高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用5 简单复合函数的求导法则教案配套ppt课件

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基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
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知识点1　复合函数的概念一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y的值,那么y可以表示成x的函数,称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作　　　　,其中u为　　　　　. 
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
2.函数y=lg2(x+1)是复合函数吗?是由哪些函数复合而成的?
提示 是,函数y=lg2(x+1)是由y=lg2u及u=x+1这两个函数复合而成的.
知识点2　复合函数的求导法则复合函数y=f(φ(x))对x的导数为y'x=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x),其中u=φ(x).名师点睛求复合函数的导数需处理好以下环节:(1)中间变量的选择应是基本初等函数结构;(2)关键是正确分析函数的复合层次;(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;(4)善于把一部分表达式作为一个整体;(5)最后要把中间变量换成关于自变量的函数.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数y=e-x的导数为y'=e-x.(　　)(2)函数f(x)=sin 4x的导数为f'(x)=cs 4x.(　　)(3)已知f(x)=ln(2x+1),则f'(x)= . (　　)2.复合函数y=f(g(x)),用中间变量y=f(u),u=g(x)代换后求导的顺序是什么?
提示 根据复合函数的求导法则y'x=y'u·u'x,求导的顺序是从外向内逐层求导.
探究点一　求复合函数的导数
【例1】 求下列函数的导数.(1)y=(4-3x)2;(2)y=cs(2x- );(3)y=ln(4x-1);(4)y= .分析先分析每个复合函数的构成,再按照复合函数的求导法则进行求导.
解 (1)设y=u2,u=4-3x,则yu'=2u,ux'=-3,于是yx'=yu'·ux'=-6(4-3x)=18x-24,即y'=18x-24.
规律方法　1.解答此类问题常犯两个错误:(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数;(2)若是复合函数,不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成.2.复合函数求导的步骤:
变式训练1求下列函数的导数.(1)y=103x-2;(2)y=ln(ex+x2);(3)y=2sin(3x- );(4)y= .
探究点二　复合函数求导与导数的运算法则的综合应用
【例2】 求下列函数的导数.
规律方法　此类问题出错的主要原因一般有两个:一是基本初等函数的导数公式记忆有误;二是求导法则掌握不到位,尤其是对于积与商的求导法则中的符号混淆.对于复杂函数求导,一般遵循先化简再求导的原则,但要注意化简过程中变换的等价性.
变式训练2求下列函数的导数.(1)y=(2x-1)3;(2)y=sin 2x+cs 2x;(3)y=(ln x)2.
解 (1)设y=u3,u=2x-1,则yu'=3u2,ux'=2,于是yx'=yu'·ux'=6(2x-1)2,即y'=6(2x-1)2.(2)y'=(sin 2x)'+(cs 2x)'=2cs 2x-2sin 2x.
探究点三　与复合函数有关的切线问题
【例3】 (1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(　　)
(2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=　　　　　. 
解析 令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又因为切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
变式探究将本例(2)中的问题改为“求曲线y=eax在点(0,1)处的切线与坐标轴围成的面积”.
解 由题意可知,切线方程为y-1=2x,即2x-y+1=0.令x=0得y=1;
规律方法　导数综合应用的解题策略本题正确地求出复合函数的导数是前提,审题时应注意所给点是不是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数.解决已知经过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键.
1.知识清单:(1)求复合函数的导数.(2)复合函数求导与导数的运算法则的综合应用.(3)复合函数的导数几何意义的应用.2.方法归纳:复合函数求导、数形结合.3.常见误区:不能正确地区分所给函数是否为复合函数.
1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是(　　)A.y=un,u=x2-1B.y=(u2-1)n,u=x2C.y=tn,t=(x2-1)nD.y=(t-1)n,t=x2-1
解析 f'(x)=2xe1-mx+x2·e1-mx·(-m)+m=2xe1-mx-mx2e1-mx+m,根据导数的几何意义可得f'(1)=2e1-m-me1-m+m=2,所以(e1-m-1)(2-m)=0,所以e1-m-1=0或2-m=0,所以m=1或m=2.
2.函数y=(2x+1)3的导数为(　　)A.y'=3(2x+1)3B.y'=3(2x+1)2C.y'=6(2x+1)2D.y'=6(2x+1)3
解析 y=(2x+1)3,则y'=3(2x+1)2×2=6(2x+1)2.故选C.
3.函数f(x)=x2+sin 2x,则f'(x)=(　　)A.2x+cs 2xB.2x+2cs xC.2x+2(cs2x-sin2x)D.2x-2(cs2x-sin2x)
解析 ∵f(x)=x2+sin 2x,∴f'(x)=(x2)'+(sin 2x)'=2x+2cs 2x=2x+2(cs2x-sin2x).故选C.
4.过函数f(x)= e2x-x图象上一个动点作切线,则切线倾斜角的取值范围为(　　)