人教版八年级数学上册同步精品课堂知识清单第2课时全等三角形的判定(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册同步精品课堂知识清单第2课时全等三角形的判定(原卷版+解析)，共63页。

知识点一：全等三角形的判定：
特别提示：在写全等三角形的数学语言时，等号左边写“≌”左边三角形的条件，等号右边写“≌”右边三角形的条件。并且条件的顺序必须和判定条件顺序一致。
方法总结：
【类型一：补充证全等条件】
1．如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝DEB．AE＝DB
C．∠A＝∠DEFD．∠ABC＝∠D
2．如图，在△ABC和△BAD中，AC＝BD，要使△ABC≌△BAD，则需要添加的条件是（ ）
第2题 第3题
A．∠BAD＝∠ABCB．∠BAC＝∠ABDC．∠DAC＝∠CBDD．∠C＝∠D
3．如图，BC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（ ）
A．AC＝ADB．∠ABC＝∠ABDC．∠CAB＝∠DABD．∠C＝∠D＝90°
4．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AD＝CF，要使△ABC≌△DEF，则下列条件可以添加的是（ ）
第4题 第5题 第7题
A．∠B＝∠EB．∠A＝∠EDFC．AC＝DFD．BC∥EF
5．如图，已知AB＝AE，∠EAB＝∠DAC，添加一个条件后，仍无法判定△AED≌△ABC的是（ ）
A．AD＝ACB．∠E＝∠BC．ED＝BCD．∠D＝∠C
6．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等
C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等
7．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，添加一个条件，不能使得Rt△ABC≌Rt△DCB的是（ ）
A．AB＝DCB．AC＝DBC．∠ABC＝∠DCBD．BC＝BD
8．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（ ）
A．AD＝CBB．∠A＝∠C
C．BD＝DBD．AB＝CD
【类型二：证明三角形全等】
9．请将以下推导过程补充完整．
如图，点C在线段AB上，AD∥BE，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
求证：△DCF≌△ECF
证明：∵AD∥BE
∴∠A＝∠B
在△ACD和△BEC中
∴△ACD≌△BEC（ ）
∴CD＝CE（ ）
∵CF平分∠DCE
∴
在△DCF和△ECF中
∴△DCF≌△ECF（SAS）
10．如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．求证：△ABC≌△CDE．
11．如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，求证：△ABC≌△DEF．
12．如图，点D在线段BC上，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE：求证：△ABC≌△ADE．
13．天使是美好的象征，她的翅膀就像一对全等三角形．如图AD与BC相交于点O，且AB＝CD，AD＝BC．
求证：△ABO≌△CDO．
14．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，DE∥AC，且DE＝BC，AC＝BD．求证：△ABC≌△BED．
15．如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．
求证：△ABC≌△DEC．
16．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF．
17．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2．
18．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF．
19．如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．
【类型三：全等三角形的判定与性质】
20．如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，∠FAC＝40°，则∠BFE＝（ ）
第20题 第21题
A．35°B．40°C．45°D．50°
21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．21B．24C．27D．30
22．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（ ）
第22题 第23题
A．3B．5C．6D．7
23．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
24．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．
（1）求证：AB＝FE；（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．
25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）连结AE，当AE⊥BF，BC＝2，AD＝1时，求AB的长．
26．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．
（1）求证：BC＝DC；
（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．
【类型四：全等三角形的应用】
27．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离．那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（ ）
第27题 第28题
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
28．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ）
A．带①②去B．带②③去C．带③④去D．带②④去
29．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 cm．
第29题 第30题
30．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝a，EF＝b，圆形容器的壁厚是（ ）
A．aB．bC．b﹣aD．（b﹣a）
一、选择题（10题）
1．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
第1题 第2题 第3题
A．105°B．120°C．115°D．135°
2．如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（ ）
A．∠ABC＝∠ABDB．∠BAC＝∠BADC．AC＝ADD．AC＝BC
3．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．
A．①B．②C．③D．①和②
4．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）
A．∠C＝90°，AB＝6B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．AB＝5，BC＝3D．∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝4
5．如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是（ ）
A．ASAB．SSSC．AASD．SAS
6．如图，已知∠EAC＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：
①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠D．
其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（ ）
第7题 第8题
A．BD＞CDB．BD＜CDC．BD＝CDD．不能确定
8．如图，AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（ ）分钟后，△CAP与△PQB全等．
A．2B．3C．4D．8
9．把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为（ ）
第9题 第10题
A．4cmB．6cmC．8cmD．求不出来
10．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB＝∠COD＝α，直线AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB＝α，④OM平分∠BOC，其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（6题）
11．如图，线段AB，CD相交于点O，AO＝BO，添加一个条件，能使△AOC≌△BOD，所添加的条件的是 ．
12．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ ．
第12题 第14题
13．在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，则BC边上的中线AD的取值范围是 ．
14．在直角三角形中，存在斜边的平方等于两条直角边的平方的和。如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为 ．
15．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝20cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比为2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则AC的长度为 cm．
第15题 第16题
16．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，则①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③∠AOB＝60°；④DN＝AM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有 ．
三、解答题（4题）
17．如图，AC与BD交于点O，连接AB、AD、BC，∠D＝∠C．
（1）要使△ABD≌△BAC，只需添加一个条件是 ．
（2）根据（1）中你所添加的条件，你能说明△ABD与△BAC全等吗？
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD＝DE，AC＝CD．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BA延长线上一点，DE⊥BC交BC的延长线于点E，点F为AC延长线上一点，FH⊥BC交BC的延长线于点H，且FH＝DE．
（1）△BDE与△CFH全等吗？为什么？
（2）连接DF交BH于点P，若BC＝6，求PH的长．
20．为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下的两种方案：
方案①如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长；
方案②如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A、C、E三点在一条直线上，则测出DE的长即是AB的距离．
问：（1）方案①是否可行？请说明理由；
（2）方案②是否可行？请说明理由；
（3）小明说在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要 就可以了，请把小明所说的条件补上．
判定方法
内容
数学语言
图形表示
注意点
边边边（SSS）
三边分别相等的两个三角形全等。可简写为“边边边”或“SSS”
在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF
边角边（SAS）
两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。可简写为“边角边”或“SAS”
在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF
用“边角边（SAS）判定全等时，角一定是两边的夹角，否则不能判定全等。在写条件的时候角必须写在中间。
角边角（ASA）
两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等。可简写为“角边角”或“ASA”
在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF
用“角边角（ASA）判定全等时，边是两角的夹边，在书写的过程中需把边写在中间
角角边（AAS）
两角以及其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等。可简写为“角角边”或“AAS”
在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF
用“角角边（AAS）判定全等时，边是其中一个角的对边，与边相对的角写在最前，边写在最后。
斜边、直角边（HL）
在直角三角形中，斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。可简写为“斜边、直角边”或“HL”
在Rt△ABC与Rt△DEF中：
∴Rt△ABC≌Rt△DEF
用“斜边与直角边（HL）”判定全等只能在直角三角形中应用，且一定是斜边加任意的直角边
第二课时——全等三角形的判定（答案卷）
知识点一：全等三角形的判定：
特别提示：在写全等三角形的数学语言时，等号左边写“≌”左边三角形的条件，等号右边写“≌”右边三角形的条件。并且条件的顺序必须和判定条件顺序一致。
方法总结：
【类型一：补充证全等条件】
1．如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝DEB．AE＝DB
C．∠A＝∠DEFD．∠ABC＝∠D
【分析】先根据平行线的性质得到∠A＝∠D，加上AC＝DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵AC∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AC＝DF，
∴当添加∠C＝∠F时，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF；
当添加∠ABC＝∠DEF时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；
当添加AB＝DE时，即AE＝BD，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF．
故选：B．
2．如图，在△ABC和△BAD中，AC＝BD，要使△ABC≌△BAD，则需要添加的条件是（ ）
A．∠BAD＝∠ABCB．∠BAC＝∠ABDC．∠DAC＝∠CBDD．∠C＝∠D
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵AC＝BD，AB＝BA
∴当添加∠BAC＝∠ABD时，可根据“SAS”判定△ABC≌△BAD．
故选：B．
3．如图，BC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（ ）
A．AC＝ADB．∠ABC＝∠ABDC．∠CAB＝∠DABD．∠C＝∠D＝90°
【分析】要判定△ABC≌△ABD，已知BC＝BD，AB是公共边，具备了两组边对应相等，故添加AC＝AD、∠ABC＝∠ABD、∠C＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ABD，而添加∠CAB＝∠DAB后则不能．
【解答】解：A、添加AC＝AD，根据SSS，能判定△ABC≌△ABD，故A选项不符合题意；
B、添加∠ABC＝∠ABD，根据SAS，能判定△ABC≌△ABD，故B选项不符合题意；
C、添加∠CAB＝∠DAB，SSA不能判定△ABC≌△ABD，故C选项符合题意；
D、添加∠C＝∠D＝90°时，根据HL，能判定△ABC≌△ABD，故D选项不符合题意；
故选：C．
4．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AD＝CF，要使△ABC≌△DEF，则下列条件可以添加的是（ ）
A．∠B＝∠EB．∠A＝∠EDFC．AC＝DFD．BC∥EF
【分析】根据AD＝CF求出AC＝DF，根据平行线的性质求出∠F＝∠BCA，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵AD＝CF，
∴AD+CD＝CF+CD，
即AC＝DF，
A．AC＝DF，AB＝DE，∠B＝∠E不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AC＝DF，∠A＝∠EDF，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
C．AC＝DF，AB＝DE，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∵BC∥EF，
∴∠F＝∠BCA，
AC＝DF，AB＝DE，∠F＝∠BCA不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．如图，已知AB＝AE，∠EAB＝∠DAC，添加一个条件后，仍无法判定△AED≌△ABC的是（ ）
A．AD＝ACB．∠E＝∠BC．ED＝BCD．∠D＝∠C
【分析】根据∠EAB＝∠DAC求出∠EAD＝∠BAC，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵∠EAB＝∠DAC，
∴∠EAB+∠BAD＝∠DAC+∠BAD，
∴∠EAD＝∠BAC，
A．AB＝AE，∠EAD＝∠BAC，AD＝AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△AED≌△ABC，故本选项不符合题意；
B．∠E＝∠B，AB＝AE，∠EAD＝∠BAC，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△AED≌△ABC，故本选项不符合题意；
C．AB＝AE，ED＝BC，∠EAD＝∠BAC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△AED≌△ABC，故本选项符合题意；
D．∠D＝∠C，∠EAD＝∠BAC，AB＝AE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△AED≌△ABC，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等
B．一个锐角和斜边对应相等
C．两条直角边对应相等
D．一条直角边和斜边对应相等
【分析】根据SAS，AAS，ASA，SSS，HL，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、两个锐角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故A符合题意；
B、一个锐角和斜边对应相等，利用AAS可以判定两个直角三角形全等，故B不符合题意；
C、两条直角边对应相等，利用SAS可以判定两个直角三角形全等，故C不符合题意；
D、一条直角边和斜边对应相等，利用HL可以判定两个直角三角形全等，故D不符合题意；
故选：A．
7．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，添加一个条件，不能使得Rt△ABC≌Rt△DCB的是（ ）
A．AB＝DCB．AC＝DBC．∠ABC＝∠DCBD．BC＝BD
【分析】根据直角三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，
∴当添加AB＝CD或AC＝DB时，可根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DCB；
当添加∠ABC＝∠DCB时，可根据“AAS”判定Rt△ABC≌Rt△DCB．
故选：D．
8．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（ ）
A．AD＝CBB．∠A＝∠CC．BD＝DBD．AB＝CD
【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
A．AD＝CB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项符合题意；
B．∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理AAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；
C．∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项不符合题意；
D．AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理SAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；
故选：A．
【类型二：证明三角形全等】
9．请将以下推导过程补充完整．
如图，点C在线段AB上，AD∥BE，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
求证：△DCF≌△ECF
证明：∵AD∥BE
∴∠A＝∠B
在△ACD和△BEC中
∴△ACD≌△BEC（ ）
∴CD＝CE（ ）
∵CF平分∠DCE
∴
在△DCF和△ECF中
∴△DCF≌△ECF（SAS）
【分析】根据平行线性质得出∠A＝∠B，根据SAS证△ACD≌△BEC，推出DC＝CE，再证明△DCF和△ECF全等即可．
【解答】证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BEC（SAS），
∴CD＝CE（全等三角形的对应边相等），
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCF＝∠ECF，
在△DCF和△ECF中，
，
∴△DCF≌△ECF（SAS）．
故答案为：AC＝BE，SAS，全等三角形的对应边相等，∠DCF＝∠ECF，∠DCF＝∠ECF．
10．如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．求证：△ABC≌△CDE．
【分析】根据一线三垂直模型利用AAS证明△ABC≌△CDE即可．
【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°，
∴∠BCA＝∠DEC，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
11．如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，求证：△ABC≌△DEF．
【分析】根据线段的和差得到AB＝DE，由平行线的性质得到∠A＝∠EDF，根据全等三角形的判定定理证得结论．
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，
即AB＝DE，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠EDF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
12．如图，点D在线段BC上，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE：求证：△ABC≌△ADE．
【分析】根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠B＝∠ADB＝∠ADE，求出∠BAC＝∠DAE，再根据全等三角形的判定定理ASA推出即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADB＝∠ADE，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∴∠B＝∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
13．天使是美好的象征，她的翅膀就像一对全等三角形．如图AD与BC相交于点O，且AB＝CD，AD＝BC．
求证：△ABO≌△CDO．
【分析】连接BD，先利用“SSS”证明△ABD≌△CDB得∠A＝∠C，再结合∠AOB＝∠COD，利用“AAS”证明△ABO≌△CDO．
【解答】证明：如图，连接BD，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠A＝∠C，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（AAS）．
14．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，DE∥AC，且DE＝BC，AC＝BD．求证：△ABC≌△BED．
【分析】根据平行线的性质得出∠D＝∠ACB，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠D＝∠ACB，
在△ABC和△BED中，
，
∴△ABC≌△BED（SAS）．
15．如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．
求证：△ABC≌△DEC．
【分析】根据∠BCE＝∠ACD求出∠ACB＝∠DCE，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
【解答】证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
16．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF．
【分析】根据垂直定义求出∠ACB＝∠EFD＝90°，根据BF＝CD求出BC＝DF，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
【解答】解：∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴∠ACB＝∠EFD＝90°，
∵BF＝CD，
∴BF+CF＝CD+CF，
即BC＝DF，
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SAS）．
17．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2．
【分析】要证角相等，可先证明全等．即证Rt△ABC≌Rt△ADC，进而得出角相等．
【解答】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC与△ACD为直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∵AB＝AD，AC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠1＝∠2．
18．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF．
【分析】先根据直角三角形全等的判定方法证得Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），则BC＝EF，即CE＝BF．
【解答】证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
∴BC＝EF．
∴BC﹣BE＝EF﹣BE．
即：CE＝BF．
19．如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．
【分析】连接BD，由直角三角形全等的“HL“判定定理证得Rt△ABD≌Rt△CBD，根据全等三角形的性质得到AD＝CD，再由直角三角形全等的“HL“判定定理即可证得Rt△ADE≌Rt△CDF．
【解答】解：连接BD，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），
∴AD＝CD，
∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，
∴∠E＝∠F＝90°，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．
【类型三：全等三角形的判定与性质】
20．如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，∠FAC＝40°，则∠BFE＝（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△AEF，可得∠C＝∠AFE，由外角的性质可求解．
【解答】解：在△ABC和△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠C＝∠AFE，
∵∠AFB＝∠FAC+∠C＝∠AFE+∠EFB，
∴∠BFE＝∠FAC＝40°，
故选：B．
21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．21B．24C．27D．30
【分析】在AB上截取BE＝BC，由“SAS”可证△CBD≌△EBD，可得∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB，可证∠ADE＝∠AED，可得AD＝AE，即可求解．
【解答】解：如图，在AB上截取BE＝BC，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△CBD和△EBD中，
，
∴△CBD≌△EBD（SAS），
∴∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB，
∵∠C＝2∠CDB，
∴∠CDE＝∠DEB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴△ABC的周长＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27，
故选：C．
22．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（ ）
A．3B．5C．6D．7
【分析】只要证明△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝4，BF＝DE＝3，推出AD＝AF+DF＝4+（3﹣2）＝5；
【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE＝4，BF＝DE＝3，
∵EF＝2，
∴AD＝AF+DF＝4+（3﹣2）＝5，
故选：B．
23．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，
故选：D．
24．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．
（1）求证：AB＝FE；
（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．
【分析】（1）先根据角平分线的定义得出∠ACB＝∠FCE，再根据全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠FCE，进而利用直角三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】证明：（1）∵CB为∠ACE的角平分线，
∴∠ACB＝∠FCE，
在△ABC与△FEC中，
，
∴△ABC≌△FEC（AAS），
∴AB＝FE；
（2）∵AB∥CE，
∴∠B＝∠FCE，
∴∠E＝∠B＝∠FCE＝∠ACB，
∵ED⊥AC，即∠CDE＝90°，
∴∠E+∠FCE+∠ACB＝90°，
即3∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）连结AE，当AE⊥BF，BC＝2，AD＝1时，求AB的长．
【分析】（1）由“AAS”可证△DAE≌△CFE；
（2）由全等三角形的性质可得BE＝EF，BC＝DF，由中垂线的性质可得AB＝AF，可得结论；
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠F＝∠EBC，∠FDE＝∠C，
∵点E为CD的中点，
∴ED＝EC，
在△FDE和△BEC中，
，
∴△FDE≌△BEC（AAS）；
（2）∵△FDE≌△BEC，
∴BE＝EF，BC＝DF，
∵AE⊥BF，
∴AB＝AF，
∴AB＝AF＝AD+DF＝AD+BC＝1+2＝3，
∴AB的长为3．
26．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．
（1）求证：BC＝DC；
（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．
【分析】（1）根据ASA证明△BCA≌△DCE，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵∠BCE＝∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA，
即∠BCA＝∠DCE，
在△BCA和△DCE中，
，
∴△BCA≌△DCE（ASA），
∴BC＝DC；
（2）∵△BCA≌△DCE，
∴∠B＝∠D＝15°，
∵∠A＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝140°．
【类型四：全等三角形的应用】
27．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离．那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【分析】由题意知AC＝DC，BC＝EC，由于∠ACB＝∠DCE，根据“SAS”即可证明△ABC≌△DEC．
【解答】解：由题意知CD＝CA，CE＝CB，
在△DCE和△ABC中，
，
∴△DCE≌△ABC（SAS）．
故选：B．
28．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ）
A．带①②去B．带②③去C．带③④去D．带②④去
【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【解答】解：A、带①②去，符合ASA判定，选项符合题意；
B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
故选：A．
29．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 cm．
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
故答案是：20．
30．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝a，EF＝b，圆形容器的壁厚是（ ）
A．aB．bC．b﹣aD．（b﹣a）
【分析】连接AB，只要证明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解决问题．
【解答】解：连接AB．
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD＝a，
∵EF＝b，
∴圆柱形容器的壁厚是（b﹣a），
故选：D．
一、选择题（10题）
1．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．105°B．120°C．115°D．135°
【分析】首先证明△ABC≌△AEF，然后证明∠1+∠3＝90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠2＝45°，进而可得答案．
【解答】解：∵在△ABC和△AEF中，，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠4＝∠3，
∵∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵AD＝MD，∠ADM＝90°，
∴∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°，
故选：D．
2．如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（ ）
A．∠ABC＝∠ABDB．∠BAC＝∠BADC．AC＝ADD．AC＝BC
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∵∠ABC＝∠ABD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；
B．∵∠BAC＝∠BAD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；
C．∵∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故本选项符合题意；
D．根据∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝BC不能推出Rt△ABC≌Rt△ABD，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．
A．①B．②C．③D．①和②
【分析】此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．
故选：C．
4．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）
A．∠C＝90°，AB＝6B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．AB＝5，BC＝3D．∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝4
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：A、当∠C＝90°，AB＝6，可根据全等三角形的判定方法判断三角形不唯一，所以A选项不符合题意；
B、当AB＝6，BC＝3，∠A＝30°，可根据全等三角形的判定方法判断三角形不唯一，所以B选项不符合题意；
C、当AB＝6，BC＝3，可根据全等三角形的判定方法，判断三角形不唯一，所以C选项不符合题意；
D、当∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝4，可根据全等三角形的判定方法判断三角形唯一，所以D选项符合题意．
故选：D．
5．如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是（ ）
A．ASAB．SSSC．AASD．SAS
【分析】先根据垂直的定义得到∠ABC＝∠EDC＝90°，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得AB⊥BC，DE⊥CD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵CD＝BC，∠ACB＝∠ECD，
∴根据“ASA”可判断△EDC≌△ABC．
故选：A．
6．如图，已知∠EAC＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：
①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠D．
其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】先根据∠EAC＝∠BAD得到∠BAC＝∠EAD，根据“SAS”对①进行判断；根据“ASA”对③进行判断；根据全等三角形的判定方法对②④进行判断．
【解答】解：∵∠EAC＝∠BAD，
∴∠EAC+∠BAE＝∠BAD+∠BAE，即∠BAC＝∠EAD，
当AB＝AE时，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS）；
当BC＝ED时，不能判断△ABC≌△AED．
当∠C＝∠D时，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（ASA）；
当∠B＝∠D，而AC＝AD，所以∠B与∠D不是对应角，所以不能判断△ABC≌△AED．
故选：C．
7．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（ ）
A．BD＞CDB．BD＜CDC．BD＝CDD．不能确定
【分析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断AB＝AC，又AD＝AD，AD⊥BC，所以△ABD≌△ACD，所以BD＝CD．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
由AB＝AC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（HL），
∴BD＝CD．
故选：C．
8．如图，AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（ ）分钟后，△CAP与△PQB全等．
A．2B．3C．4D．8
【分析】设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，分两种情况：①若BP＝AC，则x＝4，此时AP＝BQ，△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP，则12﹣x＝x，得出x＝6，BQ＝12≠AC，即可得出结果．
【解答】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；
则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，
分两种情况：
①若BP＝AC，则x＝4，
∴AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP＝AP，则12﹣x＝x，
解得：x＝6，BQ＝12≠AC，
此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；
故选：C．
9．把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．求不出来
【分析】利用互余关系找两个三角形对应角相等，根据等腰直角三角形找对应边相等，两个对应直角相等，判断三角形全等，从而AE＝BD，AD＝CE，DE＝AE+AD＝BD+CE＝3+5＝8．
【解答】解：∵∠CEA＝∠ADB＝∠CAB＝90°，
∴∠ECA+∠EAC＝∠EAC+∠DAB＝∠DAB+∠DBA＝90°，
∠ECA＝∠DAB，∠EAC＝∠DBA，
又AC＝AB，
∴△AEC≌△BAD，
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE＝3+5＝8．
故选：C．
10．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB＝∠COD＝α，直线AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB＝α，④OM平分∠BOC，其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OAM＝∠OBM，AC＝BD，①②正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，得出∠AMB＝∠AOB＝α，③正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，则∠OGA＝∠OHB＝90°，即可判定△OAG≌△OBH，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得∠AMO＝∠DMO，假设OM平分∠BOC，则可求出∠AOM＝∠DOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故④错误；即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝α，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，
即∠OAM＝∠OBM，
故①②正确；
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，
∵∠OAC＝∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝α，
故③正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
在△OAG和△OBH中，
，
∴△OAG≌△OBH（AAS），
∴OG＝OH，
∵△AOC≌△BOD，
∴OG＝OH，
∴MO平分∠AMD，
∴∠AMO＝∠DMO，
假设OM平分∠BOC，则∠BOM＝∠COM，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOM＝∠COD+∠COM，
即∠AOM＝∠DOM，
在△AMO与△DMO中，
，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴OA＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故④错误；
正确的个数有3个；
故选：B．
二、填空题（6题）
11．如图，线段AB，CD相交于点O，AO＝BO，添加一个条件，能使△AOC≌△BOD，所添加的条件的是 ．
【分析】添加CO＝DO，再加上条件AO＝BO，对顶角∠AOC＝∠BOD，然后利用SAS判定△AOC≌△BOD即可．
【解答】解：添加CO＝DO，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
故答案为：CO＝DO（答案不唯一）．
12．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ ．
【分析】求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
13．在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，则BC边上的中线AD的取值范围是 ．
【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根据三角形的三边关系定理求出即可．
【解答】解：如图，延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC，
根据三角形的三边关系定理：4﹣3＜AE＜4+3，
∴0.5cm＜AD＜3.5cm，
故答案为：0.5cm＜AD＜3.5cm．
14．在直角三角形中，存在斜边的平方等于两条直角边的平方的和。如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为 ．
【分析】根据已知及全等三角形的判定可得到△ABC≌△CDE，从而得到c的面积＝b的面积﹣a的面积．
【解答】解：∵∠ACB+∠ECD＝90°，∠DEC+∠ECD＝90°，
∴∠ACB＝∠DEC，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴BC＝DE，
由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝AB2+DE2，则b的面积＝a的面积+c的面积，
∴c的面积＝b的面积﹣a的面积＝13﹣5＝8．
故答案为：8．
15．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝20cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比为2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则AC的长度为 cm．
【分析】设BM＝2t，则BN＝3t，使△ACM与△BMN全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况：
情况一：当BM＝AC，BN＝AM时，列方程解得t，可得AC；
情况二：当BM＝AM，BN＝AC时，列方程解得t，可得AC．
【解答】解：设BM＝2t，则BN＝3t，因为∠A＝∠B＝90°，使△ACM与△BMN全等，可分两种情况：
情况一：当BM＝AC，BN＝AM时，
∵BN＝AM，AB＝20，
∴3t＝20﹣2t，
解得：t＝4，
∴AC＝BM＝2t＝2×4＝8；
情况二：当BM＝AM，BN＝AC时，
∵BM＝AM，AB＝20，
∴2t＝20﹣2t，
解得：t＝5，
∴AC＝BN＝3t＝3×5＝15，
综上所述，AC＝8或AC＝15．
故答案为：8或15．
16．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，则①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③∠AOB＝60°；④DN＝AM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有 ．
【分析】易证△ACE≌△DCB，可得①正确；即可求得∠AOB＝120°，可得③错误；再证明△ACM≌△DCN，可得②④正确和CM＝CN，即可证明⑤正确；即可解题．
【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝60°，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠BDC＝∠EAC，DB＝AE，①正确；
∠CBD＝∠AEC，
∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠DBC，
∴∠AOB＝180°﹣∠AEC﹣∠OAB＝120°，③错误；
在△ACM和△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴AM＝DN，④正确；
∠AMC＝∠DNC，②正确；
CM＝CN，
∵∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形，⑤正确；
故答案为：①②④⑤．
三、解答题（4题）
17．如图，AC与BD交于点O，连接AB、AD、BC，∠D＝∠C．
（1）要使△ABD≌△BAC，只需添加一个条件是 ．
（2）根据（1）中你所添加的条件，你能说明△ABD与△BAC全等吗？
【分析】（1）根据题意，可以条件OA＝OB即可；
（2）先证明△AOD≌△BOC（AAS），从而可得BD＝AC，∠OAB＝∠OBA，根据ASA证明△ABD≌△BAC即可．
【解答】（1）可以添加一个条件：OA＝OB，
故答案为：OA＝OB（答案不唯一）；
（2）在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（AAS），
∴OD＝OC，
∵OA＝OB，
∴BD＝AC，∠OAB＝∠OBA，
在△ABD和△BAC中，
，
∴△ABD≌△BAC（ASA）．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD＝DE，AC＝CD．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．
【分析】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE；
（2）得出AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，求出AC＝5，则AE可求出．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝DE，AC＝CD，
∴∠AED＝∠DAE＝∠ADC，
∴∠C+∠2＝∠B+∠1，
∴∠1＝∠2，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABD≌△DCE，
∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，
∵AC＝AB＝5，
∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BA延长线上一点，DE⊥BC交BC的延长线于点E，点F为AC延长线上一点，FH⊥BC交BC的延长线于点H，且FH＝DE．
（1）△BDE与△CFH全等吗？为什么？
（2）连接DF交BH于点P，若BC＝6，求PH的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，进一步可得∠ABC＝∠FCH，根据AAS即可证明△BDE≌△CFH；
（2）根据全等三角形的性质可得EH＝6，再证明△DEP≌△FHP（AAS），即可求出PH的长．
【解答】解：（1））△BDE≌△CFH，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠FCH，
∴∠ABC＝∠FCH，
∵DE⊥BC，FH⊥BC，
∴∠BED＝∠CHF＝90°，
在△BED和△CHF中，
，
∴△BDE≌△CFH（AAS）；
（2）∵△BDE≌△CFH，
∴BE＝CH，
∴BC＝EH，
∵BC＝6，
∴EH＝6，
∵DE⊥BC，
∴∠DEP＝90°，
在△DEP和△FHP中，
，
∴△DEP≌△FHP（AAS），
∴EP＝PH＝3，
∴PH＝3．
20．为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下的两种方案：
方案①如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长；
方案②如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A、C、E三点在一条直线上，则测出DE的长即是AB的距离．
问：（1）方案①是否可行？请说明理由；
（2）方案②是否可行？请说明理由；
（3）小明说在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要 就可以了，请把小明所说的条件补上．
【分析】（1）根据SAS证明△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据ASA证明△ABC≌△EDC，进一步即可得证；
（3）只需要AB∥DE，此时∠ABC＝∠EDC，证明△ABC≌△EDC（ASA）即可得证．
【解答】解：（1）方案①可行，理由如下：
在△DCE和△ACB中，
，
∴△DCE≌△ACB（SAS），
∴DE＝AB，
∴方案①可行；
（2）方案②可行，理由如下：
∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴DE＝AB，
故方案②可行；
（3）只需要AB∥DE，此时∠ABC＝∠EDC，
证明步骤同（2），
故答案为：AB∥DE．
判定方法
内容
数学语言
图形表示
注意点
边边边（SSS）
三边分别相等的两个三角形全等。可简写为“边边边”或“SSS”
在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF
边角边（SAS）
两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。可简写为“边角边”或“SAS”
在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF
用“边角边（SAS）判定全等时，角一定是两边的夹角，否则不能判定全等。在写条件的时候角必须写在中间。
角边角（ASA）
两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等。可简写为“角边角”或“ASA”
在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF
用“角边角（ASA）判定全等时，边是两角的夹边，在书写的过程中需把边写在中间
角角边（AAS）
两角以及其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等。可简写为“角角边”或“AAS”
在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF
用“角角边（AAS）判定全等时，边是其中一个角的对边，与边相对的角写在最前，边写在最后。
斜边、直角边（HL）
在直角三角形中，斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。可简写为“斜边、直角边”或“HL”
在Rt△ABC与Rt△DEF中：
∴Rt△ABC≌Rt△DEF
用“斜边与直角边（HL）”判定全等只能在直角三角形中应用，且一定是斜边加任意的直角边