专题04 与特殊四边形有关问题的压轴题之三大题型(原卷及解析版)

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc9611" 【题型一 与矩形有关问题的压轴题】 PAGEREF _Tc9611 \h 1
\l "_Tc28020" 【题型二 与菱形有关问题的压轴题】 PAGEREF _Tc28020 \h 28
\l "_Tc6459" 【题型三 与正方形形有关问题的压轴题】 PAGEREF _Tc6459 \h 36
【典型例题】
【题型一 与矩形有关问题的压轴题】
例题：（2023·广东深圳·一模）综合与探究
在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上的点F处．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，当，且时，求的长；
(3)如图③，延长，与的角平分线交于点M，交于点N，当时，请直接写出的值．
【变式训练】
1．（2023·广东深圳·模拟预测）问题背景：如图（1），在矩形中，过作于，交于，图中与相似的三角形有多个，试写出其中一个三角形并证明．
尝试运用：如图（2），在四边形中，，点为上一点，过点作交的延长线于点，交于点，求证：．
拓展创新：如图（3），在四边形中，，，，点，分别在边，上，连接，．若，求的值．

2．（2023·广东深圳·中考真题）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，
①若，过作交于点，求证：；
②若时，则______．

（2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．

（3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．

3．（2023·广东深圳·三模）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．证明：；

（2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点，且，．在矩形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．若，求的长；

（3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形．在绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．

4．（2023·广东深圳·二模）（1）如图，在正方形中，、分别为、边上的点且，延长至使得，延长交于点，求证：；
（2）如图，在矩形中，，，将绕点顺时针旋转至，且点落在上，求的值；
（3）如图，在四边形中，，，，，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值．

5．（2023·广东深圳·三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：
(1)【观察与猜想】如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为______；
(2)如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，，则的值为______；
(3)【证明与理解】如图3，在矩形中，，，，求的值；
(4)【知识点应用】如图4，在中，，，，将沿翻折后得到，点在边上，点在边上，，求的值．

6．（2023·广东深圳·二模）【课本再现】把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则______；
【迁移应用】如图2，在正方形中，是边上一点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，求证：；
【拓展延伸】在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点．
①线段与的数量关系是_____________________．
②若，是的三等分点，则的面积为____________________．
【题型二 与菱形有关问题的压轴题】
例题：（2023·广东深圳·三模）在菱形中，，点是平面内一动点，以为边作等边，其中，，按逆时针方向排列．
(1)如图①，当点在线段上，点在菱形内部时，连接，则线段与的数量关系是 ；与的夹角度数是 ；
(2)如图②，当点在线段上，点在菱形外部时，连接，求证：；
(3)如图③，当点在线段的延长线上时，连接，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系： ．
【变式训练】
1．（2023·广东深圳·模拟预测） 在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形中，为锐角，为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点．
(1)【观察发现】与是什么位置关系？
(2)【思考表达】连接，判断与 是否相等，并说明理由；
(3)如图（2），延长交于点，连接，请探究的度数，并说明理由；
(4)【综合运用】如图（3），当 时，连接，延长交于点，连接，请写出，，之间的数量关系，并说明理由．
2．（2023·广东深圳·一模）(1)如图1，纸片中，，，过点A作，垂足为E，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，则四边形的形状为 ．（从以下选项中选取）
A．正方形 B ．菱形 C．矩形
(2)如图2，在（1）中的四边形纸片中，在上取一点F，使， 剪下，将它平移至的位置，拼成四边形．
①求证：四边形是菱形；
②连接，求的值．
【题型三 与正方形形有关问题的压轴题】
例题：（2023·广东深圳·模拟预测）【问题发现】
（1）在一次小组合作探究课上，老师将正方形和正方形按如图所示的位置摆放，连接和，请直接写出线段与的数量关系______ ，位置关系______ ；

【类比探究】
（2）若将“正方形和正方形改成“矩形和矩形，且矩形矩形，，，如图，点、、三点共线，点在线段上时，若，求的长．

【拓展延伸】
（3）若将正方形和正方形改成菱形和菱形，且菱形∽菱形如图，，，平分，点在射线上，在射线上截取，使得，连接，，当时，直接写出的长．

【变式训练】
1．（2023·广东深圳·三模）中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾．年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理．
问题发现：
如图①，若直角三角形的直角边，斜边，则中间小正方形的边长______，连接，的面积为______．
知识迁移：
如图②，是正方形内一点，连接，，，当，时，的面积为______．
拓展延伸：
如图③，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交射线，分别于，两点．
（1）已知为线段上一个动点，连接，过点作，垂足为点；在上取一点，使；过点作交于点，试判断三条线段，，之间的数量关系，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，若为射线上一个动点，为射线上一点；当，时，直接写出线段的长．

2．（2023·广东深圳·二模）如图1，正方形和的边在同一条直线上，且，取的中点M，连接．

(1)试证明，并求=___________．
(2)如图2，将图1中的正方形变为菱形，设，其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值；若无变化，说明理由．
(3)如图，已知菱形菱形，且，菱形绕点B旋转过程中，取EF的中点M，作，求证：是直角三角形并求出的值．
3．（2023·广东深圳·三模）折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．

(1)操作判断：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部的点M处，把纸片展平，过M作交、、于点E、F、N，连接并延长交于点Q，连接，如图①，当E为中点时，是___________三角形，___________；
(2)迁移探究：如图②，若，且，求正方形的边长．
(3)拓展应用：如图③，若（），直接写出的值为___________．