浙江省杭州市萧山区城区2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省杭州市萧山区城区八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 如图所示车标中，是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

3. 用配方法解方程时，配方正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 某班七个兴趣小组人数分别为，，，，，，已知这组数据的平均数是，则这组数据的中位数是

A.  B.  C.  D.

5. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 下列条件不能判定四边形是平行四边形的是
   一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； 
   一组对角相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形；
   对角线相等且互相垂直的四边形是平行四边形； 
   一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．

A.  B.  C.  D. 以上都不正确

7. 新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，设每轮传染中平均一个人传染了个人，经过两轮传染后共有人感染，列出的方程是

A.  B.
C.  D.

8. 在中，三边分别为，，，则化简的结果为

A.  B.  C.  D.

9. 已知关于的方程，给出以下结论，其中错误的是

A. 当时，方程只有一个实数根
B. 若是方程的根，则方程的另一根为
C. 无论取何值，方程都有一个负数根
D. 当时，方程有两个不相等的实数根

10. 如图，四边形中，，，点为延长线上一点，连接，交于点，的平分线交于点若，点为的中点，，则的值为

1. 
    B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共24 分）

11. ______；
    ______．
12. 若一组数据，，，的众数是，则这组数据的方差为______．
13. 设实数的整数部分为，小数部分为，则______．
14. 已知多边形的内角和等于外角和的两倍，则这个多边形的边数为______．
15. 如图，在平行四边形中，为边上一点，且若平分，，则______．

16. 对于一元二次方程，下列说法正确的有______．
    若，则此方程一定有两个相等的实数根；
    若此方程有两个不等的实数根，则方程也一定有两个不等的实数根；
    若，则此方程一定有两个不等的实数根；
    若是一元二次方程的根，则；

三．计算题（本题共1小题，共10分）

17. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共6小题，共56分）

18. 用适当的方法解下列方程：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
19. 某工艺品厂草编车间共有名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据如下表：

求这名工人日均生产件数的平均数、众数、中位数．
若以中位数作日生产件数的定额，求能完成任务的工人数占总人数的比值？






 

20. 一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间的销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
    若降价元，则平均每天的销售数量为______件用含的代数式表示．
    当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为元？
    该商店每天的销售利润可能达到元吗？请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
21. 在四边形中，、交于点，，．
    证明：四边形是平行四边形；
    过点作交于点，连接若，求的度数．

22. 先阅读下面的例题，再按要求解答下列问题：
    求代数式的最小值．
    解：，
    ，
    
    的最小值是．
    求代数式的最小值；
    求代数式的最大值；
    某居民小区要在一块靠墙墙长的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

23. 如图，在长方形中，，、、、分别从、、、出发沿、、、方向在长方形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止，已知在相同时间内，若，则，，．
    当为何值时，点的运动停止？
    点与点可能相遇吗？点与点呢？请通过计算说明理由．
    当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：根据题意得：，解得，．
故选：．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于，列不等式求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

2.【答案】
 

【解析】解：不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念求解．
本题考查中心对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，

故选：．
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
 

4.【答案】
 

【解析】解：某班七个兴趣小组人数分别为，，，，，，已知这组数据的平均数是，
，
这一组数从小到大排列为：，，，，，，，
这组数据的中位数是：．
故选：．
本题可先算出的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．
本题考查的是中位数，熟知中位数的定义是解答此题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、原式，故此选项不符合题意；
B、原式，故此选项不符合题意；
C、原式，故此选项不符合题意；
D、原式，故此选项符合题意；
故选：．
根据二次根式减法运算法则判断和，根据二次根式的性质进行分母有理化计算判断，根据平方差公式判断．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握平方差公式是解题关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故错误； 
一组对角相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形，故正确；
对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故错误； 
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故正确；
故选：．
根据平行四边形的判定，可得答案．
本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定是解题关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：设每轮传染中平均一人传染人，则第一轮后有人感染，第二轮后有人感染，
由题意得：，
即：，
故选：．
设每轮传染中平均一人传染人，那么经过第一轮传染后有人被感染，那么经过两轮传染后有人感染，又知经过两轮传染共有人被感染，以经过两轮传染后被传染的人数相等的等量关系，列出方程即可．
本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，本题应注意是经过两轮传染后感染的总人数，而不仅仅只是第二轮被传染的人数．
 

8.【答案】
 

【解析】解：在中，三边分别为，，，
，，
原式


；
故选：．
根据在中，三边分别为，，，得，，再根据绝对值的性质化简．
本题考查二次根式的性质与化简、三角形三边关系，掌握二次根式性质与化简的应用，绝对值的性质化简是解题关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：当时，方程化为，解得，所以选项不符合题意；
把代入方程得，解得，
此时方程为，
设方程的另一个为，根据根与系数的关系得，解得，
所以方程的另一根为，所以选项不符合题意；
当时，因为，
当时，，
当时，因为，所以，，所以选项不符合题意；
所以当时，方程有两个不相等的实数根，所以选项符合题意．
故选：．
方程化为一元一次方程，则可对选项进行判断；先把代入方程求出，此时方程为，则利用根与系数的关系求出方程的另一根为，则可对选项进行判断；先利用求根公式解方程得到当时，，，加上当时，，则可对选项进行判断；由于，即时，方程有两个不相等的实数根，则可对选项进行判断．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，也考查了根的判别式．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
；
四边形是平行四边形，
，，
，点是的中点，
，，，
，
，，
≌，
，，
，
平分，
，，
，
在中，，，
由勾股定理可得，
，
故选B．
根据平行线的性质得，推出，得出，由点是的中点可得≌，则，由等腰三角形三角形合一的性质可得出，进而求出的长，由勾股定理可得出的长，进而求出的长．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
 

11.【答案】 
 

【解析】解：；
．
故答案为：；．
利用二次根式的乘法进行计算即可；
利用二次根式的除法进行计算即可．
本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：数据，，，的众数是，
，
平均数是，
则这组数据的方差为；
故答案为：．
根据众数的定义先求出的值，再根据方差的计算公式进行计算即可．
本题考查了众数和方差：众数是一组数据中出现次数最多的数；一般地设个数据，，，的平均数为，则方差
 

13.【答案】
 

【解析】解：，即，而实数的整数部分为，小数部分为，
，，



，
故答案为：．
估算无理数的大小，确定、的值，代入计算即可．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，求出、的值是得出正确答案的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：根据题意，得
，
解得：．
故这个多边形的边数为．
故答案为：．
任何多边形的外角和是，内角和等于外角和的倍则内角和是边形的内角和是，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．
 

15.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，
，
，
．
故答案为：．
首先证明是等边三角形，再证明≌，可得，求出即可．
本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】
 

【解析】解：若，等式两边平方得，即，所以方程一定有两个相等的实数根；
若方程有两个不等的实数根，则，
方程中根的判别式也是，所以也一定有两个不等的实数根；
若，则，方程中根的判别式，
故方程有实数根，但不一定有两个不等的实数根；
若是一元二次方程的根，可得，
把的值代入，可得，
综上所述其中正确的．
故答案为：．
由可得，再根据根的判别式的意义即可作出判断；
方程有两个不等的实数根，则，判断方程也一定有两个不等的实数根，只要证明方程的判别式的值大于即可；
由得：，所以，故方程有实数根，但不一定有两个实数根；
若是方程的一个根，即方程有实根，判别式，结合是方程的根，代入一定成立，即可作出判断．
此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是难度较大，用到了求根公式表示，整体代入求．
总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

17.【答案】解：原式
；

原式

．
 

【解析】直接利用二次根式的性质化简，再合并得出答案；
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

18.【答案】解：，
，
则或，
解得，；
，
，
，
则或，
解得，．
 

【解析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
先移项，再利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

19.【答案】解：由表格可得，
平均数为：，
众数是，中位数是；
若以中位数作日生产件数的定额，则能完成任务的工人数占总人数的比值为：．
 

【解析】平均数加工零件总数总人数，中位数是将一组数据按照由小到大或由大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数就是中间两个数的平均数，众数是指一组数据中出现次数最多的数据．
根据中位数解答即可．
本题考查统计量的选择、平均数、中位数和众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

20.【答案】
 

【解析】解：件．
故答案为：．
设每件衬衫降价元，则每件盈利元，每天可以售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又每件盈利不少于元，即，
，
．
答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元．
该商店每天的销售利润不可能达到元．
理由：由可得，，
，
，
原方程没有实数根，
该商店每天的销售利润不可能达到元．
利用平均每天的销售量每件降低的价格，即可求出结论；
设每件衬衫降价元，则每件盈利元，每天可以售出件，根据该商店每天销售该种商品的利润为元，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合每件盈利不少于元，即可得出每件商品应降价元．
同列出方程，根据方程的根的情况可得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
又，，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出，由平行四边形的判定可得出结论；
由线段垂直平分线的性质得出，得出，求出，则可得出答案．
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：，
，
，
的最小值为；
，
，
，
的最大值为；
设花园面积为，
根据题意得：，
，
当时，花园的面积最大，最大面积是，
此时，，符合题意，
答：当时，花园的面积最大，最大面积是，
 

【解析】仿照阅读材料即可得到答案；
仿照阅读材料，配成完全平方，即可求出最大值；
根据题意列出二次函数关系式，利用二次函数性质即可解答．
本题考查配方法及二次函数应用，解题的关键是掌握配方法和利用二次函数性质求最大小值．
 

23.【答案】解：由题意得，
，
当为时，点的运动停止；
当点与点相遇时，，
解得或舍去，
当点与点相遇时，，
解得，
当时，，
点与点不能相遇；
当点到达点时，，
，
，，
，
此时点与点还未相遇，
点只能在点的左侧，
如图，当点在点的左侧时，

，
解得舍去或，
当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形；
如图，当点在点的右侧时，

，
解得或舍去，
当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
综上，当或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
 

【解析】根据题意知，当点运动到终点时，运动停止；
当点与点相遇时，，解得或舍去，当点与点相遇时，，解得，故舍去；
首先计算可得点只能在点的左侧，然后分当点在点的左侧或点在点的右侧两种情形，分别根据，列方程可解决问题．
本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，化动为静，运用分类讨论思想是解题的关键．