初中数学北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定教课课件ppt

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1.(2023广东深圳中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC =6,将线段AB水平向右平移a(a<6)个单位长度得到线段EF, 若四边形ECDF为菱形,则a的值为(　    )A.1　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.4
解析　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,CE∥FD, CD=AB=4,∵将线段AB水平向右平移得到线段EF,∴AB∥EF∥CD,∴四边形ECDF为平行四边形.根据菱形的定义可知当CD=CE=4时,▱ECDF为菱形,此时a= BE=BC-CE=6-4=2.故选B.
2.(情境题·数学文化)(2023陕西宝鸡凤翔期中)数学家笛卡儿 在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想.在菱形ABCD中, AB=2,∠DAB=120°.如图,建立平面直角坐标系xOy,使得边AB 在x轴正半轴上,点D在y轴正半轴上,则C的坐标是　　　    . 
解析　∵四边形ABCD是菱形,AB=2,∴CD=AD=AB=2,∵∠DAB=120°,∴∠OAD=60°,在Rt△AOD中,∠ADO=30°,∴OA= AD=1,∴OD= = ,∴C的坐标是(2, ).
3.(2023浙江嘉兴中考)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E, AF⊥CD于点F,连接EF.(1)求证:AE=AF.(2)若∠B=60°,求∠AEF的度数. 
解析    (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠B=∠D. ∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°.在△ABE与△ADF中, ∴△ABE≌△ADF(AAS).∴AE=AF.(2)∵四边形ABCD是菱形,∴∠B+∠BAD=180°.∵∠B=60°, ∴∠BAD=120°.又∵∠AEB=90°,∴∠BAE=30°.由(1)知△ABE≌△ADF,∴∠DAF=∠BAE=30°.∴∠EAF=∠BAD-∠ BAE-∠DAF=60°.
又∵AE=AF,∴△AEF是等边三角形.∴∠AEF=60°.
4.(2023浙江丽水中考)如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为(　    ) A. 　　　    B.1　　　    C. 　　　    D. 
解析　如图,连接BD交AC于点O, ∵四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,∴OA=OC= AC,∠BAO= ∠DAB=30°,AC⊥BD,∴∠AOB=90°,∴OB= AB= ,∴OA= = = ,∴AC=2OA= ,故选D.
5.如图,A、B、C、D四架战机以菱形编队低空展示,若前后 距离AC=30 m,左右距离BD=40 m,则A、B两架飞机的距离为 　　　    .      
解析　∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO= AC=15 m,BO= BD=20 m,在Rt△ABO中,AB= =25 m,∴A、B两架飞机的距离为25 m.
6.(一题多解)(2024山西晋中昔阳期中)如图,菱形ABCD中,E 为对角线BD的延长线上一点.求证:AE=CE. 
证明　证法一:连接AC交BD于点O(图略).∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,AO=CO.∴BE是AC的垂直平分线,∴AE=CE.证法二:∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,∠ADB=∠CDB,∴ ∠ADE=∠CDE,在△ADE和△CDE中, ∴△ADE≌△CDE(SAS),∴AE=CE.
7.(2023山东东营中考,8,★★☆)如图,在平面直角坐标系中, 菱形OABC的边长为2 ,点B在x轴的正半轴上,且∠AOC=60°,将菱形OABC绕原点O逆时针旋转60°,得到四边形OA'B'C' (点A'与点C重合),则点B'的坐标是     (　    )A.(3 ,3 )　　　    B.(3 ,3 )C.(3 ,6 )　　　    D.(6 ,3 )
解析　如图,过B'作B'D⊥y轴于D,连接OB',∵四边形OA'B'C 是由菱形OABC绕原点O逆时针旋转60°得到的,菱形OABC的 边长为2 , ∴B'C'=2 ,∠A'OC'=∠AOC=60°,∴∠B'C'O=120°,∴∠DC'B'=60°,∴∠DB'C'=30°,  
∴C'D=  C'B'= ,∴DB'= =3 ,OD=OC'+C'D=3 ,∴B'的坐标是(3 ,3 ),故选B.
8.(情境题·活动衣帽架)(2024江苏南通海门月考,10,★★☆) 如图,一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成.已知菱 形的边长为13 cm,当挂钩B、D间的距离是30 cm时,挂钩A、 C间的距离是　　　    cm. 
解析　如图,设该木制的活动衣帽架中的一个菱形为菱形 ABCE,连接AC、BE,AC与BE交于点O. ∵活动衣帽架由3个全等的菱形构成,∴BD=3BE,∴BE= = =10(cm),∵四边形ABCE为菱形,∴AC⊥BE,AO=CO,BO=EO,∴BO=5
cm,∵AB=13 cm,∴OA= = =12(cm),∴AC=
9.(易错题)(2023浙江绍兴中考,14,★★☆)如图,在菱形ABCD 中,∠DAB=40°,连接AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直 线AD于点E,连接CE,则∠AEC的度数是　 　　    . 
易错警示    以点A为圆心,AC长为半径作弧与直线AD相交, 有两种情况,不要漏解.
10.(2024河南郑州一中月考,12,★★☆)如图,在菱形ABCD中, AD=6,∠ABC=120°,E是BC的中点,P为对角线AC上的一个动 点,则PE+PB的最小值为　　　    . 
解析　如图,连接BD,DE,交AC于点P,连接PB,∵四边形 ABCD是菱形,∴CD=CB,B、D关于直线AC对称, ∴DE的长即为PE+PB的最小值,∵∠ABC=120°,∴∠BCD=60°,∴△BCD是等边三角形,∵E是BC的中点,∴DE⊥BC,CE= BC= ×6=3,∴DE= =3 .故答案为3 .
11.(2023广东汕头潮南期末改编,23,★★☆)在菱形ABCD中, E,F分别是BC,CD上的点.(1)如图1,若CE=CF,求证:AE=AF.(2)如图2,若∠B=∠EAF=60°,∠BAE=20°,求∠CEF的度数.(3)若AB=4,∠BAD=120°,点E,F在BC,CD上滑动,△AEF为等 边三角形,则四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生 变化?如果不变,直接写出这个定值;如果变化,直接写出最小 值.
解析    (1)证明:∵四边形ABCD为菱形,∴∠B=∠D,AB=BC= CD=DA.又∵CE=CF,∴BE=DF.在△ABE和△ADF中,  ∴△ABE≌△ADF(SAS).∴AE=AF.(2)连接AC(图略).∵四边形ABCD为菱形,∠B=60°,∴∠D=60°,AB=BC=CD= DA.∴△ABC与△CDA为等边三角形.∴AB=AC,∠B=∠ACD
=∠BAC=60°.∵∠EAF=60°.∴∠BAE=∠CAF.在△ABE和△ACF中,  ∴△ABE≌△ACF(ASA),∴AE=AF.∵∠EAF=60°,∴△EAF为等边三角形,∴∠AEF=60°.∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF,∴60°+20°=60°+∠CEF.∴∠CEF=20°.