浙教版七年级下册2.4 二元一次方程组的应用复习练习题

这是一份浙教版七年级下册2.4 二元一次方程组的应用复习练习题，共74页。试卷主要包含了掌握二元一次方程组的应用之销售等内容，欢迎下载使用。

1、掌握根据实际问题列出二元一次方程组，并学会根据二元一次方程组的解求参数；
2、掌握二元一次方程组的应用之方案问题；
3、掌握二元一次方程组的应用之行程问题；
4、掌握二元一次方程组的应用之销售、利润问题；
5、掌握二元一次方程组的应用之和差倍分问题；
6、掌握二元一次方程组的应用之工程问题；
7、掌握二元一次方程组的应用之古代问题；
知识点01 已知二元一次方程组的解求参数
【知识点】
1、二元一次方程组含参问题一般含有两个未知数，一个参数。我们在求解时，将参数当作已知数进行求解，用参数表示出两个未知数，然后再根据题意列出等量关系式，求出参数的值。
2、有些题目直接利用参数表示x或y，数据计算上比较繁琐，比如出现比较大的分数，这样的话我们可以考虑其它的方法，比如先将参数消去，求出x、y的值，然后再将x、y的值代入方程求出参数的值。
3、解含参问题时，我们首选的应该的整体思想，如果整体思想无法解决问题，我们可以选择上述两种方法进行解题。
【典型例题】
例1．（2022秋·山东青岛·八年级校考期末）已知关于的二元一次方程组的解是，则的值是（ ）
A．B．1C．D．3
例2．（2023秋·陕西西安·八年级高新一中校考期末）关于，的方程组有无数组解，则的值为_____．
例3．（2022春·福建泉州·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的方程组
(1)试用含的式子表示方程组的解．
(2)若方程组的解也是方程的解，求的值．
【即学即练】
1．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）若关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则a的值为（ ）
A．2B．1C．D．0
2．（2022春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）二元一次方程组的解互为相反数，则的值为________．
3．（2022春·湖南永州·七年级统考期末）若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求的值．
知识点02 根据实际问题列二元一次方程组
【知识点】
根据题目所给的数据，找出合适的等量关系，列出二元一次方程组；
【典型例题】
例1．（2023春·七年级课时练习）为振兴农村经济，某县决定购买A，B两种药材幼苗发给农民栽种，已知购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元；购买9棵A种药材幼苗和8棵B种药材幼苗共需137元，若设每棵A种药材幼苗元，每棵B种药材幼苗元，则所列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）某工厂去年的总利润（总收入总支出）为200万元．今年总收入比去年增加了，总支出比去年减少了，今年的总利润为400万元．设去年的总收入为x万元、总支出为y万元，根据题意可列方程组______．
例3．（2023春·全国·七年级专题练习）某中学九年级毕业生在礼堂就座进行毕业典礼，若一条长椅上坐4人，就有22人没座位；若一条长椅上坐5人，最后一条长椅上空出了3个座位，设有x条长椅，毕业生有y人，试列出方程组．
【即学即练】
1．（2022秋·重庆北碚·七年级统考期末）某校运动员分组训练．若每组5人，余3人；若每组6人．则缺5人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分，那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为 ______．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收．去年菠萝的收入结余12000元，今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年结余比去年多11400元．
(1)今年结余_____元；
(2)若设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为____元，支出为____元；（以上两空用含x、y的式子表示）
(3)列出关于x、y的方程组．
知识点03 方案问题
【知识点】
在解决实际问题时，需合理安排，从几种方案中，选择最佳方案。要点诠释：方案选择的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。
【典型例题】
例1．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）某同学去蛋糕店买面包，面包有A、B两种包装，每个面包品质相同，且只能整盒购买，商品信息如下：若某同学正好买了40个面包，则他最少需要花（ ）元．
A．50B．49C．52D．51
例2．（2021春·浙江·七年级校考期中）某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花了200元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件8元，乙种奖品每件6元，则购买了甲种奖品_____件
例3．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）阿进家准备装修书房，若甲、乙两个公司合作，需6周完成，共需装修费5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元．阿进的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．
(1)如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？
(2)如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由．
【即学即练】
1．（2022春·山东临沂·九年级校考阶段练习）把一根20m长的钢管截成2m长和3m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中2m长的钢管有根，则的值可能的情形有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．无数种
2．（2022秋·八年级课时练习）某中学为积极开展校园足球运动，计划购买和两种品牌的足球，已知一个品牌足球价格为120元，一个品牌足球价格为150元．学校准备用3000元购买这两种足球（两种足球都买），并且3000元全部用完，请写出一种购买方案：买_______个品牌足球，买________个品牌足球．
3．（2022秋·安徽合肥·七年级统考期末）为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批A型篮球和B型篮球．已知A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元．
(1)A型篮球和B型篮球的标价各是多少？
(2)该体育用品店推出了以下优惠方案：
方案一：所有商品按标价的九折销售；
方案二：所有商品按标价购买，总费用超过2000元时，超过部分按七折收费．
学校计划在该店购买20个A型篮球和30个B型篮球，选择哪种方案更合算？请说明理由．
知识点04 行程问题
【知识点】
学懂行程问题，首先需要掌握以下知识点：
（1）要掌握行程中的基本关系：路程＝速度×时间。
（2）相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。
（3）追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。
（4）环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。
（5）航行问题：相对运动速度关系是：顺水速度＝静水中速度＋水流速度；逆水速度＝静水中速度－水流速度。
其次，行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点。
【典型例题】
例1．（2022秋·全国·八年级专题练习）某城市规定：出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费（不足的按计算）．甲说“我乘这种出租车走了，付了元．”乙说：“我乘这种出租车走了千米，付了元．”问：出租车的起步价和超过后的每千米的收费标准分别是（ ）
A．元、元B．元、元C．元、元D．元、元
例2．（2022秋·八年级课时练习）A，B两地相距80km．一艘船从A出发，顺水航行4h到B，而从B出发逆水航行5h到A，已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差，船在静水中的速度是__________km/h．
例3．（2022秋·八年级课时练习）娄底市出租车收费规定：起步价所包含的路程为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费．
刘同学说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费11元．”
李同学说：“我乘出租车从市政府到娄底火车站走了6.5千米，付车费15元．”
问：
(1)出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？
(2)小张乘出租车从家里到娄底南站（高铁站）走了9.5千米，应付车费多少元？
【即学即练】
1．（2022春·江苏·七年级专题练习）甲、乙两城相距1120千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程是动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米，则动车平均每小时比快车平均每小时多行驶的路程为（ ）
A．330千米B．170千米C．160千米D．150千米
2．（2022秋·八年级课时练习）21年4月4日，双语实验学校组织全校师生前往烈士陵园，开展缅怀革命先烈，传承红色精神的主题活动．已知队伍全长450米，以90米/分的速度匀速前进．王平同学要从排尾到排头取东西，并立即返回排尾，且速度为180米/分．则他往返共需___分钟．
3．（2022秋·云南文山·八年级期末）如图，已知点A、点B在数轴上表示的数分别是-20、64，动点M从点A出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点N从点B出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动．若点M、N同时出发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出发10秒后与点N相遇．动点M、N运动的速度分别是多少？
知识点05 销售、利润问题
【知识点】
销售问题，其数量关系是：商品的利润＝商品售价－商品的进价；
商品利润率＝商品利润／商品进价×100％，
注意打几折销售就是按原价的百分之几出售。
【典型例题】
例1．（2022秋·八年级课时练习）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种已知购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，则大套装的单价为( )元
A．50B．70C．90D．120
例2．（2022春·湖北孝感·七年级统考期末）某超市的账目记录显示，某天卖出13盒牙膏和7支牙刷，收入132元；另一天以同样的价格卖出同类的5盒牙膏和8支牙刷，收入72元，则该超市以同样的价格卖出同类的6盒牙膏和5支牙刷，可收入_______元．
例3．（2023秋·广东深圳·八年级统考期末）列方程解决问题
某文具店出售的部分文具的单价如下表：
“双11”期间，因活动促销，黑色笔芯五折销售，红色笔芯七五折销售．小杰在此期间共购进红黑双色中性笔2支，红色笔芯与黑色笔芯共10盒，共花去74元．
(1)小杰黑色笔芯与红色笔芯各买多少盒？
(2)小杰此次购买比按原价购买共节约多少钱？
【即学即练】
1．（2021春·浙江金华·七年级统考期末）小华带着妈妈给的现金去蛋糕店买蛋糕，他若买5个巧克力蛋糕和3个桂圆蛋糕，则妈妈给的钱不够，还缺16元；若买3个巧克力蛋糕和5个桂圆蛋糕，则妈妈给的钱还有剩余，还多10元，若他只买8个桂圆蛋糕，则剩余的钱为 元． （ ）
A．26B．49C．32D．51
2．（2022春·全国·八年级假期作业）春节前夕，唐狮服装装卖店按标价打折销售，茗茗去该专卖店买了两件衣服，第一件打七折，第二件打五折，共计260，付款后，收银员发现结算时不小心把两件衣服的标价计算反了，又找给茗茗40，则这两件衣服衣服的原标价各是( )
3．（2023秋·重庆九龙坡·七年级重庆市渝高中学校校考期末）某书店购进甲、乙两种图书共本，甲、乙两种图书的进价分别为每本10元、30元，甲、乙两种图书的标价分别定为每本15元、40元．
(1)若书店恰好用了元购进这本图书，求购进的甲、乙图书各多少本？
(2)在销售时，该书店考虑到要迅速将图书售完，于是甲图书打8折，乙图书也打折进行促销，为使甲、乙两种图书全部销售完后共获利元,请问乙图书应打几折出售?
知识点06 和差倍分问题
【知识点】
和差积倍分问题常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别。
对于隐含等量关系的题目，需要把握3点：（1）各部分数量之和=全部数量；（2）较大量=较小量+多余量；（3）总量=倍数×倍量。
【典型例题】
例1．（2022秋·全国·八年级专题练习）在学校组织的图书跳蚤市场上，小明先以5元1本的价格买了x本书，后来同学们进行促销活动，小明又以1元2本的价格买了y本书，最后小明发现自己买了15本书，共花去43元，则可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022春·河南郑州·七年级统考期末）为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的，如果5只饭碗摞起来的高度为，9只饭碗摞起来的高度为，李老师家碗橱每格的高度为，则李老师一摞碗最多只能放___________只．
例3．（2022春·湖南湘潭·七年级统考期末）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．
(1)求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？
(2)据悉，长沙市到今年年底在建及通车地铁里程（不含1、2号线）将达到276千米，这些在建及通车地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，那么到今年年底长沙市修建地铁线网（不含1、2号线）共投资了多少亿元？
【即学即练】
1．（2021春·甘肃庆阳·七年级统考期末）五一黄金周期间，几位同学一起去郊外游玩男同学都背着红色的旅行包，女同学都背着黄色的旅行包，其中一位男同学说：“我看到的红色旅行包个数是黄色旅行包个数的1.5倍．”另一位女同学却说：“我看到的红色旅行包个数是黄色旅行包个数的2倍．”如果这两位同学说的都对，那么女同学的人数是（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．（2022秋·八年级课时练习）一群学生结对去郊外春游，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象：假设每个人都看不到自己头上戴的帽子，则每位男生看到白色与红色的帽子一样多，而每位女生看到白色帽子是红色的2倍；则这群学生共有_______人．
3．（2022·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考三模）随着第24届北京冬奥会和冬残奥会的顺利召开，“冰墩墩”和“雪容融”成了名副其实的国民顶流．奥林匹克官方旗舰店预售“冰墩墩”和“雪容融”小挂件，若定购3个“冰墩墩”和2个“雪容融”小挂件共需支付360元，若定购2个“冰墩墩”和3个“雪容融”小挂件共需支付370元．“冰墩墩”和“雪容融”小挂件单价各是多少元？
知识点07 工程问题
【知识点】
工程问题，不仅需要掌握其基本等量关系：工作总量＝工作效率×工作时间；合作的效率＝各单独做的效率地和。当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”，分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。
初中阶段对工程问题的考查与小学有着很大的不同，数量关系更复杂，销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关。因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量。
【典型例题】
例1．（2022秋·八年级课时练习）小文原本计划使用甲、乙两台影印机于10：00开始一起印制文件并持续到下午，但10：00时有人正在使用乙，于是他先使用甲印制，于10：05才开始使用乙一起印制，且到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张若甲、乙的印制张数与印制时间皆成正比，则依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在哪个时间达到2100张？（ ）
A．10：40B．10：41C．10：42D．10：43
例2．（2022秋·八年级课时练习）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元．列二元一次方程组为__________．
例3．（2023春·七年级课时练习）某服装厂接到生产一批防护服的任务，甲车间单独完成需15天，甲车间生产2天后，由于疫情紧急，需提前5天完成任务，乙车间加入共同生产正好如期完成
(1)乙车间单独完成这批防护服需几天？
(2)若甲车间平均每天生产200套防护服，问乙车间平均每天生产防护服多少套？
【即学即练】
1．（2023春·七年级课时练习）甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（ ）
A．320，360B．360，320C．300，380D．380，380
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，太原市正在修建贯穿迎泽和武宿两个市级中心以及太原站、太原南站的地铁，号线．已知修建地铁号线和号线共需投资亿元．根据地质情况及技术难度测算，号线每千米的平均造价比号线每千米的平均造价多亿元．设号线每千米的平均造价是亿元，号线每千米的平均造价是亿元，则可列二元一次方程组为_____________．
3．（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建3000m的村路，甲队每天修建150m，乙队每天修建200m，共用18天完成．
（1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程等号后面忘记写数据，得到了一个不完整的二元一次方程组，请你将张红列出的这个不完整的方程组补充完整，并说明未知数p、q表示的含义；
（2）李芳同学的思路是设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，请你按照李芳的思路，求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？
知识点08 古代问题
【知识点】
古代问题即将古代数学领域中的应用题翻译成现代文，让我们根据数据找出等量关系，并得到结果的一个过程；
【典型例题】
例1．（2023春·七年级课时练习）《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，程大位还有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇．醇酒二瓶醉五客，薄酒三瓶醉二人，共同饮了一十六，三十四客醉颜生，试问高明能算士，几多酵酒几多醇？”这首诗是说，好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果34位客人醉倒了，他们总共饮下16瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶．依题意，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2023秋·广东惠州·七年级统考期末）我国古代的数学专著《九章算术》中有这样一道题：“今有人共买物，人出七，盈二；人出六，不足四，问人数，物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，若每人出7钱，则多了2钱：若每人出6钱，则少了4钱，问有多少人，物品的价格是多少？”，根据问题情境可计算出购买物品的共有___________人；
例3．（2022秋·全国·八年级专题练习）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用20两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你帮商人设计一种购买方案．
【即学即练】
1．（2022春·河北保定·七年级统考期末）明代数学家程大位的著作《算法统综》中有一个“绳索量竿”问题：“一只竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，问索长几尺？”译文为：“现有一根竹竿和一条绳索，用绳索去量竹竿，绳索比竹竿长5尺，如果将绳索对折后再去量竹竿，就比竹竿短5尺，问绳索长几尺？”（注：一托=5尺）设绳索长x尺，竹竿长y尺，根据题意列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·四川成都·八年级成都七中校考期中）我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，很多题目保留至今，如《九章算术》中有这样的一道古代问题，“有大小两种盛酒的桶，已知个大桶加上个小桶可以盛酒斛，个大桶加上个小桶可以盛酒斛，”在本题题干中，用个大桶和个小桶共盛酒______斛.
3．（2022·江苏镇江·统考二模）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有这样一个问题：
酒分醇醨
务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．
醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．
共通饮了一斗九，三十三客醉醺醺．
欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？
其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了19升，醉了33位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？
题组A 基础过关练
1．（2020秋·四川甘孜·八年级统考期末）达瓦的储钱罐中有5角和1元的硬币共100枚，币值共有68元．求其中5角、1元的硬币各有多少枚．设储钱罐中有5角的硬币x枚，1元的硬币y枚，则可列出方程组为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）关于，的二元一次方程组的解适合，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·北京·七年级校考期末）若甲数为x，乙数为y，则甲数的3倍比乙数大2，可以列成方程（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·河北邯郸·七年级校考阶段练习）定义新运算：，其中，为常数．若，，则a，b的值分别为（ ）
A．2，3B．2，C．，3D．，
5．（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）小明在文化用品超市购买单价为2元的签字笔和单价为3元的笔记本，一共花了元，则购买方案有___________种．
6．（2022秋·八年级单元测试）若关于、的二元一次方程组的解、为为相反数，则__．
7．（2022秋·全国·八年级专题练习）“今有六十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容五鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有60只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳5头鹿，求所需圈舍的间数．设小圈舍的间数是x间，大圈舍的间数是y间，则可列方程为___．
8．（2022·全国·七年级专题练习）下表表示某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．
则九年级参加科技小组活动的有__________次．
9．（2023秋·陕西西安·八年级校考期末）冬季来临，某电器店开始销售A、B两种型号的取暖器，A型取暖器每台元，B型取暖器每台元．若两周内共销售台，这两周的销售额为元，A、B两种型号的取暖器分别销售了多少台？（请用二元一次方程组的知识解答）
10．（2023春·全国·七年级专题练习）如果关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求m的值．
题组B 能力提升练
1．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜，于2020年通过国家验收正式开放运行，这是南仁东教授率团队历时20多年，从追赶到建成了世界最大且最灵敏的射电望远镜．为进一步了解这一科技创举，班级计划购买《南仁东传》和中国天眼模型．若购买1本《南仁东传》和1个中国天眼模型需要860元，班级拿出2020元购买了7本《南仁东传》和2个中国天眼模型．若设每一本《南仁东传》为x元，每一个中国天眼模型y元，则可列二元一次方程组为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）已知关于，的方程组的解也满足方程，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2021春·重庆九龙坡·七年级重庆市杨家坪中学校考期中）用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为个长方形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为个长方无纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为（ ）．
A．4B．6C．8D．10
4．（2022秋·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）定义运算“*”，规定（其中为常数），若已知，则的值为（ ）
A．10B．9C．8D．7
5．（2022秋·江西抚州·八年级统考期末）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，2大桶加2小桶共盛____________斛米．
6．（2021春·浙江绍兴·七年级校考期中）某校七年级有两个班，期中数学优秀的人共有45人，优秀率为45%，而（1）班的优秀率为42%，（2）班的优秀率为48%，设（1）（2）两个班的人数分别为x，y，则可列方程：___________（列出方程即可）．
7．（2022秋·山东青岛·八年级山东省青岛实验初级中学校考期末）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，当为11时的值是_____．
8．（2022秋·重庆北碚·七年级统考期末）沁园的一种饮品是由果汁原液和纯净水按一定比例配制而成，其中购买一吨果汁原液的钱可以购买18吨纯净水．由于今年果汁价格上．纯净水价格也上涨了，导致配制的这种饮品价格上涨，问这种饮品果汁与纯净水的配制比例是___________．
9．（2022秋·广东江门·七年级统考期末）某天，一蔬菜经营户用180元从蔬菜批发市场购进土豆和黄瓜共60千克到菜市场去卖，土豆和黄瓜这天的进价和售价如下表所示：
(1)该蔬菜经营户当天购进土豆和黄瓜各多少千克？
(2)他当天卖完全部土豆时发现黄瓜才卖了一半，为了尽快售完，决定八折销售剩下的黄瓜，很快一售而空，请问他一共赚了多少钱？
10．（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
(1)学校购进红、蓝文化衫各几件?
(2)通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．
题组C 培优拔尖练
1．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用180元购买A、B、C三种奖品（三种都买），A种每个10元，B种每个20元，C种每个40元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，共有几种购买方案（ ）
A．8种B．9种C．10种D．11种
2．（2023秋·陕西西安·八年级校考期末）方程组的解与方程组的解相同，则a、b的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）某班的一个综合实践活动小组去甲、乙两个超市调查去年和今年“元旦”期间的销售情况，下面是调查后小明与其他两位同学进行交流的对话．
小明说：“去年两超市的销售额共为150万元，今年两超市的销售额共为170万元．”
小亮说：“甲超市的销售额今年比去年增加．”
小颖说：“乙超市的销售额今年比去年增加．”
根据他们的对话，得出今年甲超市的销售额为（ ）万元.
A．100B．50C．60D．110
4．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（ ）
A．，6B．2，6C．2，D．，
5．（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）如果方程组，的解满足，则a的值为____________．
6．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）对于一个三位数 ， 如果满足∶ 它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于 7 ， 那么称这个数为 “幸福数”． 例如∶是“幸福数”；是“幸福数”；不是“幸福数”． 若 将一个“幸福数”的个位数的 2 倍放到十位， 原来的百位数变成个位数， 原来的十位数 变成百位数， 得到一个新的三位数(例如∶ 若， 则)， 若也是一个“幸福数”， 则满足条件的所有的值______．
7．（2023秋·重庆潼南·九年级统考期末）某书店开始销售甲、乙、丙三种书籍，最初这三种书籍的库存总数量大于700本且小于1100本．过了一段时间后，第一次补充了三种书籍，补充后库存总数量比最初时多了280本，且此时甲、乙、丙三种书籍的库存数量之比为．又过了一段时间，第二次补充了三种书籍，补充后库存总数量比第一次补充后多了230本，且此时甲、乙、丙三种书籍的库存数量之比为，则第二次补充后，乙种书籍的库存数量是___________本．
8．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）五一期间，商场为吸引顾客，每半小时进行一次现金抽奖活动，顾客只需要花a元即可购买一张奖券，奖券面值有a元，b元，c元三种（且皆为整数）．甲、乙、丙三人从下午两点至下午六点，一共参加了轮活动，每轮每人只能购买一张，且每轮三人刚好获得a元，b元，c元奖券各一张．晚饭时，甲说：我今天赚了430元；乙说：我一次也没有抽到过c元奖券，还有3次都是最小面值的，只赚了120元；丙说：我三种都抽到了，一共有360元奖券，赚了220元！则甲抽到了_______次c元奖券．
9．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
(1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值；
(2)若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？
10．（2022春·福建莆田·七年级校考阶段练习）某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．
(1)如图为该化工厂与A、B两地的距离，已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
①根据题意，甲、乙同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：乙：
根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y，，表示的意义，然后在等式右边补全甲乙两名同学所列方程组
甲：x表示 ，y表示 ；乙：表示 ，表示 ；
②甲同学根据他所列方程组解得x＝300，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题．
(2)工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20吨，若要增加c吨的产品，就要再购买c吨原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，同时满足原料总重量的2倍，求需要再购买多少吨的原料？
A包装盒
B包装盒
每盒面包个数（个）
4
6
每盒价格（元）
5
8
种类
单价
红黑双色中性笔
10元/支
黑色笔芯
6元/盒
红色笔芯
8元/盒
课外小组活动总时间/h
文艺小组活动次数
科技小组活动次数
七年级
12.5
4
3
八年级
10.5
3
3
九年级
7
品名
进价（单位：元/千克）
售价（单位：元/千克）
土豆
5
黄瓜
2
3
批发价（元）
零售价（元）
红色文化衫
25
45
蓝色文化衫
20
35
专题2.4 二元一次方程组的应用
1、掌握根据实际问题列出二元一次方程组，并学会根据二元一次方程组的解求参数；
2、掌握二元一次方程组的应用之方案问题；
3、掌握二元一次方程组的应用之行程问题；
4、掌握二元一次方程组的应用之销售、利润问题；
5、掌握二元一次方程组的应用之和差倍分问题；
6、掌握二元一次方程组的应用之工程问题；
7、掌握二元一次方程组的应用之古代问题；
知识点01 已知二元一次方程组的解求参数
【知识点】
1、二元一次方程组含参问题一般含有两个未知数，一个参数。我们在求解时，将参数当作已知数进行求解，用参数表示出两个未知数，然后再根据题意列出等量关系式，求出参数的值。
2、有些题目直接利用参数表示x或y，数据计算上比较繁琐，比如出现比较大的分数，这样的话我们可以考虑其它的方法，比如先将参数消去，求出x、y的值，然后再将x、y的值代入方程求出参数的值。
3、解含参问题时，我们首选的应该的整体思想，如果整体思想无法解决问题，我们可以选择上述两种方法进行解题。
【典型例题】
例1．（2022秋·山东青岛·八年级校考期末）已知关于的二元一次方程组的解是，则的值是（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】A
【分析】将代入二元一次方程组求出的值，即可解答．
【详解】解：将代入二元一次方程组得，
，
解得：，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟悉二元一次方程组的解法是解题的关键．
例2．（2023秋·陕西西安·八年级高新一中校考期末）关于，的方程组有无数组解，则的值为_____．
【答案】3
【分析】根据题意可知方程和方程是同一个方程，据此求解a、b的值即可得到答案．
【详解】解：∵关于，的方程组有无数组解，
∴方程和方程是同一个方程，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，熟知二元一次方程组有无数组解时，方程组的两个方程是同一个方程是解题的关键．
例3．（2022春·福建泉州·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的方程组
(1)试用含的式子表示方程组的解．
(2)若方程组的解也是方程的解，求的值．
【答案】(1)
(2)-3
【分析】（1）将m当做常数，采用加减消元法即可求解；
（2）将（1）中含m的结果代入二元一次方程中，解方程即可求解．
（1）
①+②，得3x=6m+9，解得x=2m+3，
将x=2m+3代入到②中，得y=2m-2，
即方程组的解为：；
（2）
将代入到中，
有，
解得m=-3．
即m的值为-3．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及根据求解二元一次方程中参数的值的知识，掌握加减消元法是解答本题的关键．
【即学即练】
1．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）若关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则a的值为（ ）
A．2B．1C．D．0
【答案】D
【分析】将a当做已知，解原方程组后，根据同解方程得到含a的一元一次方程，就能求得此题结果了．
【详解】解：
解方程组得：
x，y是二元一次方程的解，
即
解得
故选：D
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，和二元一次方程的解的应用，将方程组的解代入方程是解题的关键．
2．（2022春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）二元一次方程组的解互为相反数，则的值为________．
【答案】
【分析】由题意可得，它与方程组中的第二个方程组成一个新的方程组，先求出的值，再代入方程组中第一个方程，即可求出．
【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解互为相反数
解方程组
解得
把代入方程得
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键．
3．（2022春·湖南永州·七年级统考期末）若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)1
【分析】（1）根据题意列不含m、n的方程组求解即可；
（2）将（1）求得的方程组的解代入原方程组中含m、n的方程中求得m、n的值即可．
（1）
解：∵关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解，
∴
解得：，
∴这个相同的解为：；
（2）
由（1）可得：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解，
∴，
解得，
∴m﹣n＝3﹣2＝1．
答：m﹣n的值为1．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，同解方程，解题的关键是根据题意重新联立方程组．
知识点02 根据实际问题列二元一次方程组
【知识点】
根据题目所给的数据，找出合适的等量关系，列出二元一次方程组；
【典型例题】
例1．（2023春·七年级课时练习）为振兴农村经济，某县决定购买A，B两种药材幼苗发给农民栽种，已知购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元；购买9棵A种药材幼苗和8棵B种药材幼苗共需137元，若设每棵A种药材幼苗元，每棵B种药材幼苗元，则所列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据“购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元；购买9棵A种药材幼苗和8棵B种药材幼苗共需137元”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元，
∴；
∵购买9棵A种药材幼苗和8棵B种药材幼苗共需137元，
∴．
∴所列方程组为．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
例2．（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）某工厂去年的总利润（总收入总支出）为200万元．今年总收入比去年增加了，总支出比去年减少了，今年的总利润为400万元．设去年的总收入为x万元、总支出为y万元，根据题意可列方程组______．
【答案】
【分析】设去年的总收入为x万元、总支出为y万元，则今年的总收入为万元、总支出为万元，根据总利润总收入总支出，结合今年和去年的总利润列方程组即可．
【详解】解：设去年的总收入为x万元、总支出为y万元，则今年的总收入为万元、总支出为万元，根据题意得：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，解题的关键用去年的收入与支出表示出今年的收入与支出．
例3．（2023春·全国·七年级专题练习）某中学九年级毕业生在礼堂就座进行毕业典礼，若一条长椅上坐4人，就有22人没座位；若一条长椅上坐5人，最后一条长椅上空出了3个座位，设有x条长椅，毕业生有y人，试列出方程组．
【答案】
【分析】设有x条长椅，毕业生有y人，根据“一条长椅上坐4人，就有22人没座位”可得；根据“一条长椅上坐5人，最后一条长椅上空出3个座位”列出另一个关于x、y的方程，联立上述方程组成方程组，即可解答此题．
【详解】解：设有x条长椅，毕业生有y人，
根据题意，列方程组得：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题干信息找出等量关系并据此列出方程组是解题的关键．
【即学即练】
1．（2022秋·重庆北碚·七年级统考期末）某校运动员分组训练．若每组5人，余3人；若每组6人．则缺5人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接根据题意列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设运动员人数为x人，组数为y组，由题意得．
故选：C
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组即可．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分，那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为 ______．
【答案】
【分析】根据比赛场数为9场可列，根据比赛积分为17分可列，由此即可得到答案．
【详解】解：∵该足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，
∴；
∵胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，该足球队在第一轮比赛中共得17分，
∴．
∴所列方程组为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收．去年菠萝的收入结余12000元，今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年结余比去年多11400元．
(1)今年结余_____元；
(2)若设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为____元，支出为____元；（以上两空用含x、y的式子表示）
(3)列出关于x、y的方程组．
【答案】(1)23400
(2)1.2x；0.9y
(3)
【分析】（1）根据去年菠萝的收入结余12000元，结余今年预计比去年多11400元，可以计算出今年的结余；
（2）根据今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少10%，可以表示出今年的收入和支出；
（3）根据题意“去年菠萝的收入结余12000元，今年结余比去年多11400元．”列出相应的方程组，即可．
【详解】（1）解：根据题意得：今年的结余为12000+11400=23400元；
故答案为：23400
（2）解：设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为x+20%x=1.2x元，支出为y-10%y=0.9y元；
故答案为：1.2x；0.9y
（3）解：根据题意得：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的知识解答．
知识点03 方案问题
【知识点】
在解决实际问题时，需合理安排，从几种方案中，选择最佳方案。要点诠释：方案选择的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。
【典型例题】
例1．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）某同学去蛋糕店买面包，面包有A、B两种包装，每个面包品质相同，且只能整盒购买，商品信息如下：若某同学正好买了40个面包，则他最少需要花（ ）元．
A．50B．49C．52D．51
【答案】D
【分析】设购买A包装面包x盒，B包装面包y盒，由题意：某同学正好买了40个面包，结合表中信息列出二元一次方程，求出非负整数解，即可解决问题．
【详解】解：设购买A包装面包x盒，B包装面包y盒，
由题意得：，
解得或或
当，时，费用为：
（元）；
当，时，费用为：
（元）；
当，时，费用为：
（元）；
，
某同学正好买40个面包时，他最少需要花51元，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
例2．（2021春·浙江·七年级校考期中）某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花了200元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件8元，乙种奖品每件6元，则购买了甲种奖品_____件
【答案】10
【分析】设购买甲种奖品件，乙种奖品件，根据甲，乙两种奖品共30件和花了200元钱购买甲，乙两种奖品，甲种奖品每件8元，乙种奖品每件6元，列出方程组，再进行求解即可．
【详解】解：设购买甲种奖品件，乙种奖品件，由题意得
，
解得，
答：购买了甲种奖品10件．
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，抓住题目中的关键语句，列出方程．
例3．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）阿进家准备装修书房，若甲、乙两个公司合作，需6周完成，共需装修费5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元．阿进的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．
(1)如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？
(2)如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由．
【答案】(1)从节约时间的角度考虑，应选择甲公司
(2)从节约开支的角度考虑，应选择乙公司，理由见解析
【分析】（1）设甲公司单独做每周的工作量为，乙公司单独做每周的工作量为，根据题意列方程组，解得，故甲公司单独做需要周，乙公司单独做需要周，所以从节约时间的角度考虑，应选择甲公司；
（2）设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元，根据题意列方程组，解得，所以甲公司单独做需万元，乙公司单独做需万元，所以从节约开支的角度考虑，应选择乙公司．
【详解】（1）解：设甲公司单独做每周的工作量为，乙公司单独做每周的工作量为，
可列出方程
解得
故甲公司单独做需要周，乙公司单独做需要周，
因为，
所以从节约时间的角度考虑，应选择甲公司．
（2）解：设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元，
可列出方程组
解得
所以甲公司单独做需万元，乙公司单独做需万元，
因为，
所以从节约开支的角度考虑，应选择乙公司．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是读懂题意，根据题目建立等量关系式．
【即学即练】
1．（2022春·山东临沂·九年级校考阶段练习）把一根20m长的钢管截成2m长和3m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中2m长的钢管有根，则的值可能的情形有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．无数种
【答案】B
【分析】设3m长的短钢管有b根，根据题意，得，整理，得，
根据都是正整数，得，得到，只有是偶数时，a才能为整数，故b有2，4，6三种可能，从而判定a也有3种可能性．
【详解】设3m长的短钢管有b根，根据题意，得，整理，
得，
因为都是正整数，
所以，
解得，
故当是偶数时，a才能为整数，
故b有2，4，6三种可能，
所以a也有3种可能性，
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，熟练掌握方程整数解的求解方法是解题的关键．
2．（2022秋·八年级课时练习）某中学为积极开展校园足球运动，计划购买和两种品牌的足球，已知一个品牌足球价格为120元，一个品牌足球价格为150元．学校准备用3000元购买这两种足球（两种足球都买），并且3000元全部用完，请写出一种购买方案：买_______个品牌足球，买________个品牌足球．
【答案】 10 12
【分析】设买个品牌足球，买个品牌足球，根据题意列出二元一次方程，根据整数解确定的值即可求解．
【详解】解：设买个品牌足球，买个品牌足球，根据题意得，
，
整理得：，
，是正整数，
是5的倍数，
．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，整除，根据题意列出方程是解题的关键．
3．（2022秋·安徽合肥·七年级统考期末）为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批A型篮球和B型篮球．已知A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元．
(1)A型篮球和B型篮球的标价各是多少？
(2)该体育用品店推出了以下优惠方案：
方案一：所有商品按标价的九折销售；
方案二：所有商品按标价购买，总费用超过2000元时，超过部分按七折收费．
学校计划在该店购买20个A型篮球和30个B型篮球，选择哪种方案更合算？请说明理由．
【答案】(1)A型篮球的标价是90元，B型篮球的标价是60元；
(2)方案二更合算，理由见解析
【分析】（1）设A型篮球的标价是x元，B型篮球的标价是y元，根据“A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元”，列出方程组，即可求解；
（2）先求得按标价购买20个 A型篮球和30个B型篮球的总费用为3600元，再分别求出选择方案一的总费用和选择方案二的总费用并且对两个结果比较大小，即可得到问题的答案．
【详解】（1）解：设A型篮球的标价是x元，B型篮球的标价是y元，根据题意得：
，
解得：，
答：A型篮球的标价是90元，B型篮球的标价是60元；
（2）解：方案二更合算，理由如下：
元，
即按标价购买20个A型篮球和30个B型篮球的总费用为3600元，
方案一：总费用为元，
方案二：总费用为元，
∵，
∴方案二更合算．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、方案选择型问题的求解等知识与方法，正确的用代数式表示购买A型篮球的总费用和购买B型篮球的总费用是解题的关键．
知识点04 行程问题
【知识点】
学懂行程问题，首先需要掌握以下知识点：
（1）要掌握行程中的基本关系：路程＝速度×时间。
（2）相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。
（3）追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。
（4）环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。
（5）航行问题：相对运动速度关系是：顺水速度＝静水中速度＋水流速度；逆水速度＝静水中速度－水流速度。
其次，行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点。
【典型例题】
例1．（2022秋·全国·八年级专题练习）某城市规定：出租车起步价所包含的路程为，超过的部分按每千米另收费（不足的按计算）．甲说“我乘这种出租车走了，付了元．”乙说：“我乘这种出租车走了千米，付了元．”问：出租车的起步价和超过后的每千米的收费标准分别是（ ）
A．元、元B．元、元C．元、元D．元、元
【答案】D
【分析】设出租车的起步价是元，超过后，每千米的车费是元，根据甲、乙两人的乘车路程及所付金额，列出二元一次方程组，然后解方程组即可．
【详解】解：设出租车的起步价是元，超过后，每千米的车费是元（不足的按计算），
依题意，得：，
解得：，
∴出租车的起步价是元，超过后的每千米的收费标准是元．
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
例2．（2022秋·八年级课时练习）A，B两地相距80km．一艘船从A出发，顺水航行4h到B，而从B出发逆水航行5h到A，已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差，船在静水中的速度是__________km/h．
【答案】18
【分析】设船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h，根据一艘船从A地出发，顺水航行4小时到B地；而从B地出发，逆水航行5小时到A地列出方程组解答问题即可．
【详解】解：设船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h，由题意得
，
解得．
∴船在静水中的速度为18km/h，
故答案为：18．
【点睛】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
例3．（2022秋·八年级课时练习）娄底市出租车收费规定：起步价所包含的路程为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费．
刘同学说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费11元．”
李同学说：“我乘出租车从市政府到娄底火车站走了6.5千米，付车费15元．”
问：
(1)出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？
(2)小张乘出租车从家里到娄底南站（高铁站）走了9.5千米，应付车费多少元？
【答案】(1)出租车的起步价是5元，超过1.5千米后每千米收费2元
(2)21元
【分析】（1）先设未知数，设出租车的起步价是x元，超过1.5千米后每千米收费y元．根据他们的对话建立2个等量关系，因为4.5千米和6.5千米都分两段收费，一段是1.5千米部分，一段是多于1.5千米的部分，再根据两段的单价和两人的付车费列出二元一次方程组求解；
（2）千米分两段收费：即1.5千米（起步价）+千米×单价=付车费．把（1）中的单价代入进行计算即可；
【详解】（1）解：设出租车的起步价是元，超过1.5千米后每千米收费元，
根据题意可得：，
即：，
解这个方程组，得：，
答：出租车的起步价是5元，超过1.5千米后每千米收费2元；
（2）小张应付的车费：（元），
答：小张应付的车费为21元．
【点睛】本题考查用二元一次方程组解决实际问题，解题关键弄清题中的等量关系．
【即学即练】
1．（2022春·江苏·七年级专题练习）甲、乙两城相距1120千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程是动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米，则动车平均每小时比快车平均每小时多行驶的路程为（ ）
A．330千米B．170千米C．160千米D．150千米
【答案】C
【分析】设动车平均每小时行驶x千米，快车平均每小时行驶y千米，根据“一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇，且快车平均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，求出动车与快车平均每小时行驶的路程即可解答．
【详解】解：设动车平均每小时行驶x千米，快车平均每小时行驶y千米，
依题意得： ，
解得： ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2022秋·八年级课时练习）21年4月4日，双语实验学校组织全校师生前往烈士陵园，开展缅怀革命先烈，传承红色精神的主题活动．已知队伍全长450米，以90米/分的速度匀速前进．王平同学要从排尾到排头取东西，并立即返回排尾，且速度为180米/分．则他往返共需___分钟．
【答案】
【分析】从排尾到排头取东西，可以理解为王平同学与排头的追及问题；返回排尾，可以理解为王平同学与排尾的相遇问题，设从排尾到排头取东西用时间为分钟，返回的时间为分钟，根据题意列方程解决问题，往返所用时间为（）分钟．
【详解】设从排尾到排头取东西用时间为分钟，返回的时间为分钟，根据题意，得：
解得，
往返所用时间为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，根据题意列方程组是解题的关键．
3．（2022秋·云南文山·八年级期末）如图，已知点A、点B在数轴上表示的数分别是-20、64，动点M从点A出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点N从点B出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动．若点M、N同时出发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出发10秒后与点N相遇．动点M、N运动的速度分别是多少？
【答案】动点M每秒运动5个单位长度，动点N每秒运动2个单位长度
【分析】设动点M、N运动的速度分别是每秒x、y个单位长度，根据“若点M、N同时出发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出发10秒后与点N相遇．”列出方程组，解出即可．
【详解】解：设动点M、N运动的速度分别是每秒x、y个单位长度，
∵点A、B表示的数分别是-20、64，
∴线段AB长为，
∴由题意有，
解得
∴动点M每秒运动5个单位长度，动点N每秒运动2个单位长度．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
知识点05 销售、利润问题
【知识点】
销售问题，其数量关系是：商品的利润＝商品售价－商品的进价；
商品利润率＝商品利润／商品进价×100％，
注意打几折销售就是按原价的百分之几出售。
【典型例题】
例1．（2022秋·八年级课时练习）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种已知购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，则大套装的单价为( )元
A．50B．70C．90D．120
【答案】D
【分析】设大套装的单价为x元，小套装的单价为y元，根据购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得到结论．
【详解】解：设大套装的单价为x元，小套装的单价为y元，
依题意可得：，
解得：，
∴大套装的单价为120元．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
例2．（2022春·湖北孝感·七年级统考期末）某超市的账目记录显示，某天卖出13盒牙膏和7支牙刷，收入132元；另一天以同样的价格卖出同类的5盒牙膏和8支牙刷，收入72元，则该超市以同样的价格卖出同类的6盒牙膏和5支牙刷，可收入_______元．
【答案】68
【分析】设1盒牙膏x元，1支牙刷y元，根据题意，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设1盒牙膏x元，1支牙刷y元，根据题意得：
，
由①+②，得：，
∴，
答：该超市以同样的价格卖出同类的6盒牙膏和5支牙刷，可收入68元．
故答案为：68
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意吧，准确得到等量关系是解题的关键．
例3．（2023秋·广东深圳·八年级统考期末）列方程解决问题
某文具店出售的部分文具的单价如下表：
“双11”期间，因活动促销，黑色笔芯五折销售，红色笔芯七五折销售．小杰在此期间共购进红黑双色中性笔2支，红色笔芯与黑色笔芯共10盒，共花去74元．
(1)小杰黑色笔芯与红色笔芯各买多少盒？
(2)小杰此次购买比按原价购买共节约多少钱？
【答案】(1)黑笔芯2盒，红笔芯8盒
(2)共节约22元
【分析】（1）先计算黑笔芯，红笔芯促销后的价格，再列方程求解即可；
（2）先计算出降价前所需的总费用，再减去优惠后的价格，求解即可．
【详解】（1）解：促销后：黑笔芯：元/盒，红笔芯：，
设黑笔芯盒，红笔芯盒，
由②得③代入①，
，
，代入①中得，
∴，，
故，
答：黑笔芯2盒，红笔芯8盒；
（2）解：
（元），
（元），
答：共节约22元．
【点睛】本题考查用二元一次方程组解决实际问题，能够根据题意找出等量关系，并列出方程组求解即可．
【即学即练】
1．（2021春·浙江金华·七年级统考期末）小华带着妈妈给的现金去蛋糕店买蛋糕，他若买5个巧克力蛋糕和3个桂圆蛋糕，则妈妈给的钱不够，还缺16元；若买3个巧克力蛋糕和5个桂圆蛋糕，则妈妈给的钱还有剩余，还多10元，若他只买8个桂圆蛋糕，则剩余的钱为 元． （ ）
A．26B．49C．32D．51
【答案】B
【分析】根据题意列出二元一次方程即可求解．
【详解】解：设巧克力蛋糕和桂圆蛋糕的单价分别为每个x元和y元，
∴,
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是理解题意，列出方程并求解．
2．（2022春·全国·八年级假期作业）春节前夕，唐狮服装装卖店按标价打折销售，茗茗去该专卖店买了两件衣服，第一件打七折，第二件打五折，共计260，付款后，收银员发现结算时不小心把两件衣服的标价计算反了，又找给茗茗40，则这两件衣服衣服的原标价各是( )
【答案】300元，100元．
【分析】设这两件衣服的原标价各是x元，y元，根据题意可列出方程组求解即可．
【解答】解：设第一件衣服是x元，第二件衣服是y元，
由题意得，，
解得：，
即这两件衣服的原标价各是300元，100元．
故答案为300元，100元．
【详解】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
3．（2023秋·重庆九龙坡·七年级重庆市渝高中学校校考期末）某书店购进甲、乙两种图书共本，甲、乙两种图书的进价分别为每本10元、30元，甲、乙两种图书的标价分别定为每本15元、40元．
(1)若书店恰好用了元购进这本图书，求购进的甲、乙图书各多少本？
(2)在销售时，该书店考虑到要迅速将图书售完，于是甲图书打8折，乙图书也打折进行促销，为使甲、乙两种图书全部销售完后共获利元,请问乙图书应打几折出售?
【答案】(1)购进甲图书本，乙图书本
(2)九
【分析】（1）根据数量与总进价列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据总利润列出一元一次方程求解即可．
【详解】（1）设购进甲、乙图书各x本、y本，
∴，
解得：，
∴购进甲图书本，乙图书本．
（2）设乙图书应打a折出售，
，
∴
∴乙图书应打九折出售．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是找到相等关系，列出方程或方程组．
知识点06 和差倍分问题
【知识点】
和差积倍分问题常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别。
对于隐含等量关系的题目，需要把握3点：（1）各部分数量之和=全部数量；（2）较大量=较小量+多余量；（3）总量=倍数×倍量。
【典型例题】
例1．（2022秋·全国·八年级专题练习）在学校组织的图书跳蚤市场上，小明先以5元1本的价格买了x本书，后来同学们进行促销活动，小明又以1元2本的价格买了y本书，最后小明发现自己买了15本书，共花去43元，则可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据“第一次购买数量+第二次购买数量=15本、第一次购买花销+第二次购买花销=43元”列出方程组即可．
【详解】解：根据题意，得．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
例2．（2022春·河南郑州·七年级统考期末）为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的，如果5只饭碗摞起来的高度为，9只饭碗摞起来的高度为，李老师家碗橱每格的高度为，则李老师一摞碗最多只能放___________只．
【答案】14
【分析】一只碗的高度是x cm，每摞起来一只碗增加y cm， ，即可求出答案．
【详解】解：一只碗的高度是x cm，每摞起来一只碗增加y cm，
则；
解得：，
∴(30-6)，，
∴李老师一摞碗最多只能放13+1=14（只），
故答案为：14．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意，找出合适的等量关系，列方程组和不等式求解．
例3．（2022春·湖南湘潭·七年级统考期末）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．
(1)求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？
(2)据悉，长沙市到今年年底在建及通车地铁里程（不含1、2号线）将达到276千米，这些在建及通车地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，那么到今年年底长沙市修建地铁线网（不含1、2号线）共投资了多少亿元？
【答案】(1)1号线平均每千米造价6亿元，2号线平均每千米造价5.5亿元
(2)共投资了1987.2亿元
【分析】（1）根据两条线路的长度及总费用列方程组即可；
（2）根据第一问求出的一号线的平均造价求地铁网线的造价再求总造价即可．
（1）
设1号线平均每千米造价x亿元，2号线平均每千米造价y亿元
解得：
答：1号线平均每千米造价6亿元，2号线平均每千米造价5.5亿元
（2）
亿元
答：共投资了1987.2亿元
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的运用，能根据题意列式并计算是解题关键．
【即学即练】
1．（2021春·甘肃庆阳·七年级统考期末）五一黄金周期间，几位同学一起去郊外游玩男同学都背着红色的旅行包，女同学都背着黄色的旅行包，其中一位男同学说：“我看到的红色旅行包个数是黄色旅行包个数的1.5倍．”另一位女同学却说：“我看到的红色旅行包个数是黄色旅行包个数的2倍．”如果这两位同学说的都对，那么女同学的人数是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】要求女同学的人数是多少人，只要求出黄色旅行包的个数即可；可以用方程进行解答，设红包x个，黄包y个；由题意可得：x-1=1.5y，x=2（y-1）；解方程即可得出结论．
【详解】解：设红包x个，黄包y个，由题意得：
解得
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解答此题的关键是先通过分析，找出黄色旅行包与红色旅行包之间的数量关系，然后设出两个未知数，根据题意列出方程，解答即可．
2．（2022秋·八年级课时练习）一群学生结对去郊外春游，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象：假设每个人都看不到自己头上戴的帽子，则每位男生看到白色与红色的帽子一样多，而每位女生看到白色帽子是红色的2倍；则这群学生共有_______人．
【答案】7
【分析】设其中的男生有x人，女生有y人，根据每位男生看到白色与红色的帽一样多，再根据每位女生看到白色的帽是红色的2倍列方程组求解即可．
【详解】解：设男生有x人，女生有y人，
由题意得出：，
解得：，
则x+y=7．
答：这群学生共有7人，
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，注意每个人看的时候，应当是这部分的人数减去1，才是看到的人数是解题关键．
3．（2022·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考三模）随着第24届北京冬奥会和冬残奥会的顺利召开，“冰墩墩”和“雪容融”成了名副其实的国民顶流．奥林匹克官方旗舰店预售“冰墩墩”和“雪容融”小挂件，若定购3个“冰墩墩”和2个“雪容融”小挂件共需支付360元，若定购2个“冰墩墩”和3个“雪容融”小挂件共需支付370元．“冰墩墩”和“雪容融”小挂件单价各是多少元？
【答案】“冰墩墩”小挂件单价为68元，“雪容融”小挂件单价为78元
【分析】设“冰墩墩”小挂件单价为x元，“雪容融”小挂件单价为y元，根据3个“冰墩墩”小挂件+2个“雪容融”小挂件的价格=360元，2个“冰墩墩”小挂件+3个“雪容融”小挂件的价格=370元，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设“冰墩墩”小挂件单价为x元，“雪容融”小挂件单价为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：“冰墩墩”小挂件单价为68元，“雪容融”小挂件单价为78元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出题目中的两个等量关系式，是解题的关键．
知识点07 工程问题
【知识点】
工程问题，不仅需要掌握其基本等量关系：工作总量＝工作效率×工作时间；合作的效率＝各单独做的效率地和。当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”，分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。
初中阶段对工程问题的考查与小学有着很大的不同，数量关系更复杂，销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关。因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量。
【典型例题】
例1．（2022秋·八年级课时练习）小文原本计划使用甲、乙两台影印机于10：00开始一起印制文件并持续到下午，但10：00时有人正在使用乙，于是他先使用甲印制，于10：05才开始使用乙一起印制，且到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张若甲、乙的印制张数与印制时间皆成正比，则依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在哪个时间达到2100张？（ ）
A．10：40B．10：41C．10：42D．10：43
【答案】C
【分析】设甲影印机每分钟印制x张，乙影印机每分钟印制y张，根据“10：00时使用甲印制，10：05才开始使用乙一起印制，到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用所需时间=需要印制的总张数甲、乙两影印机的工作效率之和，即可求出结论．
【详解】解：设甲影印机每分钟印制x张，乙影印机每分钟印制y张，
依题意得：，
解得：，
，
依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在10：42达到2100张．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
例2．（2022秋·八年级课时练习）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元．列二元一次方程组为__________．
【答案】．
【分析】（1）设甲组工作一天，商店各应付x元，乙组工作一天，商店各应付y元，根据等量关系甲做8天需要的费用＋乙作8天需要的费用＝3520元．甲组6天需付的费用＋乙做12天需付的费用＝3480元，由此可得出方程组．
【详解】解：设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元．
由题意得．
故答案为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际问题的应用，解题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，设出未知数，分别找出甲组和乙组对应的工作时间，找出合适的等量关系，列出方程组．
例3．（2023春·七年级课时练习）某服装厂接到生产一批防护服的任务，甲车间单独完成需15天，甲车间生产2天后，由于疫情紧急，需提前5天完成任务，乙车间加入共同生产正好如期完成
(1)乙车间单独完成这批防护服需几天？
(2)若甲车间平均每天生产200套防护服，问乙车间平均每天生产防护服多少套？
【答案】(1)24
(2)125
【分析】（1）根据题意设甲乙每天生产的数量为x、y，可得y=，根据工作效率=工作量÷工作时间，可得乙车间单独完成这批防护服需24天；
（2）根据甲乙车间工作效率关系可求．
【详解】（1）解：设甲每天生产x套，则总任务为15x套，乙每天生产y套，
则（15-5）x+（15-2-5）y=15x，
整理得10x+8y=15x，
∴y=，
∴15x=，
答：乙车间单独完成这批防护服需24天．
（2）解：（套）
答：乙车间平均每天生产防护服125套．
【点睛】本题考查了工程问题，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的关系是解题的关键．
【即学即练】
1．（2023春·七年级课时练习）甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（ ）
A．320，360B．360，320C．300，380D．380，380
【答案】A
【分析】根据题意设原计划甲生产x个零件，乙生产y个零件，根据甲、乙两个工人，按计划本月应共生产680个零件，实际甲超额20%、乙超额15%，因此两人一共多生产118个零件列出方程组，求出方程组的解即可得到结果．
【详解】解：设原计划甲生产x个零件，乙生产y个零件，
根据题意得：，
解得：，即原计划甲生产320个零件，乙生产360个零件．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意设未知数并找出题中的等量关系是解答本题的关键．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，太原市正在修建贯穿迎泽和武宿两个市级中心以及太原站、太原南站的地铁，号线．已知修建地铁号线和号线共需投资亿元．根据地质情况及技术难度测算，号线每千米的平均造价比号线每千米的平均造价多亿元．设号线每千米的平均造价是亿元，号线每千米的平均造价是亿元，则可列二元一次方程组为_____________．
【答案】
【分析】根据题意“修建地铁号线和号线共需投资亿元”和“号线每千米的平均造价比号线每千米的平均造价多亿元”即可列出方程组
【详解】由题意“修建地铁号线和号线共需投资亿元”和“号线每千米的平均造价比号线每千米的平均造价多亿元”可得：
故答案为：
【点睛】本题考查列二元一次方程组，根据题意找出等量关系是解题的关键.
3．（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建3000m的村路，甲队每天修建150m，乙队每天修建200m，共用18天完成．
（1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程等号后面忘记写数据，得到了一个不完整的二元一次方程组，请你将张红列出的这个不完整的方程组补充完整，并说明未知数p、q表示的含义；
（2）李芳同学的思路是设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，请你按照李芳的思路，求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？
【答案】（1）；p表示甲工程队修路时间，q表示乙工程队修路时间；（2）甲工程队修建了12天，乙工程队修建了6天
【分析】（1）由两队共用18天完成修路任务可得出p＋q＝18；利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合甲、乙两队的工作效率，可得出150p＋200q＝3000，且p表示甲工程队修路时间，q表示乙工程队修路时间；
（2）设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，根据两工程队接力18天完成3000m的修路任务，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入和中即可得出结论．
【详解】解：（1）∵甲、乙两个工程队先后接力完成修路任务，且共用18天完成，
∴p＋q＝18；
∵甲队每天修建150m，乙队每天修建200m，18天共完成修建3000m的村路，
∴150p＋200q＝3000，
∴p表示甲工程队修路时间，q表示乙工程队修路时间．
（2）设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，
依题意得：，
解得：，
∴＝＝12，＝＝6.
答：甲工程队修建了12天，乙工程队修建了6天．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
知识点08 古代问题
【知识点】
古代问题即将古代数学领域中的应用题翻译成现代文，让我们根据数据找出等量关系，并得到结果的一个过程；
【典型例题】
例1．（2023春·七年级课时练习）《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，程大位还有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇．醇酒二瓶醉五客，薄酒三瓶醉二人，共同饮了一十六，三十四客醉颜生，试问高明能算士，几多酵酒几多醇？”这首诗是说，好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果34位客人醉倒了，他们总共饮下16瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶．依题意，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】直接利用“好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果34位客人醉倒了，他们总共饮下16瓶酒．”，分别得出等式求出答案．
【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为：
．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
例2．（2023秋·广东惠州·七年级统考期末）我国古代的数学专著《九章算术》中有这样一道题：“今有人共买物，人出七，盈二；人出六，不足四，问人数，物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，若每人出7钱，则多了2钱：若每人出6钱，则少了4钱，问有多少人，物品的价格是多少？”，根据问题情境可计算出购买物品的共有___________人；
【答案】6
【分析】设购买物品的共有x人，物品的价格是y钱，根据“几个人一起去购买某物品，若每人出7钱，则多了2钱：若每人出6钱，则少了4钱”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设购买物品的共有x人，物品的价格是y钱，根据题意得：
，
解得：，
答：购买物品的共有6人．
故答案为：6
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
例3．（2022秋·全国·八年级专题练习）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用20两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你帮商人设计一种购买方案．
【答案】(1)每头牛3两银子，每头羊2两银子
(2)共有三种购买方法：方案一：购买2头牛，7头羊；方案二：购买4头牛，4头羊；方案三：购买6头牛，1头羊．
【分析】（1）设每头牛x两银子，每头羊y两银子，根据“有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．”列出方程组，即可求解；
（2）设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意列出方程，再结合a、b均为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：设每头牛x两银子，每头羊y两银子，根据题意得：
；解得 ，
答：每头牛3两银子，每头羊2两银子．
（2）解：设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意，得
，
∴，
∵a、b均为正整数，
∴该方程的解为或或
所以共有三种购买方法：
方案一：购买2头牛，7头羊；
方案二：购买4头牛，4头羊；
方案三：购买6头牛，1头羊．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【即学即练】
1．（2022春·河北保定·七年级统考期末）明代数学家程大位的著作《算法统综》中有一个“绳索量竿”问题：“一只竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，问索长几尺？”译文为：“现有一根竹竿和一条绳索，用绳索去量竹竿，绳索比竹竿长5尺，如果将绳索对折后再去量竹竿，就比竹竿短5尺，问绳索长几尺？”（注：一托=5尺）设绳索长x尺，竹竿长y尺，根据题意列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可得等量关系：绳索长-竿长=5尺，竿长-绳索长的一半=5尺，根据等量关系可得方程组．
【详解】解：设绳索长x尺，竹竿长y尺，由题意得：
，
故选：A．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程组．
2．（2022秋·四川成都·八年级成都七中校考期中）我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，很多题目保留至今，如《九章算术》中有这样的一道古代问题，“有大小两种盛酒的桶，已知个大桶加上个小桶可以盛酒斛，个大桶加上个小桶可以盛酒斛，”在本题题干中，用个大桶和个小桶共盛酒______斛.
【答案】
【分析】根据题意列出二元一次方程组，进一步求解即可；
【详解】解：设每个大桶可以盛酒斛，每个小桶可以盛酒斛
由题意可得：
得：
化简得：
∴用个大桶和个小桶共盛酒斛；
故答案为：
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；熟练根据题意列出相对应的二元一次方程组是解题的关键．
3．（2022·江苏镇江·统考二模）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有这样一个问题：
酒分醇醨
务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．
醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．
共通饮了一斗九，三十三客醉醺醺．
欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？
其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了19升，醉了33位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？
【答案】好酒10升，薄酒9升
【分析】设好酒x升，薄酒y升，根据等量关系式：好酒+薄酒=19升，好酒醉的客人+薄酒醉的客人=33位客人，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设好酒x升，薄酒y升，由题意得：
，解得：，
答：好酒10升，薄酒9升．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，列出二元一次方程组．
题组A 基础过关练
1．（2020秋·四川甘孜·八年级统考期末）达瓦的储钱罐中有5角和1元的硬币共100枚，币值共有68元．求其中5角、1元的硬币各有多少枚．设储钱罐中有5角的硬币x枚，1元的硬币y枚，则可列出方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接根据题意列出方程组即可．
【详解】解：设储钱罐中有5角的硬币x枚，1元的硬币y枚，
根据题意，得，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解答的关键．
2．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）关于，的二元一次方程组的解适合，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将方程组中上式减去下式可得，结合，可求出，的值，再代入方程组中即可求出的值．
【详解】解：关于，的二元一次方程组，上式减去下式得，
∴，解方程组得，，代入方程得，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组的值求参数，掌握解二元一次方程组的方法（代入法，加减法）是解题的关键．
3．（2022春·北京·七年级校考期末）若甲数为x，乙数为y，则甲数的3倍比乙数大2，可以列成方程（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知等量关系列方程即可．
【详解】解：甲数为x，则甲数的3倍是，
根据甲数的3倍比乙数大2，可得，
故选D．
【点睛】本题考查列二元一次方程，解题的关键是理解题目所给的等量关系．
4．（2022春·河北邯郸·七年级校考阶段练习）定义新运算：，其中，为常数．若，，则a，b的值分别为（ ）
A．2，3B．2，C．，3D．，
【答案】C
【分析】利用新运算列出二元一次方程组，进行解方程即可．
【详解】解：由题意列方程组为：，
①×2+②得：5b=15，
解得：b=3，
将b=3代入①得：a=-2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是利用新运算构造二元一次一次方程组并解方程组，利用合适的方法解方程组即可．
5．（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）小明在文化用品超市购买单价为2元的签字笔和单价为3元的笔记本，一共花了元，则购买方案有___________种．
【答案】
【分析】设购买签字笔只，笔记本本，根据题意列出二元一次方程，故可求解．
【详解】设购买签字笔只，笔记本本，根据题意可得
正整数解为或或
故购买方案有3种，
故答案为：
【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解．
6．（2022秋·八年级单元测试）若关于、的二元一次方程组的解、为为相反数，则__．
【答案】
【分析】方程组两方程相加表示出，根据求出的值即可．
【详解】解：，
①②得：，
由题意得：，
可得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
7．（2022秋·全国·八年级专题练习）“今有六十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容五鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有60只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳5头鹿，求所需圈舍的间数．设小圈舍的间数是x间，大圈舍的间数是y间，则可列方程为___．
【答案】
【分析】根据这些圈舍共容纳60头鹿，即可得出关于，的二元一次方程．
【详解】解：依题意得：．
故答案是：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及函数关系式，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
8．（2022·全国·七年级专题练习）下表表示某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．
则九年级参加科技小组活动的有__________次．
【答案】2
【分析】根据七、八年级表格中的数据，列方程组求出每次文艺小组活动时间、科技小组的活动时间，再利用九年级的活动时间，求出活动次数的正整数解即可．
【详解】解：设文艺小组每次活动时间为x小时，科技小组每次活动时间为y小时，由题意得，
解得，
设九年级文艺小组活动次数为a、科技小组活动次数为b，则，
又∵a、b都是正整数，
∴，；
故答案为：2．
【点睛】考查二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的意义，正确地列出方程组是正确解答的关键．
9．（2023秋·陕西西安·八年级校考期末）冬季来临，某电器店开始销售A、B两种型号的取暖器，A型取暖器每台元，B型取暖器每台元．若两周内共销售台，这两周的销售额为元，A、B两种型号的取暖器分别销售了多少台？（请用二元一次方程组的知识解答）
【答案】A型取暖器销售了台，B型取暖器销售了台．
【分析】设A型取暖器销售了x台，B型取暖器销售了y台，根据两周内共销售台，销售收入元列方程组求解即可．
【详解】解：设A型取暖器销售了x台，B型取暖器销售了y台，
解得：
答：A型取暖器销售了台，B型取暖器销售了台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；解题的关键是找等量关系，然后列出方程组，正确求解．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）如果关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求m的值．
【答案】5
【分析】根据方程组的解互为相反数得出，利用代入消元法分别用m表示出x、y的值，再代入另一个方程求解m即可．
【详解】解：∵的解互为相反数，
∴③，
将③代入①得，
将代入③得，
将，代入②中得，
∴．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是用参数分别表示出未知数．
题组B 能力提升练
1．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜，于2020年通过国家验收正式开放运行，这是南仁东教授率团队历时20多年，从追赶到建成了世界最大且最灵敏的射电望远镜．为进一步了解这一科技创举，班级计划购买《南仁东传》和中国天眼模型．若购买1本《南仁东传》和1个中国天眼模型需要860元，班级拿出2020元购买了7本《南仁东传》和2个中国天眼模型．若设每一本《南仁东传》为x元，每一个中国天眼模型y元，则可列二元一次方程组为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设每一本《南仁东传》为x元，每一个中国天眼模型y元，根据两种买法各列一个方程组成方程组即可．
【详解】解：设每一本《南仁东传》为x元，每一个中国天眼模型y元，由题意得：
，
故选A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．
2．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）已知关于，的方程组的解也满足方程，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】先由和组成新的方程组，求解得到x和y的值，代入中解方程即可得到m的值．
【详解】解：∵关于，的方程组的解也满足方程，
∴可得到新的方程组，
解方程组得，
将代入中，
可得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了构造二元一次方程组求解、解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．
3．（2021春·重庆九龙坡·七年级重庆市杨家坪中学校考期中）用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为个长方形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为个长方无纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为（ ）．
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【分析】三个图中阴影部分都是正方形，根据前两个阴影面积列方程组求长方形的边长，再计算图③阴影面积．
【详解】解：图①中阴影面积是，边长为，图②阴影面积是，边长为，设矩形长为，宽为，根据题意得
解得
所以图③阴影面积为
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，确定数量关系是解答的关键．
4．（2022秋·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）定义运算“*”，规定（其中为常数），若已知，则的值为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】A
【分析】已知等式利用新定义列得二元一次方程组，求出a与b的值，即可求出所求式子的值．
【详解】解：根据题中的新定义化简已知等式得：，
解得：，
则．
故选：A．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．
5．（2022秋·江西抚州·八年级统考期末）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，2大桶加2小桶共盛____________斛米．
【答案】##
【分析】设一个大桶盛米斛，一个小桶盛米斛，根据个大桶加上个小桶可以盛米斛，个大桶加上个小桶可以盛米斛即可得出关于、的二元一次方程组，进而即可得出结论．
【详解】设一个大桶盛米斛，一个小桶盛米斛，
根据题意得： ，
得： .
.
故答案为：．
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于列出方程
6．（2021春·浙江绍兴·七年级校考期中）某校七年级有两个班，期中数学优秀的人共有45人，优秀率为45%，而（1）班的优秀率为42%，（2）班的优秀率为48%，设（1）（2）两个班的人数分别为x，y，则可列方程：___________（列出方程即可）．
【答案】，
【分析】设两班的人数分别为x人和y人，根据（1）班的优秀人数（2）班的优秀人数45人以及两个班的总人数总优秀率45人，列方程即可．
【详解】解∶设两班的人数分别为x人和y人，
由题意得，
，，
故答案为∶，．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
7．（2022秋·山东青岛·八年级山东省青岛实验初级中学校考期末）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，当为11时的值是_____．
【答案】17cm
【分析】根据题意可知，单独一个纸杯的高度加三个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于9，单独一个纸杯的高度加8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于14，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．
【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为
由题意得
解得，
则个纸杯叠放在一起时的高度为：，
当时，其高度为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系列出方程组是解题的关键．
8．（2022秋·重庆北碚·七年级统考期末）沁园的一种饮品是由果汁原液和纯净水按一定比例配制而成，其中购买一吨果汁原液的钱可以购买18吨纯净水．由于今年果汁价格上．纯净水价格也上涨了，导致配制的这种饮品价格上涨，问这种饮品果汁与纯净水的配制比例是___________．
【答案】##
【分析】设这种饮品果汁与纯净水的配制比例为，购买一吨纯净水的价格是x，那么购买1吨果汁原液的价格就是，根据今年果汁价格上涨，纯净水价格也上涨了，导致配制的这种饮品价格上涨，可列出方程求得比例．
【详解】解：设这种饮品果汁与纯净水的配制比例为，购买一吨纯净水的价格是x，
由题意，得
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，关键是设出三个未知数，其中一个能约去，以配置后得成本价作为等量关系可列出方程求解．
9．（2022秋·广东江门·七年级统考期末）某天，一蔬菜经营户用180元从蔬菜批发市场购进土豆和黄瓜共60千克到菜市场去卖，土豆和黄瓜这天的进价和售价如下表所示：
(1)该蔬菜经营户当天购进土豆和黄瓜各多少千克？
(2)他当天卖完全部土豆时发现黄瓜才卖了一半，为了尽快售完，决定八折销售剩下的黄瓜，很快一售而空，请问他一共赚了多少钱？
【答案】(1)购进土豆40千克，黄瓜20千克
(2)74元
【分析】（1）设购进土豆x千克，黄瓜y千克，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）用卖土豆所赚的钱加上卖黄瓜所赚的钱，即可求解．
【详解】（1）解：设购进土豆x千克，黄瓜y千克，根据题意得：
，解得：，
答：购进土豆40千克，黄瓜20千克；
（2）解：
元，
答：他一共赚了74元钱．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用，明确题意，准确列出方程组是解题的关键．
10．（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
(1)学校购进红、蓝文化衫各几件?
(2)通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．
【答案】(1)学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件
(2)这次义卖活动共获得元利润
【分析】（1）设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，根据两种文化衫220件共花费4800元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润=每件利润×数量，即可求出结论．
【详解】（1）解：设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，
依题意，得：，
解得：．
答：学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件；
（2）(元)．
答：该校这次义卖活动共获得元利润．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用180元购买A、B、C三种奖品（三种都买），A种每个10元，B种每个20元，C种每个40元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，共有几种购买方案（ ）
A．8种B．9种C．10种D．11种
【答案】C
【分析】有两个等量关系：购买A种奖品钱数购买B种奖品钱数购买C种奖品钱数；C种奖品个数为1或2个．设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解．
【详解】解：设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，
当C种奖品个数为1个时，
根据题意得，
整理得：，
∵m、n都是正整数，，
∴，2，3，4，5，6；
当C种奖品个数为2个时，
根据题意得，
整理得：，
∵m、n都是正整数，，
∴，2，3，4；
∴有种购买方案，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．要注意题中未知数的取值必须符合实际意义．
2．（2023秋·陕西西安·八年级校考期末）方程组的解与方程组的解相同，则a、b的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由于两个方程组的解相同，所以这个相同的解是，把代入方程中其余两个方程，得关于a、b的方程组，解答即可．
【详解】解：由于两个方程组的解相同，所以这个相同的解是，
把代入方程中其余两个方程得，
解得，．
故选：B．
【点睛】题考查了对方程组解的理解，另外此题还有一巧办法，把两个方程相加得．
3．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）某班的一个综合实践活动小组去甲、乙两个超市调查去年和今年“元旦”期间的销售情况，下面是调查后小明与其他两位同学进行交流的对话．
小明说：“去年两超市的销售额共为150万元，今年两超市的销售额共为170万元．”
小亮说：“甲超市的销售额今年比去年增加．”
小颖说：“乙超市的销售额今年比去年增加．”
根据他们的对话，得出今年甲超市的销售额为（ ）万元.
A．100B．50C．60D．110
【答案】D
【分析】设甲超市去年销售额为x万元，乙超市去年销售额为y万元，根据题意列出方程组求解后，再求出甲超市今年的销售额即可．
【详解】解：设甲超市去年销售额为x万元，乙超市去年销售额为y万元，
根据题意，得：
，，
，
解得：，
所以今年甲超市销售额为．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
4．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（ ）
A．，6B．2，6C．2，D．，
【答案】A
【分析】由于甲看错了方程①中的a，因此把代入方程②中即可求出正确的b的值.由于乙看错了方程②中的，因此把代入方程①中即可求出正确的a的值.
【详解】把代入方程②中得
解得
把代入方程①中得
解得
故选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出，的值是解题的关键.
5．（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）如果方程组，的解满足，则a的值为____________．
【答案】
【分析】按照二元一次方程组的解法求出项，即可解得．
【详解】解：
由得，
，
由得
，
把，代入①得，
，
故答案为∶ ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组，解题的关键是熟悉二元一次方程组的解法．
6．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）对于一个三位数 ， 如果满足∶ 它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于 7 ， 那么称这个数为 “幸福数”． 例如∶是“幸福数”；是“幸福数”；不是“幸福数”． 若 将一个“幸福数”的个位数的 2 倍放到十位， 原来的百位数变成个位数， 原来的十位数 变成百位数， 得到一个新的三位数(例如∶ 若， 则)， 若也是一个“幸福数”， 则满足条件的所有的值______．
【答案】或##654或362
【分析】设一个“幸福数”m的个位数字是x，十位数字是y，则百位数字是（x、y是非负整数且，），进而找出x与y的关系，从而解决本题．
【详解】解：设一个“幸福数”m的个位数字是x，十位数字是y，则百位数字是（x、y是非负整数且，）．
∴t的个位数字是7+x-y，十位数字是2x，百位数字是y且，，x与y是非负整数．
∴．
∵t是“幸福数”，
∴．
∴．
∴当时，（，不合题意，舍去）；
当时，（非整数，不合题意，舍去）；
当时，，则；
当时，（非整数，不合题意，舍去）；
当时，，则．
综上：或．
【点睛】本题考查了新定义，二元一次方程的应用，熟练掌握运用方程的思想是解决本题的关键．
7．（2023秋·重庆潼南·九年级统考期末）某书店开始销售甲、乙、丙三种书籍，最初这三种书籍的库存总数量大于700本且小于1100本．过了一段时间后，第一次补充了三种书籍，补充后库存总数量比最初时多了280本，且此时甲、乙、丙三种书籍的库存数量之比为．又过了一段时间，第二次补充了三种书籍，补充后库存总数量比第一次补充后多了230本，且此时甲、乙、丙三种书籍的库存数量之比为，则第二次补充后，乙种书籍的库存数量是___________本．
【答案】420
【分析】设书店原有三种书籍共a本，第一次补充后甲、乙、丙三种书籍的库存数量分别为9x本、9x本、8x本，第二次补充后甲、乙、丙三种书籍的库存数量分别为5y本、6y本、9y本，
根据题意得：，再根据x、y、a都是正整数求出答案．
【详解】解：设书店原有三种书籍共a本，第一次补充后甲、乙、丙三种书籍的库存数量分别为9x本、9x本、8x本，第二次补充后甲、乙、丙三种书籍的库存数量分别为5y本、6y本、9y本，
根据题意得：
∵x、y、a都是正整数，
∴解得，
∴第二次补充后，乙种书籍的库存数量是本，
故答案为：420
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，正确设出未知数列得方程组是解题的关键．
8．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）五一期间，商场为吸引顾客，每半小时进行一次现金抽奖活动，顾客只需要花a元即可购买一张奖券，奖券面值有a元，b元，c元三种（且皆为整数）．甲、乙、丙三人从下午两点至下午六点，一共参加了轮活动，每轮每人只能购买一张，且每轮三人刚好获得a元，b元，c元奖券各一张．晚饭时，甲说：我今天赚了430元；乙说：我一次也没有抽到过c元奖券，还有3次都是最小面值的，只赚了120元；丙说：我三种都抽到了，一共有360元奖券，赚了220元！则甲抽到了_______次c元奖券．
【答案】5
【分析】根据题意，求得每张奖券所赚钱数，设甲抽了次奖券，次奖券，列二元一次方程求解即可．
【详解】解：每半小时进行一次现金抽奖活动，从下午两点至下午六点，共进行了轮游戏，
∴，
∵乙抽到3次最小面值，且赚了钱，
∴，
∵丙一共有360元奖券，赚了220元，即成本为元，
∴是的倍数，即或，
当时，（元）
∵乙没有抽到过c元奖券，还有3次都是最小面值的，
∴乙抽到过3次奖券，次奖券，
则（元）
∵甲赚了430元，乙赚了120元，丙赚了220元，共赚了770元，
∴每轮赚了110元，
∴（元），
∴每次抽到赚了元，
设甲抽了次奖券，次奖券，则，即
∵为整数
∴，，即甲抽到了次奖券；
当时，（元）
∵乙没有抽到过c元奖券，还有3次都是最小面值的，
∴乙抽到过3次奖券，次奖券，
则（元）
∵甲赚了430元，乙赚了120元，丙赚了220元，共赚了770元，
∴每轮赚了154元，
∴（元），
∴每次抽到赚了元，
设甲抽了次奖券，次奖券，则，
∵为整数，∴无解，舍去；
综上，甲抽到了次奖券，
故答案为：5
【点睛】此题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据量之间的关系正确求得每张奖券所赚钱数．
9．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
(1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值；
(2)若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？
【答案】(1)a和b的值分别为60，40；
(2)
【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为小时及建立方程组求出其解即可；
（2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为小时，由两段路程之和等于120及建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为，从而得出相遇时甲车还没行驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可．
【详解】（1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等，
∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km．
∴由题意得：，
解得：；
即a和b的值分别为60，40；
（2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等，
∴乙车以两种速度行驶的时间均为小时
∴由题意得：
解得：；
∴甲车前一半的时间为：，
由于，则乙h时行的路程为：，
∵，
∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km，
∴相遇时甲车还没行驶到60km，
∴相遇时间为：，
则离A地的路程为：．
即：两车相遇时，离A地．
【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键．
10．（2022春·福建莆田·七年级校考阶段练习）某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．
(1)如图为该化工厂与A、B两地的距离，已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
①根据题意，甲、乙同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：乙：
根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y，，表示的意义，然后在等式右边补全甲乙两名同学所列方程组
甲：x表示 ，y表示 ；乙：表示 ，表示 ；
②甲同学根据他所列方程组解得x＝300，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题．
(2)工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20吨，若要增加c吨的产品，就要再购买c吨原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，同时满足原料总重量的2倍，求需要再购买多少吨的原料？
【答案】(1)①产品的重量，原料的重量，产品销售额，原料费，5000，97200，5000，97200，；②1887800
(2)8吨
【分析】（1）①仔细分析题意根据题目中的两个方程表示出，的值并补全方程组即可；
②将的值代入方程组即可得到结论．
（2）依据题意列出方程可求出的值，进而可得出结论．
（1）
解：甲：表示产品的重量，表示原料的重量，
乙：表示产品销售额，表示原料费，
甲方程组右边方框内的数分别为：15000，97200，乙同甲；
则甲：
乙：，
故答案为：产品的重量；原料的重量；产品销售额；原料费．
②将代入原方程组解得，
产品销售额为元，
原料费为元，
运费为元，
（元），
答：这批产品的销售额比原料费和运费的和多1887800元．
（2）
解：设工厂原计划从地购买的原料为吨，则送往地的产品为吨，
原料总重量是产品总重量的2倍，
．
解得：．
则原料的总重量为：吨，产品的总重量为：吨．
产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，
．
解得：．
．
答：需要再购买8吨的原料．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确建立方程组进行求解．
A包装盒
B包装盒
每盒面包个数（个）
4
6
每盒价格（元）
5
8
种类
单价
红黑双色中性笔
10元/支
黑色笔芯
6元/盒
红色笔芯
8元/盒
课外小组活动总时间/h
文艺小组活动次数
科技小组活动次数
七年级
12.5
4
3
八年级
10.5
3
3
九年级
7
品名
进价（单位：元/千克）
售价（单位：元/千克）
土豆
5
黄瓜
2
3
批发价（元）
零售价（元）
红色文化衫
25
45
蓝色文化衫
20
35