浙江省杭州市萧山区、余杭区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份浙江省杭州市萧山区、余杭区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了下列图形是轴对称图形的是等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可能为
A．9B．4C．5D．13
2．（3分）下列图形是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定是正确的
B．不正确的判断就不是命题
C．定理都是真命题
D．基本事实不一定是真命题
4．（3分）点向下平移3个单位长度得到点，则点的坐标是
A．B．C．D．
5．（3分）已知为实数且，则下列各式一定成立的是
A．B．C．D．
6．（3分）在平面直角坐标系中，已知一次函数，是常数，，随的增大而减小，且，则它的图象经过的象限正确的是
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限
7．（3分）如图，直线l是过点（﹣5，0）且垂直于x轴的直线，直线m是过点（0，﹣3）且垂直于y轴的直线，P点的坐标为（a，b）．根据图中P点的位置下列正确的是（ ）
A．a＜﹣5，b＜﹣3B．a＜﹣5，b＞﹣3C．a＞﹣5，b＞﹣3D．a＞﹣5，b＜﹣3
8．（3分）在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是
A．12个B．16个C．20个D．24个
9．（3分）一次函数，是常数，的图象过点，则关于的不等式：的解是
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，点E，F将斜边AC三等分，且AC＝12，点P在△ABC的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（ ）
A．0个B．2个C．4个D．6个
二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.
11．（3分）点在第 象限．
12．（3分）已知等腰三角形的一个底角度数是，那么其顶角的度数是 ．
13．（3分）命题“如果，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假” ．
14．（3分）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的长度是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ．
15．（3分）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理（如图），若的斜边，，则图中线段的长为 ．
16．（3分）在一条笔直的公路上有，两地，甲骑自行车匀速从地到地，乙骑摩托车匀速从地到地，到达地后立即按原路匀速返回，如图是甲、乙两人离地的距离与行驶时间之间的函数图象．若两人之间的距离不超过时，能够用无线电对讲机保持联系，甲、乙两人能够用无线电对讲机保持联系时．则的取值范围是 ．
三.解答题：本大题有8个小题，共72分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）解不等式组：，并把不等式组的解在如图的数轴上表示出来．
18．（6分）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．
19．（8分）已知：一次函数，是常数，的图象过，两点．
（1）求该函数的表达式；
（2）试判断点是否在直线上？并说明理由．
20．（8分）的三边长分别是、、，且，，，是直角三角形吗？证明你的结论．
21．（10分）某班筹划在运动会入场式中为学生购买演出服装，现有两种服装可供选择：卫衣的价格是59元套，卡通服的价格为89元套．参加方阵的36名同学每人都需要选择一套服装，假设购买卫衣的同学有人，购买这批服装的总花费为元．
（1）求关于的函数表达式；
（2）班级同学经过讨论，认为演出服装的总花费不应超过2800元，求购买卫衣的同学的人数范围．
22．（10分）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，且，点是第一象限内直线上的动点，连结．
（1）求出点的坐标及的值；
（2）设点，求出的面积与的函数表达式．
23．（12分）综合与实践：数学课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答：
问题情境：如图1，在中，，，点是斜边上动点，点在直线上，满足，过点作，垂足为，设．
圆圆同学提出的问题：探究与之间的数量关系；
方方同学提出的问题：探究，，之间的数量关系；
经过小组讨论，第一小组提出解决问题的思路：取中点，连接，可以证明：，从而得到对应线段相等
请你继续完成以下问题：
（1）特例探究：从特殊到一般是研究几何问题的常用方法，如图1，当时，请直接写出与这两条线段长度之间的数量关系 ；
（2）数学思考：如图2，当时，
①与这两条线段长度之间的数量关系： ；
②探究，，这三条线段长度之间的数量关系得： ；并写出探究过程；
（3）延伸拓展：如图3，当时，探究，，这三条线段长度之间的数量关系得： ；并写出探究过程．
24．（12分）如图，在中，，，延长至点，使，连结，作的平分线与的平分线交于点，连结，．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）求的值．
2023-2024学年浙江省杭州市萧山区、余杭区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可能为
A．9B．4C．5D．13
【分析】设第三边为，根据三角形三边关系定理得出，再逐个判断即可．
【解答】解：设第三边为，
则，
，
符合的数只有9，
故选：．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理，能熟记三角形的三边关系定理的内容是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
2．（3分）下列图形是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：、、选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定是正确的
B．不正确的判断就不是命题
C．定理都是真命题
D．基本事实不一定是真命题
【分析】根据真、假命题的意义对A、B、D进行判断；根据定理的定义对C进行判断．
【解答】解：A、命题有真命题与假命题，所以A选项错误；
B、不正确的判断是假命题，所以B选项错误；
C、定理都是经过推论、论证得到的真命题，所以C选项正确；
D、基本事实是真命题，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；经过推论、论证得到的真命题称为定理．
4．（3分）点向下平移3个单位长度得到点，则点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】利用点平移的坐标规律，把点的纵坐标减3即可得到点的坐标．
【解答】解：点向下平移3个单位长度得到点，则点的坐标是，即．
故选：．
【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
5．（3分）已知为实数且，则下列各式一定成立的是
A．B．C．D．
【分析】根据非负数的性质解答即可．
【解答】解：为实数且，
，
．
故选：．
【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知任意一个数的偶次方都是非负数是解题的关键．
6．（3分）在平面直角坐标系中，已知一次函数，是常数，，随的增大而减小，且，则它的图象经过的象限正确的是
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限
【分析】先根据一次函数，是常数，，随的增大而减小可知，再由可知，据此可得出结论．
【解答】解：一次函数，是常数，，随的增大而减小，
，
，
，
一次函数，是常数，的图象经过第二、三、四象限．
故选：．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
7．（3分）如图，直线l是过点（﹣5，0）且垂直于x轴的直线，直线m是过点（0，﹣3）且垂直于y轴的直线，P点的坐标为（a，b）．根据图中P点的位置下列正确的是（ ）
A．a＜﹣5，b＜﹣3B．a＜﹣5，b＞﹣3C．a＞﹣5，b＞﹣3D．a＞﹣5，b＜﹣3
【分析】由点P在直线l的左侧，可知P点的横坐标小于5，由点P在直线m的上方，可知点P的纵坐标大于﹣3，据此可得答案．
【解答】解：由题意可知，点P在直线l的左侧，故a＞5；
点P在直线m的上方，故b＞﹣3．
故选：B．
【点评】本题主要考点的坐标，熟练掌握点的坐标的定义是解题关键．
8．（3分）在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是
A．12个B．16个C．20个D．24个
【分析】分五种情形，判断可得结论．
【解答】解：连接，，．
类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，共有20个．
故选：．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法，学会用分类讨论的射线解决问题．
9．（3分）一次函数，是常数，的图象过点，则关于的不等式：的解是
A．B．C．D．
【分析】一次函数，是常数，的图象过点可知把一次函数的图象向右平移1个单位过原点，如图观察图象即可求得．
【解答】解：一次函数的图象过点，
把一次函数的图象向右平移1个单位过原点，即一次函数的图象过点，
由图可知，关于的不等式：的解是．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，平移的性质，根据平移的性质求得一次函数的图象过点是解题的关键．
10．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，点E，F将斜边AC三等分，且AC＝12，点P在△ABC的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（ ）
A．0个B．2个C．4个D．6个
【分析】作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM交BC于点H，连接CM、BE、BF、FH，可得点H到点E和点F的距离之和最小，求出最小值即可解答．
【解答】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM交BC于点H，连接CM、BE、BF、FH，
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，
∴EC＝8，FC＝4＝AE，
∵点M与点F关于BC对称，
∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°，
∴∠ACM＝90°，
∴，
即EH+HM＝EH+HF＝4，
则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为，
在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝12，
∴点P在CH上时，，有一个点P使PE+PF＝9，
在点H左侧，当点P与点B重合时，，
∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴，
∴BE+BF＝4，
∴点P在BH上时，有一个点P使PE+PF＝9，
∴在线段BC上的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，
同理在线段AB、AC上也都存在两个点使PE+PF＝9．
即共有6个点P满足PE+PF＝9，
故选：D．
【点评】本题考查最短路径，勾股定理，在线段BC找到点H到点E和点F的距离之和最小是解题的关键．
二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.
11．（3分）点在第 二 象限．
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点在第二象限．
故答案为：二．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
12．（3分）已知等腰三角形的一个底角度数是，那么其顶角的度数是 ．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：等腰三角形的一个底角度数是，
顶角的度数为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的底角相等是解题的关键．
13．（3分）命题“如果，那么”的逆命题是 真 命题（填“真”或“假” ．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，可得答案．
【解答】解：“如果，那么”的逆命题是“如果，那么．”
“如果，那么”的逆命题是 真命题，
故答案为：真．
【点评】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
14．（3分）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的长度是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ．
【分析】先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，据此可得出函数的表达式．
【解答】解：为等边三角形，
，
，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，
等边的边长为1，，
，
，
，
整理得：，
这个函数的表达式是：，
根据等边三角形的性质得：当点运动到的中点时，点与点重合，
，即．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．
15．（3分）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理（如图），若的斜边，，则图中线段的长为 ．
【分析】根据勾股定理求出，根据全等三角形的性质得到，，求出，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：在中，，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．
16．（3分）在一条笔直的公路上有，两地，甲骑自行车匀速从地到地，乙骑摩托车匀速从地到地，到达地后立即按原路匀速返回，如图是甲、乙两人离地的距离与行驶时间之间的函数图象．若两人之间的距离不超过时，能够用无线电对讲机保持联系，甲、乙两人能够用无线电对讲机保持联系时．则的取值范围是 或 ．
【分析】利用待定系数法分别求出甲、乙两人离地的距离与行驶时间之间的函数关系式；按照不同的取值范围，根据二者之差的绝对值不大于5，列绝对值不等式并求解即可．
【解答】解：设甲离地的距离与行驶时间之间的函数关系式为、为常数，且．
将，和，代入，
得，解得，
；
当时，设乙离地的距离与行驶时间之间的函数关系式为为常数，且．
将，代入，得，
；
当时，设乙离地的距离与行驶时间之间的函数关系式为、为常数，且．
将，和，代入，
得，解得，
；
综上，乙离地的距离与行驶时间之间的函数关系式为．
①当时，若两人之间的距离不超过，则，
经整理，得，解得；
②当时，若两人之间的距离不超过，则，
经整理，得，解得，
；
综上，的取值范围是或，
故答案为：或．
【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数关系式并求绝对值不等式的解集是解题的关键．
三.解答题：本大题有8个小题，共72分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）解不等式组：，并把不等式组的解在如图的数轴上表示出来．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：由得，
由得，
所以不等式组的解集为．
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
18．（6分）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．
【分析】利用证明，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：，
，
即，
在和中，
，
，
．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键．
19．（8分）已知：一次函数，是常数，的图象过，两点．
（1）求该函数的表达式；
（2）试判断点是否在直线上？并说明理由．
【分析】（1）先把、点的坐标分别代入得到、的方程组，然后解方程组即可；
（2）通过计算自变量为所对应的函数值可判断点是否在直线上．
【解答】解：（1）把，分别代入得，
解得，
该函数的表达式为；
（2）点在直线上．
理由如下：
当时，，
点在直线上．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
20．（8分）的三边长分别是、、，且，，，是直角三角形吗？证明你的结论．
【分析】首先计算，再利用因式分解可得，进而可得此三角形是直角三角形．
【解答】解：是直角三角形，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
21．（10分）某班筹划在运动会入场式中为学生购买演出服装，现有两种服装可供选择：卫衣的价格是59元套，卡通服的价格为89元套．参加方阵的36名同学每人都需要选择一套服装，假设购买卫衣的同学有人，购买这批服装的总花费为元．
（1）求关于的函数表达式；
（2）班级同学经过讨论，认为演出服装的总花费不应超过2800元，求购买卫衣的同学的人数范围．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出关于的函数表达式；
（2）根据（1）中的结果和题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
即关于的函数表达式是；
（2）演出服装的总花费不应超过2800元，
，
解得，
为正整数，
购买卫衣的同学的人数范围是且为整数．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，列出相应的不等式．
22．（10分）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，且，点是第一象限内直线上的动点，连结．
（1）求出点的坐标及的值；
（2）设点，求出的面积与的函数表达式．
【分析】（1）先求出点，则，再根据得，由此可得点的坐标；然后将点的坐标代入之中即可求出的值；
（2）由（1）可知直线的表达式为，根据点且在第一象限内直线上，得，且，进而得点到轴的距离为，然后根据三角形的面积公式可得与的函数表达式．
【解答】解：（1）对于，当时，，
点的坐标为，
，
，
，
点，
将代入，得，，
解得：，
（2）由（1）可知：直线的表达式为：，
点，且在第一象限内直线上，
，且，
点到轴的距离为，
由（1）可知：，
，
，
与的函数表达式：．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数图象上点，三角形的面积等，熟练掌握一次函数的图象，理解一次函数图象上点的坐标满足一次函数的表达式是解决问题的关键．
23．（12分）综合与实践：数学课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答：
问题情境：如图1，在中，，，点是斜边上动点，点在直线上，满足，过点作，垂足为，设．
圆圆同学提出的问题：探究与之间的数量关系；
方方同学提出的问题：探究，，之间的数量关系；
经过小组讨论，第一小组提出解决问题的思路：取中点，连接，可以证明：，从而得到对应线段相等
请你继续完成以下问题：
（1）特例探究：从特殊到一般是研究几何问题的常用方法，如图1，当时，请直接写出与这两条线段长度之间的数量关系 ；
（2）数学思考：如图2，当时，
①与这两条线段长度之间的数量关系： ；
②探究，，这三条线段长度之间的数量关系得： ；并写出探究过程；
（3）延伸拓展：如图3，当时，探究，，这三条线段长度之间的数量关系得： ；并写出探究过程．
【分析】（1）取中点，连接，先说明为等边三角形，再证明即可解答；
（2）①取的中点，连接，证明即可解答；
②由①知，结合，即可得到，进而得到答案；
（3），过作，证明得出，再根据线段直角的关系即可解答．
【解答】解：（1）取中点，连接，
，，为中点，
，，，
当时，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）①取的中点，连接，
，，为中点，
，，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
；
故答案为：；
②；
由①知，
，
，
；
故答案为：；
（3），
过作，
，
在 中，，
，
在与中，
，
，
，，
在中，，，
，
，
，，
，
．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．
24．（12分）如图，在中，，，延长至点，使，连结，作的平分线与的平分线交于点，连结，．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）求的值．
【分析】（1）先证是等边三角形，可得，，由等腰三角形的性质可求，即可求解；
（2）由“”可证，可得，可证，即可求解；
（3）由直角三角形的性质可得，，即可求解．
【解答】（1）证明：如图，取的中点，
，，
，，
，点是的中点，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作直线于，于，
又，
，
平分，，，
，
，平分，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
；
（3）解：，，
，
，，
，
，
．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/22 23:36:13；用户：佩服还小飞飞；邮箱：rFmNt06nLZ6sDiSU3_grzcMSxM@；学号：26025303