2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如所示图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列方程中，一定是关于x的一元二次方程是( )
A. 2ax2+x+1=0B. 1x+x=0C. xy+x=0D. x2+x=0
3.下列计算正确的是( )
A. (−2)2=−2B. 4 2−2 2=2C. 3− 2=1D. 4÷ 2= 2
4.若用反证法证明命题“在△ABC中，若AC>AB，则∠B>∠C”，则应假设( )
A. ∠B>∠CB. ∠B≤∠CC. AC>∠ABD. AC≤AB
5.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是( )
A. x2−2x+3=0B. x2+6x+9=0C. 4x2=3x+2D. 3x2−x+2=0
6.小浙同学将一组数据准确地代入方差公式：S2=(6−x−)2+(5−x−)2+(5−x−)2+(4−x−)24，下列对这组数据的描述正确的是( )
A. 样本容量是4B. 众数是4C. 平均数是4D. 中位数是4
7.若反比例函数y=kx的图象经过点A(x1,y1)，则下列结论中不正确的是( )
A. 图象一定不经过(1,0)B. 图象一定经过(−y1,−x1)
C. 图象一定经过(x1+1,y1−1)D. 图象一定经过(−x1,−y1)
8.如图，∠BAC的平分线交△ABC的中位线DE于点F，若AC=10，AB=6，则EF的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9.二次函数y=ax2+ax+c2+1(a,c为常数，且a≠0)的图象可能是( )
A. B. C. D.
10.如图，在矩形ABCD中，点E在BC的延长线上，点F在CD的延长线上，AD平分∠EAF，若要知道△AEF的面积，则需要知道( )
A. CE的长
B. 矩形ABCD的面积
C. △ADF的面积
D. ∠EAF的度数
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.请写出一个x的值：______，使二次根式 x−2024在实数范围内有意义.
12.六边形的内角和等于______度．
13.学校男子篮球队的10位队员的身高如表：
这10位队员身高的中位数是______.
14.在二次函数y=−x2+2x+3中，当015.如图，在菱形ABCD中，E为边AB上的一点，将菱形沿DE折叠后，点A恰好落在边BC上的F处.若EF垂直对角线BD，则∠A=______度.
16.如图，在平面直角坐标系中，函数y1=|x|与反比例函数y2=kx(k≠0)的图象交于点A(1,y1).若y1>y2，则x的取值范围是______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1) 2× 6；
(2)(2− 2)(3+2 2).
18.(本小题6分)
解方程：
(1)x2+4=4x；
(2)x(x+1)=x+1.
19.(本小题8分)
学校将以班级为单位选拔参加市知识竞赛，在预赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如图的统计图.
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)此次竞赛中，一班成绩在C级以上(包括C级)的人数为______；
(2)将表格补充完整.
(3)请根据你在(2)中所求的统计量，你认为选哪个班级参加市知识竞赛？请简述理由.
20.(本小题8分)
定义：若两个二次根式m，n满足m⋅n=p，且p是有理数.则称m与n是关于p的美好二次根式.
(1)若m与 2是关于6的美好二次根式，求m的值；
(2)若1− 3与4+ 3m是关于n的美好二次根式，求m和n的值.
21.(本小题10分)
把一个足球垂直地面向上踢，t(秒)后该足球的高度h(米)适用公式h=20t−5t2.
(1)经多少秒后足球回到地面？
(2)经多少秒时球的高度为15米？
22.(本小题10分)
在边长为1的菱形ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交对角线BD于点E.
(1)若AE=DE时，求∠ABD的度数；
(2)设AB=k⋅AE，
①当k=2时，求BD的长；
②用含k的代数式表示DEBE.
23.(本小题12分)
已知反比例函数y=kx(k≠0).
(1)若点(−1,a)，(a+4,3)都在该反比例函数图象上；
①求k的值；
②当x>1时，求y的取值范围.
(2)若点(x1,y1)，(x2,y2)都在该反比例函数图象上，且x1>1，k>0，x1+x2<0，小浙同学说“此时不能判断y1−y2与2k的大小关系”，小江同学说“结合所给条件，可以得到y1−y2<2k”，你认为谁的说法正确，请说明理由.
24.(本小题12分)
四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
(1)如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB=3，CE=2 2，求CG的长度；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30∘时，求∠EFC的度数.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D.
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，关键掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2.【答案】D
【解析】解：A.当a=0时，2ax2+x+1=0不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.1x+x=0，分母中含有未知数，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C.xy+x=0中未知数x的最高次数是1，不是关于x一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.x2+x=0是关于x一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D.
根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.
3.【答案】D
【解析】解： (−2)2=|−2|=2，故A错误，不符合题意；
4 2−2 2=2 2，故B错误，不符合题意；
3与 2不是同类二次根式，不能合并，故C错误，不符合题意；
4÷ 2= 4÷2= 2，故D正确，符合题意；
故选：D.
根据二次根式运算的法则逐项判断即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
4.【答案】B
【解析】解：用反证法证明命题“在△ABC中，若AC>AB，则∠B>∠C”，
应假设∠B≤∠C，
故选：B.
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法、三角形三边关系，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5.【答案】C
【解析】解：A.∵Δ=(−2)2−4×1×3=−8<0，
∴方程没有实数根，不符合题意；
B.∵Δ=62−4×1×9=0，
∴方程有两个相等的实数根，不符合题意；
C.方程化为4x2−3x−2=0，
∵Δ=(−3)2−4×4×(−2)=41>0，
∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；
D.∵Δ=(−1)2−4×3×2=−23<0，
∴方程没有实数根，不符合题意；
故选：C.
分别求出每个方程判别式的值，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系得出答案．
本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵方差的计算公式，
∴样本数据是6，5，5，4，样本容量是4，
∴众数是5，
平均数是14×(6+5+5+4)=5，
中位数是5，
故选：A.
根据方差的计算公式可得，样本容量是4，样本数据是6，5，5，4，根据样本数据调查平均数、众数以及中位数即可判断．
本题考查了总体，个体，样本容量，方差以及平均数、中位数以及众数，解题的关键是掌握方差的定义．
7.【答案】C
【解析】解：A、∵反比例函数y=kx的图象与坐标轴没有交点，
∴图象一定不经过(1,0)，故本选项正确，不合题意；
B、∵反比例函数y=kx的图象经过点A(x1,y1)，
∴k=x1y1，
∴y=x1y1x，
当x=−y1时，则y=−x1，
∴图象一定经过(−y1,−x1)，故本选项正确，不符合题意；
C、把x=x1+1代入y=x1y1x，得y=x1y1x1+1≠y1−1，故本选项不正确，符合题意；
D、把x=−x1代入y=x1y1x，得y=−y1，图象一定经过(−x1,−y1)，故本选项正确，不符合题意．
故选：C.
根据反比例函数图象上点的坐标特征对各选项进行逐一分析即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质以及图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵DE是△ABC的中位线，AC=10，AB=6，
∴BD=AD=3，DE=12AC=5，DE//AC，
∴∠CAF=∠DFA，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAF=∠CAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=DA=3，
∴EF=DE−DF=5−3=2，
故选：B.
根据三角形的中位线得出DE=12AC=5，DE//AC，求出AD=3，根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠DAF=∠DFA，根据等腰三角形的判定得出AD=DF=3，再求出EF即可．
本题主要考查了三角形的中位线性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，能熟记三角形中位线性质是解此题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵二次函数y=ax2+ax+c2+1(a,c为常数，且a≠0)，
∴对称轴为直线x=−a2a=−12，在y轴的左侧，与y轴的交点为(0,c2+1)在正半轴，
故图象可能是A.
故选：A.
求得抛物线的对称轴和与y轴的交点即可判断．
本题考查了二次函数的图象，明确对称轴和与y轴的交点位置是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：过点F作AE的平行线，分别交AD和BE的延长线于点M和N，连接AN，
设AB=a，AD=b，
∵AD平分∠EAF，
∴∠FAD=∠GAD=∠FMD，
∴FA=FM，
又∵FD⊥AM，
∴DM=AD=b，
∵AM//EN，AE//MN，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴EN=AM=2b，
∵AE//FN，
∴S△AEF=S△AEN，
∵S△AEN=12EN×AB=ab，
∴S△AEF=ab=S矩形ABCD，
故选：B.
过点F作AE的平行线，分别交AD和BE的延长线于点M和N，设AB=a，AD=b，先证明FA=FM，由DM=AD=b，再证明四边形AMNE是平行四边形，求得EN=AM=2b，根据S△AEF=S△AEN，据此计算即可求解．
本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
11.【答案】2024(答案无唯一)
【解析】解：根据题意得：x−2024≥0，解得：x≥2024，
故答案为：2024(答案不唯一).
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，即可求得x的范围，即可写出x的值．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
12.【答案】720
【解析】解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
n边形的内角和是(n−2)⋅180∘，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
解：(6−2)×180∘=720∘，则六边形的内角和等于720∘.
故答案为：720.
13.【答案】178
【解析】解：10÷2=5，第五，六位队员身高分别是177，179，
∴12位队员身高的中位数是177+1792=178，
故答案为：178.
根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
14.【答案】0【解析】解：∵二次函数y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴该函数图象开口向下，当x=1有最大值4，
∴当x=0时，y=3，当x=3时，y=0，
∵0∴y的取值范围为0故答案为：0根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当0本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15.【答案】72
【解析】解：连接AC、BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=CD，∠BAC=∠BCA=12∠BAD，
设∠BAC=∠BCA=12∠BAD=α，
∵EF垂直对角线BD，
∴EF//AC，
∴∠BEF=∠BFE=∠BAC=∠BCA=α，
由折叠的性质知∠EFD=∠BAD=2α，AD=FD，
∴CD=FD，
∴∠CFD=∠FCD=2α，
∵∠BFE+∠EFD+∠CFD=180∘，
∴5α=180∘，
解得α=36∘，
∴∠BAD=72∘，
故答案为：72.
利用菱形的性质设∠BAC=∠BCA=12∠BAD=α，求得∠BFE=α，∠FED=2α，∠CFD=2α，利用平角的性质计算即可求解．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质．
16.【答案】x<0或x>1
【解析】解：由图可知：当x<0或x>1时，y1>y2.
故答案为：x<0或x>1.
观察函数图象，当x<0或x>1时，y1>y2.
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，也考查了观察函数图象的能力．
17.【答案】解：(1)原式= 2×6
=2 3；
(2)原式=6+4 2−3 2−4
=2+ 2.
【解析】(1)用被开方数相乘，再化为最简二次根式即可；
(2)先算乘法，再算加减．
本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
18.【答案】解：(1)x2+4=4x，
移项得：x2−4x+4=0，
分解因式得：(x−2)2=0，
解得：x1=x2=2；
(2)x(x+1)=x+1，
移项得：x(x+1)−(x+1)=0，
分解因式得：(x+1)(x−1)=0，
解得：x1=−1，x2=1.
【解析】(1)利用配方法求解即可；
(2)利用因式分解法求解即可．
此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是掌握四种解方程的方法，根据方程特点正确选准方法即可．
19.【答案】18 87 90 85
【解析】解：(1)一班成绩在C级以上(包括C级)的人数为3+10+5=18(人)，
故答案为：18；
(2)
(3)选一班级参加市知识竞赛，
理由：从平均数的角度看两班成绩一样；从中位数和众数的角度看一班比二班的成绩好，所以一班成绩好(答案不唯一).
(1)根据条形图即可得出答案；
(2)分别根据平均数、众数和中位数的定义求解即可；
(3)只要答案符合题意即可．(答案不唯一)
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了平均数、中位数、众数的定义及其应用．
20.【答案】解：(1)由题意可得，m⋅ 2=6，
∴m=3 2；
(2)由题意可得，(1− 3)(4+ 3m)=n，
整理得，4+ 3m−4 3−3m=n，
∵n是有理数，m是二次根式，
∴n=4，
∴( 3−3)m=4 3，解得m=−2−2 3.
【解析】(1)利用二次根式的新定义运算解答即可求解；
(2)利用二次根式的新定义运算解答即可求解．
本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：(1)令h=0得：20t−5t2=0，
解得：t1=0(舍去)，t2=4.
答：经4秒后足球回到地面．
(2)令h=15得：20t−5t2=15，
解得：t1=1，t2=3.
答：经1秒或3秒时球的高度为15米．
【解析】(1)令h=0得关于t的一元二次方程，解得t的值并根据问题的实际意义作出取舍即可；
(2)令h=15得关于t的一元二次方程，解得t的值即可．
本题考查了一元二次方程在生活实际问题中的应用，将生活实际转化为数学问题是解题的关键，本题难度不大．
22.【答案】解：(1)∵以点B为圆心，BA长为半径画弧，交对角线BD于点E，
∴AB=BE，
∴∠BAE=∠AEB，
∵菱形ABCD，
∴∠ABD=∠ADB，
又AE=DE，
∴∠ADE=∠DAE，
设∠ABD=x∘，
则∠ADE=∠DAE=x∘，
∴∠AEB=∠EAB=(2x)∘，
∠ABD+∠EAB+∠AEB=180∘，
即x+2x+x=180，
解得x=36∘，
∴∠ABD的度数为36∘；
(2)①过点B作BM⊥AE于点M，连接AC交BD于点O，
∵AC和BD是菱形ABCD对角线，
∴AC⊥BD，且BD=2BO，
∵k=2，AB=k⋅AE，AB=1，
∴AE=12，
又∵AB=BE，
∴AM=12AE=14，
在直角三角形ABM中，
AB2=AM2+BM2，
∴BM= 12−(14)2= 154，
S△ABE=12AE⋅BM=12BE⋅AO，
即12×12× 154=12×1×AO，
∴AO= 158，
在Rt△AOB中，
AB2=AO2+BO2，
∴BO= 12−( 158)2=78，
∴BD=2BO=74，
∴BD的长为74；
②过点B作BT⊥AE于点T，连接AC交BD于点Q，
∵AC和BD是菱形ABCD对角线，
∴AC⊥BD，且BD=2BQ，
∵AB=k⋅AE，AB=1，
∴AE=1k，
又∵AB=BE，
∴AM=12AE=12k，
在直角三角形ABM中，
AB2=AT2+BT2，
∴BT= 12−(12k)2= 4k2−12k，
S△ABE=12AE⋅BT=12BE⋅AO，
即12×1k× 4k2−12k=12×1×AO，
∴AQ= 4k2−12k2，
在Rt△AQB中，
AB2=AQ2+BQ2，
∴BQ= 12−4k2−1(2k2)2=2k2−12k2，
在Rt△AQE中，
AE2=AQ2+QE2，
∴QE= (1k)2−4k2−1(2k2)2=12k2，
∴DE=QD−QE=QB−QE=2k2−12k2−12k2=k2−1k2，
∴DEBE=k2−1k2.
【解析】(1)根据圆的性质AB=BE，则∠BAE=∠AEB，根据菱形的性质∠ABD=∠ADB，又AE=DE，∠ADB=∠DAE，设∠ABD=x∘，根据三角形的内角和即可求出x，进而作答即可；
(2)①过点B作BM⊥AE于点M，连接AC交BD于点O，根据菱形性质AC⊥BD，根据k=2，在直角三角形ABM中，根据勾股定理求出BM，根据等面积求出AO的长，再根据勾股定理求出BO的长，根据BD=2BO，即可作答；
②过点B作BT⊥AE于点T，连接AC交BD于点Q，根据菱形性质AC⊥BD，在直角三角形ABT中，根据勾股定理求出BT，根据等面积求出AQ的长，再根据勾股定理求出BQ和QE的长，根据DE=QD−QE=QB−QE，即可作答；
本题是菱形综合题，考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，三角形内角和和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理知识，作辅助线．
23.【答案】解：(1)①∵点(−1,a)，(a+4,3)都在该反比例函数图象上，
∴−a=3(a+4)，
∴a=−3，
∴反比例函数y=kx(k≠0)图象过点(−1,−3)，
∴k=−1×(−3)=3；
②∵k=3>0，
∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵x=1时，y=31=3，
∴当x>1时，y的取值范围是0(2)小江同学说法正确；
∵k>0，
∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴当x1>1时，y的取值范围是0∵x1>1，x1+x2<0，
∴x2<−1，
∴当x2<−1时，y的取值范围是−k∴y1−y2<2k，
∴小江同学说法正确．
【解析】(1)①根据点(−1,a)，(a+4,3)都在该反比例函数图象上可以求出a的值，从而得出k的值；
②x=1时，y=3，故可以根据反比例函数的性质得到当x>1时，y的取值范围是0(2)利用反比例函数的性质得出当x1>1时，y的取值范围是0本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA=∠BCA=45∘，
∴EQ=EP，
∵∠QEF+∠PEF=90∘，∠PED+∠PEF=90∘，
∴∠QEF=∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
∠QEF=∠PEDEQ=EP∠EQF=∠EPD，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD(ASA)，
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形；
(2)解：∵四边形ABCD是正方形，AB=3，
∴AD=CD=3，∠ADC=90∘，AC= 2AD=3 2，
∵CE=2 2，
∴AE= 2，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=DG，∠EDG=90∘=∠ADC，
∴∠ADE=∠CDG，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴CG=AE= 2；
(3)解：①当DE与AD的夹角为30∘时，
如图2，
∵∠ADE=30∘，∠ADC=90∘，
∴∠EDC=60∘，
∵∠EDC+∠DEF+∠EFC+∠FCD=360∘，
∴∠EFC=360∘−90∘−90∘−60∘=120∘；
②当DE与DC的夹角为30∘时，
如图3
∵∠DEF=∠DCF=90∘，
∴点D，点E，点C，点F四点共圆，
∴∠EDC=∠EFC=30∘，
综上所述：∠EFC=30∘或120∘.
【解析】(1)作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED，根据正方形的判定定理证明即可；
(2)由正方形的性质可得AD=CD=3，AC=3 2，AD=3，DE=DG，∠EDG=90∘=∠ADC，由“SAS”可证△ADE≌△CDG，可得CG=AE= 2；
(2)分两种情况讨论即可．
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．身高(单位：cm)
176
177
179
180
人数
1
4
3
2
班级成绩
平均数(分)
中位数(分)
众数(分)
一班
______
90
______
二班
87
______
80
平均数(分)
中位数(分)
众数(分)
一班
87
90
90
二班
87
85
80