北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.3 函数的最值精品课件ppt

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.3 函数的最值精品课件ppt，共31页。PPT课件主要包含了左正右负为极大值，左负右正为极小值，答在极值点位置，故b3，故a2等内容，欢迎下载使用。

1.函数的极小值和极大值的概念:
如果函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f′(a)=0；而且在x=a附近的左侧f ′(x)<0 ，右侧f ′(x)>0. 那么我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；
如果函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f′(b)=0；而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．那么我们b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值 (extremum)．
求函数f(x)极值的步骤：
(2)求导数f ’(x)；
(3)求方程f ’(x）=0的根；
(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格
检查f ’(x)在方程根左右的符号——如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；
(1) 确定函数的定义域；
f(x0) =0 x0 是函数f(x)的极值点
x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0
注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题。
函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？
极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值.
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值.
如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值并且在端点或极值点取得。
所有极值连同端点函数值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值
探究（闭区间上的最值问题）
追问1：函数最值与极值有什么关系？
联系：只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和 最小值。
区别：1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的，即极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质.2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个.3.函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值，而最大值一定大于最小值(常值函数除外).4.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值.
追问2：为什么给定函数的区间必须是闭区间？
因为不能保证f(x)在开区间上有最大值和最小值（最值有可能在区间端点处取得）。
结论：在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.
思考： （1）如果函数f(x)在开区间（a,b）有最值，在什么位置取最值？
（2）如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点是否是最值点？
如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。
例如函数y=f(x)图像如下：
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．(　　)(2)开区间上的单调连续函数无最值．(　　)(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值．(　　)(4)若函数在给定区间上有最值，则最大(小)值最多有一个；若有极值，则可有多个．(　　)
2．函数f(x)＝4x－x4在x∈[－1，2]上的最大值、最小值分别是(　　)A．f(1)与f(－1) B．f(1)与f(2)C．f(－1)与f(2) D．f(2)与f(－1)
解析：f′(x)＝4－4x3，令f′(x)>0，即4－4x3>0⇒x<1，f′(x)<0⇒x>1.∴f(x)＝4x－x4在x＝1时取得极大值，且f(1)＝3，而f(－1)＝－5，f(2)＝－8，∴f(x)＝4x－x4在[－1，2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)，故选B.
3．函数f(x)＝2x－cs x在(－∞，＋∞)上(　　)A．无最值 B．有极值C．有最大值 D．有最小值
解析：f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
4．已知函数f(x)＝sin x－2x－a，若f(x)在[0，π]上的最大值为－1，则实数a的值是________．
解析：f′(x)＝cs x－2<0∴函数f(x)在[0，π]上单调递减∴f(x)max＝f(0)＝－a＝－1故a＝1.
例1 求函数f(x)=x3-2x2+5在区间［-2,2］内的最值.
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
① 求函数f(x)在(a, b)内的极值；
② 求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a), f(b)；
③ 将函数f(x)在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
变式：求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.
从上表可知,最大值是13,最小值是4.
令f (x)=0,解方程，得x=±1.令f (x)＞0,解得-1＜x＜1,因此,(-1,1)为函数f(x)的单调递增区间.令f (x)＜0,解得x＞1或x＜-1,因此，(1,+∞),(-∞,-1)为函数f(x)的单调递减区间.于是列表2-10.
( , )
( , )
例3:若函数 的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.
由表知,当x=0时,f(x)取得最大值b,
又f(-1)-f(2)=9a>0,所以f(x)的最小值为f(2)=-16a+3=-29,
变式;已知函数f(x)＝ax－ －(a＋1)ln x＋1(a∈R)在(0，1]上的最大值为3，则a＝(　　)A．2 B．e C．3 D．e2
∵f ′(x)＝ ，x∈(0，1]，令g(x)＝(ax－1)(x－1)，x∈(0，1]，①当a≤1时，ax－1≤x－1<0，∴g(x)>0，f ′(x)>0，∴f(x)在(0，1]上单调递增，∴f(x)max＝f(1)＝a，即a＝3(舍去)．②当a>1时，x∈ ，g(x)>0，f ′(x)>0；x∈ 时，g(x)<0，f ′(x)<0，故f(x)在 上单调递增，在 上单调递减，∴f(x)max＝ ＝2－a－(a＋1)ln ＝3，即a－(a＋1)ln a＋1＝0，令h(x)＝x－(x＋1)ln x＋1(x>1)，则h′(x)＝－ln x－ <0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递减，且h(e)＝0，∴a＝e，故选B.
所以,当x=1时, s(x)取得最小值.
所以, s(x) ≥ s(1)=0, 即
设 ,那么
所以,当x=2时，函数f(x)在[0,3]上取得最大值20，当x= 时，函数f(x)在[0,3]上取得最小值 .
练习1:求下列函数在给定区间上的最大值与最小值；
又因为f(0)=-2,f(2)=20
所以,当x=2时，函数f(x)在 上取得最大值22，当x= 时，函数f(x)在 上取得最小值 .
【解题回顾】在求函数f(x)在[a,b]最值过程中，判断极值比较麻烦，可改求可导函数在(a,b)内导数为0点函数值，再把这些值与函数在端点的值比较即可。
所以,当x=1时, f(x)取得最小值.
所以, f(x) ≥ f(1)=0, 即x－lnx－1≥0
解：将不等式lnx≤ x－1转化为x－lnx－1≥0
故当x>0时, lnx≤ x－1.
除点(1,0)外，曲线C1：y=x-1在 y 轴右侧的部分位于曲线C2 ：y=lnx的上方.
①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);
②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较, 其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.