人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆优秀第1课时练习

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【夯实基础】
题型1 椭圆的几何性质
1.椭圆的长轴长为（ ）
A．2B．4
C．3D．6
【答案】D
【分析】利用椭圆的标准方程求得，从而求得长轴长.
【详解】因为椭圆的标准方程，所以该椭圆的焦点在轴上，且，则，
所以椭圆的长轴长为.
故选：D.
2.下面是对曲线的一些结论，正确的结论是（ ）
①的取值范围是；
②曲线是中心对称图形；
③曲线上除点，外的其余所有点都在椭圆的内部；
④过曲线上任一点作轴的垂线，垂线段中点的轨迹所围成图形的面积不大于；
A．①②④B．②③④C．①②D．①③④
【答案】C
【解析】由曲线方程性质可知①正确；关于原点对称的两个点点，是否都在曲线上，可判断②；令代入验证即可判断③；通过轨迹法求得垂线段中点的轨迹方程，判断轨迹中的点与的关系即可判断④.
【详解】，可知，即，，，，①正确；
将方程中的换成，换成方程不变，故②正确；
，令，则，当时，，点在椭圆的外部，故③错误；
过曲线上任一点作轴的垂线，垂线段中点的轨迹为，即，
在上任取一点，
，
，，即在外，
围成图形的面积大于，故④错误.
故选：C
【点睛】方法点睛：关于对称点的问题可以利用以下知识解决：
①点关于轴对称的点为；
②点关于轴对称的点为；
③点关于原点对称的点为；
④点关于轴对称的点为.
3.椭圆＋＝1的一个焦点坐标为（ ）
A．(－3 ，0)B．(－4，0 )C．(－5，0 )D．(9，0)
【答案】A
【解析】由标准方程即可求出焦点所在轴以及焦点坐标.
【详解】因为25>16，所以焦点在x轴上，又a2＝c2 +b2，∴c2＝9，
所以焦点坐标为（-3，0）或（3，0），
故选:A.
4.已知直线l：（）与椭圆C：（）交于A，B两点，F为椭圆C的右焦点．若椭圆C的离心率为，且，则的面积是（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】A
【分析】由已知求出椭圆C的方程及点F的坐标，由可得点A的坐标满足的关系，再与椭圆C的方程联立求出点A纵坐标的即可计算作答.
【详解】因椭圆C：()的离心率为，，则， ，椭圆C：，
又，即，而A，B是直线l：()与椭圆C的两交点，如图，
F为椭圆C的右焦点，于是有，设，则，
由消去化简可得，则，
所以的面积是1.
故选：A
5.椭圆的焦点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将椭圆方程化为标准方程求解即可.
【详解】解：椭圆方程可化为，
设焦距为，因为，所以焦点在轴上，，，所以，
所以椭圆的焦点坐标是.
故选：A.
题型2由椭圆的几何性质求标准方程
6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C相交于A，B两点．有下列结论：
①四边形为平行四边形；
②若轴，垂足为E，则直线BE的斜率为；
③若（O为坐标原点），则四边形的面积为；
④若，则椭圆的离心率可以是．
其中正确的结论是（ ）
A．①④B．①②④C．①②③D．②④
【答案】B
【分析】由椭圆的对称性判断①，设，计算斜率后判断②，利用矩形，由勾股定理及椭圆的定义求出四边形的面积后判断③，同理结合椭圆定义和余弦定理求离心率判断④．
【详解】由椭圆的对称性，，，四边形为平行四边形，①正确；
设，则，，，，②正确；
若，由，四边形是矩形，即，设，，则，
又，所以，，
，即四边形的面积为，③错；
若，又，则，，
设，由余弦定理得，
即，，
由得，存在，④正确，即正确的有①②④，
故选：B．
7.已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设代入椭圆方程相减，利用，，，得出等量关系，即可求解.
【详解】设，，则，，两式作差并化简整理得
，因为线段AB的中点为，所以，，
所以，由，得，又因为，解得，，
所以椭圆C的方程为．
故选：A．
8.中心在原点的椭圆长轴右顶点为，直线与椭圆相交于两点，中点的横坐标为，则此椭圆标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设椭圆方程为，由条件关系列方程求，可得椭圆方程.
【详解】设椭圆方程为，由椭圆长轴右顶点为可得，所以椭圆方程可以化为，把直线代入得，
方程的判别式
设，则，又的中点的横坐标为，
所以，解得，所以椭圆的标准方程是，
故选：D.
9.已知a＞0，椭圆x2+a2y2＝2a的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】先把椭圆方程化为标准方程，然后根据题意列出方程组，解出即可．
【详解】解：可变为，，
由题意得，解得，或解得，
故或
故选：．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单性质，属于基础题，注意题意的长轴的数轴．
10.若椭圆 的动弦 斜率为 1 ， 则弦中点坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意，可设，，弦的中点为，利用中点坐标公式，点差法和斜率公式计算即可.
【详解】解：设椭圆上的两点为，，弦的中点为，
则，，，，
由已知得，，，
两式相减可得：，整理可得，
，
又点在椭圆的内部，所以.
故选：D.
题型3求椭圆的离心率
11.椭圆的右焦点为，存在直线与椭圆交于两点，使得为等腰直角三角形，则椭圆的离心率
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意得在等腰直角三角形中有，而，，由此可得关于的关系式，消去整理后可得关于的方程，解方程可得所求．
【详解】由题得当时，为等腰直角三角形，
所以，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
又，
∴．
故选B．
【点睛】解得本题时注意以下几点：（1）对形状的判定，分清两直角边分别是谁；（2）解题中注意应用一些常见的结论，以简化运算，如在本题中过焦点垂直于长轴的弦长（即通径长）为；（3）注意椭圆离心率的取值范围．
12.已知椭圆的左焦点为，上关于原点对称的两点、满足，若的最小值为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义，可得，推出，再结合，得，即可得解．
【详解】解：设椭圆的右焦点为，连接，，
因为，由椭圆的对称性知，四边形为矩形，所以，

由椭圆的定义知，，所以，
在中，，所以，
而，所以，即，
所以离心率．
故选：D．
13.已知椭圆的右焦点为F，过F作倾斜角为的直线l交该椭圆上半部分于点P，以FP，FO（O为坐标原点）为邻边作平行四边形，点Q恰好也在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出点P的坐标，由给定条件及椭圆的对称性可得点Q的坐标，再借助斜率坐标公式求出点P的坐标即可求解作答.
【详解】设点，，中，，而点P，Q均在椭圆上，由椭圆对称性得，
令椭圆半焦距为c，，由得：，解得，
而，因此，即，又，则，
整理得，而，则有，解得，
所以该椭圆的离心率为.
故选：B
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见求法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
14.已知椭圆C：的左右焦点为，，直线与椭圆C相交于P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意设椭圆的右焦点，根据正弦定理即可求得a和c的关系，即可求得椭圆的离心率．
【详解】
设椭圆的右焦点，连接， ，由 根据平行四边形性质得到，由余弦定理定理，
由三边关系得到，
则

椭圆的离心率，
故选D．
【点睛】本题考查椭圆的性质，椭圆离心率的求法，考查转化思想，属于基础题．求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).
15.已知为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据焦点三角形（直角三角形）的已知角的正切可得斜边与两条直角边的比，从而得到椭圆的离心率.
【详解】设，因为，，所以，，
故．
故选：A．
【点睛】本题考查椭圆的离心率的计算，与焦点三角形有关的计算问题，注意利用椭圆的几何性质来处理，本题属于基础题．
【能力提升】
单选题
1.椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据椭圆方程求出，根据离心率公式可求得结果.
【详解】由椭圆可得，，所以，
所以，，
所以离心率.
故选：D
2.若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（ ）．
A．有相等的长轴长B．有相等的焦距
C．有相等的短轴长D．有相等的离心率
【答案】B
【分析】先确定两椭圆的长轴和短轴，计算其，比较即可.
【详解】因为，所以，所以椭圆中，，故A,C错误；椭圆的，椭圆的，故两椭圆相等，所以有相等的焦距，故B正确；离心率，两椭圆不相等，相等，显然离心率不一样，故D错误.
故选：B
3.椭圆的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据方程可得，且焦点在轴上，然后可得答案.
【详解】由椭圆的方程可得，且焦点在轴上，
所以，即，故焦点坐标为
故选：B
4.已知分别是椭圆的左，右焦点，点M是椭圆C上的一点，且的面积为1，则椭圆C的短轴长为（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【分析】首先分别设，，再根据椭圆的定义和性质列出等式，即可求解椭圆的短轴长.
【详解】设，，
所以，即，
即，得，短轴长为.
故选：B
5.在以A为直角顶点的中，，若一个椭圆通过两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在线段上，则这个椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】记椭圆另一个焦点为，利用椭圆的性质可得，又，易得是等腰直角三角形，求出，进而可得结论.
【详解】如图：
记椭圆另一个焦点为，在中，由，得 ，
由题意，可知，即，又，则是等腰直角三角形，
，即，故离心率为.
故选：B
6.已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则PQ＋PF的最大值为（ ）
A．3B．6
C．D．
【答案】D
【分析】由椭圆的定义结合题意可得，即可求出PQ＋PF的最大值.
【详解】圆M：的圆心为，
设椭圆的左焦点为，如下图，由椭圆的定义知，，
所以，所以
，
当且仅当三点在一条直线上时取等，
，，，.
故选：D．
7.如图，椭圆与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，点P是过左焦点F1且垂直x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB//OP，则椭圆的焦距为（ ）
A．B．
C．1D．2
【答案】D
【分析】根据题意可得，利用两点的坐标求出直线BA、PO的斜率、，根据可得，化简计算即可.
【详解】由题意知，，则点，
所以直线BA的斜率为，直线PO的斜率为，
由，得，所以，即，
又，所以，所以焦距为.
故选：D
8.已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且，O为坐标原点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由向量加法的平行四边形法则及可证得，从而在中易得到的关系．得离心率．
【详解】如图，取中点，连接，则，
∴，
∵，∴，∴，
∵，不妨设，则，
∴，，
又，
∴，
∴，∴．
故选：A.
【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是由得出，从而可快速得到的关系．
多选题
9.已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为B．的坐标为
C．椭圆的离心率为D．存在点P，使得
【答案】AC
【分析】由椭圆标准方程可得基本量，从而可求离心率，故可判断ABC的正误，根据的大小关系可判断D的正误.
【详解】椭圆的焦点在轴上，，则短轴长为，A正确；
的坐标为，B错误；离心率为，C正确；
因为，故以原点为圆心，为半径的圆与椭圆没有交点，
故不存在点P，使得，D错误，
故选：AC.
10.已知，是椭圆的两个焦点，过的斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为B．存在点A使得
C．若，则D．OP与AB的斜率满足
【答案】BC
【分析】对于A，由椭圆的方程求出，从而可求出，进而可求出离心率；对于B，设，表示出，由求出的值，则说明；对于C，利用椭圆的定义判断；对于D，设直线为，将直线方程与椭圆方程联方程组，消去，利用根与系数的关系结合中点坐标公式表示出点的坐标，从而可求出直线的斜率，进而可求得的值，进行判断
【详解】解：对于A，由可得，则，所以离心率为，所以A错误；
对于B，令,设，则，，若，则，解得，所以存在点A使得，所以B正确；
对于C，因为，,，所以，所以C正确；
对于D，设直线为，设，由，得，所以，，所以，所以，所以，所以D错误，
故选：BC
11.已知椭圆C：的左，右焦点分别是，，其中．直线l过左焦点与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．若存在，则的周长为4a
B．若AB的中点为M，则
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若的最小值为3c，则椭圆的离心率
【答案】AC
【分析】根据椭圆的定义判断A；用点差法判断B；先算出，进而根据A在椭圆上进行消元得到，然后结合椭圆的范围得到的范围，最后求出离心率的范围；根据的最小值为通径的长度求得答案.
【详解】对A，根据椭圆的定义的周长为，故A正确；
对B，设，则，所以，，
由，即，故B错误；
对C，，根据
，则，故C正确；
对D，容易知道，的最小值为通径长度，所以，整理为，即，两边同时除以，得，解得：，或（舍），所以椭圆的离心率，故D错误.
故选：AC.
12.我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A．2=2
B．
C．轴，且
D．四边形的内切圆过焦点，
【答案】BD
【分析】对每个命题如果是正确的求出各个命题所在的椭圆的离心率即可．
【详解】,由条件得到，即或（舍，解得：，所以不正确；
,若，则由射影定理可得：，
即，所以，即，，
解得；所以正确；
，若轴，如图可得，又，则斜率相等，所以，即，或，显然不符合，
所以，所以不正确；
，因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，
圆心到直线的距离等于，
因为直线的方程为：，即，所以原点到直线的距离，
由题意知：，又，整理得：，，，
解得，
所以，所以正确，
故选：．
填空题
13.已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且垂直于轴，若，则该椭圆的离心率为 ．
【答案】；
【详解】由题意，设 ，则在 中，，则该椭圆的离心率为 ，即答案为
14.椭圆的离心率是 .
【答案】
【解析】利用题目所给的标准方程，求出，然后求解，即可求解离心率.
【详解】解：椭圆的长半轴为，短半轴为，
则半焦距为，
所以椭圆的离心率为：，
故答案为：.
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，属于基础题型；解题方法是根据椭圆标准方程的性质分别逐步求出，然后再求出离心率；解题的关键点是根据求出离心率.
15.已知，是椭圆:（）的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 .
【答案】
【分析】求得直线AP的方程，根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率.
【详解】如图所示，

由题意知：，
直线AP的方程为，
由，
则
代入直线AP：，
整理得，
所求的椭圆离心率为.
故答案为：
【点睛】本题考查了椭圆的几何性质与直线方程的应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题.
16.已知椭圆的左顶点为A，左焦点为F，过F作x轴的垂线在x轴上方交椭圆于点B，若直线AB的斜率为，则该椭圆的离心率为 ．
【答案】/0.5
【分析】由题意设，，再由结合，即可得出答案.
【详解】由题意可得，，，
令椭圆中，解得：，
所以，而，则，
解得：.
故答案为：.
解答题
17.已知椭圆的离心率为，上顶点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知，，结合，即可求得椭圆E的方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及弦长公式，即可求得k的值．
【详解】（1）由离心率，则，
又上顶点，知，又，可知，，
∴椭圆E的方程为；
（2）设直线l：，设，，
则，整理得：，
，即，
∴，，
∴，
即，解得：或（舍去）
∴
18.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆的右焦点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程；
（2）首先求出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再根据计算可得；
【详解】（1）解：依题意，解得，所以椭圆方程为；
（2）解：依题意，过且斜率为的直线为，设、，则消去整理得，所以，，所以
19.设椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，且过点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l的方程为：，点A为椭圆在x轴正半轴上的顶点，过点A作，垂足为M，点B在椭圆上（不同于点A）且满足：，求直线l的斜率k.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意设椭圆的方程为且，代入点解方程即可得解；
（2）由题意可得直线AB的方程为，联立方程可得、，再由平面向量的知识即可得解.
【详解】（1）设椭圆的方程为且，
∵，在椭圆上，
∴，解之.
则椭圆的方程为；
（2）椭圆的右顶点A为，
由题可知0，直线，
则直线AB的方程为，
由可知，
由得，则，
∵，∴，即，
∵，∴，
∴.
【点睛】本题考查了椭圆方程的确定及直线与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力，合理转化、细心计算是解题关键，属于中档题.
20.已知椭圆的左，右焦点分别为､，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，若斜率为的直线与轴，椭圆顺次交于(P点在椭圆左顶点的左侧)且，求证：直线过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据离心率得到，再根据直线与圆相切，求出，从而有，进一步得到椭圆C的方程；
（2）由题意得，即，将直线，代入椭圆方程可得，通过韦达定理进一步化简从而得出结论.
【详解】（1）解：椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的离心率为，
即有，即，，
以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为，
直线与圆相切，则有，
即有，
则椭圆C的方程为；
（2）证明：设，，
由，可得直线和关于x轴对称，
即有，即，
即有，①
设直线，代入椭圆方程，
可得，
判别式，
即为②，，③，
，，
代入①可得，，
将③代入，化简可得，
则直线的方程为，即.
即有直线恒过定点.
【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，以及直线过定点的知识点，注意运用直线和圆相切的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题.