高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.1 等式2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系教学设计

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2.会用根与系数的关系求解根的问题．
教学知识梳理
知识点一 一元二次方程根的解集
关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)利用配方法，总可以写成eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2a)))2＝eq \f(b2－4ac,4a2)，其中Δ＝b2－4ac.
(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，\f(－b－\r(b2－4ac),2a)))；
(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)))；
(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程的解集为∅.
知识点二 一元二次方程根与系数的关系
关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a).
思考
1．关于x的方程x4－2x2－3＝0一定有四个解吗？
提示：不对．有两解．方程配方得(x2－1)2＝4，x2－1＝±2，x2＝3或x2＝－1(舍)，
所以x＝±eq \r(3)，两解．
2．解关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的步骤是什么？
提示：先因式分解，若能分解，则直接求解．若分解不开，则求Δ，根据Δ的符号确定方程解的情况．
教学案例
类型一 求一元二次方程的解集
[例1] 求下列关于x的一元二次方程的解集．
(1)x2－6x－5＝0; (2)9x2＋6x＋1＝0；
(3)－2x2＋5x－4＝0.
解：(1)x2－6x－5＝0，配方得(x－3)2＝14，解得x－3＝±eq \r(14)，即x＝3±eq \r(14)，因此方程的解集为{3＋eq \r(14)，3－eq \r(14)}．
(2)9x2＋6x＋1＝0，配方得(3x＋1)2＝0，解得3x＋1＝0，即x＝－eq \f(1,3)，因此方程的解集为{－eq \f(1,3)}．
(3)－2x2＋5x－4＝0变形为2x2－5x＋4＝0，Δ＝(－5)2－4×2×4＝－7<0，因此方程的解集为∅.
通法提炼
可先配方再求解，也可直接利用求根公式求解，最后一定要写成解集的形式.
[变式训练1] 求下列关于x的一元二次方程的解集．
(1)2x2－6x＋3＝0; (2)x2＋x＋1＝0；
(3)4x2－12x＋9＝0.
解：(1)Δ＝(－6)2－4×2×3＝12，由求根公式得x＝eq \f(6±\r(12),2×2)＝eq \f(3±\r(3),2)，
方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(3－\r(3),2)，\f(3＋\r(3),2))).
(2)Δ＝12－4×1＝－3<0，方程x2＋x＋1＝0的解集为∅.
(3)4x2－12x＋9＝0，配方得(2x－3)2＝0，解得x＝eq \f(3,2)，方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))).
类型二 转化为一元二次方程求解集
[例2] 求下列关于x的方程的解集．
(1)x－4eq \r(x)－3＝0; (2)2x4－3x2－1＝0.
解：(1)设eq \r(x)＝t，则t≥0，方程变形为：t2－4t－3＝0，配方得(t－2)2＝7，解得t＝2±eq \r(7)，∵t＝2－eq \r(7)<0舍去，∴eq \r(x)＝2＋eq \r(7)，解得：x＝11＋4eq \r(7)，故原方程解集为{11＋4eq \r(7)}．
(2)设x2＝t，则t≥0，方程变形为2t2－3t－1＝0，则Δ＝(－3)2－4×2×(－1)＝17>0，
由求根公式得t＝eq \f(3±\r(17),2×2)＝eq \f(3±\r(17),4).∵t>0，∴t＝eq \f(3＋\r(17),4)，∴x2＝eq \f(3＋\r(17),4)，∴x＝±eq \f(\r(3＋\r(17)),2)，方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3＋\r(17)),2)，－\f(\r(3＋\r(17)),2))).
通法提炼
可因式分解后再求解，也可先换元转化为一元二次方程再求解，注意新元的条件，
最后写成解集的形式.
[变式训练2] 求下列关于x的方程的解集．
(1)2x＋7eq \r(x)＋4＝0; (2)x4－6x2＋5＝0.
解：(1)设eq \r(x)＝t，则t≥0，方程变形为2t2＋7t＋4＝0，Δ＝72－4×2×4＝17>0，由求根公式得t＝eq \f(－7±\r(17),4)<0，故原方程解集为∅.
(2)x4－6x2＋5＝0，变形为(x2－1)(x2－5)＝0，即x2－1＝0或x2－5＝0，解得x＝±1或x＝±eq \r(5)，原方程解集为{1，－1，eq \r(5)，－eq \r(5)}．
类型三 一元二次方程根与系数关系的应用
[例3] 若x1，x2分别是方程x2＋2x－2 018＝0的两个实根，试求下列各式的值：
(1)xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)； (2)eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)；
(3)(x1－5)(x2－5); (4)|x1－x2|.
[思路分析] 本题若直接用求根公式法求出方程的两个根，再代入求值，则计算较复杂．此题应根据各式的特点，利用韦达定理来解答，使计算更简单．
解：由韦达定理得x1＋x2＝－2，x1x2＝－2 018.
(1)xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝(－2)2－2×(－2 018)＝4 040.
(2)eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x1＋x2,x1x2)＝eq \f(－2,－2 018)＝eq \f(1,1 009).
(3)(x1－5)(x2－5)＝x1x2－5(x1＋x2)＋25
＝－2 018－5×(－2)＋25＝－1 983.
(4)|x1－x2|＝eq \r((x1－x2)2)＝eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)
＝eq \r((－2)2－4×(－2 018))＝2eq \r(2 019).
通法提炼
不求根时，可先将各式转化成与韦达定理有关的关系式，再代入系数求解.但用韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零.
[变式训练3] 已知x1和x2分别是一元二次方程2x2＋3x－6＝0的两个实根，求下列各式的值：
(1)|x1－x2|；(2)eq \f(1,x\\al(2,1))＋eq \f(1,x\\al(2,2))；(3)xeq \\al(3,1)＋xeq \\al(3,2).
解：由韦达定理得x1＋x2＝－eq \f(3,2)，x1x2＝－3.
(1)|x1－x2|＝eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2－4×(－3))＝eq \f(\r(57),2).
(2)eq \f(1,x\\al(2,1))＋eq \f(1,x\\al(2,2))＝eq \f((x1＋x2)2－2x1x2,(x1x2)2)
＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2－2×(－3),(－3)2)＝eq \f(11,12).
(3)xeq \\al(3,1)＋xeq \\al(3,2)＝(x1＋x2)(xeq \\al(2,1)－x1x2＋xeq \\al(2,2))
＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2－3×(－3)))＝－eq \f(135,8).
课堂达标
1．方程x2－x＋1＝0的解集为( )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(5),2)，\f(1－\r(5),2))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(5),2)))
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(5),2))) D．∅
【解析】Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3<0，方程无解．
【答案】D
2．方程mx2－2x＋1＝0的解集为{1}，则m＝( )
A．1 B．－1
C．0 D．2
【解析】将x＝1代入方程得m＝1.
【答案】A
3．方程x2－3x＋1＝0的两根为x1，x2，则xeq \\al(2,1)x2＋xeq \\al(2,2)x1＝( )
A．3 B．－3
C．2 D．－2
【解析】由已知得，x1＋x2＝3，x1x2＝1，则xeq \\al(2,1)x2＋xeq \\al(2,2)x1＝x1x2(x1＋x2)＝3.
【答案】A
4．A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|2x2－3x－5＝0}，则A∩B＝( )
A．∅ B．{1}
C．{－1} D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，3，\f(5,2)))
【解析】A＝{－1,3}，B＝{－1，eq \f(5,2)}，则A∩B＝{－1}.
【答案】C