2020-2021学年第11章 解三角形11.2 正弦定理第1课时导学案

这是一份2020-2021学年第11章 解三角形11.2 正弦定理第1课时导学案，共5页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )
A．eq \r(3)＋1 B．2eq \r(3)＋1
C．2eq \r(6) D．2＋2eq \r(3)
C [由已知及正弦定理，得eq \f(4,sin 45°)＝eq \f(b,sin 60°)，
∴b＝eq \f(4sin 60°,sin 45°)＝eq \f(4×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝2eq \r(6)．]
2．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq \r(3)，b＝4eq \r(2)，则B等于( )
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
C [∵sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(4\r(2)×\f(\r(3),2),4\r(3))＝eq \f(\r(2),2)，
∴B＝45°或135°．
∵a>b，
∴B＝45°，故选C．]
3．在△ABC中，A>B，则下列不等式中不一定正确的是( )
A．sin A>sin B B．cs AC．sin 2A>sin 2B D．cs 2AC [A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，A正确．由于在(0，π)上，y＝cs x单调递减，∴cs Acs 2A＝1－2sin2A，cs 2B＝1－sin2B，
∵sin A>sin B>0，∴sin2A>sin2B，
∴cs 2A4．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,2) D．eq \f(π,6)
A [由正弦定理知：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．设sin A＝5k，sin B＝7k，sin C＝8k，
∴a＝10Rk，b＝14Rk，c＝16Rk，
∴a∶b∶c＝5∶7∶8，
∴cs B＝eq \f(25＋64－49,2×5×8)＝eq \f(1,2)，
∴B＝eq \f(π,3)．故选A．]
5．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
B [∵a＝bsin A，
∴eq \f(a,b)＝sin A＝eq \f(sin A,sin B)，
∴sin B＝1，
又∵B∈(0，π)，
∴B＝eq \f(π,2)，
即△ABC为直角三角形．]
二、填空题
6．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．
eq \f(\r(6),3) [由三角形内角和定理知A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)得b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(1×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(6),3)．]
7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝eq \r(3)，sin B＝eq \f(1,2)，C＝eq \f(π,6)，则b＝________．
1 [在△ABC中，∵sin B＝eq \f(1,2)，0又∵B＋C<π，C＝eq \f(π,6)，
∴B＝eq \f(π,6)，
∴A＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,6)＝eq \f(2π,3)．
∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
∴b＝eq \f(asin B,sin A)＝1．]
8．在△ABC中，AB＝eq \r(6)，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________．
2 [由正弦定理可知eq \f(AB,sin[180°－75°＋45°])＝eq \f(AC,sin 45°)，即eq \f(\r(6),sin 60°)＝eq \f(AC,sin 45°)，解得AC＝2．]
三、解答题
9．已知在△ABC中，a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，B＝45°，解这个三角形．
[解] 由正弦定理及已知条件有eq \f(\r(3),sin A)＝eq \f(\r(2),sin 45°)，得sin A＝eq \f(\r(3),2)．
∵a>b，∴A>B＝45°，
∴A＝60°或120°．
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(\r(2)sin 75°,sin 45°)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2)；
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(\r(2)sin 15°,sin 45°)＝eq \f(\r(6)－\r(2),2)．
综上，可知A＝60°，C＝75°，c＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2)或A＝120°，C＝15°，c＝eq \f(\r(6)－\r(2),2)．
10．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acs C＋eq \f(\r(3),2)c＝b．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，b＝eq \r(3)，求c的值．
[解] (1)由acs C＋eq \f(\r(3),2)c＝b，
得sin Acs C＋eq \f(\r(3),2)sin C＝sin B．
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋cs Asin C，
所以eq \f(\r(3),2)sin C＝cs Asin C．
因为sin C≠0，所以cs A＝eq \f(\r(3),2)．
因为0＜A＜π，所以A＝eq \f(π,6)．
(2)由正弦定理，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(3),2)．
所以B＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)．
①当B＝eq \f(π,3)时，由A＝eq \f(π,6)，得C＝eq \f(π,2)，所以c＝2；
②当B＝eq \f(2π,3)时，由A＝eq \f(π,6)，得C＝eq \f(π,6)，所以c＝a＝1．
综上可得c＝1或2．
11．在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为eq \f(\r(3)＋1,2)，则三角形的最大角为( )
A．60° B．75° C．90° D．115°
B [不妨设a为最大边，c为最小边，
由题意有eq \f(a,c)＝eq \f(sin A,sin C)＝eq \f(\r(3)＋1,2)，
即eq \f(sin A,sin120°－A)＝eq \f(\r(3)＋1,2)．
整理得(3－eq \r(3))sin A＝(3＋eq \r(3))cs A．
∴tan A＝2＋eq \r(3)．
又∵A∈(0°，120°)，
∴A＝75°，故选B．]
12．(多选题)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2B＝sin Asin C，则角B不可能是( )
A．45° B．60° C．75° D．90°
CD [sin2B＝sin Asin C，由正弦定理得b2＝ac，
由余弦定理得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)≥eq \f(2ac－b2,2ac)＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)．
当且仅当a＝c时等号成立，
又B∈(0°，180°)，则0°13．在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，BC＝3，AB＝eq \r(6)，则C＝________．
eq \f(π,4) [由eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AB,sin C)，得sin C＝eq \f(\r(2),2)．
∵BC＝3，AB＝eq \r(6)，
∴A>C，则C为锐角，故C＝eq \f(π,4)．]
14．已知在△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则eq \f(a－2b＋c,sin A－2sin B＋sin C)＝________．
2 [∵A∶B∶C＝1∶2∶3，
∴A＝30°，B＝60°，C＝90°．
∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(1,sin 30°)＝2，
∴a＝2sin A，b＝2sin B，c＝2sin C，
∴eq \f(a－2b＋c,sin A－2sin B＋sin C)＝2．]
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝eq \f(3,5)．
(1)求b和sin A的值；
(2)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,4)))的值．
[解] (1)在△ABC中，因为a＞b，
故由sin B＝eq \f(3,5)，可得cs B＝eq \f(4,5)．
由已知及余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accs B＝13，
所以b＝eq \r(13)．
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(3\r(13),13)．
所以b的值为eq \r(13)，sin A的值为eq \f(3\r(13),13)．
(2)由(1)及a＜c，得cs A＝eq \f(2\r(13),13)，
所以sin 2A＝2sin Acs A＝eq \f(12,13)，
cs 2A＝1－2sin2A＝－eq \f(5,13)．
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,4)))＝sin 2Acs eq \f(π,4)＋cs 2Asineq \f(π,4)
＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)－\f(5,13)))＝eq \f(7\r(2),26)．