初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定备课ppt课件

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1.(2024福建漳州期中)下列说法正确的是 (　    )A.有一组邻角相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D.有一组邻边相等的矩形是正方形
解析　有一组邻角相等的平行四边形是矩形,故选项A错误; 对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故选项B错误;对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,故选项C错误;有一组邻边相等的矩形是正方形,故选项D正确.故选D.
2.(2024福建三明三元期中)如图,在矩形ABCD中,对角线 AC、BD交于点O,添加下列一个条件,不能使矩形ABCD为正 方形的是(　    )A.AC⊥BDB.AC平分∠BADC.AB=BC
D.△OCD是等边三角形
解析　∵有一组邻边相等的矩形是正方形,对角线互相垂直 的矩形是正方形,∴A、C不符合题意;∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD,∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ABC=90°, ∴∠DAC=∠BAC=45°,∴∠ACB=45°,∴AB=BC,∴矩形 ABCD为正方形,∴B不符合题意;∵添加△OCD是等边三角形,不能使矩形ABCD为正方形,∴D符合题意.故选D.
3.(新独家原创)如图,P为矩形ABCD内一点,△PAB为正三角 形,连接PD、PC,∠CPD=150°,求证:四边形ABCD是正方形. 
证明　∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,∵△PAB是正三角形,∴AP=BP,∠BAP=∠APB=60°,∴∠DAP=90°-60°=30°,同理,∠CBP=30°,∴∠DAP=∠CBP, ∴△PAD≌△PBC,∴PC=PD,∠APD=∠BPC,∴∠APD=  (360°-∠APB-∠CPD)=   (360°-60°-150°)=75°,∠CDP=∠DCP,
∴∠CDP= ×(180°-150°)=15°,∴∠ADP=90°-15°=75°,∴∠APD=∠ADP,∴AP=AD,∵AP=AB,∴AD=AB,∴四边形ABCD是正方形.
4.(2023湖南双峰一模)如图,将正方形ABCD的各边AB,BC, CD,DA顺次延长至E,F,G,H,且使BE=CF=DG=AH,则四边形 EFGH是 (　    )A.平行四边形B.菱形C.矩形
解析　∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA,∠ABC= ∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,∴∠FBE=∠GCF=∠HDG=∠EAH=90°,∵BE=CF=DG=AH,∴AB+BE=BC+CF=CD+DG=DA+AH,即AE=BF=CG=DH,在△FBE和△GCF中,∴ △FBE≌△GCF(SAS),∴EF=FG,∠BFE=∠CGF,
∵∠GCF=90°,∴∠CGF+∠GFC=90°,∴∠BFE+∠GFC=90°,即∠EFG=90°,同理可得FG=GH,GH=HE,HE=EF,∴EF=FG=GH=HE,∴四边形EFGH是菱形,又∵∠EFG=90°,∴四边形EFGH是正方形.故选D.
5.(2024广东茂名信宜二中月考)如图,正方形ABCD的边长是 10 cm,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D出发,以2 cm/s的速度同时 向点B,C,D,A运动.判断在运动的过程中,四边形EFGH的形 状,并说明理由. 
解析　四边形EFGH是正方形.理由如下:设运动时间为t s,∴AE=BF=CG=DH=2t cm,∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC =CD=DA=10 cm,∴BE=CF=DG=AH,∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG (SAS),∴EH=EF=FG=HG,∴四边形EFGH是菱形,∵△AEH ≌△BFE,∴∠AEH=∠EFB,∵∠EFB+∠BEF=90°,∴∠AEH +∠BEF=90°,∴∠HEF=90°,∴四边形EFGH是正方形.
6.(2023河南洛阳第二外国语学校期中,10,★★★)如图,在正 方形ABCD中,点O是对角线AC,BD的交点,过点O作射线OM, ON分别交BC,CD于点E,F,且∠EOF=90°,OC,EF交于点G.给 出下列结论:①△COE≌△DOF;②CF=BE;③四边形CEOF的 面积为正方形ABCD面积的 ;④DF2+CF2=2OE2.其中正确的是 (　    )
A.①②③④　　　    B.①②③   C.①②④　　         D.③④
解析　①∵四边形ABCD是正方形,∴OC=OD,∠COD=90°, ∠ODC=∠OCB=45°,∵∠EOF=90°,∴∠COE=∠EOF-∠COF=90°-∠COF,∴∠COE=∠DOF,在△COE和△DOF中, ∴△COE≌△DOF(ASA),故①正确;②∵△COE≌△DOF,∴CE=DF,∵四边形ABCD为正方形,∴ BC=CD,∴BE=CF,故②正确;③由△COE≌△DOF可得四边
形CEOF的面积与△OCD的面积相等,∴四边形CEOF的面积 为正方形ABCD面积的 ,故③正确;④在Rt△EOF中,OE2+OF2=EF2,∵△COE≌△DOF,∴OE=OF,∴EF2=2OE2.在Rt△ECF中,CE2+CF2=EF2,∵CE=DF,∴DF2+CF2=2OE2,故④正确.综上所述,正确的是①②③④,故选A.
7.(2023湖北十堰中考,20,★★☆)如图,▱ABCD的对角线AC, BD交于点O,分别以点B,C为圆心, AC, BD的长为半径画弧,两弧交于点P,连接BP,CP.(1)试判断四边形BPCO的形状,并说明理由.(2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形?
解析    (1)四边形BPCO为平行四边形.理由如下:∵四边形ABCD为平行四边形,∴OC=OA= AC,OB=OD= BD,根据作图可知,CP= BD,BP= AC,∴BP=OC,CP=OB,∴四边形BPCO为平行四边形.(2)当AC⊥BD,AC=BD时,四边形BPCO为正方形.∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°,∴平行四边形BPCO为矩形,∵AC=BD,OB=  BD,OC= AC,∴OB=OC,∴四边形BPCO为正方形.
8.(创新意识)(新考向·新定义试题)(2023江苏盐城大丰期中) 我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的 “接近度”.(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°,n°,若我们将菱形 的“接近度”定义为|m-n|.①当菱形的一个内角为75°时,“接近度”=　　　    ;②当菱形的“接近度”=　　　    时,菱形为正方形.(2)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°,n°,若我们将菱形
的“接近度”定义为 (m≤n),则:①当菱形的一个内角为45°时,“接近度”=　　　    ;②当菱形的“接近度”=　　　    时,菱形为正方形.(3)小军同学给出了如下矩形的“接近度”的定义:设矩形相 邻两边的长分别是a和b(a≤b),将矩形的“接近度”定义为  ,于是 越小,矩形越接近正方形.你认为他的定义　　　    (填“合理”或“不合理”),并说 明理由.
解析    (1)①∵菱形的一个内角为75°,∴与它相邻的内角的 度数为105°.∴该菱形的“接近度”=|m-n|=|105-75|=30.故答 案为30.②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.故答案为0.(2)①菱形的一个内角为45°,∴与它相邻的内角的度数为135°,∴该菱形的“接近度”= = .故答案为 .②当菱形的一个内角为90°时,菱形是正方形,即当菱形的 “接近度”= =1时,菱形是正方形.故答案为1.
(3)不合理.理由如下:当 =1时,a=b,矩形变为正方形,∴ 越接近1,矩形越接近正方形,即只有矩形的“接近度” 越接近1,矩形才越接近正方形.
　　中点四边形的形状与原四边形的两条对角线的数量关 系和位置关系有关:(1)两条对角线互相垂直的四边形的中点 四边形为矩形,如图1所示;(2)两条对角线相等的四边形的中 点四边形为菱形,如图2所示;(3)两条对角线相等且互相垂直 的四边形的中点四边形为正方形,如图3所示.
  如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、 BC、CD、DA的中点.则下列说法:①若AC⊥BD,则四边形 EFGH为矩形;②若AC=BD,则四边形EFGH为菱形;③若四边 形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分;④若四边形E- FGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.其中正确说法的 个数是 (　    )
A.1　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.4