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人教版七年级数学下册同步精品讲义第06讲专题6.1平方根(学生版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册同步精品讲义第06讲专题6.1平方根(学生版+解析)，共36页。
算术平方根具有双重非负性.
①被开方数a是非负数，即：中的a≥0；
②算术平方根本身是非负数，即≥0。
0的平方根是0，算术平方根也是0.
考点精讲
考点1：求一个数的算术平方根
典例： (1)(2023秋·江苏盐城·八年级校联考期中）121的算术平方根是______．
(2)（2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期末）___________．
方法或规律点拨
本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
巩固练习
1．(2023春·广西南宁·八年级三美学校校考期中）4的算术平方根是（ ）
A．B．2C．D．
2．(2023秋·河南南阳·八年级统考期中）有理数9的算术平方根是（ ）
A．B．C．3D．
术平方根， 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．
3．(2023秋·安徽宿州·八年级统考期中）一个数的算术平方根是它本身，则这个数是（ ）
A．，0或1B．1C．或1D．0或1
4．(2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）“9的算术平方根是3”用式子表示为（ ）
A．B．C．D．
5．（北京市顺义区2023-2024学年八年级上学期数学期末试卷）4的算术平方根是（ ）
A．2B．C．D．16
6．（2023·全国·九年级专题练习）在下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．(2023秋·河南南阳·八年级统考期中）式子表示（ ）
A．的算术平方根B．的算术平方根C．的平方根D．的算术平方根
8．(2023秋·山西临汾·八年级统考期末）的值等于（ ）
A．B．C．D．
9．(2023秋·全国·八年级期末）已知，，下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）64的算术平方根是_______．
11．(2023秋·浙江杭州·七年级校联考期中）如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x值为7时，输出的y值为 _____；
（2）当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为 _____；
（3）若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为_______．
考点2：求一个数的平方根
典例：(2023春·广东江门·七年级江门市第二中学校考阶段练习）已知是的平方根，是9的算术平方根，求的值．
方法或规律点拨
本题主要考查的是算术平方根的定义、平方根的定义，求得，是解题的关键．
巩固练习
1．(2023秋·山东泰安·七年级校联考期末）下列说法正确的是（ ）
A．0的平方根和算术平方根都是0B．的算术平方根是5
C．的平方根是D．的平方根是
2．(2023秋·河南南阳·八年级校联考期末）计算的结果为（ ）
A．B．C．-2D．2
3．(2023秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）36的平方根是（ ）
A．6B．C．D．18
4．(2023秋·河南南阳·八年级校联考阶段练习）下列语句中正确的是（ ）
A．的平方根是B．的算术平方根是
C．的算术平方根是D．的算术平方根是
5．(2023春·福建厦门·七年级统考期末）用式子表示“4的平方根是”，正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）的平方根为（ ）．
A．B．C．D．
7．(2023秋·河南周口·八年级校联考阶段练习）以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．16的算术平方根是D．平方根等于本身的数是1
8．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）的平方根是____________．
9．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）若是16的一个平方根，则x的值为 _____ ．
10．(2023春·广东阳江·七年级校考期中）数字9的平方根是______；
考点3：平方根的性质
典例：(2023秋·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期中）已知，．
(1)若x的算术平方根为3，求a的值；
(2)如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．
方法或规律点拨
本题考查算术平方根、平方根的有关计算，解一元一次方程等，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．
巩固练习
1．(2023秋·广东广州·八年级校考期中）一个正数的平方根是与，则的值为_______．
2．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）已知：和是正数的两个平方根，则的值是______．
3．(2023春·江苏南通·七年级校考期中）若一个正数的平方根是和，则m的值是_______．
4．(2023秋·江西景德镇·八年级统考期中）已知一个正数的两个平方根是与，则______．
5．(2023秋·甘肃兰州·八年级统考期末）已知正实数x的平方根分别是和（），若，求的平方根．
6．(2023秋·山东枣庄·八年级校考阶段练习）若一个正数的两个平方根分别为a＋3和2－2a，求这个正数．
7．(2023春·广东湛江·七年级校考期中）若数m的平方根是a+3和2a-18，求m的值．
考点4：算术平方根的非负性质
典例：(2023秋·浙江宁波·七年级校联考期中）已知实数a，b，c满足：，求的值．
方法或规律点拨
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．熟练掌握非负数的性质是解答本题的关键．
巩固练习
1．（2023秋·山东东营·九年级东营市实验中学校考期末）若 与互为相反数，则的值为（ ）
A．3B．9C．12D．27
2．(2023秋·贵州毕节·八年级校考阶段练习）已知与互为相反数，则 =___________．
3．(2023秋·福建泉州·八年级校考期末）若、满足，则的算术平方根是________．
4．(2023秋·河南郑州·八年级统考期中）若，为实数，且满足，则的值是______．
5．(2023秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）若，则的值为______．
6．(2023春·广东江门·七年级校联考期中）已知，则的值为___________．
7．(2023春·广东江门·七年级江门市第二中学校考阶段练习）若，则的值为____________．
8．（北京市通州区2022一2023学年八年级上学期期末质量检测数学试卷）若，则的值为______．
9．(2023秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如果，那么的算术平方根为_______．
10．(2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）若，求的平方根．
11．(2023·全国·八年级专题练习）若实数m、n满足等式，求的平方根；
考点5：应用平方根性质解方程
典例：(2023秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）求下列各式中的值．
(1)
(2)
方法或规律点拨
本题主要考查了根据平方根定义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根的定义．
巩固练习
1．(2023秋·上海青浦·八年级校考期末）方程的根是________．
2．(2023秋·福建宁德·八年级统考期中）若，则的值为______．
3．(2023秋·河南南阳·九年级南阳市第十三中学校校考阶段练习）若，则______．
4．(2023秋·江苏南京·八年级统考阶段练习）解方程：
5．(2023秋·江苏·八年级专题练习）求x的值：．
决本题的关键．
6．(2023秋·北京海淀·八年级北京育英中学校考期末）求出下列等式中x的值：
7．(2023秋·江苏扬州·八年级校联考期中）解方程：
(1)
(2)
考点6：利用平方根解决实际问题
典例：(2023春·安徽安庆·七年级校考阶段练习）交通警察通常根据刹车时后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度．在某高速公路上，常用的计算公式是，其中v表示车速（单位；km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦系数，．在调查这条高速公路的一次交通事故中，测得，求肇事汽车的速度大约是多少．
方法或规律点拨
本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
巩固练习
1．(2023秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）将如图所示的矩形纸片（每个小正方形的边长为1），剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 ___________.
2．(2023春·北京怀柔·七年级校考期末）小刚同学为准确得出直角边为1分米和3分米的直角三角形斜边的长度，做了下列尝试，请你帮他补充完整：
①将四个直角边为1分米和3分米的直角三角形按图示进行无缝拼接，在拼接图中得到一个大正方形和一个小正方形；
②计算可得小正方形的面积是______________平方分米；
③根据三角形面积公式求得四个直角三角形的面积6平方分米；
④利用割补法求得大正方形面积；
⑤可知直角三角形斜边为____________分米．
3．(2023春·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考阶段练习）面积为的正方形草坪，四周均设有围栏，现将其改造为面积为的长方形草坪，使其长宽之比为，问围栏是否够用？
4．(2023春·陕西渭南·七年级统考期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下的阴影部分的面积．
5．(2023秋·浙江温州·七年级校联考期中）如图， 纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．
(1)图中拼成的正方形的面积是___________； 边长是___________；
(2)你能把十个小正方形组成的图形纸 （图3），剪开并拼成正方形吗？ 若能， 请仿照图 的形式把它重新拼成一个正方形． 并求出这个正方形的边长是___________．
6．(2023秋·山东青岛·八年级统考期中）某新建学校计划在一块面积为的正方形空地上建一个面积为的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划．
7．(2023·八年级单元测试）一个正方体的表面积是2400cm2
(1)求这个正方体的体积；
(2)若该正方体表面积变为原来的一半，则体积变为原来的多少？
能力提升
一、单选题
1．(2023秋·浙江·七年级专题练习）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023秋·山东烟台·七年级统考期末）144的平方根是的数学表达式是（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023秋·河南洛阳·八年级统考期中）若一个正数的两个平方根分别为与，则a的值为（ ）
A．2B．C．6D．4
4．(2023秋·重庆南岸·八年级统考期末）一个正方形的面积变为原来的倍，它的边长变为原来边长的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
5．(2023秋·浙江·七年级专题练习）若是整数，则满足条件的自然数m共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．(2023秋·山东济南·八年级校考期末）已知实数x，y满足，则代数式的值为（ ）．
A．1B．C．2018D．
二、解答题
7．(2023春·陕西渭南·七年级统考期末）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为h（单位km），观测者能看到的最远距离为d（单位：km），则，其中R是地球半径，通常取6400km．小红站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为5m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时观测者能看到的最远距离d约是多少千米？
8．(2023秋·浙江·七年级专题练习）已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根．
9．(2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与．
(1)求和的值；
(2)利用平方根的定义，求关于的方程的解．
专题6.1 平方根
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1．了解平方根、算术平方根，会用根号表示数的平方根、算数平方根．
算术平方根具有双重非负性.
①被开方数a是非负数，即：中的a≥0；
②算术平方根本身是非负数，即≥0。
0的平方根是0，算术平方根也是0.
考点精讲
考点1：求一个数的算术平方根
典例： (1)(2023秋·江苏盐城·八年级校联考期中）121的算术平方根是______．
【答案】11
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】∵，
∴，即121的算术平方根是11，
故答案为：11．
(2)（2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期末）___________．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
方法或规律点拨
本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
巩固练习
1．(2023春·广西南宁·八年级三美学校校考期中）4的算术平方根是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根的性质，即可求解．
【详解】解∶ 4的算术平方根是2．
故选：B
【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
2．(2023秋·河南南阳·八年级统考期中）有理数9的算术平方根是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴9的算术平方根是．
故选C．
【点睛】本题考查了算术平方根的意义，解决本题的关键是掌握其定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．正数a有一个正的算术平方根， 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．
3．(2023秋·安徽宿州·八年级统考期中）一个数的算术平方根是它本身，则这个数是（ ）
A．，0或1B．1C．或1D．0或1
【答案】D
【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，那么一个数的算术平方根是它本身，可以知道这个数是0和1．
【详解】解：根据算术平方根的定义，这个数是0或1．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，分清算术平方根的概念易与平方根的概念是解决此题关键．
4．(2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）“9的算术平方根是3”用式子表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义即可求解．
【详解】解：9的算术平方根是3即：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是算术平方根的定义和性质，熟练掌握算术平方根的定义和性质是解题的关键．
5．（北京市顺义区2023-2024学年八年级上学期数学期末试卷）4的算术平方根是（ ）
A．2B．C．D．16
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义，进行求解即可．
【详解】解：4的算术平方根是；
故选A．
【点睛】本题考查算术平方根．熟练掌握算术平方根的定义：一个非负数的平方为，则叫做的算术平方根，是解题的关键．
6．（2023·全国·九年级专题练习）在下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平方根及算术平方根的性质可求解．
【详解】解：根据平方根及算术平方根的性质可知，，，，
观察四个选项，只有选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，要注意正确区分平方根与算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
7．(2023秋·河南南阳·八年级统考期中）式子表示（ ）
A．的算术平方根B．的算术平方根C．的平方根D．的算术平方根
【答案】D
【分析】根据实数的运算顺序，先算平方，再开方，由此即可求解．
【详解】解：，
∴表示的是的算术平方根，
故选：．
【点睛】本题主要考查平方，开方的运算顺序.掌握平方，开方的运算顺序，二次根式被开方数的特点是解题的关键．
8．(2023秋·山西临汾·八年级统考期末）的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接根据算术平方根的概念即可求得的算术平方根．
【详解】解：，
故选：A ．
【点睛】本题考查的是算术平方根的定义，正数的算术平方根是正数，的算术平方根是0．
9．(2023秋·全国·八年级期末）已知，，下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题目意思，找出题中规律即可求解．
【详解】解：∵，，
A．符合题意；
B．，选项不符合题意；
C．，选项不符合题意；
D．，选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的性质是解题的关键．
10．（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）64的算术平方根是_______．
【答案】8
【分析】直接根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】解：∵，
∴．即64的算术平方根是8．
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是算术平方根必须是正数，注意平方根和算术平方根的区别．
11．(2023秋·浙江杭州·七年级校联考期中）如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x值为7时，输出的y值为 _____；
（2）当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为 _____；
（3）若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为_______．
【答案】 25 0或1
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据两次取算术平方根运算，输出的值为，返回运算两次平方可得的值；
（3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论．
【详解】解：（1）当时，则；
（2）当时，，，则；
（3）当，1时，始终输不出值，
，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，
所有满足要求的的值为0或1．
故答案为：；25；0或1．
【点睛】本题考查了算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键．
考点2：求一个数的平方根
典例：(2023春·广东江门·七年级江门市第二中学校考阶段练习）已知是的平方根，是9的算术平方根，求的值．
【答案】8或
【分析】先根据算术平方根、平方根的定义求得，，然后代入计算即可．
【详解】解：由题意得：，
∵是的平方根，是9的算术平方根，
∴，，
则当时，，
当时，，
即：的值为8或．
方法或规律点拨
本题主要考查的是算术平方根的定义、平方根的定义，求得，是解题的关键．
巩固练习
1．(2023秋·山东泰安·七年级校联考期末）下列说法正确的是（ ）
A．0的平方根和算术平方根都是0B．的算术平方根是5
C．的平方根是D．的平方根是
【答案】A
【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐项判断即可得出答案．
【详解】A、0的平方根是0，0的算术平方根是0，故A选项符合题意；
B、没有算术平方根，故B选项不符合题意；
C、，平方根是，故C选项不符合题意；
D、的平方根是，故D选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
2．(2023秋·河南南阳·八年级校联考期末）计算的结果为（ ）
A．B．C．-2D．2
【答案】A
【分析】根据平方根的性质，即可求解．
【详解】解：．
故选：A
【点睛】本题主要考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
3．(2023秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）36的平方根是（ ）
A．6B．C．D．18
【答案】B
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴36的平方根是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
4．(2023秋·河南南阳·八年级校联考阶段练习）下列语句中正确的是（ ）
A．的平方根是B．的算术平方根是
C．的算术平方根是D．的算术平方根是
【答案】D
【分析】求出，再求出9的平方根和算术平方根，即可得出选项．
【详解】解：A、的平方根是，故本选项错误；
B、的算术平方根是3，故本选项错误；
C、的算术平方根是3，故本选项错误；
D、的算术平方根是3，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
5．(2023春·福建厦门·七年级统考期末）用式子表示“4的平方根是”，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据的平方根是求出即可．
【详解】解：4的平方根是，用数学式子表示为：，
故答案为：D．
【点睛】本题考查平方根，主要考查学生的理解能力和计算能力．
6．(2023春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）的平方根为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平方根的定义，即可．
【详解】∵，
∴的平方根是，
故选：B．
【点睛】本题考查平方根的知识，解题的关键是理解平方根的定义．
7．(2023秋·河南周口·八年级校联考阶段练习）以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．16的算术平方根是D．平方根等于本身的数是1
【答案】A
【分析】根据平方根和算数平方根的定义逐一进行判断即可．
【详解】解：A．，选项A正确，符合意义；
B．，选项B不正确，不符合意义；
C．16的算术平方根是，选项C不正确，不符合意义；
D．平方根等于本身的数是0，选项D不正确，不符合意义；
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根和算数平方根，熟练掌握相关性质是解题的关键．
8．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）的平方根是____________．
【答案】
【分析】根据平方根和算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】解：，11的平方根是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和平方根，熟知二者的定义是解题的关键．
9．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）若是16的一个平方根，则x的值为 _____ ．
【答案】3或##或3
【分析】根据平方根的定义，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵是16的一个平方根，
∴，
∴x的值为3或．
【点睛】本题主要考查平方根的定义，掌握一个数的平方根有两个，它们互为相反数是关键．
10．(2023春·广东阳江·七年级校考期中）数字9的平方根是______；
【答案】
【分析】根据平方根的定义可知，正数的平方根有两个，它们互为相反数．
【详解】∵正数有两个平方根，它们互为相反数，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义及计算是解题的关键．
考点3：平方根的性质
典例：(2023秋·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期中）已知，．
(1)若x的算术平方根为3，求a的值；
(2)如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．
【答案】(1)
(2)25
【分析】（1）先根据x的算术平方根为3，求出x的值，再解关于a的一元一次方程即可得到a的值；
（2）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，将，代入即可求出，再求出x的平方即可．
【详解】（1）解：因为x的算术平方根为3，
所以，
即，
所以．
（2）解：根据题意得：，
即：，
所以，
所以，
所以这个正数为．
方法或规律点拨
本题考查算术平方根、平方根的有关计算，解一元一次方程等，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．
巩固练习
1．(2023秋·广东广州·八年级校考期中）一个正数的平方根是与，则的值为_______．
【答案】##
【分析】一个正数有两个平方根，且互为相反数，据此列方程解答．
【详解】解：由题意得，，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根是零，负数没有平方根，还考查了解一元一次方程．
2．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）已知：和是正数的两个平方根，则的值是______．
【答案】##
【分析】根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此即可求解．
【详解】解：∵和是正数的两个平方根，
∴，
解得，
∴，
∴．
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根的性质，掌握一个是正数的平方根有两个，它们互为相反数解题的关键．
3．(2023春·江苏南通·七年级校考期中）若一个正数的平方根是和，则m的值是_______．
【答案】
【分析】根据平方根的定义可得，解方程即可求解．
【详解】解：∵一个正数的平方根是和，
∴
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数的平方根有两个,它们是互为相反数的关系是解题的关键．
4．(2023秋·江西景德镇·八年级统考期中）已知一个正数的两个平方根是与，则______．
【答案】5
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，得到，计算即可．
【详解】因为一个正数的两个平方根是与，
所以，
解得．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了平方根的性质，熟练掌握平方根的和为0是解题的关键．
5．(2023秋·甘肃兰州·八年级统考期末）已知正实数x的平方根分别是和（），若，求的平方根．
【答案】
【分析】根据平方根的概念可得的值，然后可得问题的答案．
【详解】解：正实数的平方根是和，
，
，
，
，
,
的平方根是 ．
【点睛】本题考查的是平方根的概念，掌握其概念：如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根是解答此题关键．
6．(2023秋·山东枣庄·八年级校考阶段练习）若一个正数的两个平方根分别为a＋3和2－2a，求这个正数．
【答案】64
【分析】利用平方根的定义得出，求出a，进而求出答案．
【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数，
∴，
解得，
当a＝5时，原式＝5＋3＝8，
.
答：这个正数是64.
【点睛】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．
7．(2023春·广东湛江·七年级校考期中）若数m的平方根是a+3和2a-18，求m的值．
【答案】64
【分析】根据平方根的和为零，可得一元一次方程，解得a的值，根据平方运算，可得m的值．
【详解】解：由题意得：a+3+2a-18=0，
解得：a=5．
∴a+3=8，
∴，即m的值为64．
【点睛】本题主要考查实数的平方根，掌握正数的平方根互为相反数是解题的关键．
考点4：算术平方根的非负性质
典例：(2023秋·浙江宁波·七年级校联考期中）已知实数a，b，c满足：，求的值．
【答案】2
【分析】根据非负数的性质，可求出a、b、c的值，然后将代数式化简，再代值计算．
【详解】解：根据题意得：，，
解得：，
则．
方法或规律点拨
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．熟练掌握非负数的性质是解答本题的关键．
巩固练习
1．（2023秋·山东东营·九年级东营市实验中学校考期末）若 与互为相反数，则的值为（ ）
A．3B．9C．12D．27
【答案】B
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出关系式，再利用非负数的性质得出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可求出的值．
【详解】解：由题意得：，
可得， ②－①得：，
把代入②得：，
则，
故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．(2023秋·贵州毕节·八年级校考阶段练习）已知与互为相反数，则 =___________．
【答案】16
【分析】根据相反数的概念列出算式，根据非负数的性质求出的值，计算即可．
【详解】解：由题意得，，
则，
解得，，
则，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了非负数的性质和相反数，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
3．(2023秋·福建泉州·八年级校考期末）若、满足，则的算术平方根是________．
【答案】2
【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算，即可得出结论．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴算术平方根是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了求算术平方根和非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
4．(2023秋·河南郑州·八年级统考期中）若，为实数，且满足，则的值是______．
【答案】1
【分析】利用非负数的性质求出，的值，代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，算术平方根的非负性，解题的关键是根据非负数的性质求出，的值．
5．(2023秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）若，则的值为______．
【答案】1
【分析】根据算术平方根和平方的非负性，可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了算术平方根和平方的非负性，熟练掌握算术平方根和平方的非负性是解题的关键．
6．(2023春·广东江门·七年级校联考期中）已知，则的值为___________．
【答案】
【分析】根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性得到，求出，代入计算可得结论．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了算术平方根的非负性及绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值，正确掌握算术平方根的非负性及绝对值的非负性是解题的关键．
7．(2023春·广东江门·七年级江门市第二中学校考阶段练习）若，则的值为____________．
【答案】2
【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后相乘即可得解．
【详解】解：根据题意得：，，
解得：，，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
8．（北京市通州区2022一2023学年八年级上学期期末质量检测数学试卷）若，则的值为______．
【答案】
【分析】根据非负数的性质分别求出，代入计算即可．
【详解】解：，
，
解得：，
，
故答案为：，
【点睛】本题考查的是非负数的性质，掌握算术平方根的非负性、偶次方的非负性是解题的关键．
9．(2023秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如果，那么的算术平方根为_______．
【答案】
【分析】先根据非负数的性质求出x和y的值，然后求出的值，再求算术平方根即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的算术平方根为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质，以及求代数式的值，根据非负数的性质求出x和y的值是解答本题的关键．
10．(2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）若，求的平方根．
【答案】
【分析】根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再代入中计算即可．
【详解】解：∵，且，，
∴，
∴，，
∴，，
把，代入，，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了代数式求值、偶次方和算术平方根的非负性，熟练掌握偶次方和算术平方根的非负性是解题关键．
11．(2023·全国·八年级专题练习）若实数m、n满足等式，求的平方根；
【答案】
【分析】先利用非负数的性质求出m和n的值，然后代入计算即可．
【详解】∵，
∴
∴，
∴，
∴的平方根为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质，平方根的定义，根据非负数的性质求出m和n的值是解答本题的关键．
考点5：应用平方根性质解方程
典例：(2023秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）求下列各式中的值．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可；
（2）根据平方根的定义解方程即可．
【详解】（1）解：，
移项得，，
两边都除以得，，
由平方根的定义得，；
（2）解：，
由平方根的定义得，，
即或．
方法或规律点拨
本题主要考查了根据平方根定义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根的定义．
巩固练习
1．(2023秋·上海青浦·八年级校考期末）方程的根是________．
【答案】或
【分析】直接根据平方根的性质，即可求解．
【详解】解：，
∴或．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
2．(2023秋·福建宁德·八年级统考期中）若，则的值为______．
【答案】或
【分析】根据，即可变为或，解方程即可.
【详解】解：，
，
则或，
解得或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握方法是解题的关键.
3．(2023秋·河南南阳·九年级南阳市第十三中学校校考阶段练习）若，则______．
【答案】
【分析】根据可得，然后根据求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直接开平方法解方程，熟练掌握直接开平方法解方程是解本题的关键．
4．(2023秋·江苏南京·八年级统考阶段练习）解方程：
【答案】或
【分析】根据平方根的性质直接开方求解即可．
【详解】解：∵，
，
，
∴或．
【点睛】此题考查了平方根的性质的应用，解题的关键是熟练掌握平方根的性质．
5．(2023秋·江苏·八年级专题练习）求x的值：．
【答案】5或1
【分析】根据算术平方根、平方根的定义解决此题．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
∴或．
【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根的定义是解决本题的关键．
6．(2023秋·北京海淀·八年级北京育英中学校考期末）求出下列等式中x的值：
【答案】或
【分析】利用平方根的定义解方程即可．
【详解】∵
∴
∴
∴或
∴或
【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
7．(2023秋·江苏扬州·八年级校联考期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）直接开平方解答即可；
（2）先移项，再开平方解答即可．
【详解】（1）解：
∴．
（2）解：
∴或．
【点睛】本题考查利用平方根解方程，解题的关键是理解平方根．
考点6：利用平方根解决实际问题
典例：(2023春·安徽安庆·七年级校考阶段练习）交通警察通常根据刹车时后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度．在某高速公路上，常用的计算公式是，其中v表示车速（单位；km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦系数，．在调查这条高速公路的一次交通事故中，测得，求肇事汽车的速度大约是多少．
【答案】肇事汽车的速度大约是80km/h
【分析】将d，f的值代入公式计算出的值，再根据算术平方根的定义可得答案．
【详解】解：当，时，
，
∴．
答：肇事汽车的速度大约是80km/h．
方法或规律点拨
本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
巩固练习
1．(2023秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）将如图所示的矩形纸片（每个小正方形的边长为1），剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 ___________.
【答案】
【分析】先求出矩形的面积为10，再根据拼成的正方形的面积与矩形的面积相等即可求解．
【详解】解：由题意可知：
矩形的面积为10，
∵拼成的正方形的面积与矩形的面积相等，
∴拼成的正方形的面积为10，
∴正方形的边长是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，理解题意掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2．(2023春·北京怀柔·七年级校考期末）小刚同学为准确得出直角边为1分米和3分米的直角三角形斜边的长度，做了下列尝试，请你帮他补充完整：
①将四个直角边为1分米和3分米的直角三角形按图示进行无缝拼接，在拼接图中得到一个大正方形和一个小正方形；
②计算可得小正方形的面积是______________平方分米；
③根据三角形面积公式求得四个直角三角形的面积6平方分米；
④利用割补法求得大正方形面积；
⑤可知直角三角形斜边为____________分米．
【答案】 4
【分析】先求出小正方形的边长，进而求出小正方形面积，再求出大正方形的面积即可求出大正方形的边长．
【详解】解：由题意得，小正方形的边长为3-1=2分米，
∴小正方形面积为平方分米，
∴大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积=4+6=10平方分米，
∴大正方形的边长为分米，
故答案为：4；．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，正确求出大正方形的面积是解题的关键．
3．(2023春·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考阶段练习）面积为的正方形草坪，四周均设有围栏，现将其改造为面积为的长方形草坪，使其长宽之比为，问围栏是否够用？
【答案】围栏够用，理由见解析
【分析】设长方形纸片的长为，宽为，根据长方形的面积求出x的值，继而比较长方形和正方形的周长即可得出答案．
【详解】解：正方形的面积为，
∴正方形的边长为，则正方形的周长为，
设长方形的长为，则宽为，
由题可得：，
解得：（负值舍去），
∴长方形的长为，宽为，
∵，
长方形周长为，
∴围栏够用．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
4．(2023春·陕西渭南·七年级统考期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下的阴影部分的面积．
【答案】阴影部分的面积为．
【分析】根据开方运算，可得阴影的边长，根据乘方，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案．
【详解】解：∵大正方形的边长，
∴大正方形的面积为，
∴阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了算术平方根，根据小正方形的面积得到边长，进而得到大正方形的边长是解题的关键．
5．(2023秋·浙江温州·七年级校联考期中）如图， 纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．
(1)图中拼成的正方形的面积是___________； 边长是___________；
(2)你能把十个小正方形组成的图形纸 （图3），剪开并拼成正方形吗？ 若能， 请仿照图 的形式把它重新拼成一个正方形． 并求出这个正方形的边长是___________．
【答案】(1) ；
(2)剪拼图见解析；
【分析】（1）拼成的正方形面积等于原五个小正方形的面积；进一步求边长即可；
（2）仿照（1）中的方法剪拼，根据大正方形的面积求边长即可；
【详解】（1）解：∵拼成的正方形面积等于原五个小正方形的面积
∴拼成的正方形面积为：
由正方形的面积公式可得：
（2）解：剪拼图如下：
∵拼成的正方形面积等于原10个小正方形的面积
∴拼成的正方形面积为：
由正方形的面积公式可得：
【点睛】本题考查了算术平方根；熟练掌握图形的拆补是解题的关键．
6．(2023秋·山东青岛·八年级统考期中）某新建学校计划在一块面积为的正方形空地上建一个面积为的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划．
【答案】该学校不能实现这个愿望．
【分析】分别求出长方形的长，正方形的边长比较即可判断．
【详解】解：长方形花坛的宽为，长为．
依题意得，
∴，
∵，
∴，
∵正方形的面积，
∴正方形的边长为16m，
∵，
∴当长方形的边与正方形的边平行时，该学校不能实现这个愿望．
【点睛】本题考查算术平方根的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
7．(2023·八年级单元测试）一个正方体的表面积是2400cm2
(1)求这个正方体的体积；
(2)若该正方体表面积变为原来的一半，则体积变为原来的多少？
【答案】(1)8000cm3
(2)
【分析】（1）根据正方体的表面积，先求出棱长，再由体积公式得出答案；
（2）正方体表面积变为原来的一半，正方体的棱长变为原来的倍，则体积变为原来倍．
【详解】（1）解：正方体的表面积是2400，
正方形的棱长为
∴正方体的体积：（cm3）；
（2）解：设原来正方体的棱长为a，则表面积为，体积为，
∵正方体表面积变为原来的一半，
∴正方体的表面积是，
∴正方体的棱长，
∴正方体的体积：，
，
∴该正方体表面积变为原来的一半，则体积变为原来的．
【点睛】本题考查了算术平方根以及应用，是基础知识要熟练掌握．
能力提升
一、单选题
1．(2023秋·浙江·七年级专题练习）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据算术平方根，平方根的计算方法计算即可．
【详解】因为，
故A不合题意；
因为，
故B不合题意；
因为被开方数是负数，无意义，
故C不合题意；
因为，
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根，平方根的计算方法，熟练掌握计算方法是解题的关键．
2．(2023秋·山东烟台·七年级统考期末）144的平方根是的数学表达式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平方根定义，如果一个数平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．
【详解】，
故选C．
【点睛】本题考查了平方根的的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
3．(2023秋·河南洛阳·八年级统考期中）若一个正数的两个平方根分别为与，则a的值为（ ）
A．2B．C．6D．4
【答案】B
【分析】根据一个正数的两个平方根之间的关系，列方程，即可求解．
【详解】解：一个正数的两个平方根为与，
，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了一个正数的两个平方根之间的关系，熟练掌握和运用一个正数的两个平方根之间的关系是解决本题的关键．
4．(2023秋·重庆南岸·八年级统考期末）一个正方形的面积变为原来的倍，它的边长变为原来边长的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
【答案】B
【分析】设原正方形的面积为可用含的式子表示正方形的边长，面积为原来的倍，可求出变大后的正方形的边长，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，设原正方形的面积为，
∴原正方形的边长为，
∵正方形的面积变为原来的倍，
∴现在正方形的面积为，
∴现在正方形的边长为，
∴边长变为原来边长的倍，
故选：．
【点睛】本题主要考查求一个数的算术平方根的运算，掌握算术平方根与实际问题的结合，算术平方根的计算方法是解题的关键．
5．(2023秋·浙江·七年级专题练习）若是整数，则满足条件的自然数m共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据被开方数是非负数，结果是整数，m还是自然数，分类求解即可．
【详解】因为表示算术平方根，
所以被开方数是非负数，
故，
因为m是自然数，
所以m取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，
当时，，不是整数，不符合题意；
当时，，不是整数，不符合题意；
当时，，不是整数，不符合题意；
当时，，不是整数，不符合题意；
当时，，是整数，符合题意；
当时，，不是整数，不符合题意；
当时，，不是整数，不符合题意；
当时，，是整数，符合题意；
当时，，是整数，符合题意；
故满足条件的自然数有三个．
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根的被开方数是非负数，结果是整数，自然数，熟练掌握三数是解题的关键．
6．(2023秋·山东济南·八年级校考期末）已知实数x，y满足，则代数式的值为（ ）．
A．1B．C．2018D．
【答案】A
【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性可得，从而可得，再代入计算即可得．
【详解】解：，
，
解得，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、代数式求值，熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题关键．
二、解答题
7．(2023春·陕西渭南·七年级统考期末）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为h（单位km），观测者能看到的最远距离为d（单位：km），则，其中R是地球半径，通常取6400km．小红站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为5m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时观测者能看到的最远距离d约是多少千米？
【答案】此时观测者能看到的最远距离d约是8km
【分析】根据，把R＝6400km，h＝0.005km代入计算即可．
【详解】解：由，，
得，
∴此时观测者能看到的最远距离d约是8km．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，利用算术平方根求出值，将数据直接代入计算是解题关键．
8．(2023秋·浙江·七年级专题练习）已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根．
【答案】±5
【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．
【详解】解：∵＝3，
∴2a﹣1＝9，
解得：a＝5，
∵3a﹣b+1的平方根是±4，
∴15﹣b+1＝16，
解得：b＝0，
∵，
∴10＜＜11，
∴c＝10，
∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25，
∴a+b+2c的平方根为＝±5．
【点睛】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键．
9．(2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与．
(1)求和的值；
(2)利用平方根的定义，求关于的方程的解．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用一个正数的两个平方根互为相反数，列式计算即可；
（2）利用平方根，解方程即可．
【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根是与，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：将代入方程，得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平方根的定义以及性质．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．
算术平方根具有双重非负性.
①被开方数a是非负数，即：中的a≥0；
②算术平方根本身是非负数，即≥0。
0的平方根是0，算术平方根也是0.
考点精讲
考点1：求一个数的算术平方根
典例： (1)(2023秋·江苏盐城·八年级校联考期中）121的算术平方根是______．
(2)（2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期末）___________．
方法或规律点拨
本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
巩固练习
1．(2023春·广西南宁·八年级三美学校校考期中）4的算术平方根是（ ）
A．B．2C．D．
2．(2023秋·河南南阳·八年级统考期中）有理数9的算术平方根是（ ）
A．B．C．3D．
术平方根， 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．
3．(2023秋·安徽宿州·八年级统考期中）一个数的算术平方根是它本身，则这个数是（ ）
A．，0或1B．1C．或1D．0或1
4．(2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）“9的算术平方根是3”用式子表示为（ ）
A．B．C．D．
5．（北京市顺义区2023-2024学年八年级上学期数学期末试卷）4的算术平方根是（ ）
A．2B．C．D．16
6．（2023·全国·九年级专题练习）在下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．(2023秋·河南南阳·八年级统考期中）式子表示（ ）
A．的算术平方根B．的算术平方根C．的平方根D．的算术平方根
8．(2023秋·山西临汾·八年级统考期末）的值等于（ ）
A．B．C．D．
9．(2023秋·全国·八年级期末）已知，，下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）64的算术平方根是_______．
11．(2023秋·浙江杭州·七年级校联考期中）如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x值为7时，输出的y值为 _____；
（2）当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为 _____；
（3）若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为_______．
考点2：求一个数的平方根
典例：(2023春·广东江门·七年级江门市第二中学校考阶段练习）已知是的平方根，是9的算术平方根，求的值．
方法或规律点拨
本题主要考查的是算术平方根的定义、平方根的定义，求得，是解题的关键．
巩固练习
1．(2023秋·山东泰安·七年级校联考期末）下列说法正确的是（ ）
A．0的平方根和算术平方根都是0B．的算术平方根是5
C．的平方根是D．的平方根是
2．(2023秋·河南南阳·八年级校联考期末）计算的结果为（ ）
A．B．C．-2D．2
3．(2023秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）36的平方根是（ ）
A．6B．C．D．18
4．(2023秋·河南南阳·八年级校联考阶段练习）下列语句中正确的是（ ）
A．的平方根是B．的算术平方根是
C．的算术平方根是D．的算术平方根是
5．(2023春·福建厦门·七年级统考期末）用式子表示“4的平方根是”，正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）的平方根为（ ）．
A．B．C．D．
7．(2023秋·河南周口·八年级校联考阶段练习）以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．16的算术平方根是D．平方根等于本身的数是1
8．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）的平方根是____________．
9．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）若是16的一个平方根，则x的值为 _____ ．
10．(2023春·广东阳江·七年级校考期中）数字9的平方根是______；
考点3：平方根的性质
典例：(2023秋·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期中）已知，．
(1)若x的算术平方根为3，求a的值；
(2)如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．
方法或规律点拨
本题考查算术平方根、平方根的有关计算，解一元一次方程等，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．
巩固练习
1．(2023秋·广东广州·八年级校考期中）一个正数的平方根是与，则的值为_______．
2．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）已知：和是正数的两个平方根，则的值是______．
3．(2023春·江苏南通·七年级校考期中）若一个正数的平方根是和，则m的值是_______．
4．(2023秋·江西景德镇·八年级统考期中）已知一个正数的两个平方根是与，则______．
5．(2023秋·甘肃兰州·八年级统考期末）已知正实数x的平方根分别是和（），若，求的平方根．
6．(2023秋·山东枣庄·八年级校考阶段练习）若一个正数的两个平方根分别为a＋3和2－2a，求这个正数．
7．(2023春·广东湛江·七年级校考期中）若数m的平方根是a+3和2a-18，求m的值．
考点4：算术平方根的非负性质
典例：(2023秋·浙江宁波·七年级校联考期中）已知实数a，b，c满足：，求的值．
方法或规律点拨
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．熟练掌握非负数的性质是解答本题的关键．
巩固练习
1．（2023秋·山东东营·九年级东营市实验中学校考期末）若 与互为相反数，则的值为（ ）
A．3B．9C．12D．27
2．(2023秋·贵州毕节·八年级校考阶段练习）已知与互为相反数，则 =___________．
3．(2023秋·福建泉州·八年级校考期末）若、满足，则的算术平方根是________．
4．(2023秋·河南郑州·八年级统考期中）若，为实数，且满足，则的值是______．
5．(2023秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）若，则的值为______．
6．(2023春·广东江门·七年级校联考期中）已知，则的值为___________．
7．(2023春·广东江门·七年级江门市第二中学校考阶段练习）若，则的值为____________．
8．（北京市通州区2022一2023学年八年级上学期期末质量检测数学试卷）若，则的值为______．
9．(2023秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如果，那么的算术平方根为_______．
10．(2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）若，求的平方根．
11．(2023·全国·八年级专题练习）若实数m、n满足等式，求的平方根；
考点5：应用平方根性质解方程
典例：(2023秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）求下列各式中的值．
(1)
(2)
方法或规律点拨
本题主要考查了根据平方根定义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根的定义．
巩固练习
1．(2023秋·上海青浦·八年级校考期末）方程的根是________．
2．(2023秋·福建宁德·八年级统考期中）若，则的值为______．
3．(2023秋·河南南阳·九年级南阳市第十三中学校校考阶段练习）若，则______．
4．(2023秋·江苏南京·八年级统考阶段练习）解方程：
5．(2023秋·江苏·八年级专题练习）求x的值：．
决本题的关键．
6．(2023秋·北京海淀·八年级北京育英中学校考期末）求出下列等式中x的值：
7．(2023秋·江苏扬州·八年级校联考期中）解方程：
(1)
(2)
考点6：利用平方根解决实际问题
典例：(2023春·安徽安庆·七年级校考阶段练习）交通警察通常根据刹车时后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度．在某高速公路上，常用的计算公式是，其中v表示车速（单位；km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦系数，．在调查这条高速公路的一次交通事故中，测得，求肇事汽车的速度大约是多少．
方法或规律点拨
本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
巩固练习
1．(2023秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）将如图所示的矩形纸片（每个小正方形的边长为1），剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 ___________.
2．(2023春·北京怀柔·七年级校考期末）小刚同学为准确得出直角边为1分米和3分米的直角三角形斜边的长度，做了下列尝试，请你帮他补充完整：
①将四个直角边为1分米和3分米的直角三角形按图示进行无缝拼接，在拼接图中得到一个大正方形和一个小正方形；
②计算可得小正方形的面积是______________平方分米；
③根据三角形面积公式求得四个直角三角形的面积6平方分米；
④利用割补法求得大正方形面积；
⑤可知直角三角形斜边为____________分米．
3．(2023春·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考阶段练习）面积为的正方形草坪，四周均设有围栏，现将其改造为面积为的长方形草坪，使其长宽之比为，问围栏是否够用？
4．(2023春·陕西渭南·七年级统考期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下的阴影部分的面积．
5．(2023秋·浙江温州·七年级校联考期中）如图， 纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．
(1)图中拼成的正方形的面积是___________； 边长是___________；
(2)你能把十个小正方形组成的图形纸 （图3），剪开并拼成正方形吗？ 若能， 请仿照图 的形式把它重新拼成一个正方形． 并求出这个正方形的边长是___________．
6．(2023秋·山东青岛·八年级统考期中）某新建学校计划在一块面积为的正方形空地上建一个面积为的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划．
7．(2023·八年级单元测试）一个正方体的表面积是2400cm2
(1)求这个正方体的体积；
(2)若该正方体表面积变为原来的一半，则体积变为原来的多少？
能力提升
一、单选题
1．(2023秋·浙江·七年级专题练习）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023秋·山东烟台·七年级统考期末）144的平方根是的数学表达式是（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023秋·河南洛阳·八年级统考期中）若一个正数的两个平方根分别为与，则a的值为（ ）
A．2B．C．6D．4
4．(2023秋·重庆南岸·八年级统考期末）一个正方形的面积变为原来的倍，它的边长变为原来边长的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
5．(2023秋·浙江·七年级专题练习）若是整数，则满足条件的自然数m共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．(2023秋·山东济南·八年级校考期末）已知实数x，y满足，则代数式的值为（ ）．
A．1B．C．2018D．
二、解答题
7．(2023春·陕西渭南·七年级统考期末）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为h（单位km），观测者能看到的最远距离为d（单位：km），则，其中R是地球半径，通常取6400km．小红站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为5m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时观测者能看到的最远距离d约是多少千米？
8．(2023秋·浙江·七年级专题练习）已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根．
9．(2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与．
(1)求和的值；
(2)利用平方根的定义，求关于的方程的解．
专题6.1 平方根
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1．了解平方根、算术平方根，会用根号表示数的平方根、算数平方根．
算术平方根具有双重非负性.
①被开方数a是非负数，即：中的a≥0；
②算术平方根本身是非负数，即≥0。
0的平方根是0，算术平方根也是0.
考点精讲
考点1：求一个数的算术平方根
典例： (1)(2023秋·江苏盐城·八年级校联考期中）121的算术平方根是______．
【答案】11
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】∵，
∴，即121的算术平方根是11，
故答案为：11．
(2)（2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期末）___________．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
方法或规律点拨
本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
巩固练习
1．(2023春·广西南宁·八年级三美学校校考期中）4的算术平方根是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根的性质，即可求解．
【详解】解∶ 4的算术平方根是2．
故选：B
【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
2．(2023秋·河南南阳·八年级统考期中）有理数9的算术平方根是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴9的算术平方根是．
故选C．
【点睛】本题考查了算术平方根的意义，解决本题的关键是掌握其定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．正数a有一个正的算术平方根， 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．
3．(2023秋·安徽宿州·八年级统考期中）一个数的算术平方根是它本身，则这个数是（ ）
A．，0或1B．1C．或1D．0或1
【答案】D
【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，那么一个数的算术平方根是它本身，可以知道这个数是0和1．
【详解】解：根据算术平方根的定义，这个数是0或1．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，分清算术平方根的概念易与平方根的概念是解决此题关键．
4．(2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）“9的算术平方根是3”用式子表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义即可求解．
【详解】解：9的算术平方根是3即：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是算术平方根的定义和性质，熟练掌握算术平方根的定义和性质是解题的关键．
5．（北京市顺义区2023-2024学年八年级上学期数学期末试卷）4的算术平方根是（ ）
A．2B．C．D．16
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义，进行求解即可．
【详解】解：4的算术平方根是；
故选A．
【点睛】本题考查算术平方根．熟练掌握算术平方根的定义：一个非负数的平方为，则叫做的算术平方根，是解题的关键．
6．（2023·全国·九年级专题练习）在下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平方根及算术平方根的性质可求解．
【详解】解：根据平方根及算术平方根的性质可知，，，，
观察四个选项，只有选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，要注意正确区分平方根与算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
7．(2023秋·河南南阳·八年级统考期中）式子表示（ ）
A．的算术平方根B．的算术平方根C．的平方根D．的算术平方根
【答案】D
【分析】根据实数的运算顺序，先算平方，再开方，由此即可求解．
【详解】解：，
∴表示的是的算术平方根，
故选：．
【点睛】本题主要考查平方，开方的运算顺序.掌握平方，开方的运算顺序，二次根式被开方数的特点是解题的关键．
8．(2023秋·山西临汾·八年级统考期末）的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接根据算术平方根的概念即可求得的算术平方根．
【详解】解：，
故选：A ．
【点睛】本题考查的是算术平方根的定义，正数的算术平方根是正数，的算术平方根是0．
9．(2023秋·全国·八年级期末）已知，，下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题目意思，找出题中规律即可求解．
【详解】解：∵，，
A．符合题意；
B．，选项不符合题意；
C．，选项不符合题意；
D．，选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的性质是解题的关键．
10．（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）64的算术平方根是_______．
【答案】8
【分析】直接根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】解：∵，
∴．即64的算术平方根是8．
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是算术平方根必须是正数，注意平方根和算术平方根的区别．
11．(2023秋·浙江杭州·七年级校联考期中）如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x值为7时，输出的y值为 _____；
（2）当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为 _____；
（3）若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为_______．
【答案】 25 0或1
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据两次取算术平方根运算，输出的值为，返回运算两次平方可得的值；
（3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论．
【详解】解：（1）当时，则；
（2）当时，，，则；
（3）当，1时，始终输不出值，
，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，
所有满足要求的的值为0或1．
故答案为：；25；0或1．
【点睛】本题考查了算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键．
考点2：求一个数的平方根
典例：(2023春·广东江门·七年级江门市第二中学校考阶段练习）已知是的平方根，是9的算术平方根，求的值．
【答案】8或
【分析】先根据算术平方根、平方根的定义求得，，然后代入计算即可．
【详解】解：由题意得：，
∵是的平方根，是9的算术平方根，
∴，，
则当时，，
当时，，
即：的值为8或．
方法或规律点拨
本题主要考查的是算术平方根的定义、平方根的定义，求得，是解题的关键．
巩固练习
1．(2023秋·山东泰安·七年级校联考期末）下列说法正确的是（ ）
A．0的平方根和算术平方根都是0B．的算术平方根是5
C．的平方根是D．的平方根是
【答案】A
【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐项判断即可得出答案．
【详解】A、0的平方根是0，0的算术平方根是0，故A选项符合题意；
B、没有算术平方根，故B选项不符合题意；
C、，平方根是，故C选项不符合题意；
D、的平方根是，故D选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
2．(2023秋·河南南阳·八年级校联考期末）计算的结果为（ ）
A．B．C．-2D．2
【答案】A
【分析】根据平方根的性质，即可求解．
【详解】解：．
故选：A
【点睛】本题主要考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
3．(2023秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）36的平方根是（ ）
A．6B．C．D．18
【答案】B
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴36的平方根是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
4．(2023秋·河南南阳·八年级校联考阶段练习）下列语句中正确的是（ ）
A．的平方根是B．的算术平方根是
C．的算术平方根是D．的算术平方根是
【答案】D
【分析】求出，再求出9的平方根和算术平方根，即可得出选项．
【详解】解：A、的平方根是，故本选项错误；
B、的算术平方根是3，故本选项错误；
C、的算术平方根是3，故本选项错误；
D、的算术平方根是3，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
5．(2023春·福建厦门·七年级统考期末）用式子表示“4的平方根是”，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据的平方根是求出即可．
【详解】解：4的平方根是，用数学式子表示为：，
故答案为：D．
【点睛】本题考查平方根，主要考查学生的理解能力和计算能力．
6．(2023春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）的平方根为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平方根的定义，即可．
【详解】∵，
∴的平方根是，
故选：B．
【点睛】本题考查平方根的知识，解题的关键是理解平方根的定义．
7．(2023秋·河南周口·八年级校联考阶段练习）以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．16的算术平方根是D．平方根等于本身的数是1
【答案】A
【分析】根据平方根和算数平方根的定义逐一进行判断即可．
【详解】解：A．，选项A正确，符合意义；
B．，选项B不正确，不符合意义；
C．16的算术平方根是，选项C不正确，不符合意义；
D．平方根等于本身的数是0，选项D不正确，不符合意义；
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根和算数平方根，熟练掌握相关性质是解题的关键．
8．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）的平方根是____________．
【答案】
【分析】根据平方根和算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】解：，11的平方根是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和平方根，熟知二者的定义是解题的关键．
9．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）若是16的一个平方根，则x的值为 _____ ．
【答案】3或##或3
【分析】根据平方根的定义，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵是16的一个平方根，
∴，
∴x的值为3或．
【点睛】本题主要考查平方根的定义，掌握一个数的平方根有两个，它们互为相反数是关键．
10．(2023春·广东阳江·七年级校考期中）数字9的平方根是______；
【答案】
【分析】根据平方根的定义可知，正数的平方根有两个，它们互为相反数．
【详解】∵正数有两个平方根，它们互为相反数，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义及计算是解题的关键．
考点3：平方根的性质
典例：(2023秋·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期中）已知，．
(1)若x的算术平方根为3，求a的值；
(2)如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．
【答案】(1)
(2)25
【分析】（1）先根据x的算术平方根为3，求出x的值，再解关于a的一元一次方程即可得到a的值；
（2）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，将，代入即可求出，再求出x的平方即可．
【详解】（1）解：因为x的算术平方根为3，
所以，
即，
所以．
（2）解：根据题意得：，
即：，
所以，
所以，
所以这个正数为．
方法或规律点拨
本题考查算术平方根、平方根的有关计算，解一元一次方程等，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．
巩固练习
1．(2023秋·广东广州·八年级校考期中）一个正数的平方根是与，则的值为_______．
【答案】##
【分析】一个正数有两个平方根，且互为相反数，据此列方程解答．
【详解】解：由题意得，，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根是零，负数没有平方根，还考查了解一元一次方程．
2．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）已知：和是正数的两个平方根，则的值是______．
【答案】##
【分析】根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此即可求解．
【详解】解：∵和是正数的两个平方根，
∴，
解得，
∴，
∴．
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根的性质，掌握一个是正数的平方根有两个，它们互为相反数解题的关键．
3．(2023春·江苏南通·七年级校考期中）若一个正数的平方根是和，则m的值是_______．
【答案】
【分析】根据平方根的定义可得，解方程即可求解．
【详解】解：∵一个正数的平方根是和，
∴
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数的平方根有两个,它们是互为相反数的关系是解题的关键．
4．(2023秋·江西景德镇·八年级统考期中）已知一个正数的两个平方根是与，则______．
【答案】5
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，得到，计算即可．
【详解】因为一个正数的两个平方根是与，
所以，
解得．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了平方根的性质，熟练掌握平方根的和为0是解题的关键．
5．(2023秋·甘肃兰州·八年级统考期末）已知正实数x的平方根分别是和（），若，求的平方根．
【答案】
【分析】根据平方根的概念可得的值，然后可得问题的答案．
【详解】解：正实数的平方根是和，
，
，
，
，
,
的平方根是 ．
【点睛】本题考查的是平方根的概念，掌握其概念：如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根是解答此题关键．
6．(2023秋·山东枣庄·八年级校考阶段练习）若一个正数的两个平方根分别为a＋3和2－2a，求这个正数．
【答案】64
【分析】利用平方根的定义得出，求出a，进而求出答案．
【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数，
∴，
解得，
当a＝5时，原式＝5＋3＝8，
.
答：这个正数是64.
【点睛】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．
7．(2023春·广东湛江·七年级校考期中）若数m的平方根是a+3和2a-18，求m的值．
【答案】64
【分析】根据平方根的和为零，可得一元一次方程，解得a的值，根据平方运算，可得m的值．
【详解】解：由题意得：a+3+2a-18=0，
解得：a=5．
∴a+3=8，
∴，即m的值为64．
【点睛】本题主要考查实数的平方根，掌握正数的平方根互为相反数是解题的关键．
考点4：算术平方根的非负性质
典例：(2023秋·浙江宁波·七年级校联考期中）已知实数a，b，c满足：，求的值．
【答案】2
【分析】根据非负数的性质，可求出a、b、c的值，然后将代数式化简，再代值计算．
【详解】解：根据题意得：，，
解得：，
则．
方法或规律点拨
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．熟练掌握非负数的性质是解答本题的关键．
巩固练习
1．（2023秋·山东东营·九年级东营市实验中学校考期末）若 与互为相反数，则的值为（ ）
A．3B．9C．12D．27
【答案】B
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出关系式，再利用非负数的性质得出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可求出的值．
【详解】解：由题意得：，
可得， ②－①得：，
把代入②得：，
则，
故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．(2023秋·贵州毕节·八年级校考阶段练习）已知与互为相反数，则 =___________．
【答案】16
【分析】根据相反数的概念列出算式，根据非负数的性质求出的值，计算即可．
【详解】解：由题意得，，
则，
解得，，
则，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了非负数的性质和相反数，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
3．(2023秋·福建泉州·八年级校考期末）若、满足，则的算术平方根是________．
【答案】2
【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算，即可得出结论．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴算术平方根是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了求算术平方根和非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
4．(2023秋·河南郑州·八年级统考期中）若，为实数，且满足，则的值是______．
【答案】1
【分析】利用非负数的性质求出，的值，代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，算术平方根的非负性，解题的关键是根据非负数的性质求出，的值．
5．(2023秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）若，则的值为______．
【答案】1
【分析】根据算术平方根和平方的非负性，可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了算术平方根和平方的非负性，熟练掌握算术平方根和平方的非负性是解题的关键．
6．(2023春·广东江门·七年级校联考期中）已知，则的值为___________．
【答案】
【分析】根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性得到，求出，代入计算可得结论．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了算术平方根的非负性及绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值，正确掌握算术平方根的非负性及绝对值的非负性是解题的关键．
7．(2023春·广东江门·七年级江门市第二中学校考阶段练习）若，则的值为____________．
【答案】2
【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后相乘即可得解．
【详解】解：根据题意得：，，
解得：，，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
8．（北京市通州区2022一2023学年八年级上学期期末质量检测数学试卷）若，则的值为______．
【答案】
【分析】根据非负数的性质分别求出，代入计算即可．
【详解】解：，
，
解得：，
，
故答案为：，
【点睛】本题考查的是非负数的性质，掌握算术平方根的非负性、偶次方的非负性是解题的关键．
9．(2023秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如果，那么的算术平方根为_______．
【答案】
【分析】先根据非负数的性质求出x和y的值，然后求出的值，再求算术平方根即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的算术平方根为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质，以及求代数式的值，根据非负数的性质求出x和y的值是解答本题的关键．
10．(2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）若，求的平方根．
【答案】
【分析】根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再代入中计算即可．
【详解】解：∵，且，，
∴，
∴，，
∴，，
把，代入，，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了代数式求值、偶次方和算术平方根的非负性，熟练掌握偶次方和算术平方根的非负性是解题关键．
11．(2023·全国·八年级专题练习）若实数m、n满足等式，求的平方根；
【答案】
【分析】先利用非负数的性质求出m和n的值，然后代入计算即可．
【详解】∵，
∴
∴，
∴，
∴的平方根为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质，平方根的定义，根据非负数的性质求出m和n的值是解答本题的关键．
考点5：应用平方根性质解方程
典例：(2023秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）求下列各式中的值．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可；
（2）根据平方根的定义解方程即可．
【详解】（1）解：，
移项得，，
两边都除以得，，
由平方根的定义得，；
（2）解：，
由平方根的定义得，，
即或．
方法或规律点拨
本题主要考查了根据平方根定义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根的定义．
巩固练习
1．(2023秋·上海青浦·八年级校考期末）方程的根是________．
【答案】或
【分析】直接根据平方根的性质，即可求解．
【详解】解：，
∴或．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
2．(2023秋·福建宁德·八年级统考期中）若，则的值为______．
【答案】或
【分析】根据，即可变为或，解方程即可.
【详解】解：，
，
则或，
解得或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握方法是解题的关键.
3．(2023秋·河南南阳·九年级南阳市第十三中学校校考阶段练习）若，则______．
【答案】
【分析】根据可得，然后根据求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直接开平方法解方程，熟练掌握直接开平方法解方程是解本题的关键．
4．(2023秋·江苏南京·八年级统考阶段练习）解方程：
【答案】或
【分析】根据平方根的性质直接开方求解即可．
【详解】解：∵，
，
，
∴或．
【点睛】此题考查了平方根的性质的应用，解题的关键是熟练掌握平方根的性质．
5．(2023秋·江苏·八年级专题练习）求x的值：．
【答案】5或1
【分析】根据算术平方根、平方根的定义解决此题．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
∴或．
【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根的定义是解决本题的关键．
6．(2023秋·北京海淀·八年级北京育英中学校考期末）求出下列等式中x的值：
【答案】或
【分析】利用平方根的定义解方程即可．
【详解】∵
∴
∴
∴或
∴或
【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
7．(2023秋·江苏扬州·八年级校联考期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）直接开平方解答即可；
（2）先移项，再开平方解答即可．
【详解】（1）解：
∴．
（2）解：
∴或．
【点睛】本题考查利用平方根解方程，解题的关键是理解平方根．
考点6：利用平方根解决实际问题
典例：(2023春·安徽安庆·七年级校考阶段练习）交通警察通常根据刹车时后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度．在某高速公路上，常用的计算公式是，其中v表示车速（单位；km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦系数，．在调查这条高速公路的一次交通事故中，测得，求肇事汽车的速度大约是多少．
【答案】肇事汽车的速度大约是80km/h
【分析】将d，f的值代入公式计算出的值，再根据算术平方根的定义可得答案．
【详解】解：当，时，
，
∴．
答：肇事汽车的速度大约是80km/h．
方法或规律点拨
本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
巩固练习
1．(2023秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）将如图所示的矩形纸片（每个小正方形的边长为1），剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 ___________.
【答案】
【分析】先求出矩形的面积为10，再根据拼成的正方形的面积与矩形的面积相等即可求解．
【详解】解：由题意可知：
矩形的面积为10，
∵拼成的正方形的面积与矩形的面积相等，
∴拼成的正方形的面积为10，
∴正方形的边长是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，理解题意掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2．(2023春·北京怀柔·七年级校考期末）小刚同学为准确得出直角边为1分米和3分米的直角三角形斜边的长度，做了下列尝试，请你帮他补充完整：
①将四个直角边为1分米和3分米的直角三角形按图示进行无缝拼接，在拼接图中得到一个大正方形和一个小正方形；
②计算可得小正方形的面积是______________平方分米；
③根据三角形面积公式求得四个直角三角形的面积6平方分米；
④利用割补法求得大正方形面积；
⑤可知直角三角形斜边为____________分米．
【答案】 4
【分析】先求出小正方形的边长，进而求出小正方形面积，再求出大正方形的面积即可求出大正方形的边长．
【详解】解：由题意得，小正方形的边长为3-1=2分米，
∴小正方形面积为平方分米，
∴大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积=4+6=10平方分米，
∴大正方形的边长为分米，
故答案为：4；．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，正确求出大正方形的面积是解题的关键．
3．(2023春·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考阶段练习）面积为的正方形草坪，四周均设有围栏，现将其改造为面积为的长方形草坪，使其长宽之比为，问围栏是否够用？
【答案】围栏够用，理由见解析
【分析】设长方形纸片的长为，宽为，根据长方形的面积求出x的值，继而比较长方形和正方形的周长即可得出答案．
【详解】解：正方形的面积为，
∴正方形的边长为，则正方形的周长为，
设长方形的长为，则宽为，
由题可得：，
解得：（负值舍去），
∴长方形的长为，宽为，
∵，
长方形周长为，
∴围栏够用．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
4．(2023春·陕西渭南·七年级统考期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下的阴影部分的面积．
【答案】阴影部分的面积为．
【分析】根据开方运算，可得阴影的边长，根据乘方，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案．
【详解】解：∵大正方形的边长，
∴大正方形的面积为，
∴阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了算术平方根，根据小正方形的面积得到边长，进而得到大正方形的边长是解题的关键．
5．(2023秋·浙江温州·七年级校联考期中）如图， 纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．
(1)图中拼成的正方形的面积是___________； 边长是___________；
(2)你能把十个小正方形组成的图形纸 （图3），剪开并拼成正方形吗？ 若能， 请仿照图 的形式把它重新拼成一个正方形． 并求出这个正方形的边长是___________．
【答案】(1) ；
(2)剪拼图见解析；
【分析】（1）拼成的正方形面积等于原五个小正方形的面积；进一步求边长即可；
（2）仿照（1）中的方法剪拼，根据大正方形的面积求边长即可；
【详解】（1）解：∵拼成的正方形面积等于原五个小正方形的面积
∴拼成的正方形面积为：
由正方形的面积公式可得：
（2）解：剪拼图如下：
∵拼成的正方形面积等于原10个小正方形的面积
∴拼成的正方形面积为：
由正方形的面积公式可得：
【点睛】本题考查了算术平方根；熟练掌握图形的拆补是解题的关键．
6．(2023秋·山东青岛·八年级统考期中）某新建学校计划在一块面积为的正方形空地上建一个面积为的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划．
【答案】该学校不能实现这个愿望．
【分析】分别求出长方形的长，正方形的边长比较即可判断．
【详解】解：长方形花坛的宽为，长为．
依题意得，
∴，
∵，
∴，
∵正方形的面积，
∴正方形的边长为16m，
∵，
∴当长方形的边与正方形的边平行时，该学校不能实现这个愿望．
【点睛】本题考查算术平方根的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
7．(2023·八年级单元测试）一个正方体的表面积是2400cm2
(1)求这个正方体的体积；
(2)若该正方体表面积变为原来的一半，则体积变为原来的多少？
【答案】(1)8000cm3
(2)
【分析】（1）根据正方体的表面积，先求出棱长，再由体积公式得出答案；
（2）正方体表面积变为原来的一半，正方体的棱长变为原来的倍，则体积变为原来倍．
【详解】（1）解：正方体的表面积是2400，
正方形的棱长为
∴正方体的体积：（cm3）；
（2）解：设原来正方体的棱长为a，则表面积为，体积为，
∵正方体表面积变为原来的一半，
∴正方体的表面积是，
∴正方体的棱长，
∴正方体的体积：，
，
∴该正方体表面积变为原来的一半，则体积变为原来的．
【点睛】本题考查了算术平方根以及应用，是基础知识要熟练掌握．
能力提升
一、单选题
1．(2023秋·浙江·七年级专题练习）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据算术平方根，平方根的计算方法计算即可．
【详解】因为，
故A不合题意；
因为，
故B不合题意；
因为被开方数是负数，无意义，
故C不合题意；
因为，
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根，平方根的计算方法，熟练掌握计算方法是解题的关键．
2．(2023秋·山东烟台·七年级统考期末）144的平方根是的数学表达式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平方根定义，如果一个数平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．
【详解】，
故选C．
【点睛】本题考查了平方根的的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
3．(2023秋·河南洛阳·八年级统考期中）若一个正数的两个平方根分别为与，则a的值为（ ）
A．2B．C．6D．4
【答案】B
【分析】根据一个正数的两个平方根之间的关系，列方程，即可求解．
【详解】解：一个正数的两个平方根为与，
，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了一个正数的两个平方根之间的关系，熟练掌握和运用一个正数的两个平方根之间的关系是解决本题的关键．
4．(2023秋·重庆南岸·八年级统考期末）一个正方形的面积变为原来的倍，它的边长变为原来边长的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
【答案】B
【分析】设原正方形的面积为可用含的式子表示正方形的边长，面积为原来的倍，可求出变大后的正方形的边长，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，设原正方形的面积为，
∴原正方形的边长为，
∵正方形的面积变为原来的倍，
∴现在正方形的面积为，
∴现在正方形的边长为，
∴边长变为原来边长的倍，
故选：．
【点睛】本题主要考查求一个数的算术平方根的运算，掌握算术平方根与实际问题的结合，算术平方根的计算方法是解题的关键．
5．(2023秋·浙江·七年级专题练习）若是整数，则满足条件的自然数m共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据被开方数是非负数，结果是整数，m还是自然数，分类求解即可．
【详解】因为表示算术平方根，
所以被开方数是非负数，
故，
因为m是自然数，
所以m取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，
当时，，不是整数，不符合题意；
当时，，不是整数，不符合题意；
当时，，不是整数，不符合题意；
当时，，不是整数，不符合题意；
当时，，是整数，符合题意；
当时，，不是整数，不符合题意；
当时，，不是整数，不符合题意；
当时，，是整数，符合题意；
当时，，是整数，符合题意；
故满足条件的自然数有三个．
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根的被开方数是非负数，结果是整数，自然数，熟练掌握三数是解题的关键．
6．(2023秋·山东济南·八年级校考期末）已知实数x，y满足，则代数式的值为（ ）．
A．1B．C．2018D．
【答案】A
【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性可得，从而可得，再代入计算即可得．
【详解】解：，
，
解得，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、代数式求值，熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题关键．
二、解答题
7．(2023春·陕西渭南·七年级统考期末）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为h（单位km），观测者能看到的最远距离为d（单位：km），则，其中R是地球半径，通常取6400km．小红站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为5m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时观测者能看到的最远距离d约是多少千米？
【答案】此时观测者能看到的最远距离d约是8km
【分析】根据，把R＝6400km，h＝0.005km代入计算即可．
【详解】解：由，，
得，
∴此时观测者能看到的最远距离d约是8km．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，利用算术平方根求出值，将数据直接代入计算是解题关键．
8．(2023秋·浙江·七年级专题练习）已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根．
【答案】±5
【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．
【详解】解：∵＝3，
∴2a﹣1＝9，
解得：a＝5，
∵3a﹣b+1的平方根是±4，
∴15﹣b+1＝16，
解得：b＝0，
∵，
∴10＜＜11，
∴c＝10，
∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25，
∴a+b+2c的平方根为＝±5．
【点睛】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键．
9．(2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与．
(1)求和的值；
(2)利用平方根的定义，求关于的方程的解．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用一个正数的两个平方根互为相反数，列式计算即可；
（2）利用平方根，解方程即可．
【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根是与，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：将代入方程，得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平方根的定义以及性质．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．
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