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人教版八年级数学上册同步精品课堂知识清单第1课时轴对称(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册同步精品课堂知识清单第1课时轴对称(原卷版+解析)，共53页。
知识点一：轴对称与轴对称图形的概念：
轴对称的概念：
如图，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这条直线 ，也称 ；这条直线叫做 。
△ABC沿直线MN对折，与△A’ B’ C’完全重合，则△ABC与△A’ B’ C’关于直线MN对称。MN是对称轴。
轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 ，则这个图形叫做
轴对称图形，这条直线叫做 ，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
常见的轴对称图形有圆，等腰三角形，正方形，矩形，菱形，角。
特别说明：轴对称是两个全等的图形的位置特点，而轴对称图形是一个图形的形状特点。轴对称只有一条对称轴，而轴对称图形有可能不止一条对称轴。
【类型一：轴对称的判断】
观察下图中各组图形，其中成轴对称的为 （只写序号）．
2．将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（ ）
A．B．C．D．
【类型二：轴对称图形的判断】
3．在数学符号“+，﹣，×，÷，≈，＝，＜，＞，⊥，≌，△，∥，（ ）”中，轴对称图形的个数是（ ）
A．9B．10C．11D．12
4．下列四个图案中，具有一个共有性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（ ）
A．6B．7C．8D．9
5．如图所示，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请依据轴对称的知识，写出这个单词所指的物品 ．
6．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（ ）
（1）F，R，P，J，L，G，（ ）
（2）H，I，O，（ ）
（3）N，S，（ ）
（4）B，C，K，E，（ ）
（5）V，A，T，Y，W，U，（ ）
A．Q，X，Z，M，DB．D，M，Q，Z，XC．Z，X，M，D，QD．Q，X，Z，D，M
【类型二：判断轴对称图形的对称轴条数】
7．如图，2022年北京冬奥会开幕式的“雪花”引导牌，体现了雪花图案与中国结纹样的巧妙结合，每一朵“雪花”都是轴对称图形，它的对称轴一共有（ ）
A．6条B．5条C．4条D．3条
8．正六边形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A．3条B．4条C．6条D．12条
9．下列图形中，对称轴只有一条的图形为（ ）
A．B．
C．D．
知识点一：轴对称与轴对称图形的性质：
成轴对称的两个图形 。轴对称图形对称轴两旁的部分 。
相关概念：
重合的点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 。
性质：
对应边 ，对应角也 。
对称轴 任意一组对应点的连线。所以对称轴是任意一组对应点连
线的 。
任意两组对应点连线相互 。
特别说明：对应边若不与对称轴平行，则交点一定在对称轴上。
【类型一：对性质理解】
10．如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
第10题 第11题 第12题
A．AC＝A1C1B．BO＝B1OC．CC1⊥MND．AB∥B1C1
11．如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，下列结论：（1）△ABC≌△A'B'C'；（2）∠BAC＝∠B'A'C'；（3）直线l垂直平分CC'；（4）直线l平分∠CAC'．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【类型一：利用性质求值】
12．如图，△ABC与△AED关于直线l对称，若∠B＝30°，∠C＝95°，则∠DAE＝（ ）
A．30°B．95°C．55°D．65°
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADE关于直线AD对称，点B的对称点是点E，则∠CAE的度数为（ ）
第13题 第14题
A．10°B．20°C．30°D．40°
14．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30°B．50°C．90°D．100°
15．如图，△ABC和△DEF关于直线l对称，已知∠A＝115°，∠E＝42°，DF＝5．求∠F的度数和AC的长．
知识点一：垂直平分线：
垂直平分线的定义：
经过线段的 且与线段 的直线是这条线段的垂直平分线。又叫中垂线。
垂直平分线的性质：
①垂直平分线 线段。则∠PCA＝∠PCB＝ ，
AC BC 。
②垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 。即PA PB。所以△PAB是等腰三角形。
在Rt△PAC与Rt△PBC中
∴Rt△PAC≌Rt△PBC
∴∠A ∠B；∠APC ∠BPC。
垂直平分线的判定：
到线段两端点距离相等的点一定在这条线断的 上。
【类型一：利用垂直平分线的性质求角度】
16．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，连接BE．若BE平分∠ABC，且∠A＝60°，则∠CED的度数为（ ）
第16题 第17题 第18题
A．60°B．55°C．50°D．45°
17．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，若∠CDE＝64°，∠A＝28°，则∠ABD的度数为（ ）
A．100°B．128°C．108°D．98°
18．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于点D和E，∠B＝70°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
19．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A＝50°，则∠BPC＝（ ）
A．50°B．100°C．130°D．150°
20．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝40°，则∠BAC的度数是（ ）
第20题 第21题
A．140°B．130°C．120°D．110°
21．如图，D是线段AC、AB的垂直平分线的交点，若∠CAD＝32°，∠ABD＝28°，则∠BCD的大小是（ ）
A．32°B．28°C．30°D．60°
【类型二：利用垂直平分线的性质求线段长度】
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若BE＝13，EC＝5，则AC的长为（ ）
第22题 第23题
A．5B．10C．12D．13
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE垂直平分线段AD于E，且CD平分∠BCE，AC＝8cm，则AB＝（ ）
A．10cmB．16cmC．24cmD．30cm
24．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为17cm，且△ABD的周长为11cm，则CE＝（ ）cm．
A．6B．3C．2D．1
25．如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的中垂线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，△BEG的周长为17，且GE＝1，则AC的长为（ ）
第25题 第26题
A．13B．14C．15D．16
【类型三：利用垂直平分线求三角形周长】
26．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC边的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD＝5，则△AEC的周长为（ ）
A．14B．12C．11D．19
27．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为30，BE＝5，则△ABD的周长为（ ）
第27题 第28题
A．10B．15C．20D．25
28．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E．若AD＝3，△ACE的周长为8，则△ABC的周长为（ ）
A．11B．13C．14D．19
29．如图，直线DE是△ABC边AC的垂直平分线，且与AC相交于点E，与AB相交于点D，连接CD，已知BC＝8cm，AB＝12cm，则△BCD的周长为（ ）
A．16cmB．18cmC．20cmD．22cm
30．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝5，AC＝8，BC＝10，则△AEF的周长为（ ）
A．5B．8C．10D．13
一、选择题（10题）
1．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，北京是唯一举办过夏季和冬季奥运会的城市，下列各图是选自北京冬奥会的图案，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
第2题 第3题
A．点PB．点QC．点MD．点N
3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝38°，点D在AB上，且点D与点B关于直线l对称，则∠ACD的度数为（ ）
A．10°B．14°C．38°D．52°
4．如图，AD是△ABC的高，线段AE与线段AB关于AD对称，若∠B＝35°，∠CAE＝40°，则∠BAC的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
5．入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）
A．减小40°B．增大40°C．减小20°D．不变
6．如图，平行线m，n间的距离为5，直线l与m，n分别交于点A，B，α＝45°，在m上取点P（不与点A重合），作点P关于l的对称点Q．若PA＝3，则点Q到n的距离为（ ）
第6题 第7题
A．2B．3C．2或8D．3或8
7．如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝4，则点P1、P2之间的距离可能是（ ）
A．0B．7C．9D．10
8．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（ ）
第8题 第9题 第10题
A．26B．20C．18D．14
9．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（ ）
A．40°B．44°C．48°D．52°
10．如图，∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点C，D分别是点P关于OA、OB的对称点，连接CD交OA、OB分别于点E，F；若△PEF的周长的为10，则线段OP＝（ ）
A．8B．9C．10D．11
一、填空题（6题）
11．在英文大写字母A、E、M、S、U、P中是轴对称图形的是 ．
12．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝34°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B'，当B'D∥AC时，则∠BCD的度数为 ．
第12题 第13题
13．如图，已知直线m是正五边形ABCDE的对称轴，且直线m过点D，直线m与对角线BE相交于点O，则∠AOE＝ 度．
14．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠BAC＝60°，则∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为 ．
第14题 第15题 第16题
15．如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝20，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF的周长为 ．
16．如图，点CD在线段AB的同侧，CA＝6，AB＝14，BD＝12，M为AB中点，∠CMD＝120°．则CD的最大值为 ．
一、解答题（4题）
17．如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于MN对称．
（1）A、B、C、D的对称点分别是 ，线段AD、AB的对应线段分别是 ，CD＝ ，∠CBA＝ ，∠ADC＝ ；
（2）连接AE、BF，AE与BF平行吗？为什么？
（3）对称轴MN与线段AE的关系？
18．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长是7．
（1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C＝60°，则∠DAE度数是多少？请说明理由．
19．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．
20．如图所示．点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F．
（1）若MN＝20cm，求△PEF的周长．
（2）若∠AOB＝35°，求∠EPF的度数．
第一课时——轴对称（答案卷）
知识点一：轴对称与轴对称图形的概念：
轴对称的概念：
如图，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形 重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线 对称 ，也称 轴对称 ；这条直线叫做 对称轴 。
△ABC沿直线MN对折，与△A’ B’ C’完全重合，则△ABC与△A’ B’ C’关于直线MN对称。MN是对称轴。
轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合 ，则这个图形叫做
轴对称图形，这条直线叫做 对称轴 ，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
常见的轴对称图形有圆，等腰三角形，正方形，矩形，菱形，角。
特别说明：轴对称是两个全等的图形的位置特点，而轴对称图形是一个图形的形状特点。轴对称只有一条对称轴，而轴对称图形有可能不止一条对称轴。
【类型一：轴对称的判断】
观察下图中各组图形，其中成轴对称的为 （只写序号）．
【分析】认真观察所给的图形，按照直线两旁的部分是否能够互相重合来判断是否符合要求．
【解答】解：3中的伞把不对称，故填①②④
故填①②④
2．将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（ ）
A．B．C．D．
【分析】认真观察图形，首先找出对称轴，根据轴对称图形的定义可知只有C是符合要求的．
【解答】解：观察选项可得：只有C是轴对称图形．
故选：C．
【类型二：轴对称图形的判断】
3．在数学符号“+，﹣，×，÷，≈，＝，＜，＞，⊥，≌，△，∥，（ ）”中，轴对称图形的个数是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【分析】根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出．
【解答】解：轴对称图形有：+，﹣，×，÷，＝，＜，＞，⊥，△，（ ）共10个．
故选：B．
4．下列四个图案中，具有一个共有性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】题目中的四个图形都是轴对称图形，据此即可作出判断．
【解答】解：四个图形都是轴对称图形，在6，7，8，9中是轴对称图形的只有8．
故选：C．
5．如图所示，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请依据轴对称的知识，写出这个单词所指的物品 ．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，解答即可．
【解答】解：根据轴对称的知识，这个单词是bk，
这个单词所指的物品是书，
故答案为：书
6．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（ ）
（1）F，R，P，J，L，G，（ ）
（2）H，I，O，（ ）
（3）N，S，（ ）
（4）B，C，K，E，（ ）
（5）V，A，T，Y，W，U，（ ）
A．Q，X，Z，M，DB．D，M，Q，Z，XC．Z，X，M，D，QD．Q，X，Z，D，M
【分析】分析各组的对称性与字母D、M、Q、X、Z，的对称性，即可作出判断．
【解答】解：（1）不是对称图形，5个子母中不是对称图形的只有：Q，Z；
（2）有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X；
（3）是中心对称图形，则规律相同的是：Z；
（4）是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D；
（5）是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M．
故各个空，顺序依次为：Q，X，Z，D，M．
故选：D．
【类型二：判断轴对称图形的对称轴条数】
7．如图，2022年北京冬奥会开幕式的“雪花”引导牌，体现了雪花图案与中国结纹样的巧妙结合，每一朵“雪花”都是轴对称图形，它的对称轴一共有（ ）
A．6条B．5条C．4条D．3条
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：如图所示：
它的对称轴一共有6条，
故选：A．
8．正六边形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A．3条B．4条C．6条D．12条
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：正六边形是轴对称图形，它的对称轴有6条．
故选：C．
9．下列图形中，对称轴只有一条的图形为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A．有无数条对称轴，故此选项不合题意；
B．有2条对称轴，故此选项不合题意；
C．有1条对称轴，故此选项符合题意；
D．有3条对称轴，故此选项不合题意．
故选：C．
知识点一：轴对称与轴对称图形的性质：
成轴对称的两个图形 全等 。轴对称图形对称轴两旁的部分 全等 。
相关概念：
重合的点叫做 对应点 ，重合的边叫做 对应边 ，重合的角叫做 对应角 。
性质：
对应边 相等 ，对应角也 相等 。
对称轴 垂直且平分 任意一组对应点的连线。所以对称轴是任意一组对应点连
线的 垂直平分线 。
任意两组对应点连线相互 平行 。
特别说明：对应边若不与对称轴平行，则交点一定在对称轴上。
【类型一：对性质理解】
10．如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AC＝A1C1B．BO＝B1OC．CC1⊥MND．AB∥B1C1
【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，
∴AC＝A1C1，BO＝B1O，CC1⊥MN，
故选项A、B、C正确，不符合题意；
AB∥B1C1不一定成立，
故选项D错误，符合题意；
故选：D．
11．如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，下列结论：（1）△ABC≌△A'B'C'；（2）∠BAC＝∠B'A'C'；（3）直线l垂直平分CC'；（4）直线l平分∠CAC'．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据成轴对称的两个图形能够完全重合可得△ABC和△AB′C′全等，然后对各小题分析判断后解可得到答案．
【解答】解：∵△ABC和△AB′C′关于直线l对称，
∴（1）△ABC≌△A'B'C'；
（2）∠BAC＝∠B'A'C'；
（3）直线l垂直平分CC'；
（4）直线l平分∠CAC'．
综上所述，正确的结论有4个，
故选：D．
【类型一：利用性质求值】
12．如图，△ABC与△AED关于直线l对称，若∠B＝30°，∠C＝95°，则∠DAE＝（ ）
A．30°B．95°C．55°D．65°
【分析】根据轴对称的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
【解答】解：∵△ABC与△AED关于直线l对称，
∴△ABC≌△ED，
∴∠DAE＝∠BAC，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣95°＝55°，
∴∠DAE＝55°．
故选：C．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADE关于直线AD对称，点B的对称点是点E，则∠CAE的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【分析】求出∠C，∠AED，利用三角形的外角的性质求解即可．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠ABC＝90°，
∴∠C＝90°﹣50°＝40°，
∵AD⊥BC，△ADB与△ADE关于直线AD对称，
∴∠AED＝∠B＝50°，
∵∠AED＝∠C+∠CAE，
∴∠CAE＝50°﹣40°＝10°，
故选：A．
14．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30°B．50°C．90°D．100°
【分析】先根据△ABC和△A′B′C′关于直线l对称得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出∠C＝∠C′，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故选：D．
15．如图，△ABC和△DEF关于直线l对称，已知∠A＝115°，∠E＝42°，DF＝5．求∠F的度数和AC的长．
【分析】根据轴对称的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC和△DEF关于直线l对称，∠A＝115°，∠E＝42°，DF＝5，
∴∠D＝115°，AC＝5，
在△DEF中，∠D＝115°，∠E＝42°，
∴∠F＝23°．
知识点一：垂直平分线：
垂直平分线的定义：
经过线段的 中点 且与线段 垂直 的直线是这条线段的垂直平分线。又叫中垂线。
垂直平分线的性质：
①垂直平分线 垂直且平分 线段。则∠PCA＝∠PCB＝ 90°，
AC ＝ BC 。
②垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。即PA ＝ PB。所以△PAB是等腰三角形。
在Rt△PAC与Rt△PBC中
∴Rt△PAC≌Rt△PBC
∴∠A ＝ ∠B；∠APC ＝ ∠BPC。
垂直平分线的判定：
到线段两端点距离相等的点一定在这条线断的 垂直平分线 上。
【类型一：利用垂直平分线的性质求角度】
16．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，连接BE．若BE平分∠ABC，且∠A＝60°，则∠CED的度数为（ ）
A．60°B．55°C．50°D．45°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，得到∠EBC＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠C，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABE，
∴∠EBC＝∠C＝∠ABE，
∴∠A+3∠C＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠C＝40°，
∴∠CED＝90°﹣∠C＝50°，
故选：C．
17．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，若∠CDE＝64°，∠A＝28°，则∠ABD的度数为（ ）
A．100°B．128°C．108°D．98°
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质结合三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴BD＝DC，
∴∠BDE＝∠CDE＝64°，
∴∠ADB＝180°﹣64°﹣64°＝52°，
∵∠A＝28°，
∴∠ABD＝180°﹣28°﹣52°＝100°．
故选：A．
18．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于点D和E，∠B＝70°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，得到∠DAC＝∠C＝25°，计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝25°，
则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣25°＝85°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝25°，
∴∠BAD＝85°﹣25°＝60°，
故选：B．
19．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A＝50°，则∠BPC＝（ ）
A．50°B．100°C．130°D．150°
【分析】连接AP，延长BP交AC于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，根据三角形外角的性质即可求出∠BPC．
【解答】解：连接AP，延长BP交AC于D，
∴∠BPC＝∠PDC+∠ACP＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，
∵点P是AB，AC的垂直平分线的交点，
∴PA＝PB＝PC，
∴∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，
∴∠BPC＝∠BAC+∠BAP+∠CAP＝∠BAC+∠BAC＝2∠BAC＝2×50°＝100°，
故选B．
20．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝40°，则∠BAC的度数是（ ）
A．140°B．130°C．120°D．110°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C+∠B，根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，同理，∠GAC＝∠C，计算即可．
【解答】解：设∠BAC＝α，
∴∠C+∠B＝180°﹣α，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝180°﹣α，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝α﹣（180°﹣α）＝40°，
∴α＝110°，
∴∠BAC＝110°，
故选：D．
21．如图，D是线段AC、AB的垂直平分线的交点，若∠CAD＝32°，∠ABD＝28°，则∠BCD的大小是（ ）
A．32°B．28°C．30°D．60°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠CAD＝32°，∠DAB＝∠DBA＝28°，由三角形的内角和定理得到∠ADC＝116°，∠ADB＝124°，于是得到结论．
【解答】解：∵D是线段AC、AB的垂直平分线的交点，
∴DA＝DB＝DC，
∴∠ACD＝∠CAD＝32°，∠DAB＝∠DBA＝28°，
∴∠ADC＝116°，∠ADB＝124°，
∴∠CDB＝120°，
∴∠BCD＝（180°﹣120°）＝30°，
故选：C．
【类型二：利用垂直平分线的性质求线段长度】
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若BE＝13，EC＝5，则AC的长为（ ）
A．5B．10C．12D．13
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出EA，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵ED垂直平分AB，BE＝13，
∴EA＝BE＝13，
由勾股定理得：AC＝＝＝12，
故选：C．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE垂直平分线段AD于E，且CD平分∠BCE，AC＝8cm，则AB＝（ ）
A．10cmB．16cmC．24cmD．30cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CA＝CD，根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠DCE，求出∠ABC＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵CE垂直平分线段AD，
∴CA＝CD，
∵CE⊥AD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD＝∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCE＝∠BCD＝30°，
∴∠ACD＝60°，
∵CA＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝16cm，
故选：B．
24．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为17cm，且△ABD的周长为11cm，则CE＝（ ）cm．
A．6B．3C．2D．1
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AE＝CE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AE＝CE，
∵△ABC的周长为17cm，
∴AB+BC+AC＝17cm，
∵△ABD的周长为11cm，
∴AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝11cm，
∴AC＝17﹣11＝6（cm），
∴CE＝3cm，
故选：B．
25．如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的中垂线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，△BEG的周长为17，且GE＝1，则AC的长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【分析】利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为17，
∴EB+GB+EG＝17，
∴EA+GC+EG＝17，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝17，
∴AC+2EG＝17，
∵EG＝1，
∴AC＝15，
故选：C．
【类型三：利用垂直平分线求三角形周长】
26．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC边的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD＝5，则△AEC的周长为（ ）
A．14B．12C．11D．19
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得BE＝CE，再利用三角形的周长公式计算可求解．
【解答】解：∵DE垂直平分线段BC，
∴BE＝EC，
∵AB＝8，AC＝6，
∴△AEC的周长为：AE+CE+AC＝AB+AC＝8+6＝14，
故选：A．
27．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为30，BE＝5，则△ABD的周长为（ ）
A．10B．15C．20D．25
【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明△ABD的周长＝AB+AC即可解决问题．
【解答】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，
∴DB＝DC，BE＝EC．
∵BE＝5，
∴BC＝2BE＝10．
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC＝30．
∴AB+AC＝20．
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝20，
故选：C．
28．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E．若AD＝3，△ACE的周长为8，则△ABC的周长为（ ）
A．11B．13C．14D．19
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，AB＝2AD＝6，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，AB＝2AD＝6，
∵△ACE的周长为8，
∴AC+CE+EA＝8，
∴AC+CE+EB＝AC+CB＝8，
∴△ABC的周长＝AC+CB+AB＝8+6＝14，
故选：C．
29．如图，直线DE是△ABC边AC的垂直平分线，且与AC相交于点E，与AB相交于点D，连接CD，已知BC＝8cm，AB＝12cm，则△BCD的周长为（ ）
A．16cmB．18cmC．20cmD．22cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，求出△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+AB，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵直线DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∵BC＝8cm，AB＝12cm，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD
＝BC+AD+BD
＝BC+AB
＝8+12
＝20（cm），
故选：C．
30．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝5，AC＝8，BC＝10，则△AEF的周长为（ ）
A．5B．8C．10D．13
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵EG是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
同理，FA＝FC，
∴△AEF的周长＝EA+EF+FA＝EB+EF+FC＝BC＝10，
故选：C．
一、选择题（10题）
1．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，北京是唯一举办过夏季和冬季奥运会的城市，下列各图是选自北京冬奥会的图案，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
2．如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的位置即可．
【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P，
∵2022÷6＝337，
∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的第6次反弹，
∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P，
故选：A．
3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝38°，点D在AB上，且点D与点B关于直线l对称，则∠ACD的度数为（ ）
A．10°B．14°C．38°D．52°
【分析】先求出∠B，再根据轴对称的性质，求出∠CDB＝∠B＝52°，用三角形外角等于不相邻的两个内角和列方程，即可解得答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝38°，
∴∠B＝52°，
∵点D与点B关于直线l对称，
∴∠CDB＝∠B＝52°，
∵∠CDB＝∠ACD+∠A，
∴52°＝∠ACD+38°，
∴∠ACD＝14°，
故选：B．
4．如图，AD是△ABC的高，线段AE与线段AB关于AD对称，若∠B＝35°，∠CAE＝40°，则∠BAC的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【分析】先根据轴对称的性质得出∠B＝∠E＝35°，再根据三角形的内角和定理得出∠BAE＝110°，最后根据∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE得出结论．
【解答】解：∵线段AE与线段AB关于AD对称，AD是△ABC的高，
∴∠B＝∠E＝35°，
∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∵∠CAE＝40°，
∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝110°﹣40°＝70°，故选：A．
5．入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）
A．减小40°B．增大40°C．减小20°D．不变
【分析】要知道入射角和反射角的概念：入射光线与法线的夹角，反射角是反射光线与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角．
【解答】解：入射光线与平面镜的夹角是40°，所以入射角为90°﹣40°＝50°．
根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50°，所以入射光线与反射光线的夹角是100°．
入射角减小20°，变为50°﹣20°＝30°，所以反射角也变为30°，此时入射光线与法线的夹角为40°．
则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小40°．
故选：A．
6．如图，平行线m，n间的距离为5，直线l与m，n分别交于点A，B，α＝45°，在m上取点P（不与点A重合），作点P关于l的对称点Q．若PA＝3，则点Q到n的距离为（ ）
A．2B．3C．2或8D．3或8
【分析】分两种情况讨论：当点P在点A左侧时，当点P在点A右侧时，分别依据轴对称的性质进行计算，即可得到点Q到n的距离．
【解答】解：如图①，当点P在点A左侧时，作点P关于l的对称点Q，连接AQ．
由轴对称，得QA＝PA＝3，∠PAQ＝2α＝90°，
故点Q到n的距离为5﹣3＝2；
同理，如图②，当点P在点A右侧时，点Q到n的距离为5+3＝8．
综上所述，点Q到n的距离为2或8．
故选：C．
7．如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝4，则点P1、P2之间的距离可能是（ ）
A．0B．7C．9D．10
【分析】由对称得OP1＝OP＝4，OP＝OP2＝4，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．
【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，如图：
∵点P关于直线AB，CD的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝4，OP＝OP2＝4，
∵OP1+OP2＞P1P2，
∴0＜P1P2＜8，故选：B．
8．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（ ）
A．26B．20C．18D．14
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，BC＝2BE＝8，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，
∵△ABC的周长为22，
∴AB+BC+AC＝22，
∴AB+AC＝14，
∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，
故选：D．
9．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（ ）
A．40°B．44°C．48°D．52°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，结合图形计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝114°，
则∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°，
∵EG是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理：∠FAC＝∠C，
∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝66°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝114°﹣66°＝48°，
故选：C．
10．如图，∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点C，D分别是点P关于OA、OB的对称点，连接CD交OA、OB分别于点E，F；若△PEF的周长的为10，则线段OP＝（ ）
A．8B．9C．10D．11
【分析】首先根据对称性得出△DOC是等边三角形，进而得出答案．
【解答】解：连接OD，OC，
∵∠AOB＝30°；点D、C分别是点P关于直线OA、OB的对称点，
∴∠DOC＝60°，DO＝OP＝OC，PF＝DF，PE＝CE，
∴△DOC是等边三角形，
∵△PEF的周长的为10，
∴OP＝10．
故选：C．
一、填空题（6题）
11．在英文大写字母A、E、M、S、U、P中是轴对称图形的是 ．
【分析】根据轴对称图形的概念对各字母分析判断．
【解答】解：英文大写字母A、E、M、S、U、P中是轴对称图形的是：A、E、M、U．
故答案为：A、E、M、U．
12．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝34°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B'，当B'D∥AC时，则∠BCD的度数为 ．
【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B＝34°，再利用平行线的性质得∠ADB′＝∠A＝38°，接着根据轴对称的性质得到∠CDB′＝∠CDB，则可出∠CDB的度数，然后利用三角形内角和计算出∠BCD的度数．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝34°，
∵B′D∥AC，
∴∠ADB′＝∠A＝34°，
∵点B关于直线CD的对称点为B′，
∴∠CDB′＝∠CDB＝（34°+180°）＝107°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣34°﹣107°＝39°．
故答案为：39°．
13．如图，已知直线m是正五边形ABCDE的对称轴，且直线m过点D，直线m与对角线BE相交于点O，则∠AOE＝ 度．
【分析】首先求得正五边形的内角的度数，然后根据边长相等求得∠AEB＝∠ABE＝36°，在根据对称的性质得到∠OAB＝∠OBA＝36°，最后根据∠AOE＝∠OAB+∠OBA计算即可．
【解答】解：∵ABCDE是正五边形，
∴∠EAB＝108°，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝36°，
∵直线m垂直平分线段AB，
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝36°，
∴∠AOE＝∠OAB+∠OBA＝72°，
故答案为：72；
14．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠BAC＝60°，则∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，根据角平分线的性质得到∠ABP＝∠PBC，进而得到∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵直线l为BC的中垂线，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∵直线m为∠ABC的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBC，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，
∵∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，
∴3∠ABP+∠BAC+∠ACP＝180°，
∴3∠ABP+60°+24°＝180°，
∴∠ABP＝32°，
故答案为：32°．
15．如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝20，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF的周长为 ．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出DE、根据勾股定理求出AE，根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，AD是角平分线，
∴∠DAE＝30°，
在Rt△DAE中，AD＝20，∠DAE＝30°，
∴DE＝AD＝10，
由勾股定理得：AE＝＝10，
∵AD的垂直平分线交AC于点F，
∴FA＝FD，
∴△DEF的垂直＝DE+EF+FD＝DE+EF+FA＝DE+AE＝10+10，
故答案为：10+10．
16．如图，点CD在线段AB的同侧，CA＝6，AB＝14，BD＝12，M为AB中点，∠CMD＝120°．则CD的最大值为 ．
【分析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．
【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝6+7+12＝25，
∴CD的最大值为25，
故答案为25．
一、解答题（4题）
17．如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于MN对称．
（1）A、B、C、D的对称点分别是 ，线段AD、AB的对应线段分别是 ，CD＝ ，∠CBA＝ ，∠ADC＝ ；
（2）连接AE、BF，AE与BF平行吗？为什么？
（3）对称轴MN与线段AE的关系？
【分析】（1）根据图形写出对称点和对应线段即可；
（2）对称图形的对应点的连线平行，据此求解；
（3）根据“对应点的连线被对称轴垂直平分”求解；
【解答】解：（1）A、B、C、D的对称点分别是E，F，G，H，线段AD、AB的对应线段分别是EF，EH，CD＝GH，∠CBA＝∠GFE，∠ADC＝∠EHG；
故答案为：E，F，G，H；EF，EH；GH；∠GFE；∠EHG．
（2）AE∥BF，根据对应点的连线互相平行或共线，这里不共线，所以平行；
（3）对称轴垂直平分AE．根据对称轴垂直平分对称点的连线．
18．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长是7．
（1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C＝60°，则∠DAE度数是多少？请说明理由．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长为7，
∴DA+DE+EA＝7，
∴BC＝DA+DE+EC＝7；
（2）∠DAE度数是60°，
理由如下：∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵∠B+∠C＝60°，
∴∠ADE+∠AED＝2∠B+2∠C＝120°，
∴∠DAE＝180°﹣120°＝60°．
19．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝EC，AB＝AE，等量代换证明结论；
（2）根据三角形的周长公式得到AB+BC+AC＝14cm，根据AB＝EC，BD＝DE计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴AB＝EC；
（2）解：∵△ABC的周长为14cm，
∴AB+BC+AC＝14（cm），
∵AC＝6cm，
∴AB+BC＝8（cm），
∵AB＝EC，BD＝DE，
∴DC＝DE+EC＝（AB+BC）＝4（cm）．
20．如图所示．点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F．
（1）若MN＝20cm，求△PEF的周长．
（2）若∠AOB＝35°，求∠EPF的度数．
【分析】（1）根据轴对称的性质得出ME＝PE，NF＝PF，再由MN＝20cm即可得出结论；
（2）要求∠EPF的度数，要在△EPF中进行，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质找出与∠MPN的关系，利用已知∠AOB＝35°可求出∠EPF，答案可得
【解答】解：（1）∵点M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，
∴ME＝PE，NF＝PF，MN＝20cm，
∴ME+EF+NF＝PE+EF+PF＝MN＝20cm，即△PEF的周长是20cm．
（2）如图，
∵点M、N分别是点P关于直线0A、OB的对称点，
∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，
∴∠PRE＝∠PTF＝90°，
∴在四边形OTPR中，
∴∠MPN+∠AOB＝180°，
∵∠EPF+2∠M+2∠N＝180°，
即∠MPN+∠M+∠N＝180°，
∴∠M+∠N＝∠AOB＝35°
∴∠EPF＝180°﹣35°×2＝110°．
知识点一：轴对称与轴对称图形的概念：
轴对称的概念：
如图，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这条直线 ，也称 ；这条直线叫做 。
△ABC沿直线MN对折，与△A’ B’ C’完全重合，则△ABC与△A’ B’ C’关于直线MN对称。MN是对称轴。
轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 ，则这个图形叫做
轴对称图形，这条直线叫做 ，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
常见的轴对称图形有圆，等腰三角形，正方形，矩形，菱形，角。
特别说明：轴对称是两个全等的图形的位置特点，而轴对称图形是一个图形的形状特点。轴对称只有一条对称轴，而轴对称图形有可能不止一条对称轴。
【类型一：轴对称的判断】
观察下图中各组图形，其中成轴对称的为 （只写序号）．
2．将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（ ）
A．B．C．D．
【类型二：轴对称图形的判断】
3．在数学符号“+，﹣，×，÷，≈，＝，＜，＞，⊥，≌，△，∥，（ ）”中，轴对称图形的个数是（ ）
A．9B．10C．11D．12
4．下列四个图案中，具有一个共有性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（ ）
A．6B．7C．8D．9
5．如图所示，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请依据轴对称的知识，写出这个单词所指的物品 ．
6．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（ ）
（1）F，R，P，J，L，G，（ ）
（2）H，I，O，（ ）
（3）N，S，（ ）
（4）B，C，K，E，（ ）
（5）V，A，T，Y，W，U，（ ）
A．Q，X，Z，M，DB．D，M，Q，Z，XC．Z，X，M，D，QD．Q，X，Z，D，M
【类型二：判断轴对称图形的对称轴条数】
7．如图，2022年北京冬奥会开幕式的“雪花”引导牌，体现了雪花图案与中国结纹样的巧妙结合，每一朵“雪花”都是轴对称图形，它的对称轴一共有（ ）
A．6条B．5条C．4条D．3条
8．正六边形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A．3条B．4条C．6条D．12条
9．下列图形中，对称轴只有一条的图形为（ ）
A．B．
C．D．
知识点一：轴对称与轴对称图形的性质：
成轴对称的两个图形 。轴对称图形对称轴两旁的部分 。
相关概念：
重合的点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 。
性质：
对应边 ，对应角也 。
对称轴 任意一组对应点的连线。所以对称轴是任意一组对应点连
线的 。
任意两组对应点连线相互 。
特别说明：对应边若不与对称轴平行，则交点一定在对称轴上。
【类型一：对性质理解】
10．如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
第10题 第11题 第12题
A．AC＝A1C1B．BO＝B1OC．CC1⊥MND．AB∥B1C1
11．如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，下列结论：（1）△ABC≌△A'B'C'；（2）∠BAC＝∠B'A'C'；（3）直线l垂直平分CC'；（4）直线l平分∠CAC'．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【类型一：利用性质求值】
12．如图，△ABC与△AED关于直线l对称，若∠B＝30°，∠C＝95°，则∠DAE＝（ ）
A．30°B．95°C．55°D．65°
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADE关于直线AD对称，点B的对称点是点E，则∠CAE的度数为（ ）
第13题 第14题
A．10°B．20°C．30°D．40°
14．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30°B．50°C．90°D．100°
15．如图，△ABC和△DEF关于直线l对称，已知∠A＝115°，∠E＝42°，DF＝5．求∠F的度数和AC的长．
知识点一：垂直平分线：
垂直平分线的定义：
经过线段的 且与线段 的直线是这条线段的垂直平分线。又叫中垂线。
垂直平分线的性质：
①垂直平分线 线段。则∠PCA＝∠PCB＝ ，
AC BC 。
②垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 。即PA PB。所以△PAB是等腰三角形。
在Rt△PAC与Rt△PBC中
∴Rt△PAC≌Rt△PBC
∴∠A ∠B；∠APC ∠BPC。
垂直平分线的判定：
到线段两端点距离相等的点一定在这条线断的 上。
【类型一：利用垂直平分线的性质求角度】
16．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，连接BE．若BE平分∠ABC，且∠A＝60°，则∠CED的度数为（ ）
第16题 第17题 第18题
A．60°B．55°C．50°D．45°
17．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，若∠CDE＝64°，∠A＝28°，则∠ABD的度数为（ ）
A．100°B．128°C．108°D．98°
18．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于点D和E，∠B＝70°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
19．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A＝50°，则∠BPC＝（ ）
A．50°B．100°C．130°D．150°
20．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝40°，则∠BAC的度数是（ ）
第20题 第21题
A．140°B．130°C．120°D．110°
21．如图，D是线段AC、AB的垂直平分线的交点，若∠CAD＝32°，∠ABD＝28°，则∠BCD的大小是（ ）
A．32°B．28°C．30°D．60°
【类型二：利用垂直平分线的性质求线段长度】
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若BE＝13，EC＝5，则AC的长为（ ）
第22题 第23题
A．5B．10C．12D．13
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE垂直平分线段AD于E，且CD平分∠BCE，AC＝8cm，则AB＝（ ）
A．10cmB．16cmC．24cmD．30cm
24．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为17cm，且△ABD的周长为11cm，则CE＝（ ）cm．
A．6B．3C．2D．1
25．如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的中垂线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，△BEG的周长为17，且GE＝1，则AC的长为（ ）
第25题 第26题
A．13B．14C．15D．16
【类型三：利用垂直平分线求三角形周长】
26．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC边的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD＝5，则△AEC的周长为（ ）
A．14B．12C．11D．19
27．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为30，BE＝5，则△ABD的周长为（ ）
第27题 第28题
A．10B．15C．20D．25
28．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E．若AD＝3，△ACE的周长为8，则△ABC的周长为（ ）
A．11B．13C．14D．19
29．如图，直线DE是△ABC边AC的垂直平分线，且与AC相交于点E，与AB相交于点D，连接CD，已知BC＝8cm，AB＝12cm，则△BCD的周长为（ ）
A．16cmB．18cmC．20cmD．22cm
30．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝5，AC＝8，BC＝10，则△AEF的周长为（ ）
A．5B．8C．10D．13
一、选择题（10题）
1．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，北京是唯一举办过夏季和冬季奥运会的城市，下列各图是选自北京冬奥会的图案，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
第2题 第3题
A．点PB．点QC．点MD．点N
3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝38°，点D在AB上，且点D与点B关于直线l对称，则∠ACD的度数为（ ）
A．10°B．14°C．38°D．52°
4．如图，AD是△ABC的高，线段AE与线段AB关于AD对称，若∠B＝35°，∠CAE＝40°，则∠BAC的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
5．入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）
A．减小40°B．增大40°C．减小20°D．不变
6．如图，平行线m，n间的距离为5，直线l与m，n分别交于点A，B，α＝45°，在m上取点P（不与点A重合），作点P关于l的对称点Q．若PA＝3，则点Q到n的距离为（ ）
第6题 第7题
A．2B．3C．2或8D．3或8
7．如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝4，则点P1、P2之间的距离可能是（ ）
A．0B．7C．9D．10
8．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（ ）
第8题 第9题 第10题
A．26B．20C．18D．14
9．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（ ）
A．40°B．44°C．48°D．52°
10．如图，∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点C，D分别是点P关于OA、OB的对称点，连接CD交OA、OB分别于点E，F；若△PEF的周长的为10，则线段OP＝（ ）
A．8B．9C．10D．11
一、填空题（6题）
11．在英文大写字母A、E、M、S、U、P中是轴对称图形的是 ．
12．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝34°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B'，当B'D∥AC时，则∠BCD的度数为 ．
第12题 第13题
13．如图，已知直线m是正五边形ABCDE的对称轴，且直线m过点D，直线m与对角线BE相交于点O，则∠AOE＝ 度．
14．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠BAC＝60°，则∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为 ．
第14题 第15题 第16题
15．如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝20，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF的周长为 ．
16．如图，点CD在线段AB的同侧，CA＝6，AB＝14，BD＝12，M为AB中点，∠CMD＝120°．则CD的最大值为 ．
一、解答题（4题）
17．如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于MN对称．
（1）A、B、C、D的对称点分别是 ，线段AD、AB的对应线段分别是 ，CD＝ ，∠CBA＝ ，∠ADC＝ ；
（2）连接AE、BF，AE与BF平行吗？为什么？
（3）对称轴MN与线段AE的关系？
18．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长是7．
（1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C＝60°，则∠DAE度数是多少？请说明理由．
19．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．
20．如图所示．点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F．
（1）若MN＝20cm，求△PEF的周长．
（2）若∠AOB＝35°，求∠EPF的度数．
第一课时——轴对称（答案卷）
知识点一：轴对称与轴对称图形的概念：
轴对称的概念：
如图，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形 重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线 对称 ，也称 轴对称 ；这条直线叫做 对称轴 。
△ABC沿直线MN对折，与△A’ B’ C’完全重合，则△ABC与△A’ B’ C’关于直线MN对称。MN是对称轴。
轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合 ，则这个图形叫做
轴对称图形，这条直线叫做 对称轴 ，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
常见的轴对称图形有圆，等腰三角形，正方形，矩形，菱形，角。
特别说明：轴对称是两个全等的图形的位置特点，而轴对称图形是一个图形的形状特点。轴对称只有一条对称轴，而轴对称图形有可能不止一条对称轴。
【类型一：轴对称的判断】
观察下图中各组图形，其中成轴对称的为 （只写序号）．
【分析】认真观察所给的图形，按照直线两旁的部分是否能够互相重合来判断是否符合要求．
【解答】解：3中的伞把不对称，故填①②④
故填①②④
2．将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（ ）
A．B．C．D．
【分析】认真观察图形，首先找出对称轴，根据轴对称图形的定义可知只有C是符合要求的．
【解答】解：观察选项可得：只有C是轴对称图形．
故选：C．
【类型二：轴对称图形的判断】
3．在数学符号“+，﹣，×，÷，≈，＝，＜，＞，⊥，≌，△，∥，（ ）”中，轴对称图形的个数是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【分析】根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出．
【解答】解：轴对称图形有：+，﹣，×，÷，＝，＜，＞，⊥，△，（ ）共10个．
故选：B．
4．下列四个图案中，具有一个共有性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】题目中的四个图形都是轴对称图形，据此即可作出判断．
【解答】解：四个图形都是轴对称图形，在6，7，8，9中是轴对称图形的只有8．
故选：C．
5．如图所示，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请依据轴对称的知识，写出这个单词所指的物品 ．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，解答即可．
【解答】解：根据轴对称的知识，这个单词是bk，
这个单词所指的物品是书，
故答案为：书
6．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（ ）
（1）F，R，P，J，L，G，（ ）
（2）H，I，O，（ ）
（3）N，S，（ ）
（4）B，C，K，E，（ ）
（5）V，A，T，Y，W，U，（ ）
A．Q，X，Z，M，DB．D，M，Q，Z，XC．Z，X，M，D，QD．Q，X，Z，D，M
【分析】分析各组的对称性与字母D、M、Q、X、Z，的对称性，即可作出判断．
【解答】解：（1）不是对称图形，5个子母中不是对称图形的只有：Q，Z；
（2）有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X；
（3）是中心对称图形，则规律相同的是：Z；
（4）是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D；
（5）是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M．
故各个空，顺序依次为：Q，X，Z，D，M．
故选：D．
【类型二：判断轴对称图形的对称轴条数】
7．如图，2022年北京冬奥会开幕式的“雪花”引导牌，体现了雪花图案与中国结纹样的巧妙结合，每一朵“雪花”都是轴对称图形，它的对称轴一共有（ ）
A．6条B．5条C．4条D．3条
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：如图所示：
它的对称轴一共有6条，
故选：A．
8．正六边形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A．3条B．4条C．6条D．12条
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：正六边形是轴对称图形，它的对称轴有6条．
故选：C．
9．下列图形中，对称轴只有一条的图形为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A．有无数条对称轴，故此选项不合题意；
B．有2条对称轴，故此选项不合题意；
C．有1条对称轴，故此选项符合题意；
D．有3条对称轴，故此选项不合题意．
故选：C．
知识点一：轴对称与轴对称图形的性质：
成轴对称的两个图形 全等 。轴对称图形对称轴两旁的部分 全等 。
相关概念：
重合的点叫做 对应点 ，重合的边叫做 对应边 ，重合的角叫做 对应角 。
性质：
对应边 相等 ，对应角也 相等 。
对称轴 垂直且平分 任意一组对应点的连线。所以对称轴是任意一组对应点连
线的 垂直平分线 。
任意两组对应点连线相互 平行 。
特别说明：对应边若不与对称轴平行，则交点一定在对称轴上。
【类型一：对性质理解】
10．如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AC＝A1C1B．BO＝B1OC．CC1⊥MND．AB∥B1C1
【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，
∴AC＝A1C1，BO＝B1O，CC1⊥MN，
故选项A、B、C正确，不符合题意；
AB∥B1C1不一定成立，
故选项D错误，符合题意；
故选：D．
11．如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，下列结论：（1）△ABC≌△A'B'C'；（2）∠BAC＝∠B'A'C'；（3）直线l垂直平分CC'；（4）直线l平分∠CAC'．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据成轴对称的两个图形能够完全重合可得△ABC和△AB′C′全等，然后对各小题分析判断后解可得到答案．
【解答】解：∵△ABC和△AB′C′关于直线l对称，
∴（1）△ABC≌△A'B'C'；
（2）∠BAC＝∠B'A'C'；
（3）直线l垂直平分CC'；
（4）直线l平分∠CAC'．
综上所述，正确的结论有4个，
故选：D．
【类型一：利用性质求值】
12．如图，△ABC与△AED关于直线l对称，若∠B＝30°，∠C＝95°，则∠DAE＝（ ）
A．30°B．95°C．55°D．65°
【分析】根据轴对称的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
【解答】解：∵△ABC与△AED关于直线l对称，
∴△ABC≌△ED，
∴∠DAE＝∠BAC，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣95°＝55°，
∴∠DAE＝55°．
故选：C．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADE关于直线AD对称，点B的对称点是点E，则∠CAE的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【分析】求出∠C，∠AED，利用三角形的外角的性质求解即可．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠ABC＝90°，
∴∠C＝90°﹣50°＝40°，
∵AD⊥BC，△ADB与△ADE关于直线AD对称，
∴∠AED＝∠B＝50°，
∵∠AED＝∠C+∠CAE，
∴∠CAE＝50°﹣40°＝10°，
故选：A．
14．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30°B．50°C．90°D．100°
【分析】先根据△ABC和△A′B′C′关于直线l对称得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出∠C＝∠C′，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故选：D．
15．如图，△ABC和△DEF关于直线l对称，已知∠A＝115°，∠E＝42°，DF＝5．求∠F的度数和AC的长．
【分析】根据轴对称的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC和△DEF关于直线l对称，∠A＝115°，∠E＝42°，DF＝5，
∴∠D＝115°，AC＝5，
在△DEF中，∠D＝115°，∠E＝42°，
∴∠F＝23°．
知识点一：垂直平分线：
垂直平分线的定义：
经过线段的 中点 且与线段 垂直 的直线是这条线段的垂直平分线。又叫中垂线。
垂直平分线的性质：
①垂直平分线 垂直且平分 线段。则∠PCA＝∠PCB＝ 90°，
AC ＝ BC 。
②垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。即PA ＝ PB。所以△PAB是等腰三角形。
在Rt△PAC与Rt△PBC中
∴Rt△PAC≌Rt△PBC
∴∠A ＝ ∠B；∠APC ＝ ∠BPC。
垂直平分线的判定：
到线段两端点距离相等的点一定在这条线断的 垂直平分线 上。
【类型一：利用垂直平分线的性质求角度】
16．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，连接BE．若BE平分∠ABC，且∠A＝60°，则∠CED的度数为（ ）
A．60°B．55°C．50°D．45°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，得到∠EBC＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠C，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABE，
∴∠EBC＝∠C＝∠ABE，
∴∠A+3∠C＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠C＝40°，
∴∠CED＝90°﹣∠C＝50°，
故选：C．
17．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，若∠CDE＝64°，∠A＝28°，则∠ABD的度数为（ ）
A．100°B．128°C．108°D．98°
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质结合三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴BD＝DC，
∴∠BDE＝∠CDE＝64°，
∴∠ADB＝180°﹣64°﹣64°＝52°，
∵∠A＝28°，
∴∠ABD＝180°﹣28°﹣52°＝100°．
故选：A．
18．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于点D和E，∠B＝70°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，得到∠DAC＝∠C＝25°，计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝25°，
则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣25°＝85°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝25°，
∴∠BAD＝85°﹣25°＝60°，
故选：B．
19．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A＝50°，则∠BPC＝（ ）
A．50°B．100°C．130°D．150°
【分析】连接AP，延长BP交AC于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，根据三角形外角的性质即可求出∠BPC．
【解答】解：连接AP，延长BP交AC于D，
∴∠BPC＝∠PDC+∠ACP＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，
∵点P是AB，AC的垂直平分线的交点，
∴PA＝PB＝PC，
∴∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，
∴∠BPC＝∠BAC+∠BAP+∠CAP＝∠BAC+∠BAC＝2∠BAC＝2×50°＝100°，
故选B．
20．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝40°，则∠BAC的度数是（ ）
A．140°B．130°C．120°D．110°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C+∠B，根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，同理，∠GAC＝∠C，计算即可．
【解答】解：设∠BAC＝α，
∴∠C+∠B＝180°﹣α，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝180°﹣α，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝α﹣（180°﹣α）＝40°，
∴α＝110°，
∴∠BAC＝110°，
故选：D．
21．如图，D是线段AC、AB的垂直平分线的交点，若∠CAD＝32°，∠ABD＝28°，则∠BCD的大小是（ ）
A．32°B．28°C．30°D．60°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠CAD＝32°，∠DAB＝∠DBA＝28°，由三角形的内角和定理得到∠ADC＝116°，∠ADB＝124°，于是得到结论．
【解答】解：∵D是线段AC、AB的垂直平分线的交点，
∴DA＝DB＝DC，
∴∠ACD＝∠CAD＝32°，∠DAB＝∠DBA＝28°，
∴∠ADC＝116°，∠ADB＝124°，
∴∠CDB＝120°，
∴∠BCD＝（180°﹣120°）＝30°，
故选：C．
【类型二：利用垂直平分线的性质求线段长度】
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若BE＝13，EC＝5，则AC的长为（ ）
A．5B．10C．12D．13
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出EA，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵ED垂直平分AB，BE＝13，
∴EA＝BE＝13，
由勾股定理得：AC＝＝＝12，
故选：C．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE垂直平分线段AD于E，且CD平分∠BCE，AC＝8cm，则AB＝（ ）
A．10cmB．16cmC．24cmD．30cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CA＝CD，根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠DCE，求出∠ABC＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵CE垂直平分线段AD，
∴CA＝CD，
∵CE⊥AD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD＝∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCE＝∠BCD＝30°，
∴∠ACD＝60°，
∵CA＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝16cm，
故选：B．
24．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为17cm，且△ABD的周长为11cm，则CE＝（ ）cm．
A．6B．3C．2D．1
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AE＝CE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AE＝CE，
∵△ABC的周长为17cm，
∴AB+BC+AC＝17cm，
∵△ABD的周长为11cm，
∴AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝11cm，
∴AC＝17﹣11＝6（cm），
∴CE＝3cm，
故选：B．
25．如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的中垂线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，△BEG的周长为17，且GE＝1，则AC的长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【分析】利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为17，
∴EB+GB+EG＝17，
∴EA+GC+EG＝17，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝17，
∴AC+2EG＝17，
∵EG＝1，
∴AC＝15，
故选：C．
【类型三：利用垂直平分线求三角形周长】
26．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC边的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD＝5，则△AEC的周长为（ ）
A．14B．12C．11D．19
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得BE＝CE，再利用三角形的周长公式计算可求解．
【解答】解：∵DE垂直平分线段BC，
∴BE＝EC，
∵AB＝8，AC＝6，
∴△AEC的周长为：AE+CE+AC＝AB+AC＝8+6＝14，
故选：A．
27．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为30，BE＝5，则△ABD的周长为（ ）
A．10B．15C．20D．25
【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明△ABD的周长＝AB+AC即可解决问题．
【解答】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，
∴DB＝DC，BE＝EC．
∵BE＝5，
∴BC＝2BE＝10．
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC＝30．
∴AB+AC＝20．
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝20，
故选：C．
28．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E．若AD＝3，△ACE的周长为8，则△ABC的周长为（ ）
A．11B．13C．14D．19
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，AB＝2AD＝6，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，AB＝2AD＝6，
∵△ACE的周长为8，
∴AC+CE+EA＝8，
∴AC+CE+EB＝AC+CB＝8，
∴△ABC的周长＝AC+CB+AB＝8+6＝14，
故选：C．
29．如图，直线DE是△ABC边AC的垂直平分线，且与AC相交于点E，与AB相交于点D，连接CD，已知BC＝8cm，AB＝12cm，则△BCD的周长为（ ）
A．16cmB．18cmC．20cmD．22cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，求出△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+AB，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵直线DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∵BC＝8cm，AB＝12cm，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD
＝BC+AD+BD
＝BC+AB
＝8+12
＝20（cm），
故选：C．
30．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝5，AC＝8，BC＝10，则△AEF的周长为（ ）
A．5B．8C．10D．13
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵EG是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
同理，FA＝FC，
∴△AEF的周长＝EA+EF+FA＝EB+EF+FC＝BC＝10，
故选：C．
一、选择题（10题）
1．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，北京是唯一举办过夏季和冬季奥运会的城市，下列各图是选自北京冬奥会的图案，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
2．如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的位置即可．
【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P，
∵2022÷6＝337，
∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的第6次反弹，
∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P，
故选：A．
3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝38°，点D在AB上，且点D与点B关于直线l对称，则∠ACD的度数为（ ）
A．10°B．14°C．38°D．52°
【分析】先求出∠B，再根据轴对称的性质，求出∠CDB＝∠B＝52°，用三角形外角等于不相邻的两个内角和列方程，即可解得答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝38°，
∴∠B＝52°，
∵点D与点B关于直线l对称，
∴∠CDB＝∠B＝52°，
∵∠CDB＝∠ACD+∠A，
∴52°＝∠ACD+38°，
∴∠ACD＝14°，
故选：B．
4．如图，AD是△ABC的高，线段AE与线段AB关于AD对称，若∠B＝35°，∠CAE＝40°，则∠BAC的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【分析】先根据轴对称的性质得出∠B＝∠E＝35°，再根据三角形的内角和定理得出∠BAE＝110°，最后根据∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE得出结论．
【解答】解：∵线段AE与线段AB关于AD对称，AD是△ABC的高，
∴∠B＝∠E＝35°，
∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∵∠CAE＝40°，
∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝110°﹣40°＝70°，故选：A．
5．入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）
A．减小40°B．增大40°C．减小20°D．不变
【分析】要知道入射角和反射角的概念：入射光线与法线的夹角，反射角是反射光线与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角．
【解答】解：入射光线与平面镜的夹角是40°，所以入射角为90°﹣40°＝50°．
根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50°，所以入射光线与反射光线的夹角是100°．
入射角减小20°，变为50°﹣20°＝30°，所以反射角也变为30°，此时入射光线与法线的夹角为40°．
则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小40°．
故选：A．
6．如图，平行线m，n间的距离为5，直线l与m，n分别交于点A，B，α＝45°，在m上取点P（不与点A重合），作点P关于l的对称点Q．若PA＝3，则点Q到n的距离为（ ）
A．2B．3C．2或8D．3或8
【分析】分两种情况讨论：当点P在点A左侧时，当点P在点A右侧时，分别依据轴对称的性质进行计算，即可得到点Q到n的距离．
【解答】解：如图①，当点P在点A左侧时，作点P关于l的对称点Q，连接AQ．
由轴对称，得QA＝PA＝3，∠PAQ＝2α＝90°，
故点Q到n的距离为5﹣3＝2；
同理，如图②，当点P在点A右侧时，点Q到n的距离为5+3＝8．
综上所述，点Q到n的距离为2或8．
故选：C．
7．如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝4，则点P1、P2之间的距离可能是（ ）
A．0B．7C．9D．10
【分析】由对称得OP1＝OP＝4，OP＝OP2＝4，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．
【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，如图：
∵点P关于直线AB，CD的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝4，OP＝OP2＝4，
∵OP1+OP2＞P1P2，
∴0＜P1P2＜8，故选：B．
8．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（ ）
A．26B．20C．18D．14
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，BC＝2BE＝8，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，
∵△ABC的周长为22，
∴AB+BC+AC＝22，
∴AB+AC＝14，
∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，
故选：D．
9．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（ ）
A．40°B．44°C．48°D．52°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，结合图形计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝114°，
则∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°，
∵EG是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理：∠FAC＝∠C，
∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝66°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝114°﹣66°＝48°，
故选：C．
10．如图，∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点C，D分别是点P关于OA、OB的对称点，连接CD交OA、OB分别于点E，F；若△PEF的周长的为10，则线段OP＝（ ）
A．8B．9C．10D．11
【分析】首先根据对称性得出△DOC是等边三角形，进而得出答案．
【解答】解：连接OD，OC，
∵∠AOB＝30°；点D、C分别是点P关于直线OA、OB的对称点，
∴∠DOC＝60°，DO＝OP＝OC，PF＝DF，PE＝CE，
∴△DOC是等边三角形，
∵△PEF的周长的为10，
∴OP＝10．
故选：C．
一、填空题（6题）
11．在英文大写字母A、E、M、S、U、P中是轴对称图形的是 ．
【分析】根据轴对称图形的概念对各字母分析判断．
【解答】解：英文大写字母A、E、M、S、U、P中是轴对称图形的是：A、E、M、U．
故答案为：A、E、M、U．
12．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝34°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B'，当B'D∥AC时，则∠BCD的度数为 ．
【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B＝34°，再利用平行线的性质得∠ADB′＝∠A＝38°，接着根据轴对称的性质得到∠CDB′＝∠CDB，则可出∠CDB的度数，然后利用三角形内角和计算出∠BCD的度数．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝34°，
∵B′D∥AC，
∴∠ADB′＝∠A＝34°，
∵点B关于直线CD的对称点为B′，
∴∠CDB′＝∠CDB＝（34°+180°）＝107°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣34°﹣107°＝39°．
故答案为：39°．
13．如图，已知直线m是正五边形ABCDE的对称轴，且直线m过点D，直线m与对角线BE相交于点O，则∠AOE＝ 度．
【分析】首先求得正五边形的内角的度数，然后根据边长相等求得∠AEB＝∠ABE＝36°，在根据对称的性质得到∠OAB＝∠OBA＝36°，最后根据∠AOE＝∠OAB+∠OBA计算即可．
【解答】解：∵ABCDE是正五边形，
∴∠EAB＝108°，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝36°，
∵直线m垂直平分线段AB，
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝36°，
∴∠AOE＝∠OAB+∠OBA＝72°，
故答案为：72；
14．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠BAC＝60°，则∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，根据角平分线的性质得到∠ABP＝∠PBC，进而得到∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵直线l为BC的中垂线，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∵直线m为∠ABC的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBC，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，
∵∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，
∴3∠ABP+∠BAC+∠ACP＝180°，
∴3∠ABP+60°+24°＝180°，
∴∠ABP＝32°，
故答案为：32°．
15．如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝20，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF的周长为 ．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出DE、根据勾股定理求出AE，根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，AD是角平分线，
∴∠DAE＝30°，
在Rt△DAE中，AD＝20，∠DAE＝30°，
∴DE＝AD＝10，
由勾股定理得：AE＝＝10，
∵AD的垂直平分线交AC于点F，
∴FA＝FD，
∴△DEF的垂直＝DE+EF+FD＝DE+EF+FA＝DE+AE＝10+10，
故答案为：10+10．
16．如图，点CD在线段AB的同侧，CA＝6，AB＝14，BD＝12，M为AB中点，∠CMD＝120°．则CD的最大值为 ．
【分析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．
【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝6+7+12＝25，
∴CD的最大值为25，
故答案为25．
一、解答题（4题）
17．如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于MN对称．
（1）A、B、C、D的对称点分别是 ，线段AD、AB的对应线段分别是 ，CD＝ ，∠CBA＝ ，∠ADC＝ ；
（2）连接AE、BF，AE与BF平行吗？为什么？
（3）对称轴MN与线段AE的关系？
【分析】（1）根据图形写出对称点和对应线段即可；
（2）对称图形的对应点的连线平行，据此求解；
（3）根据“对应点的连线被对称轴垂直平分”求解；
【解答】解：（1）A、B、C、D的对称点分别是E，F，G，H，线段AD、AB的对应线段分别是EF，EH，CD＝GH，∠CBA＝∠GFE，∠ADC＝∠EHG；
故答案为：E，F，G，H；EF，EH；GH；∠GFE；∠EHG．
（2）AE∥BF，根据对应点的连线互相平行或共线，这里不共线，所以平行；
（3）对称轴垂直平分AE．根据对称轴垂直平分对称点的连线．
18．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长是7．
（1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C＝60°，则∠DAE度数是多少？请说明理由．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长为7，
∴DA+DE+EA＝7，
∴BC＝DA+DE+EC＝7；
（2）∠DAE度数是60°，
理由如下：∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵∠B+∠C＝60°，
∴∠ADE+∠AED＝2∠B+2∠C＝120°，
∴∠DAE＝180°﹣120°＝60°．
19．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝EC，AB＝AE，等量代换证明结论；
（2）根据三角形的周长公式得到AB+BC+AC＝14cm，根据AB＝EC，BD＝DE计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴AB＝EC；
（2）解：∵△ABC的周长为14cm，
∴AB+BC+AC＝14（cm），
∵AC＝6cm，
∴AB+BC＝8（cm），
∵AB＝EC，BD＝DE，
∴DC＝DE+EC＝（AB+BC）＝4（cm）．
20．如图所示．点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F．
（1）若MN＝20cm，求△PEF的周长．
（2）若∠AOB＝35°，求∠EPF的度数．
【分析】（1）根据轴对称的性质得出ME＝PE，NF＝PF，再由MN＝20cm即可得出结论；
（2）要求∠EPF的度数，要在△EPF中进行，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质找出与∠MPN的关系，利用已知∠AOB＝35°可求出∠EPF，答案可得
【解答】解：（1）∵点M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，
∴ME＝PE，NF＝PF，MN＝20cm，
∴ME+EF+NF＝PE+EF+PF＝MN＝20cm，即△PEF的周长是20cm．
（2）如图，
∵点M、N分别是点P关于直线0A、OB的对称点，
∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，
∴∠PRE＝∠PTF＝90°，
∴在四边形OTPR中，
∴∠MPN+∠AOB＝180°，
∵∠EPF+2∠M+2∠N＝180°，
即∠MPN+∠M+∠N＝180°，
∴∠M+∠N＝∠AOB＝35°
∴∠EPF＝180°﹣35°×2＝110°．
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