北师大版 (2019)选择性必修 第二册5 简单复合函数的求导法则精品练习题

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1．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对函数求导得，从而可求解.
【详解】由题意得，所以.故A正确.
故选：A.
2．设函数，则（ ）
A．6066B．C．2022D．
【答案】B
【分析】求出代入可得答案.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
3．曲线在处切线的斜率为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】B
【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】，
当时，，
即曲线在处切线的斜率为.
故选：B.
4．的导数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用复合函数的求导法法则求解即可
【详解】由，得，
故选：A
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
【详解】，
则．
故选：D
6．函数的导数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的求导公式求解即可.
【详解】解：由已知可得，
故选：B.
7．（多选）下列选项正确的是（ ）
A．，则
B．，则
C．，则
D．，则
【答案】BCD
【分析】利用基本初等函数求导法则和复合函数求导法则得到答案.
【详解】A选项，，A错误；
B选项，，则，B正确；
C选项，，C正确；
D选项，令，D正确．
故选：BCD．
8．（多选）下列导数运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用基本函数和复合函数的求导法则求解即可.
【详解】选项A，，故A正确；
选项B，，故B错误；
选项C，，故C正确；
选项D，，故D错误.
故选：AC.
9．（多选）下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由基本初等函数的导数与导数的运算法则计算即可.
【详解】，，
，.
故选：BC.
10．（多选）下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得.
【详解】对于选项A，因为，故A正确；
对于选项B，因为，故B错误；
对于选项C，因为，故C正确；
对于选项D，因为，故D错误．
故选：AC．
11．函数的导数为 ．
【答案】
【分析】应用复合函数求导即可.
【详解】
故答案为：
12．设函数，若，则 .
【答案】1
【分析】根据函数求导法则，建立方程，可得答案.
【详解】由题意可知，且，则，
整理可得，解得.
故答案为：.
13．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）根据复合函数求导法则和初等函数导数公式求导可得.
【详解】（1）函数可以看作与复合而成，
根据复合函数求导法则有．
（2）函数可以看作与复合而成，
根据复合函数求导法则有．
（3）函数可以看作与复合而成，
根据复合函数求导法则有.
14．求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）利用复合函数求导运算求解即可；
（2）利用复合函数求导运算求解即可；
（3）利用复合函数求导运算求解即可；
（4）诱导公式和二倍角公式先化简，再直接求导；
（5）利用复合函数求导运算求解即可；
（6）利用复合函数求导运算求解即可.
【详解】（1）由，
则.
（2）由，
则.
（3）由，
则.
（4）由
，
则.
（5）由，
则.
（6）由，
则.
1．已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出，计算出，结合已知条件即可得解.
【详解】因为，则，
则，
所以，，
所以，，故.
故选：C.
2．函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数的几何意义即可得解.
【详解】因为，所以，
所以，，
则所求切线方程为，即，
故选：A.
3．设函数（）的导函数的最大值为2，则在上的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，依题意可得，利用余弦函数性质可求出的最小值.
【详解】∵的最大值为2，∴．
∴，，∴，
∴，即，的最小值为．
故选：D.
4．已知函数（是的导函数），则（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】A
【分析】先对函数求导，代入，求出的值，进而求解的值即可.
【详解】因为
所以定义域为.
所以
当时，，，则
故选：A
5（多选）下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据基本函数导数公式及简单的复合函数的求导法则逐项求解即可.
【详解】对于A，令，则，正确；
对于B，，错误；
对于C，令，则，错误；
对于D，令，则，正确.
故选：AD.
6．（多选）已知函数，为的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据已知函数，求出导函数，依次代入验证各选项的正确性即可.
【详解】由已知得
，故A正确：
，故B正确；
，而，所以不成立，故C错误；
，故D正确：
故选：ABD
7．已知，则 ．
【答案】
【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.
【详解】由，
故答案为：
8．盐城沿海滩涂湿地现已发现高等植物559种、动物1665种，经研究发现其中某生物种群数量的增长规律可以用逻辑斯谛模型刻画，其中是该种群的内禀增长率，若，则时，的瞬时变化率为 .
【答案】/
【分析】求时的瞬时变化率，即求在处导数值，求导，代入计算即可.
【详解】当时，，则，
则时，的瞬时变化率为.
故答案为：.
9．求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】根据复合函数的求导法则和基本函数的求导公式及运算法则逐个求解即可.
【详解】（1）结合题意可得：.
（2）结合题意可得：.
（3）结合题意可得：．
（4）结合题意可得：．
（5）结合题意可得：，
（6）结合题意可得：
10．已知，，计算下列函数在点处的导数值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在
(4)
【分析】（1）利用导数的运算法则求解；
（2）利用导数的运算法则求解；
（3）利用导数的运算法则结合定义域求解；
（4）利用复合函数的导数运算法则求解.
【详解】（1）因为，
所以，所以.
（2）因为，
所以，所以.
（3）因为，定义域为，
所以函数在点处的导数值不存在.
（4）因为，
所以，所以.
1．设函数，，曲线有两条斜率为的切线，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由可得出，令，则，分析可知，函数在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】因为，
则，
令，可得，
可得，
因为，令，则，且函数在上单调递增，
令，其中，
因为曲线有两条斜率为的切线，则函数在上有两个不等的零点，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
2．已知直线与曲线相切于点，且与曲线相切于点，则 .
【答案】3
【分析】利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到，从而得解.
【详解】由已知直线与曲线相切于点，
因为，所以直线的方程为，即，
又直线与曲线相切于点，
因为，所以直线的方程为，
即，所以，所以，
即，所以.
故答案为：
3．已知分别是曲线和上的点，其中是自然对数的底数，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】确定两函数是互为反函数，它们图象关于直线对称，因此只要求得曲线上与直线平行的切线的切点坐标，由切点到直线的距离即可得结论．
【详解】由得，即，
所以函数的反函数是，因此它们的图象关于直线对称，
取得最小值时，两点一定关于直线对称，
由得，令，则，此时，
因此曲线上斜率为1的切线的切点坐标为，它到直线的距离为，
由对称性知的最小值是．
故答案为：．