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数学必修 第二册14.2 抽样精品课后作业题
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这是一份数学必修 第二册14.2 抽样精品课后作业题，文件包含142抽样八大题型练习原卷高中数学苏教版必修二docx、142抽样八大题型练习解析卷高中数学苏教版必修二docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
知识点01 简单随机抽样
1、简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样．
2、简单随机抽样的方法
（1）抽签法：
把总体中的N个个体编号，把编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌，最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需的个数．
（2）随机数法：
用随机数工具产生编号范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本．重复上述过程，直到抽足样本所需的个数．
①用随机试验生成随机数；
②用信息技术生成随机数；
③用计算器生成随机数；
④用电子表格软件生成随机数；
⑤用R统计软件生成随机数．
3、抽签法与随机数表法的异同点
【即学即练1】（2024·高三·全国·专题练习）下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是（ ）
A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本
B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验
C．从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验
D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛
知识点02 分层抽样
1、分层抽样定义
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫分层抽样．
2、分层抽样适用范围
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往采用分层抽样．
3、分层抽样的步骤
（1）根据已掌握的信息，将总体分成若干部分．
（2）根据总体中的个体数N和样本容量n计算出抽样比．
（3）根据抽样比k计算出各层中应抽取的个体数：（其中为第i层所包含的个体总数）．
（4）按步骤3所确定的数在各层中随机抽取个体，并合在一起得到容量为n的样本．
4、两种抽样方法的区别和联系
【即学即练2】（2024·内蒙古赤峰·一模）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高二年级的学生中抽取人，则应从高三年级抽取 名学生．
题型一：简单随机抽样的概念
【典例1-1】（2024·高二·上海·期末）已知一个总体含有N个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体，则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率（ ）
A．变小B．变大C．相等D．无法确定
【典例1-2】（2024·高一·全国·课后作业）下列4个抽样中，简单随机抽样的个数是（ ）
①从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
③某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的党员官兵赶赴某市参加抗震救灾工作；
④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.
A．0B．1
C．2D．3
【变式1-1】（2024·高一·陕西宝鸡·阶段练习）某校在一次期中作业检查中，对高一（6）班61位同学的作业进行抽样调查，先采用抽签法从中剔除一个人，再从余下的60人中随机抽取6人，下列说法正确的是（ ）
A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会
B．每个人被抽到的机会不相等
C．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会相等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的机会也是相等的
D．由于采用了两步进行的抽样，所以无法判断每个人被抽的可能性是多少
【变式1-2】（2024·高一·陕西宝鸡·期末）以下说法中正确的是（ ）
A．用简单随机抽样方法抽取样本，样本量越大越好
B．抽签法是实现简单随机抽样的唯一方法
C．通过查询获得的数据叫做二手数据
D．通过调查获取的数据一定可以获得好的分析结果
【变式1-3】（2024·高一·全国·课后作业）下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．从无数张高考试卷中抽取10份作为样本
B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验
C．从整数集中逐个抽取10个分析是奇数还是偶数
D．运动员从8个跑道中随机抽取一个跑道
【方法技巧与总结】（简单随机抽样的判断方法）
判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的四个特征：
上述四点特征，如果有一点不满足，就不是简单随机抽样．
题型二：抽签法的应用
【典例2-1】（2024·高一·全国·专题练习）某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛，制作了11个形状、大小相同的签，抽签中确保公平性的关键是（ ）
A．制签B．搅拌均匀C．逐一抽取D．抽取后不放回
【典例2-2】（2024·高三·全国·专题练习）甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动．抽签决定谁去．那你认为抽到的概率大的是（ ）．
A．先抽的概率大些
B．三人的概率相等
C．无法确定谁的概率大
D．以上都不对
【变式2-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（ ）
A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
【变式2-2】（2024·高二·新疆巴音郭楞·期中）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除一个人，再在剩余的100中随机抽取10人，那么下列说法正确的是（ ）
A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会
B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的机会也是均等的
C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少
D．每个人被抽到的可能性不相等
【变式2-3】（2024·高一·全国·课时练习）已知一个总体中有n个个体，用抽签法从中抽取一个容量为20的样本.若每个个体被抽到的可能性是，则n等于（ ）
A．10B．50C．100D．不确定
【方法技巧与总结】（抽签法的应用条件及注意点）
（1）一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法．
（2）应用抽签法时应注意以下几点：
①分段时，如果已有分段可不必重新分段；
②签要求大小、形状完全相同；
③号签要均匀搅拌；
④要逐一不放回的抽取．
题型三：随机数法的应用
【典例3-1】（2024·云南贵州·二模）本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这55位学生按01、02、、55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应的学生编号为（ ）
0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011
1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607
0140 0523 2617 3726 3890 5124 5179 3014 2310 2118 2191
A．51B．25C．32D．12
【典例3-2】（2024·高一·全国·专题练习）高一某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取6位同学组建“文明校园督查组”.选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6位同学的编号为（ ）
41792 71635 86089 32157 95620 92109 29145
74955 82835 98378 83513 47870 20799 32122
A．29B．21C．14D．09
【变式3-1】（2024·高一·全国·专题练习）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（ ）.
A．0.25B．0.4C．0.6D．0.75
【变式3-2】（2024·云南·二模）本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这55位学生按进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应的学生编号为（ ）
A．51B．25C．32D．12
【变式3-3】（2024·高一·全国·开学考试）某公司利用随机数表对生产的300支新冠疫苗第一针进行抽样测试，先将疫苗按000，001，，299进行编号，从中抽取15个样本，选定从第3行第4列的数开始向右读取3个数字（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），则选出来的第4个个体的编号为（ ）
A．135B．141C．101D．290
【变式3-4】（2024·陕西西安·一模）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623B．328C．072D．457
【变式3-5】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）某班对上学期期末成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将个同学的成绩按进行编号，然后从随机数表第行第列的数开始向右读，抽取一个容量为的样本，则选出的第个个体是（ ）（注：如下为随机数表的第8行和第9行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 45 07 44 38 15 51 00 13
A．07B．25C．42D．52
【方法技巧与总结】（随机数法解题步骤）
第一步，编号．
第二步，生成随机数．
第三步，记录样本编号．
第四步，抽取样本．
题型四：简单随机抽样的概率
【典例4-1】（2024·高一·陕西西安·期中）对总数为200的一批零件，抽一个容量为的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则为（ ）
A．50B．100
C．25D．120
【典例4-2】（2024·高二·新疆·学业考试）对总数为的一批零件抽取一容量为20的样本，若每个零件被抽取的可能性为20%，则为（ ）
A．150B．120C．100D．40
【变式4-1】（2024·高一·全国·课时练习）某中学高一年级有700人，高二年级有600人，高三年级有500人，从该中学学生中用简单随机抽样的方法抽取一个样本，若已知每人被抽取的机会为0.03，则样本容量n为（ ）
A．54B．21C．18D．15
【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）用简单随机抽样的方法从含个个体的总体中，逐个抽取一个容量为3的样本，若其中个体a在第一次就被抽取的可能性为，那么（ ）
A．8B．24
C．72D．无法计算
【变式4-3】（2024·高一·全国·专题练习）某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式4-4】（2024·高一·浙江温州·期末）利用简单随机抽样，从个个体中抽取一个容量为10的样本.若抽完第一个个体后，余下的每个个体被抽到的机会为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会为（ ）
A．B．C．D．
题型五：简单随机抽样估计总体
【典例5-1】（2024·高二·全国·课时练习）我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒．则这批米内夹谷约为（ ）．（结果精确到整数）
A．133石B．169石C．337石D．1364石
【典例5-2】（2024·高三·湖北·阶段练习）我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类，全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类．题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献．《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1500石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得304粒夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．148石B．149石C．150石D．151石
【变式5-1】（2024·高二·宁夏吴忠·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．222石B．220石C．230石D．232石
【变式5-2】（2024·高一·全国·课后作业）对于总数的一批零件，抽取一个容量为30的样本.若每个零件被抽到的可能性均为25%，则（ ）
A．120B．150C．200D．240
【变式5-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名.具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2.
表1 田径综合赛项目及积分规则
表2 某队模拟成绩明细
根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是:（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【变式5-4】（2024·辽宁朝阳·模拟预测）一般来说，一个班级的学生学号是从1 开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3、21、17、19、36、8、32、24，则该班学生总数最可能为
A．39人B．49人C．59人D．超过59人
题型六：分层抽样的概念
【典例6-1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ）
A．①②都采用简单随机抽样
B．①②都采用分层随机抽样
C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样
D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样
【典例6-2】（2024·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期末）树人中学高一年级有712名学生，男生有326名，女生有386名，想抽取样本了解高一年级的平均身高，为减少“极端”样本的出现，你认为比较合适的抽样方法为（ ）
A．抽签法B．随机数法C．分层抽样D．其他方法
【变式6-1】（2024·高二·上海长宁·期末）①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（ ）
A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样
C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样
【变式6-2】（2024·高二·内蒙古巴彦淖尔·期末）为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（ ）
A．抽签法B．按性别分层随机抽样
C．按年龄段分层随机抽样D．随机数法
【变式6-3】（2024·高三·陕西榆林·期中）某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为60的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）
A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法
【变式6-4】（2024·高一·全国·课时练习）在个零件中，有一级品个，二级品个，三级品个，从中抽取个作为样本．
方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号，用抽签法抽取个．
方法二：采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取个，从二级品中随机抽取个，从三级品中随机抽取个．
对于上述问题，下列说法正确的是（ ）
①不论采用哪种抽样方法，这个零件中每一个零件被抽到的可能性都是；
②采用不同的方法，这个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；
③在上述两种抽样方法中，方法抽到的样本比方法抽到的样本更能反映总体特征；
④在上述抽样方法中，方法抽到的样本比方法抽到的样本更能反映总体的特征．
A．①②B．①③
C．①④D．②③
【方法技巧与总结】（分层抽样的依据）
（1）适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．
（2）样本能更充分地反映总体的情况．
（3）等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．
题型七：分层抽样中各层样本容量的计算
【典例7-1】（2024·高一·江苏·专题练习）某网站欲调查网民对当前网页的满意程度，在登录的所有网民中，收回有效帖子共50000份，其中持各种态度的份数如下表所示.
为了调查网民的具体想法和意见，以便决定如何更改才能使网页更完美，打算从中抽选500份，为使样本更具有代表性，则每类帖子中各应抽选出 份.
【典例7-2】（2024·高三·辽宁·开学考试）据统计，某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n人，若青年旅客抽到60人，则 .
【变式7-1】（2024·高三·四川巴中·阶段练习）某学校师生共有3600人，现用分层抽样方法抽取一个容量为240的样本，已知样本中教师人数为30人，则该校学生人数为
【变式7-2】（2024·高三·全国·专题练习）在中国共产党建党100周年之际，某外国语学校组织了“党史知识竞赛”活动，已知该外国语学校共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽取了14人，高二年级抽取了15人，则该校高一年级学生人数为 .
【变式7-3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）《中国医保药品管理改革进展与成效》蓝皮书发布，指出我国从2018年开始连续4年开展国家医保药品目录调整工作，现行版目录内西药和中成药共计2860种，其中中成药有1374种．用分层抽样的方法从中抽出143种医保药品，则从中成药目录中抽出的有 种．（四舍五入精确到个位）
【方法技巧与总结】（分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法）
（1）已知总体容量、样本容量及各层的个体数时，首先确定抽样比，其中为总体容量，为样本容量；然后确定每层抽取的个体的个数，其中为第层的个体数，为第层应抽取的个体数．
（2）已知各层个体数之比为，样本容量为时，每层抽取的个体数为．
题型八：分层抽样的应用
【典例8-1】（2024·高一·全国·专题练习）某学校有高中生500人.其中男生320人，女生180人.为了获得全体高中生身高的信息，按照分层随机抽样原则抽取样本，男生样本量为32，女生样本量为18，通过计算得男生身高样本均值为173.5cm，方差为17，女生身高样本均值为163.83cm，方差为30.03，求所有数据的样本均值.
【典例8-2】（2024·高一·全国·专题练习）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30
(1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值为多少?
(2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值为多少?
【变式8-1】（2024·高一·全国·课后作业）某公司有1000名员工，其中50名属于高收入者，150名属于中等收入者，800名属于低收入者．要对该公司员工的具体收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当怎样抽样比较合理？
【变式8-2】（2024·高一·全国·课后作业）某学校开展学生对教师任教满意度的调查活动．首先，通过问卷对全体学生进行普查，然后根据普查结果，抽取一部分学生进行访谈．
下表是该学校在普查中对某位教师任教的所有班级（4个班级）的满意度调查结果：
现在，想从这4个班级中选取一部分学生进行访谈．有4名同学是这样操作的：
同学甲从2号班级、4号班级中抽取一部分同学进行访谈．
同学乙从1号班级、2号班级中抽取一部分同学进行访谈．
同学丙从1号班级、3号班级中抽取一部分同学进行访谈．
同学丁从3号班级、4号班级中分别抽取一部分同学进行访谈．
你认为哪名同学的调查更合理？
【变式8-3】（2024·高一·全国·随堂练习）为了评估某校的教学水平，将抽取这个学校高三年级部分学生本学年的考试成绩进行考察．为了全面反映实际情况，采取以下两种抽样方式（已知该校高三年级共有10个教学班400名学生，并且每个班的学生都已经按随机方式编好了学号，假定每班人数都相同）：
方式1：从全年级10个班中任意抽取一个班，考察他们的成绩；
方式2：把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别（若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有60名，良好学生有180名，普通学生有160名），从中按比例抽取40名学生进行考察．
根据上面的叙述，试回答下列问题：
(1)上面两种抽样方式各自采用何种抽取样本的方法？
(2)分别写出上面两种抽样方式各自抽取样本的步骤．
【变式8-4】（2024·高一·全国·课时练习）某企业共有1600名职工，其中，老年、中年、青年职工的比例为，现用分层随机抽样的方法从所有的职工中抽取一个样本容量为200的样本，那么从中年职工中抽取多少人？
【方法技巧与总结】（分层抽样注意事项）
（1）分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与总体结构相似．在实际操作时，并不排斥与其他抽样方法联合使用．
（2）在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比．
一、单选题
1．（2024·高一·江苏·专题练习）为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽查了其中100名同学的视力情况.在这个过程中，100名同学的视力情况（数据）是（ ）
A．总体B．个体
C．总体的一个样本D．样本容量
2．（2024·高一·贵州遵义·阶段练习）某厂家生产的钢笔有蘸水式钢笔、自来水式钢笔和墨囊钢笔，这三种钢笔某月的产量分别为5万支，15万支，20万支．为检验该厂家的钢笔质量，现用按比例分层随机抽样的方法从该月生产的钢笔中抽取1000支进行检验，则自来水式钢笔应抽取（ ）
A．375支B．350支C．125支D．500支
3．（2024·高一·甘肃金昌·阶段练习）在北京冬奥会期间，共有超过1.8万名赛会志愿者和20余万人次城市志愿者参与服务.据统计某高校共有本科生1000人，硕士生200人，博士生20人申请报名做志愿者，现用分层随机抽样方法从中抽取一批志愿者，若抽取的博士生是4人，则从该高校抽取的志愿者总人数为（ ）
A．224人B．244人C．264人D．294人
4．（2024·高一·全国·专题练习）高一某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取6位同学组建“文明校园督查组”.选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6位同学的编号为（ ）
41792 71635 86089 32157 95620 92109 29145
74955 82835 98378 83513 47870 20799 32122
A．29B．21C．14D．09
5．（2024·高一·全国·开学考试）调查显示，某地区一天共享电动车的使用者中，年龄在岁之间、岁之间、50岁以上的人数分别为280，180，40.现采用分层随机抽样的方法从中抽取名使用者参与调查，其中年龄在岁之间的人数为9，则（ ）
A．25B．24C．22D．20
6．（2024·高一·全国·开学考试）某公司利用随机数表对生产的300支新冠疫苗第一针进行抽样测试，先将疫苗按000，001，，299进行编号，从中抽取15个样本，选定从第3行第4列的数开始向右读取3个数字（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），则选出来的第4个个体的编号为（ ）
A．135B．141C．101D．290
7．（2024·高一·江西·阶段练习）2023年度江西省大学生电子商务创新创业挑战赛启动以来，该比赛受到了全省各高校和广大师生的高度重视并得到积极响应，真实场景的竞赛内容与形式极大地激发了大学生的创新创业热情．已知参加该比赛的高校共63所，其中本科院校有30所，高职院校有33所．若采用分层随机抽样的方法从所有本次参赛的院校中，随机抽取21所高校的比赛风采照片进行展示，则被抽取到的本科院校有（ ）
A．9所B．10所C．11所D．12所
8．（2024·高一·湖南·期中）已知两个问题：（1）某学校为了了解2017年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科200名考生，理科800名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．（2）从10名家长中抽取3名参加座谈会．
三种方法：Ⅰ简单随机抽样法．Ⅱ系统抽样法．Ⅲ分层抽样法．则问题（1）、（2）与方法Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ配对合理的是
A．（1）Ⅲ，（2）ⅠB．（1）Ⅰ，（2）Ⅱ
C．（1）Ⅱ，（2）ⅠD．（1）Ⅲ，（2）Ⅱ
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）为了实现教育资源的均衡化，某地决定派遣480名教师志愿者（480名教师情况如图）轮流支援当地的教育工作．若第一批志愿者采用分层抽样的方法随机派遣150名教师，则（ ）
A．派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同
B．派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的10%
C．派遣的老年教师有144人
D．派遣的青年女教师有15人
10．（2024·高一·全国·课时练习）某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2 400人、中部地区的学生有1 600人、西部地区的学生有1 000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有（ ）
A．用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人
B．用简单随机抽样的方法从新生中选出100人最适合
C．西部地区学生小刘被选中的可能性为
D．中部地区学生小张被选中的可能性为
11．（2024·高二·河北沧州·阶段练习）某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为的名学生进行了调查.调查中使用了两个问题，问题：你的编号是否为奇数？问题：你是否经常吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球个，红球个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题，摸到红球则如实回答问题，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌地给出真实的答案.最后统计得出，这人中，共有人回答“是”，则下列表述正确的是（ ）
A．估计被调查者中约有人吸烟
B．估计约有人对问题的回答为“是”
C．估计该地区约有的中学生吸烟
D．估计该地区约有的中学生吸烟
12．（2024·高二·福建三明·期末）某教师退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为9000元/月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1800元，则下面结论中正确的是（ ）
A．该教师退休前每月储蓄支出2700元
B．该教师退休工资收入为6000元/月
C．该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍
D．该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出多
三、填空题
13．（2024·云南楚雄·模拟预测）以“塑造软件新生态，赋能发展新变革”为主题的第二十五届中国国际软件博览会于2023年8月31日在天津开幕.本次参会人员分不同区域落座，其中某个区域的男性参会人员有25人，女性参会人员有15人，现按性别比例进行分层抽样，若从该区域随机抽取16位参会人员，则女性参会人员应抽取的人数为 .
14．（2024·高一·新疆喀什·期末）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200、400、300、100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从甲种型号的产品抽取 件.
15．（2024·高二·四川成都·期中）某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则 ．
16．（2024·高一·湖南永州·期末）某学校为了解高一学生每天阅读时长，从高一男生和女生中采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查分析．已知该学校高一学生中男生和女生的比例是，在抽取的学生中男生比女生多24人，则被抽取的学生人数是 ．
四、解答题
17．（2024·高一·全国·专题练习）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30
(1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值为多少?
(2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值为多少?
18．（2024·高一·全国·随堂练习）为了评估某校的教学水平，将抽取这个学校高三年级部分学生本学年的考试成绩进行考察．为了全面反映实际情况，采取以下两种抽样方式（已知该校高三年级共有10个教学班400名学生，并且每个班的学生都已经按随机方式编好了学号，假定每班人数都相同）：
方式1：从全年级10个班中任意抽取一个班，考察他们的成绩；
方式2：把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别（若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有60名，良好学生有180名，普通学生有160名），从中按比例抽取40名学生进行考察．
根据上面的叙述，试回答下列问题：
(1)上面两种抽样方式各自采用何种抽取样本的方法？
(2)分别写出上面两种抽样方式各自抽取样本的步骤．
课程标准
学习目标
（1）掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数表法的一般步骤．
（2）掌握分层抽样的实施步骤.
（3）了解简单随机抽样与分层抽样的区别和联系．
（1）了解简单随机抽样的必要性和重要性.
（2）理解简单随机抽样的目的和基本要求.
（3）理解分层抽样的基本思想和适用情形.
抽签法
随机数表法
不同点
①抽签法比随机数表法简单；
②抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况
①随机数表法要求编号的位数相同；
②随机数表法适用于总体中的个体数相对较多的情况
相同点
①都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个数有限；②都是从总体中逐个不放回地抽取
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中各个个体被抽到的机会相等，且都是不放回抽取
从总体中逐个抽取
最基本的抽样方法
总体容量较少
分层抽样
抽样过程中各个个体被抽到的机会相等，且都是不放回抽取
将总体分成几部分，每一部分按比例抽取
每层抽样时采用简单随机抽样
总体由差异明显的若干部分组成
0627
4313
2432
5327
0941
2512
6317
6323
2616
8045
6011
1410
9577
7424
6762
4281
1457
2042
5332
3732
2707
3607
5124
5179
3014
2310
2118
2191
3726
3890
0140
0523
2617
1676622766
5650267107
3290797853
1355385859
8897541410
1256859926
9696682731
0503729315
5712101421
8826498176
5559563564
3854824622
3162430990
0618443253
2383013030
很满意
满意
一般
不满意
10800
12400
15600
11200
班级编号
1
2
3
4
满意度/%
98
97
90
91
1676622766
5650267107
3290797853
1355385859
8897541410
1256859926
9696682731
0503729315
5712101421
8826498176
5559563564
3854824622
3162430990
0618443253
2383013030
知识点01 简单随机抽样
1、简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样．
2、简单随机抽样的方法
（1）抽签法：
把总体中的N个个体编号，把编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌，最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需的个数．
（2）随机数法：
用随机数工具产生编号范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本．重复上述过程，直到抽足样本所需的个数．
①用随机试验生成随机数；
②用信息技术生成随机数；
③用计算器生成随机数；
④用电子表格软件生成随机数；
⑤用R统计软件生成随机数．
3、抽签法与随机数表法的异同点
【即学即练1】（2024·高三·全国·专题练习）下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是（ ）
A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本
B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验
C．从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验
D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛
知识点02 分层抽样
1、分层抽样定义
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫分层抽样．
2、分层抽样适用范围
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往采用分层抽样．
3、分层抽样的步骤
（1）根据已掌握的信息，将总体分成若干部分．
（2）根据总体中的个体数N和样本容量n计算出抽样比．
（3）根据抽样比k计算出各层中应抽取的个体数：（其中为第i层所包含的个体总数）．
（4）按步骤3所确定的数在各层中随机抽取个体，并合在一起得到容量为n的样本．
4、两种抽样方法的区别和联系
【即学即练2】（2024·内蒙古赤峰·一模）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高二年级的学生中抽取人，则应从高三年级抽取 名学生．
题型一：简单随机抽样的概念
【典例1-1】（2024·高二·上海·期末）已知一个总体含有N个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体，则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率（ ）
A．变小B．变大C．相等D．无法确定
【典例1-2】（2024·高一·全国·课后作业）下列4个抽样中，简单随机抽样的个数是（ ）
①从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
③某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的党员官兵赶赴某市参加抗震救灾工作；
④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.
A．0B．1
C．2D．3
【变式1-1】（2024·高一·陕西宝鸡·阶段练习）某校在一次期中作业检查中，对高一（6）班61位同学的作业进行抽样调查，先采用抽签法从中剔除一个人，再从余下的60人中随机抽取6人，下列说法正确的是（ ）
A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会
B．每个人被抽到的机会不相等
C．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会相等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的机会也是相等的
D．由于采用了两步进行的抽样，所以无法判断每个人被抽的可能性是多少
【变式1-2】（2024·高一·陕西宝鸡·期末）以下说法中正确的是（ ）
A．用简单随机抽样方法抽取样本，样本量越大越好
B．抽签法是实现简单随机抽样的唯一方法
C．通过查询获得的数据叫做二手数据
D．通过调查获取的数据一定可以获得好的分析结果
【变式1-3】（2024·高一·全国·课后作业）下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．从无数张高考试卷中抽取10份作为样本
B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验
C．从整数集中逐个抽取10个分析是奇数还是偶数
D．运动员从8个跑道中随机抽取一个跑道
【方法技巧与总结】（简单随机抽样的判断方法）
判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的四个特征：
上述四点特征，如果有一点不满足，就不是简单随机抽样．
题型二：抽签法的应用
【典例2-1】（2024·高一·全国·专题练习）某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛，制作了11个形状、大小相同的签，抽签中确保公平性的关键是（ ）
A．制签B．搅拌均匀C．逐一抽取D．抽取后不放回
【典例2-2】（2024·高三·全国·专题练习）甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动．抽签决定谁去．那你认为抽到的概率大的是（ ）．
A．先抽的概率大些
B．三人的概率相等
C．无法确定谁的概率大
D．以上都不对
【变式2-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（ ）
A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
【变式2-2】（2024·高二·新疆巴音郭楞·期中）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除一个人，再在剩余的100中随机抽取10人，那么下列说法正确的是（ ）
A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会
B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的机会也是均等的
C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少
D．每个人被抽到的可能性不相等
【变式2-3】（2024·高一·全国·课时练习）已知一个总体中有n个个体，用抽签法从中抽取一个容量为20的样本.若每个个体被抽到的可能性是，则n等于（ ）
A．10B．50C．100D．不确定
【方法技巧与总结】（抽签法的应用条件及注意点）
（1）一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法．
（2）应用抽签法时应注意以下几点：
①分段时，如果已有分段可不必重新分段；
②签要求大小、形状完全相同；
③号签要均匀搅拌；
④要逐一不放回的抽取．
题型三：随机数法的应用
【典例3-1】（2024·云南贵州·二模）本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这55位学生按01、02、、55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应的学生编号为（ ）
0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011
1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607
0140 0523 2617 3726 3890 5124 5179 3014 2310 2118 2191
A．51B．25C．32D．12
【典例3-2】（2024·高一·全国·专题练习）高一某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取6位同学组建“文明校园督查组”.选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6位同学的编号为（ ）
41792 71635 86089 32157 95620 92109 29145
74955 82835 98378 83513 47870 20799 32122
A．29B．21C．14D．09
【变式3-1】（2024·高一·全国·专题练习）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（ ）.
A．0.25B．0.4C．0.6D．0.75
【变式3-2】（2024·云南·二模）本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这55位学生按进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应的学生编号为（ ）
A．51B．25C．32D．12
【变式3-3】（2024·高一·全国·开学考试）某公司利用随机数表对生产的300支新冠疫苗第一针进行抽样测试，先将疫苗按000，001，，299进行编号，从中抽取15个样本，选定从第3行第4列的数开始向右读取3个数字（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），则选出来的第4个个体的编号为（ ）
A．135B．141C．101D．290
【变式3-4】（2024·陕西西安·一模）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623B．328C．072D．457
【变式3-5】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）某班对上学期期末成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将个同学的成绩按进行编号，然后从随机数表第行第列的数开始向右读，抽取一个容量为的样本，则选出的第个个体是（ ）（注：如下为随机数表的第8行和第9行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 45 07 44 38 15 51 00 13
A．07B．25C．42D．52
【方法技巧与总结】（随机数法解题步骤）
第一步，编号．
第二步，生成随机数．
第三步，记录样本编号．
第四步，抽取样本．
题型四：简单随机抽样的概率
【典例4-1】（2024·高一·陕西西安·期中）对总数为200的一批零件，抽一个容量为的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则为（ ）
A．50B．100
C．25D．120
【典例4-2】（2024·高二·新疆·学业考试）对总数为的一批零件抽取一容量为20的样本，若每个零件被抽取的可能性为20%，则为（ ）
A．150B．120C．100D．40
【变式4-1】（2024·高一·全国·课时练习）某中学高一年级有700人，高二年级有600人，高三年级有500人，从该中学学生中用简单随机抽样的方法抽取一个样本，若已知每人被抽取的机会为0.03，则样本容量n为（ ）
A．54B．21C．18D．15
【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）用简单随机抽样的方法从含个个体的总体中，逐个抽取一个容量为3的样本，若其中个体a在第一次就被抽取的可能性为，那么（ ）
A．8B．24
C．72D．无法计算
【变式4-3】（2024·高一·全国·专题练习）某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式4-4】（2024·高一·浙江温州·期末）利用简单随机抽样，从个个体中抽取一个容量为10的样本.若抽完第一个个体后，余下的每个个体被抽到的机会为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会为（ ）
A．B．C．D．
题型五：简单随机抽样估计总体
【典例5-1】（2024·高二·全国·课时练习）我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒．则这批米内夹谷约为（ ）．（结果精确到整数）
A．133石B．169石C．337石D．1364石
【典例5-2】（2024·高三·湖北·阶段练习）我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类，全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类．题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献．《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1500石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得304粒夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．148石B．149石C．150石D．151石
【变式5-1】（2024·高二·宁夏吴忠·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．222石B．220石C．230石D．232石
【变式5-2】（2024·高一·全国·课后作业）对于总数的一批零件，抽取一个容量为30的样本.若每个零件被抽到的可能性均为25%，则（ ）
A．120B．150C．200D．240
【变式5-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名.具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2.
表1 田径综合赛项目及积分规则
表2 某队模拟成绩明细
根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是:（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【变式5-4】（2024·辽宁朝阳·模拟预测）一般来说，一个班级的学生学号是从1 开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3、21、17、19、36、8、32、24，则该班学生总数最可能为
A．39人B．49人C．59人D．超过59人
题型六：分层抽样的概念
【典例6-1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ）
A．①②都采用简单随机抽样
B．①②都采用分层随机抽样
C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样
D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样
【典例6-2】（2024·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期末）树人中学高一年级有712名学生，男生有326名，女生有386名，想抽取样本了解高一年级的平均身高，为减少“极端”样本的出现，你认为比较合适的抽样方法为（ ）
A．抽签法B．随机数法C．分层抽样D．其他方法
【变式6-1】（2024·高二·上海长宁·期末）①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（ ）
A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样
C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样
【变式6-2】（2024·高二·内蒙古巴彦淖尔·期末）为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（ ）
A．抽签法B．按性别分层随机抽样
C．按年龄段分层随机抽样D．随机数法
【变式6-3】（2024·高三·陕西榆林·期中）某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为60的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）
A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法
【变式6-4】（2024·高一·全国·课时练习）在个零件中，有一级品个，二级品个，三级品个，从中抽取个作为样本．
方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号，用抽签法抽取个．
方法二：采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取个，从二级品中随机抽取个，从三级品中随机抽取个．
对于上述问题，下列说法正确的是（ ）
①不论采用哪种抽样方法，这个零件中每一个零件被抽到的可能性都是；
②采用不同的方法，这个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；
③在上述两种抽样方法中，方法抽到的样本比方法抽到的样本更能反映总体特征；
④在上述抽样方法中，方法抽到的样本比方法抽到的样本更能反映总体的特征．
A．①②B．①③
C．①④D．②③
【方法技巧与总结】（分层抽样的依据）
（1）适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．
（2）样本能更充分地反映总体的情况．
（3）等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．
题型七：分层抽样中各层样本容量的计算
【典例7-1】（2024·高一·江苏·专题练习）某网站欲调查网民对当前网页的满意程度，在登录的所有网民中，收回有效帖子共50000份，其中持各种态度的份数如下表所示.
为了调查网民的具体想法和意见，以便决定如何更改才能使网页更完美，打算从中抽选500份，为使样本更具有代表性，则每类帖子中各应抽选出 份.
【典例7-2】（2024·高三·辽宁·开学考试）据统计，某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n人，若青年旅客抽到60人，则 .
【变式7-1】（2024·高三·四川巴中·阶段练习）某学校师生共有3600人，现用分层抽样方法抽取一个容量为240的样本，已知样本中教师人数为30人，则该校学生人数为
【变式7-2】（2024·高三·全国·专题练习）在中国共产党建党100周年之际，某外国语学校组织了“党史知识竞赛”活动，已知该外国语学校共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽取了14人，高二年级抽取了15人，则该校高一年级学生人数为 .
【变式7-3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）《中国医保药品管理改革进展与成效》蓝皮书发布，指出我国从2018年开始连续4年开展国家医保药品目录调整工作，现行版目录内西药和中成药共计2860种，其中中成药有1374种．用分层抽样的方法从中抽出143种医保药品，则从中成药目录中抽出的有 种．（四舍五入精确到个位）
【方法技巧与总结】（分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法）
（1）已知总体容量、样本容量及各层的个体数时，首先确定抽样比，其中为总体容量，为样本容量；然后确定每层抽取的个体的个数，其中为第层的个体数，为第层应抽取的个体数．
（2）已知各层个体数之比为，样本容量为时，每层抽取的个体数为．
题型八：分层抽样的应用
【典例8-1】（2024·高一·全国·专题练习）某学校有高中生500人.其中男生320人，女生180人.为了获得全体高中生身高的信息，按照分层随机抽样原则抽取样本，男生样本量为32，女生样本量为18，通过计算得男生身高样本均值为173.5cm，方差为17，女生身高样本均值为163.83cm，方差为30.03，求所有数据的样本均值.
【典例8-2】（2024·高一·全国·专题练习）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30
(1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值为多少?
(2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值为多少?
【变式8-1】（2024·高一·全国·课后作业）某公司有1000名员工，其中50名属于高收入者，150名属于中等收入者，800名属于低收入者．要对该公司员工的具体收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当怎样抽样比较合理？
【变式8-2】（2024·高一·全国·课后作业）某学校开展学生对教师任教满意度的调查活动．首先，通过问卷对全体学生进行普查，然后根据普查结果，抽取一部分学生进行访谈．
下表是该学校在普查中对某位教师任教的所有班级（4个班级）的满意度调查结果：
现在，想从这4个班级中选取一部分学生进行访谈．有4名同学是这样操作的：
同学甲从2号班级、4号班级中抽取一部分同学进行访谈．
同学乙从1号班级、2号班级中抽取一部分同学进行访谈．
同学丙从1号班级、3号班级中抽取一部分同学进行访谈．
同学丁从3号班级、4号班级中分别抽取一部分同学进行访谈．
你认为哪名同学的调查更合理？
【变式8-3】（2024·高一·全国·随堂练习）为了评估某校的教学水平，将抽取这个学校高三年级部分学生本学年的考试成绩进行考察．为了全面反映实际情况，采取以下两种抽样方式（已知该校高三年级共有10个教学班400名学生，并且每个班的学生都已经按随机方式编好了学号，假定每班人数都相同）：
方式1：从全年级10个班中任意抽取一个班，考察他们的成绩；
方式2：把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别（若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有60名，良好学生有180名，普通学生有160名），从中按比例抽取40名学生进行考察．
根据上面的叙述，试回答下列问题：
(1)上面两种抽样方式各自采用何种抽取样本的方法？
(2)分别写出上面两种抽样方式各自抽取样本的步骤．
【变式8-4】（2024·高一·全国·课时练习）某企业共有1600名职工，其中，老年、中年、青年职工的比例为，现用分层随机抽样的方法从所有的职工中抽取一个样本容量为200的样本，那么从中年职工中抽取多少人？
【方法技巧与总结】（分层抽样注意事项）
（1）分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与总体结构相似．在实际操作时，并不排斥与其他抽样方法联合使用．
（2）在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比．
一、单选题
1．（2024·高一·江苏·专题练习）为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽查了其中100名同学的视力情况.在这个过程中，100名同学的视力情况（数据）是（ ）
A．总体B．个体
C．总体的一个样本D．样本容量
2．（2024·高一·贵州遵义·阶段练习）某厂家生产的钢笔有蘸水式钢笔、自来水式钢笔和墨囊钢笔，这三种钢笔某月的产量分别为5万支，15万支，20万支．为检验该厂家的钢笔质量，现用按比例分层随机抽样的方法从该月生产的钢笔中抽取1000支进行检验，则自来水式钢笔应抽取（ ）
A．375支B．350支C．125支D．500支
3．（2024·高一·甘肃金昌·阶段练习）在北京冬奥会期间，共有超过1.8万名赛会志愿者和20余万人次城市志愿者参与服务.据统计某高校共有本科生1000人，硕士生200人，博士生20人申请报名做志愿者，现用分层随机抽样方法从中抽取一批志愿者，若抽取的博士生是4人，则从该高校抽取的志愿者总人数为（ ）
A．224人B．244人C．264人D．294人
4．（2024·高一·全国·专题练习）高一某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取6位同学组建“文明校园督查组”.选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6位同学的编号为（ ）
41792 71635 86089 32157 95620 92109 29145
74955 82835 98378 83513 47870 20799 32122
A．29B．21C．14D．09
5．（2024·高一·全国·开学考试）调查显示，某地区一天共享电动车的使用者中，年龄在岁之间、岁之间、50岁以上的人数分别为280，180，40.现采用分层随机抽样的方法从中抽取名使用者参与调查，其中年龄在岁之间的人数为9，则（ ）
A．25B．24C．22D．20
6．（2024·高一·全国·开学考试）某公司利用随机数表对生产的300支新冠疫苗第一针进行抽样测试，先将疫苗按000，001，，299进行编号，从中抽取15个样本，选定从第3行第4列的数开始向右读取3个数字（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），则选出来的第4个个体的编号为（ ）
A．135B．141C．101D．290
7．（2024·高一·江西·阶段练习）2023年度江西省大学生电子商务创新创业挑战赛启动以来，该比赛受到了全省各高校和广大师生的高度重视并得到积极响应，真实场景的竞赛内容与形式极大地激发了大学生的创新创业热情．已知参加该比赛的高校共63所，其中本科院校有30所，高职院校有33所．若采用分层随机抽样的方法从所有本次参赛的院校中，随机抽取21所高校的比赛风采照片进行展示，则被抽取到的本科院校有（ ）
A．9所B．10所C．11所D．12所
8．（2024·高一·湖南·期中）已知两个问题：（1）某学校为了了解2017年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科200名考生，理科800名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．（2）从10名家长中抽取3名参加座谈会．
三种方法：Ⅰ简单随机抽样法．Ⅱ系统抽样法．Ⅲ分层抽样法．则问题（1）、（2）与方法Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ配对合理的是
A．（1）Ⅲ，（2）ⅠB．（1）Ⅰ，（2）Ⅱ
C．（1）Ⅱ，（2）ⅠD．（1）Ⅲ，（2）Ⅱ
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）为了实现教育资源的均衡化，某地决定派遣480名教师志愿者（480名教师情况如图）轮流支援当地的教育工作．若第一批志愿者采用分层抽样的方法随机派遣150名教师，则（ ）
A．派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同
B．派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的10%
C．派遣的老年教师有144人
D．派遣的青年女教师有15人
10．（2024·高一·全国·课时练习）某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2 400人、中部地区的学生有1 600人、西部地区的学生有1 000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有（ ）
A．用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人
B．用简单随机抽样的方法从新生中选出100人最适合
C．西部地区学生小刘被选中的可能性为
D．中部地区学生小张被选中的可能性为
11．（2024·高二·河北沧州·阶段练习）某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为的名学生进行了调查.调查中使用了两个问题，问题：你的编号是否为奇数？问题：你是否经常吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球个，红球个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题，摸到红球则如实回答问题，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌地给出真实的答案.最后统计得出，这人中，共有人回答“是”，则下列表述正确的是（ ）
A．估计被调查者中约有人吸烟
B．估计约有人对问题的回答为“是”
C．估计该地区约有的中学生吸烟
D．估计该地区约有的中学生吸烟
12．（2024·高二·福建三明·期末）某教师退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为9000元/月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1800元，则下面结论中正确的是（ ）
A．该教师退休前每月储蓄支出2700元
B．该教师退休工资收入为6000元/月
C．该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍
D．该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出多
三、填空题
13．（2024·云南楚雄·模拟预测）以“塑造软件新生态，赋能发展新变革”为主题的第二十五届中国国际软件博览会于2023年8月31日在天津开幕.本次参会人员分不同区域落座，其中某个区域的男性参会人员有25人，女性参会人员有15人，现按性别比例进行分层抽样，若从该区域随机抽取16位参会人员，则女性参会人员应抽取的人数为 .
14．（2024·高一·新疆喀什·期末）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200、400、300、100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从甲种型号的产品抽取 件.
15．（2024·高二·四川成都·期中）某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则 ．
16．（2024·高一·湖南永州·期末）某学校为了解高一学生每天阅读时长，从高一男生和女生中采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查分析．已知该学校高一学生中男生和女生的比例是，在抽取的学生中男生比女生多24人，则被抽取的学生人数是 ．
四、解答题
17．（2024·高一·全国·专题练习）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30
(1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值为多少?
(2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值为多少?
18．（2024·高一·全国·随堂练习）为了评估某校的教学水平，将抽取这个学校高三年级部分学生本学年的考试成绩进行考察．为了全面反映实际情况，采取以下两种抽样方式（已知该校高三年级共有10个教学班400名学生，并且每个班的学生都已经按随机方式编好了学号，假定每班人数都相同）：
方式1：从全年级10个班中任意抽取一个班，考察他们的成绩；
方式2：把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别（若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有60名，良好学生有180名，普通学生有160名），从中按比例抽取40名学生进行考察．
根据上面的叙述，试回答下列问题：
(1)上面两种抽样方式各自采用何种抽取样本的方法？
(2)分别写出上面两种抽样方式各自抽取样本的步骤．
课程标准
学习目标
（1）掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数表法的一般步骤．
（2）掌握分层抽样的实施步骤.
（3）了解简单随机抽样与分层抽样的区别和联系．
（1）了解简单随机抽样的必要性和重要性.
（2）理解简单随机抽样的目的和基本要求.
（3）理解分层抽样的基本思想和适用情形.
抽签法
随机数表法
不同点
①抽签法比随机数表法简单；
②抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况
①随机数表法要求编号的位数相同；
②随机数表法适用于总体中的个体数相对较多的情况
相同点
①都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个数有限；②都是从总体中逐个不放回地抽取
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中各个个体被抽到的机会相等，且都是不放回抽取
从总体中逐个抽取
最基本的抽样方法
总体容量较少
分层抽样
抽样过程中各个个体被抽到的机会相等，且都是不放回抽取
将总体分成几部分，每一部分按比例抽取
每层抽样时采用简单随机抽样
总体由差异明显的若干部分组成
0627
4313
2432
5327
0941
2512
6317
6323
2616
8045
6011
1410
9577
7424
6762
4281
1457
2042
5332
3732
2707
3607
5124
5179
3014
2310
2118
2191
3726
3890
0140
0523
2617
1676622766
5650267107
3290797853
1355385859
8897541410
1256859926
9696682731
0503729315
5712101421
8826498176
5559563564
3854824622
3162430990
0618443253
2383013030
很满意
满意
一般
不满意
10800
12400
15600
11200
班级编号
1
2
3
4
满意度/%
98
97
90
91
1676622766
5650267107
3290797853
1355385859
8897541410
1256859926
9696682731
0503729315
5712101421
8826498176
5559563564
3854824622
3162430990
0618443253
2383013030
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