2021-2022学年浙江省杭州市萧山区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省杭州市萧山区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是(    )

A. 有害垃圾 B. 厨余垃圾
C. 其它垃圾 D. 可回收物

2. 若二次根式有意义，则下列数中，实数不可以取的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，将▱的一边延长至点，若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如果多边形的每一个内角都是，那么这个多边形的边数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列各式化简正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在，，，，，，，这组数据中插入一个任意数，则一定不会改变的是(    )

A. 标准差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数

7. 如图是根据某地某月天的每天最高气温绘成的折线统计图，那么这段时间该地最高气温的平均数、众数、中位数依次是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

8. 某学习小组有人参加捐款，其中小明的捐款数比人捐款的平均数多元，据此可知，下列说法错误的是(    )

A. 小明的捐款数不可能最少
B. 小明的捐款数可能最多
C. 将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数一定比第名多
D. 将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数可能排在第位

9. 设，，用含，的式子表示，则下列表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 一元二次方程的二次项系数是______，常数项是______．
12. 若关于的一元二次方程没有实数根，请写出一组正确的，的值______，______．
13. 如图，在▱中，平分交于点，连接若，，则的度数为______．

14. 某种服装原售价为元，由于换季，连续两次降价处理，现按元的售价销售．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为______．
15. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的最小值是______．
16. 在▱中，与相交于点，，，将沿直线翻折后，点落在点处，那么的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

17. 小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出你的解答过程．

18. 计算：
    ；
    ．
19. 某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质大小、甜度等，进行了抽样调查在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各份样品，对西瓜的品质进行评分百分制，并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．
    甲、乙两种西瓜得分表

甲、乙两种西瓜得分统计表

______ ， ______ ；
从方差的角度看，______ 种西瓜的得分较稳定填“甲”或“乙”；
小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．

20. 已知：如图，在▱中，是延长线上的点，是延长线上的点，且求证：
    ≌；
    ．

21. 某商店经销甲、乙两种商品． 现有如下信息：
    信息：甲、乙两种商品的进货单价之和是元；
    信息：甲商品零售单价比进货单价多元，乙商品零售单价比进货单价的倍少元；
    信息：按零售单价购买甲商品件和乙商品件，共付了元．
    请根据以上信息，解答下列问题：
    求甲、乙两种商品的零售单价；
    该商店平均每天卖出甲商品件和乙商品件．经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件．商店决定把甲种商品的零售单价下降元．在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？
22. 已知关于的一元二次方程；
    若，求此方程的解；
    若此方程有两个相等实数根，请求出这个方程的解；
    若方程有两个不相等的实数根．求的取值范围；
23. 已知在▱中，和的平分线分别交直线于点、点；
    证明是等腰三角形；
    若射线，相交于点，猜想并证明线段，，长度的等量关系；
    若，，求出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转后与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得，
解得，
在，，，中实数不可以取的值是，
故选：．
根据二次根式有意义的条件可求解的取值范围，进而可求解．
本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．根据平行四边形的对角相等求出的度数，再根据平角等于列式计算即可得解．
【解答】
解：平行四边形的，
，
．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的是多边形的内角与外角，解答此类问题时要找到不变量，即多边形的外角和是这一关键．设这个多边形的边数为，根据多边形的外角和是度求出的值即可．
【解答】
解：多边形的各个内角都等于，
每个外角为，
设这个多边形的边数为，则
，
解得．
故选C．

5.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意．
故选：．
各式化简得到最简结果，判断即可．
此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，再在这组数据中插入一个任意数，众数也不会改变，
一定不会改变的是众数．
故选：．
根据众数的定义即可得出答案．
此题考查了众数、标准差、中位数以及平均数，熟练掌握定义和运算公式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：观察折线统计图图可得，
平均数是．
出现了三次，次数最多，故众数是；
气温从低到高的第、个数据分别为，，所以中位数是；
故选：．
利用平均数、众数、中位数的定义求解．
本题考查读折线图的能力和利用统计图获取信息的能力．也考查了中位数、众数和平均数的概念．
 

8.【答案】 

【解析】解：小明的捐款数比人捐款的平均数多元，
小明的捐款数不可能最少，故选项A正确；
小明的捐款数可能最多，故选项B正确；
将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数不一定比第名多，故选项C错误；
将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数可能排在第位，故选项D正确；
故选：．
根据题意和算术平均数的含义，可以判断各个选项中的说法是否正确．
本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，
．
故选A．
先把化为、的形式，再把、代入计算即可．
此题主要考查二次根式的化简，直到被开方数开不尽为止．
 

10.【答案】 

【解析】解：方程有一个根是，
，
又，
等式的两边同除以，得，
故．
故本题选D．
本题根据一元二次方程的根的定义，把代入方程，即可求解．
本题考查的重点是方程根的定义，分析问题的方向比较明确，就是由已知入手推导、发现新的结论．
 

11.【答案】   

【解析】解：一元二次方程的二次项系数是，常数项是，
故答案为：，．
先找出二次项和常数项，再找出二次项系数即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：一元二次方程的一般形式是、、为常数，，其中是二次项，是一次项，是常数项．
 

12.【答案】   

【解析】解：方程为一元二次方程，
，
方程没有实数根，
，
即，
当时，，可以取，此时方程没有实数解．
答案为：，．
利用一元二次方程的定义得到，再利用根的判别式得到，则，然后先确定一个的值，再确定一个的值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
平分，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
故答案为：．
根据平行四边形的性质可得，，再由平行线的性质和角平分线得出，，，根据得出，由等量代换得出，根据等边三角形的判定得到是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由可得．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质等知识．熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
设每次降价的百分率为，则第一次降价为的售价为，第二次降价后的售价为元，根据第二降价后的售价为元建立方程求出其解即可．
本题考查了列一元二次方程解降低率的问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率的数量关系建立方程是关键，检验根是否符合题意是容易忘记的过程．
【解答】
解：设每次降价的百分率为，由题意，得
，
解得：，不符合题意，舍去，
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
根据根的判别式的意义得到，再用表示得到，然后根据非负数的性质确定的最小值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为．
如图连接证明是等边三角形，即可求得．
本题考查了折叠变换的性质、平行四边形的性质以及等边三角形的判定和性质；熟练掌握翻折变换和平行四边形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：小敏：；
小霞：．
正确的解答方法：移项，得，
提取公因式，得．
则或，
解得，． 

【解析】小敏：没有考虑的情况；
小霞：提取公因式时出现了错误．
利用因式分解法解方程即可．
本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程时可以采取公式法，因式分解法，配方法以及换元法等，至于选择哪一解题方法，需要根据方程的特点进行选择．
 

18.【答案】解：

；


． 

【解析】先化简，然后合并同类二次根式和同类项即可；
先化简，然后计算加减法即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：将甲种西瓜的得分从小到大排列处在中间位置的一个数是，
因此中位数是，即，
乙种西瓜的得分出现次数最多的是分，所以众数是，即，
故答案为：，；
由甲、乙两种西瓜得分的大小波动情况，直观可得，
乙种西瓜的得分较稳定，
故答案为：乙；
小明认为甲种西瓜的品质较好些，理由为：甲种西瓜得分的众数比乙种的高．
小军认为乙种西瓜的品质较好些，理由为：乙种西瓜得分的中位数比甲种的高且乙的得分方差小 

【解析】本题考查频数分布表，中位数、众数、方差，理解中位数、众数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
根据中位数、众数的意义求解即可；
根据数据大小波动情况，直观可得答案；
从中位数、众数的比较得出答案．
 

20.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
≌；

≌，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质可得出，，结合即可证明三角形全等．
根据全等三角形的性质可得出，继而可判断平行．
此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，属于基础题，解答本题需要我们熟练掌握平行四边形的对边相等且互补，难度一般．
 

21.【答案】解：假设甲、种商品的进货单价为，元，乙种商品的进货单价为元，
根据题意可得：，
解得：．
故甲、乙零售单价分别为元和元；
根据题意得出：
，
即，
解得或舍去．
答：当定为元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共元． 

【解析】根据图上信息可以得出甲、乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可；
根据降价后甲每天卖出：件，每件降价后每件利润为：元；即可得出总利润，利用一元二次方程解法求出即可
此题主要考查了一元二次方程的应用，此题比较典型也是近几年中考中热点题型，注意表示总利润时表示出商品的单件利润和所卖商品件数是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：时，原方程为，
，即，
，
，；
关于的一元二次方程，
，解得：，
故原方程为，
，
；
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
，
解得：且，
的取值范围是：且． 

【解析】时，原方程为，然后利用配方法解一元二次方程；
根据方程有两个相等实数根可得，列出关于的方程，解方程求得，则原方程为，然后利因式分解法解一元二次方程；
根据方程有两个不相等实数根可得，列出关于的不等式，解不等式可得．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了解一元二次方程．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
是等腰三角形；
解：，理由如下：
四边形是平行四边形，

，，
和的平分线分别交直线于点、点，
，，
，
，
由勾股定理得，，
；
解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分
，

，
同理可得：，
，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义和等腰三角形的判定解答即可；
根据平行四边形的性质和勾股定理解答即可；
由角平分线的性质和平行四边形的性质可求，，可求的取值范围．
本题考查了四边形的综合题，利用平行四边形的性质，角平分线的性质解决问题是本题的关键．