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苏教版 (2019)必修 第二册第11章 解三角形11.2 正弦定理精品测试题
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这是一份苏教版 (2019)必修 第二册第11章 解三角形11.2 正弦定理精品测试题，文件包含苏教版数学高一必修第二册112正弦定理分层练习原卷版docx、苏教版数学高一必修第二册112正弦定理分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
分层练习
基础篇
一、单选题
1．（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断正确的是（ ）
A．，，，有两解B．，，，有一解
C．，，，有一解D．，，，无解
【答案】D
【解析】因为，，如图于，
由直角可得.
当或时，有一解；
当时，无解；
当时，有两解.
结合四个选项，可知，选项A，B，C三项错误.
故选：D
2．在中，角、、的对边分别为、、，其中有两解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【解析】对于A项，方法1：∵，，
∴，
∴由正弦定理得：
∴a、c值唯一确定，
∴只有一解.
方法2：如图所示，
∴只有一解. 故选项A错误；
对于B项，方法1：由余弦定理得：，
∴只有一解.
方法2：如图所示，
∴只有一解. 故选项B错误；
对于C项，方法1：由正弦定理得：，解得：
又∵ ∴角B有两个解.
方法2：如图所示，
∵，
∴，
∴角B有两个解. 故选项C正确；
对于D项 ，方法1：∵，∴，又∵，∴，
∴不存在这样的三角形.
方法2：如图所示，
∵，
∴
∴此时A、B、C三点不能构成三角形. 故选项D错误；
故选：C.
3．如图，等腰是BC上一点，、的外接圆半径分别为、，则的值为（ ）．
A．1B．C．D．由D点的位置确定
【答案】A
【解析】在中，
，
在中，
，
因为，，
所以，
所以，
所以，
故选：A
4．在中，已知，则是（ ）
A．直角三角形；B．锐角三角形；C．钝角三角形；D．等边三角形．
【答案】A
【解析】解：由已知，所以，
因为，所以，即三角形为直角三角形．
故选：A．
5．在△中，内角的对边分别是，且，则等于（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】A
【解析】在三角形中，
由正弦定理可得：.
故选：A.
6．（2022春·吉林延边·高一延边第一中学校考期中）在中，已知，则满足条件的三角形（ ）
A．有2个B．有1个C．不存在D．无法确定
【答案】A
【解析】由正弦定理可得，又
所以，所以，
因为，所以 ,又
所以或
∴满足条件的三角形有2个．
故选：A.
7．（2022春·河南安阳·高一统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且AB边上的中线，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【解析】由，得，
如图，作出平行四边形ACBE，则与的面积相等.在中，，，则，∴.
又，∴，
∴，
故面积的最大值为.
故选：A
8．（2022春·湖南衡阳·高一统考期末）记的内角、、的对边分别为、、，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，则为锐角，且，
因为，由正弦定理可得.
故选：B.
二、多选题
9．（2022春·福建泉州·高一校考阶段练习）在中，若，则为（ ）
A．60°B．150°C．120°D．30°
【答案】AC
【解析】解：因为，
所以(大边对大角)，
由正弦定理可知，
∴，
又因为，
∴或．
故选:．
10．（2022春·广西柳州·高一校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．若，则的面积是15D．若，则外接圆半径是
【答案】AD
【解析】设，，，，
则，，，
对于A ，，故A正确；
对于B ，，故B不正确；
对于C，若，则，，，
所以，所以，
所以的面积是，故C不正确；
对于D，若，则，则，则，，，
所以，，
所以外接圆半径为.故D正确.
故选：AD
11．（2022秋·山东聊城·高一聊城二中校考阶段练习）已知的斜边长为2．则下列关于的说法中，错误的是（ ）
A．周长的最大值为B．周长的最小值为
C．面积的最大值为2D．面积的最小值为1
【答案】BCD
【解析】解：由题知，设斜边为，则，．
先研究面积：，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值是1．
C、D选项都是错误的；
再研究周长：，，
，，，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值为，周长的最大值为，故B选项错误.
综上，选BCD．
故选：BCD
12．（2022春·广东广州·高一校联考期中）已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，下列命题正确的有（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若A>B，则
D．若，，则外接圆半径为10
【答案】ABC
【解析】A.因为，，，
由余弦定理得：，解得，故A正确；
B.因为，，，由正弦定理得：，
解得，故B正确；
C.因为，所以，
由正弦定理，得(R为外接圆半径)，
所以，故C正确；
D.因为，，设R为外接圆半径，
由正弦定理，，所以，故D错误.
故选：ABC
三、填空题
13．（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）若的内角，，满足，则的最大值为______.
【答案】
【解析】已知，由正弦定理可知，
则，因为，即，
所以，则，且当时，角最大，而在上单调递增，
此时，所以.
故答案为：.
14．在中，若，则A＝______．
【答案】
【解析】由正弦定理设，
则，
又，
，即，
所以为直角三角形，且
故答案为：.
15．在平面直角坐标系xOy中，已知，将OA绕点逆时针旋转到OC，则的面积为______．
【答案】
【解析】∵，，
∴.
故答案为：.
16．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则______．
【答案】
【解析】由余弦定理得，
解得，负值舍去，
由正弦定理得
故答案为：.
四、解答题
17．（2022春·吉林长春·高一校考期中）在中，角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求该三角形的周长.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由以及正弦定理得，
得，
得，
因为为三角形的内角，所以，
所以，因为为三角形的内角，所以.
（2）依题意可得，所以，所以，
又由，得，
所以，所以，
所以该三角形的周长为.
18．（2022春·上海普陀·高一校考期末）中，角、、所对的边分别为、、，已知.
(1)求边、的长度；
(2)求的面积及其外接圆半径.
【答案】(1)；(2)；4
【解析】（1）因为，所以在中，，
由正弦定理得：，也即，
所以；
（2）由三角形的面积公式可得：的面积，
由正弦定理可得：外接圆半径.
19．（2022春·黑龙江佳木斯·高一建三江分局第一中学校考期末）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，，
(1)求角B的大小；
(2)若AD是BAC的内角平分线，当ABC面积最大时，求AD的长．
【答案】(1)；(2)．
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
由余弦定理得，又，所以．
（2）在中，由余弦定理得，
则，即.
∵，，∴，
当且仅当时，，
所以.
此时，.
在中，，
由正弦定理得.
20．（2022春·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期末）已知函数，其中，，．
(1)求函数的单调递减区间．
(2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且向量与共线，求边长b和c的值．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）
，
由题意有，
解得
所以单调递减区间为；
（2），
，
，
与向量共线，
，
.
提升篇
一、单选题
1．（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最小内角是最大内角的一半
C．是钝角三角形
D．若，则的外接圆直径为
【答案】B
【解析】由，
不妨设，，，，解得，，.
由正弦定理知，即A选项错误；
∵，∴最大的内角为，最小的内角为，
由余弦定理知，，，
，角A和角C都为锐角，故，即B选项正确；
最大的内角为，∵，∴为锐角，是锐角三角形，即C选项错误；
∵，∴，由正弦定理，
∴的外接圆直径，即D选项错误.
故选：B
2．（2022春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）已知中，角A、B、C的对边分别为、、，若，则的值为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】C
【解析】因为，所以
即，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
整理得：，
所以
故选：C
3．（2022秋·天津南开·高一统考期末）已知中，，则（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】B
【解析】因为在中，，所以，
所以，由正弦定理可得，故，故为锐角，
所以，
所以.
故选：B.
4．（2022春·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期末）在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量，，共线，则形状为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】解：向量，共线，
．
由正弦定理得：．
．
，
所以
则．
，即．
同理由，共线，可得．
形状为等边三角形．
故选：A．
5．（2022春·福建·高一福建师大附中校考期末）在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（ ）
A．14B．16C．24D．25
【答案】B
【解析】解：因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4．
设内角，，所对的边分别为，，．
因为，所以，所以．
因为，
所以．
设内切圆与边切于点，与边切于点，与边切于点，
由可求得，（舍）
所以，，则．
由三角形内切圆的性质可知
所以，，所以．
所以．
又因为，
所以，即，
整理得．
因为，所以，当且仅当时，取得最小值．
故选：B．
6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】因为，所以，即；
因为，由正弦定理可得①；
因为，所以，
所以，整理得②；
由①②可得，解得或（舍）.
故选：B.
7．在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【解析】因为，，三角形的面积，
所以,即，解得，
由余弦定理，得，解得，
由正弦定理，得,解得.
故选：B.
8．（2022春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期末）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的值为（ ）
A．0B．1C．2021D．2022
【答案】C
【解析】在中，由余弦定理得：，
所以
.
故选：C
二、多选题
9．（2022春·广西百色·高一校考期中）在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A．，有唯一解
B．，无解
C．，有两解
D．，有唯一解
【答案】AD
【解析】解：选项，已知三边三角形确定，有唯一解，正确；
选项，由正弦定理得：，则，再由大边对大角可得，故可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B错误；
选项C，由正弦定理得：，则，且，由大边对大角可得，则只能为锐角，故三角形有唯一解，C错误；
选项D，由正弦定理得：，，由于，则是锐角，有唯一解，D正确.
故选：AD.
10．（2022春·安徽池州·高一统考期中）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为S，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A．若为锐角三角形，则
B．若，则
C．若，则一定是等腰三角形
D．若为斜三角形，则
【答案】ABD
【解析】对于A，若为锐角三角形，可得且，
可得，且，根据正弦定理的单调性，
可得，所以，故A正确；
对于B，在中，由知，根据正弦定理可得，故B正确；
对于C，由正弦定理知，，则
可得，故或，
是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，在中，可得则，
所以，即，
可得，故D正确.
故选：ABD.
11．（2022春·吉林长春·高一长春市实验中学校考阶段练习）在中，下列命题正确的是（ ）
A．是的充要条件
B．若，则是等腰三角形
C．若，，则是等边三角形
D．若，则
【答案】ABCD
【解析】对于A,由可知，所以由正弦定理可得，反之也成立，正确；
对于B,由可得,
则 ,由于 ,故A=B, 则是等腰三角形,正确；
对于C，，，则 ，
即，则是等边三角形，正确；
对于D，，则,
所以,故，
由于 ,所以 ，正确，
故选;ABCD
12．（2022春·重庆·高一统考学业考试）在中，角,,所对的边分别为,,，下列四个命题中，正确的命题为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则这个三角形有两解
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，则
所以，故A错误;
对于B, 若，又，则，，
则，故B正确;
对于C，若，则
由正弦定理可得（为的外接圆半径）
所以，故C正确;
对于D, 由正弦定理得,所以,由得,
所以为锐角或钝角，有两解，故D正确.
故选: BCD
三、填空题
13．（2022秋·河北保定·高一保定一中校考期末）是等边三角形ABC的外接圆，若的半径为2，则的面积为_________．
【答案】
【解析】因为是等边三角形ABC的外接圆，且的半径为2，
由正弦定理（其中为三角形外接圆的半径）可得，解得，
所以
故答案为：
14．在锐角中， 角所对的边长，的面积为，外接圆半径，则的周长为_______.
【答案】
【解析】在锐角中，由正弦定理得，则，
由三角形面积得，解得，
由余弦定理得：，
解得，
所以的周长为.
故答案为：
15．（2022春·浙江·高一期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知BC边上的高为，若恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】，故，
又可转化为，
故，
所以，故，
所以，
因为，故，故，
当且仅当时等号成立，故即，
故答案为：.
16．（2022春·福建·高一福建师大附中校考期末）已知的内角A､B､C的对边分别为a，b，c，，且的面积为，，则___________.
【答案】
【解析】解：由及正弦定理可得，即，
∴
∵，∴
由的面积为，得
又∵，
∴，整理得，
∴.
故答案为：
四、解答题
17．（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求．
(2)若 ， 求．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）在中，由正弦定理及得：，
即有，而，有，因此，又，
所以.
（2）由（1）知，，又，由余弦定理得，
，解得，
所以的面积.
18．（2022春·上海崇明·高一上海市崇明中学校考期中）在中，角为锐角，且，其中．
(1)证明：；
(2)求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由正弦定理 和，
得，所以；
（2）因为角为锐角，所以，
所以，所以，
则，即，所以，
所以或，
所以实数的取值范围．
19．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）在中，内角的对边分别为，已知.
(1)求内角；
(2)若为锐角三角形且，求周长的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）在中，因为，由正弦定理得：
化简得：.
因为，所以，所以，即，所以，即.
因为，所以.所以.
（2）在中，由正弦定理得，所以.
同理，所以周长：
，
因为为锐角三角形，所以，由，所以，所以，
所以周长的取值范围是：
20．（2022春·福建厦门·高一统考期末）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)若，求c；
(2)点A，B，C分别在等边△DEF的边DE，EF，FD上（不含端点）.若△DEF面积的最大值为7，求c.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为，
所以由正弦定理得，
因为，
所以,
，
，
因为，
所以，
所以，
，
因为，
所以，，
因为，，
所以由余弦定理得，
，，
，得（舍去），或
（2）由（1）可知，，
由于△DEF面积的最大值为7，则，得
所以的最大值为，
因为，所以，
因为，所以，
设，则，
在中，由正弦定理得
所以，得，
在中，由正弦定理得，
所以，得，
所以
，其中，
所以当时，取得最大值，
所以，
所以，
所以，即，
所以，
解得或（舍去），
分层练习
基础篇
一、单选题
1．（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断正确的是（ ）
A．，，，有两解B．，，，有一解
C．，，，有一解D．，，，无解
【答案】D
【解析】因为，，如图于，
由直角可得.
当或时，有一解；
当时，无解；
当时，有两解.
结合四个选项，可知，选项A，B，C三项错误.
故选：D
2．在中，角、、的对边分别为、、，其中有两解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【解析】对于A项，方法1：∵，，
∴，
∴由正弦定理得：
∴a、c值唯一确定，
∴只有一解.
方法2：如图所示，
∴只有一解. 故选项A错误；
对于B项，方法1：由余弦定理得：，
∴只有一解.
方法2：如图所示，
∴只有一解. 故选项B错误；
对于C项，方法1：由正弦定理得：，解得：
又∵ ∴角B有两个解.
方法2：如图所示，
∵，
∴，
∴角B有两个解. 故选项C正确；
对于D项 ，方法1：∵，∴，又∵，∴，
∴不存在这样的三角形.
方法2：如图所示，
∵，
∴
∴此时A、B、C三点不能构成三角形. 故选项D错误；
故选：C.
3．如图，等腰是BC上一点，、的外接圆半径分别为、，则的值为（ ）．
A．1B．C．D．由D点的位置确定
【答案】A
【解析】在中，
，
在中，
，
因为，，
所以，
所以，
所以，
故选：A
4．在中，已知，则是（ ）
A．直角三角形；B．锐角三角形；C．钝角三角形；D．等边三角形．
【答案】A
【解析】解：由已知，所以，
因为，所以，即三角形为直角三角形．
故选：A．
5．在△中，内角的对边分别是，且，则等于（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】A
【解析】在三角形中，
由正弦定理可得：.
故选：A.
6．（2022春·吉林延边·高一延边第一中学校考期中）在中，已知，则满足条件的三角形（ ）
A．有2个B．有1个C．不存在D．无法确定
【答案】A
【解析】由正弦定理可得，又
所以，所以，
因为，所以 ,又
所以或
∴满足条件的三角形有2个．
故选：A.
7．（2022春·河南安阳·高一统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且AB边上的中线，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【解析】由，得，
如图，作出平行四边形ACBE，则与的面积相等.在中，，，则，∴.
又，∴，
∴，
故面积的最大值为.
故选：A
8．（2022春·湖南衡阳·高一统考期末）记的内角、、的对边分别为、、，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，则为锐角，且，
因为，由正弦定理可得.
故选：B.
二、多选题
9．（2022春·福建泉州·高一校考阶段练习）在中，若，则为（ ）
A．60°B．150°C．120°D．30°
【答案】AC
【解析】解：因为，
所以(大边对大角)，
由正弦定理可知，
∴，
又因为，
∴或．
故选:．
10．（2022春·广西柳州·高一校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．若，则的面积是15D．若，则外接圆半径是
【答案】AD
【解析】设，，，，
则，，，
对于A ，，故A正确；
对于B ，，故B不正确；
对于C，若，则，，，
所以，所以，
所以的面积是，故C不正确；
对于D，若，则，则，则，，，
所以，，
所以外接圆半径为.故D正确.
故选：AD
11．（2022秋·山东聊城·高一聊城二中校考阶段练习）已知的斜边长为2．则下列关于的说法中，错误的是（ ）
A．周长的最大值为B．周长的最小值为
C．面积的最大值为2D．面积的最小值为1
【答案】BCD
【解析】解：由题知，设斜边为，则，．
先研究面积：，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值是1．
C、D选项都是错误的；
再研究周长：，，
，，，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值为，周长的最大值为，故B选项错误.
综上，选BCD．
故选：BCD
12．（2022春·广东广州·高一校联考期中）已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，下列命题正确的有（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若A>B，则
D．若，，则外接圆半径为10
【答案】ABC
【解析】A.因为，，，
由余弦定理得：，解得，故A正确；
B.因为，，，由正弦定理得：，
解得，故B正确；
C.因为，所以，
由正弦定理，得(R为外接圆半径)，
所以，故C正确；
D.因为，，设R为外接圆半径，
由正弦定理，，所以，故D错误.
故选：ABC
三、填空题
13．（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）若的内角，，满足，则的最大值为______.
【答案】
【解析】已知，由正弦定理可知，
则，因为，即，
所以，则，且当时，角最大，而在上单调递增，
此时，所以.
故答案为：.
14．在中，若，则A＝______．
【答案】
【解析】由正弦定理设，
则，
又，
，即，
所以为直角三角形，且
故答案为：.
15．在平面直角坐标系xOy中，已知，将OA绕点逆时针旋转到OC，则的面积为______．
【答案】
【解析】∵，，
∴.
故答案为：.
16．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则______．
【答案】
【解析】由余弦定理得，
解得，负值舍去，
由正弦定理得
故答案为：.
四、解答题
17．（2022春·吉林长春·高一校考期中）在中，角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求该三角形的周长.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由以及正弦定理得，
得，
得，
因为为三角形的内角，所以，
所以，因为为三角形的内角，所以.
（2）依题意可得，所以，所以，
又由，得，
所以，所以，
所以该三角形的周长为.
18．（2022春·上海普陀·高一校考期末）中，角、、所对的边分别为、、，已知.
(1)求边、的长度；
(2)求的面积及其外接圆半径.
【答案】(1)；(2)；4
【解析】（1）因为，所以在中，，
由正弦定理得：，也即，
所以；
（2）由三角形的面积公式可得：的面积，
由正弦定理可得：外接圆半径.
19．（2022春·黑龙江佳木斯·高一建三江分局第一中学校考期末）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，，
(1)求角B的大小；
(2)若AD是BAC的内角平分线，当ABC面积最大时，求AD的长．
【答案】(1)；(2)．
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
由余弦定理得，又，所以．
（2）在中，由余弦定理得，
则，即.
∵，，∴，
当且仅当时，，
所以.
此时，.
在中，，
由正弦定理得.
20．（2022春·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期末）已知函数，其中，，．
(1)求函数的单调递减区间．
(2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且向量与共线，求边长b和c的值．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）
，
由题意有，
解得
所以单调递减区间为；
（2），
，
，
与向量共线，
，
.
提升篇
一、单选题
1．（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最小内角是最大内角的一半
C．是钝角三角形
D．若，则的外接圆直径为
【答案】B
【解析】由，
不妨设，，，，解得，，.
由正弦定理知，即A选项错误；
∵，∴最大的内角为，最小的内角为，
由余弦定理知，，，
，角A和角C都为锐角，故，即B选项正确；
最大的内角为，∵，∴为锐角，是锐角三角形，即C选项错误；
∵，∴，由正弦定理，
∴的外接圆直径，即D选项错误.
故选：B
2．（2022春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）已知中，角A、B、C的对边分别为、、，若，则的值为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】C
【解析】因为，所以
即，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
整理得：，
所以
故选：C
3．（2022秋·天津南开·高一统考期末）已知中，，则（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】B
【解析】因为在中，，所以，
所以，由正弦定理可得，故，故为锐角，
所以，
所以.
故选：B.
4．（2022春·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期末）在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量，，共线，则形状为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】解：向量，共线，
．
由正弦定理得：．
．
，
所以
则．
，即．
同理由，共线，可得．
形状为等边三角形．
故选：A．
5．（2022春·福建·高一福建师大附中校考期末）在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（ ）
A．14B．16C．24D．25
【答案】B
【解析】解：因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4．
设内角，，所对的边分别为，，．
因为，所以，所以．
因为，
所以．
设内切圆与边切于点，与边切于点，与边切于点，
由可求得，（舍）
所以，，则．
由三角形内切圆的性质可知
所以，，所以．
所以．
又因为，
所以，即，
整理得．
因为，所以，当且仅当时，取得最小值．
故选：B．
6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】因为，所以，即；
因为，由正弦定理可得①；
因为，所以，
所以，整理得②；
由①②可得，解得或（舍）.
故选：B.
7．在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【解析】因为，，三角形的面积，
所以,即，解得，
由余弦定理，得，解得，
由正弦定理，得,解得.
故选：B.
8．（2022春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期末）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的值为（ ）
A．0B．1C．2021D．2022
【答案】C
【解析】在中，由余弦定理得：，
所以
.
故选：C
二、多选题
9．（2022春·广西百色·高一校考期中）在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A．，有唯一解
B．，无解
C．，有两解
D．，有唯一解
【答案】AD
【解析】解：选项，已知三边三角形确定，有唯一解，正确；
选项，由正弦定理得：，则，再由大边对大角可得，故可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B错误；
选项C，由正弦定理得：，则，且，由大边对大角可得，则只能为锐角，故三角形有唯一解，C错误；
选项D，由正弦定理得：，，由于，则是锐角，有唯一解，D正确.
故选：AD.
10．（2022春·安徽池州·高一统考期中）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为S，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A．若为锐角三角形，则
B．若，则
C．若，则一定是等腰三角形
D．若为斜三角形，则
【答案】ABD
【解析】对于A，若为锐角三角形，可得且，
可得，且，根据正弦定理的单调性，
可得，所以，故A正确；
对于B，在中，由知，根据正弦定理可得，故B正确；
对于C，由正弦定理知，，则
可得，故或，
是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，在中，可得则，
所以，即，
可得，故D正确.
故选：ABD.
11．（2022春·吉林长春·高一长春市实验中学校考阶段练习）在中，下列命题正确的是（ ）
A．是的充要条件
B．若，则是等腰三角形
C．若，，则是等边三角形
D．若，则
【答案】ABCD
【解析】对于A,由可知，所以由正弦定理可得，反之也成立，正确；
对于B,由可得,
则 ,由于 ,故A=B, 则是等腰三角形,正确；
对于C，，，则 ，
即，则是等边三角形，正确；
对于D，，则,
所以,故，
由于 ,所以 ，正确，
故选;ABCD
12．（2022春·重庆·高一统考学业考试）在中，角,,所对的边分别为,,，下列四个命题中，正确的命题为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则这个三角形有两解
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，则
所以，故A错误;
对于B, 若，又，则，，
则，故B正确;
对于C，若，则
由正弦定理可得（为的外接圆半径）
所以，故C正确;
对于D, 由正弦定理得,所以,由得,
所以为锐角或钝角，有两解，故D正确.
故选: BCD
三、填空题
13．（2022秋·河北保定·高一保定一中校考期末）是等边三角形ABC的外接圆，若的半径为2，则的面积为_________．
【答案】
【解析】因为是等边三角形ABC的外接圆，且的半径为2，
由正弦定理（其中为三角形外接圆的半径）可得，解得，
所以
故答案为：
14．在锐角中， 角所对的边长，的面积为，外接圆半径，则的周长为_______.
【答案】
【解析】在锐角中，由正弦定理得，则，
由三角形面积得，解得，
由余弦定理得：，
解得，
所以的周长为.
故答案为：
15．（2022春·浙江·高一期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知BC边上的高为，若恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】，故，
又可转化为，
故，
所以，故，
所以，
因为，故，故，
当且仅当时等号成立，故即，
故答案为：.
16．（2022春·福建·高一福建师大附中校考期末）已知的内角A､B､C的对边分别为a，b，c，，且的面积为，，则___________.
【答案】
【解析】解：由及正弦定理可得，即，
∴
∵，∴
由的面积为，得
又∵，
∴，整理得，
∴.
故答案为：
四、解答题
17．（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求．
(2)若 ， 求．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）在中，由正弦定理及得：，
即有，而，有，因此，又，
所以.
（2）由（1）知，，又，由余弦定理得，
，解得，
所以的面积.
18．（2022春·上海崇明·高一上海市崇明中学校考期中）在中，角为锐角，且，其中．
(1)证明：；
(2)求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由正弦定理 和，
得，所以；
（2）因为角为锐角，所以，
所以，所以，
则，即，所以，
所以或，
所以实数的取值范围．
19．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）在中，内角的对边分别为，已知.
(1)求内角；
(2)若为锐角三角形且，求周长的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）在中，因为，由正弦定理得：
化简得：.
因为，所以，所以，即，所以，即.
因为，所以.所以.
（2）在中，由正弦定理得，所以.
同理，所以周长：
，
因为为锐角三角形，所以，由，所以，所以，
所以周长的取值范围是：
20．（2022春·福建厦门·高一统考期末）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)若，求c；
(2)点A，B，C分别在等边△DEF的边DE，EF，FD上（不含端点）.若△DEF面积的最大值为7，求c.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为，
所以由正弦定理得，
因为，
所以,
，
，
因为，
所以，
所以，
，
因为，
所以，，
因为，，
所以由余弦定理得，
，，
，得（舍去），或
（2）由（1）可知，，
由于△DEF面积的最大值为7，则，得
所以的最大值为，
因为，所以，
因为，所以，
设，则，
在中，由正弦定理得
所以，得，
在中，由正弦定理得，
所以，得，
所以
，其中，
所以当时，取得最大值，
所以，
所以，
所以，即，
所以，
解得或（舍去），
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