2022-2023学年浙江省杭州市萧山区九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市萧山区九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列等式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，，，相交于点若，，：(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

3.  两枚同样的硬币同时抛出，落地后一个正面朝上、一个反面朝上的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  在中，，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，是直径，是弦若，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，已知，点是边中点，且若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知二次函数，与的部分对应值为：

关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是(    )

A. 当时，函数图象从左到右上升
B. 抛物线开口向上
C. 方程的一个根在与之间
D. 当时，

9.  如图，经过的顶点，与边，分别交于点，，与边相切若，，，则线段长度的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，，点在边上，，分别为，的中点，连接过点作的垂线，与，分别交于，两点连接，交于点有以下判断：；，且；当时，的面积为；的最大值为其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  某平台进行“天宫课堂”中国空间站全程直播某一时刻观看人数达到人用科学记数法表示 ______ ．

12.  因式分解： ______ ．

13.  若中，弦的长度是半径的倍，则弦所对圆周角的度数为______

14.  已知函数，点在函数图象上当时， ______ ．

15.  如图，在等腰中，，，在上，且，则______．

16.  已知二次函数当时，的取值范围是，该二次函数的对称轴为，则的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，三个顶点的坐标分别为，，．
请在图中作出绕点逆时针方向旋转后得到的图形：
求点运动到点所经过的路径的长结果保留．

18.  本小题分
如图，在中，是角平分线，点是边上一点，且满足．
证明：．
若，，求的长．

19.  本小题分
一个不透明的布袋中有完全相同的四个小球，编号为，，，甲和乙做游戏：从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后，不放回；再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号若两次抽取的小球标号之和为奇数，甲赢；若标号之和为偶数，则乙赢．
用画树状图或列表的方法，表示出两次取出编号的所有可能；
判断这个游戏是否公平，并说明理由．

20.  本小题分
如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于点，已知平分．
求证：是的切线；
若，，求的半径和的长．

21.  本小题分

如图，在中，是边上的中线，是锐角，，，．

求的度数和的长．       

求的值．

22.  本小题分
已知二次函数是常数，且的图象过点．
试判断点是否也在该函数的图象上，并说明理由．
若该二次函数的图象与轴只有一个交点，求该函数的表达式．
已知二次函数的图象过和两点，且当时，始终都有，求的取值范围．

23.  本小题分
如图，在中，，平分，交于点，，交于点．
若，，求的长；
试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
如图，和是的个外角，，平分，交的延长线于点，，交的延长线于点记的面积为，的面积为，的面积为若，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故A正确；
B.，故B错误；
C.，故C错误；
D.，故D错误；
故选：．
根据二次根式的性质，二次根式的乘除法进行计算即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质：是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
故选：．
通过证明∽，可得．
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：任意抛掷两枚硬币，出现的结果有：两正、一正一反、一反一正、两反四种等可能结果，
落地后一个正面朝上、一个反面朝上的有种结果，
落地后一个正面朝上、一个反面朝上的概率为，
故选：．
任意抛掷两枚硬币，出现的结果有：两正、一正一反、一反一正、两反四种等可能结果，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查列表法与树状图法求概率，列举法树形图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于，正五边形的每个内角都等于，
，
，
，
故选：．
根据正多边形的内角和定理求得正五边形和正六边形的内角，根据周角的定义即可得到结论．
本题考查了正多边形和圆、熟练掌握正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
故选：．
根据余弦的定义列出算式，计算即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，，
，
，
，
故选：．
根据圆周角定理得出，根据角的和差求出，再根据圆周角定理求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：点是中点，
，
，，
∽，
，
，
负值舍去，
故选：．
通过证明∽，可得，可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：和时的函数值相同，都是，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的顶点为，
是函数的最大值，
抛物线的开口向下，当时，随的增大而减小，即当时，函数图象从左到右下降，
所以A错误，B错误；
时，；时，，
方程的一个根在与之间，
所以C正确，D错误．
综上所述：其中正确的结论有．
故选：．
根据表格数据求出顶点坐标，对称轴，开口方向，根据二次函数的性质即可判断，，；时，；时，即可判断，．
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：与相切于，当是圆的直径时，的长最小，
连接，，作于，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
与相切于，当是圆的直径时，的长最小，由等腰直角三角形的性质求出圆的直径长，由锐角的正弦求出，即可求出的长．
本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是明白当的高是圆的直径时，的长最小．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，，
、分别为、的中点，
，，
，故正确；
，，，
≌，
，，
，
，
，
，
点是的中点，
，
；故正确；
，，
，
，
，，
，
，
点是的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
，故正确；
如图，过点作，交于，

，
点以为直径的上，
连接，并延长交于，
，
，
，是定长，
的取最小值时，有最大值，
当时，有最大值，
此时，有最大值，
，
，
，
当有最大值时，有最大值，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，故正确；
故选：．
由等腰三角形的性质可得，由三角形中位线定理可得，可求，故正确；由“”可证≌，可得，，可求，，故正确；分别求出，的长，即可求，故正确；利用勾股定理和相似三角形的性质分别求出，的值，即可求，故正确．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

13.【答案】或 

【解析】解：连接、，为优弧上一点，为劣弧上一点，如图所示：

设，
，
，
，
，
，
即弦对的圆周角的度数是或，
故答案为：或．
根据题意画出图形，连接和，先根据勾股定理的逆定理得出，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

14.【答案】 

【解析】解：点在函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为，
当时，．
故答案为：．
直接把点代入函数求出的值，再把代入函数解析式即可求解．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，求出函数的解析式是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
根据已知易得，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，然后利用平角定义可得，从而可得，进而可得∽，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角构造相似模型是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：二次函数的对称轴为直线，
当时，的取值范围是，如图，

当抛物线过点时，则，
此时，即，
解得：，
抛物线为：，
此时函数的最小值必为，
，
解得：，舍去，
此时，
同理，当抛物线过点时，则，
此时，即，
解得：，
抛物线为：，
此时函数的最小值必为，
，
解得：，舍去，
此时，
，
故答案为：．
分别求解当过点时，当过点时的的值，即可得到结论．
本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质，运用数形结合思想是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示；

，
点运动到点所经过的路径的长为：． 

【解析】根据旋转的性质得出点、的对应点、的位置，顺次连接即可；
根据勾股定理求出，再利用弧长公式计算即可．
本题考查了作图旋转变换，勾股定理以及弧长公式，熟练掌握旋转的性质，找出对应点的位置是解题的关键．
 

18.【答案】证明：是的角平分线，
．
，
．
解：，
，
，，
，
． 

【解析】证出根据相似三角形的判定可得出结论；
由相似三角形的性质可得出，则可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：列表得：

由表知，共有种等可能的结果．
此游戏不公平，理由如下：
由表知，两次抽取的小球标号之和为奇数的有种结果，和为偶数的有种结果，所以甲赢的概率为，乙赢的概率为，
此游戏不公平． 

【解析】根据题意列表格即可；
根据列出的表格，分别计算两人赢的概率，比较概率的大小即可．
本题主要考查概率的计算以及列表法，熟练掌握列表法或者列树状图的方法是解决本题的关键．
 

20.【答案】证明：如图，连接，
，
．
平分，
，
又，
，
，
，
是切线；

解：如图，取中点，连接，
于点．
四边形是矩形，
，
．
在中，，
，
在中，，，
，
的长是． 

【解析】连接，根据已知条件证明即可解决问题；
取中点，连接，根据垂径定理可得，所以四边形是矩形，利用勾股定理即可求出结果．
本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
 

21.【答案】解：作于，设，

在中，，
，
，
，解得，
，，
在中，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
即的度数为，的值为；
为中线，
，
，
，
即的值为． 

【解析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决此类题目的关键是熟练应用勾股定理和锐角三角函数的定义．
作于，设，利用的正切可得到，则根据勾股定理得到，所以，解得，于是得到，，接着利用得到，则，最后计算得到的长．
利用为中线得到，则，然后根据正切的定义求解．
 

22.【答案】解：将点代入解析式，得，
，
将点代入，得，
点不在抛物线图象上；
二次函数的图象与轴只有一个交点，
，
或，
或；
抛物线对称轴，
当，时，；
当，时，舍去；
当满足所求； 

【解析】将点代入解析式，求出、的关系，再将将点代入判断即可；
二次函数的图象与轴只有一个交点，所以，求出的值；
抛物线对称轴，当，时，；当，时，舍去．
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，以及图象上点的特征是解题的关键．
 

23.【答案】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，解得；
，
，
同可得，，
，
，
是定值，定值为；
，
，
，
，
又，
，
设，则，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
过点作于点，

，
，
． 

【解析】本题考查了角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
证出，由等腰三角形的判定得出，求出，证明∽，由相似三角形的性质可求出的长；
由平行线分线段成比例定理得出，同可得，，证出，则可得出答案；
证出，由题意可得出，设，则，证明∽，由相似三角形的性质得出，求出，过点作于点，则，根据锐角三角函数的定义可得出答案．