方程的两个根，则( )
A．B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的根与系数之间的关系即可求解.
【详解】因为是方程的两个根，
所以由根与系数之间的关系，，，
故.
故选：C.
3．（2022秋·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为4，则实数 的值为（ ）
A．4B．-10C．2D．-10或2
【答案】C
【解析】用韦达定理得出根与系数的关系，然后计算可得．
【详解】方程有实根，则，解得 或，
设方程的两根为，则， ，
∴，解得 （舍去）．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题中利用韦达定理得，然后利用 去化简求值，这里有一个前提条件：方程有实解，因此有个隐含条件：由此求出参数的范围，只有在这个范围内的参数值才是所求解．
二、多选题
4．（2022秋·山东东营·高一利津县高级中学校考期中）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（ ）
A．方程有一个正根一个负根的充要条件是
B．方程有两个正根的充要条件是
C．方程无实数根的必要条件是
D．当时，方程的两个实数根之和为0
【答案】ABC
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合根的分布情况、对应二次函数的性质判断各选项的正误即可.
【详解】A选项中，方程有一个正根一个负根则即；
同时时方程有一个正根一个负根；是方程有一个正根一个负根的充要条件.
B选项中，方程有两个正根则即；
同时时方程有两个正根；是方程有两个正根的充要条件.
C选项中，方程无实数根则即；
而时方程可能无实根也可能有实根；故是方程无实数根的必要条件.
D选项中，时知方程无实根；
故选：ABC
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，结合二次函数的性质判断方程的根不同分布情况下的充要条件.
三、填空题
5．（2021秋·陕西宝鸡·高一统考期中）已知方程有一正根一负根，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用判别式和韦达定理列出不等关系，求解即可
【详解】由题意，方程有一正根一负根，
不妨设两根分别为
故
且
解得：
则实数m的取值范围是
故答案为：
四、解答题
6．（2023·上海·高一专题练习）已知、是关于的一元二次方程的两个实根.
(1)若，求实数的值；
(2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；
(3)若，求整数的值.
【答案】(1).
(2)不存在，详见解析.
(3)或或.
【分析】（1）首先可根据判别式得出，然后根据韦达定理得出、，最后根据得出，通过计算即可得出结果；
（2）根据得出，然后通过计算以及即可得出结果；
（3）可将转化为，然后根据为整数以及即可得出结果.
【详解】（1）因为、是关于的一元二次方程的两个实根，
所以，解得，
，，
因为，所以，
即，，，.
（2）由（1）易知，，，
若存在实数，使成立，
则，解得，
因为，所以不存在实数使成立.
（3）由（1）易知，，，
则，
因为，所以，
因为为整数，所以、、，
因为，所以或或.