数学选择性必修 第二册6.2 函数的极值优质课ppt课件

这是一份数学选择性必修 第二册6.2 函数的极值优质课ppt课件，共37页。PPT课件主要包含了极小值点，极大点，补充说明，结论不一定，变式的图像等内容，欢迎下载使用。

1.函数单调性与导数关系
设函数 在某个区间内可导，则
2.求函数单调区间的步骤
(1)求:求函数的定义域及导函数；
(3)写:写出单调区间(如果导函数在定义域上非正或非负,直接判断增减) .
还记得高台跳水的例子吗？
2.跳水运动员在最高处附近的情况：
导数的符号有什么变化规律？
对于一般函数是否也有同样的性质吗？
3.(1) 如图， 在 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？
c d e f g h I j x
3.(2) 如图， 在 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？
（3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.
（1）极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;
（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；
观察与思考：极值与导数有何关系？
对于可导函数,若x0是极值点,则 f’(x0)=0;反之,若f’(x0)=0,则x0不一定是极值点.
对于可导函数y=f(x)，若x0满足f '(x0)=0, 在 x0附近的左侧f '(x)<0，右侧f '(x)>0, 那么x0是函数f(x)的极小值点，f(x0)是函数f(x)的极小值;
在定义中, 极值点是自变量的值,极值指的是对应的函数值.
一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义, 如果f(x0)的值比x0附近其他点的函数值都小,我们说x0是函数f(x)的一个极小值点，f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
极值点：极小值点、极大值点统称为极值点；
极值： 极大值和极小值统称为极值.
如何判断f (x0)是极大值或是极小值？
左正右负为极大，右正左负为极小
若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?
探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点?
f(x)=3x2 当f(x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点.
f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
极大值一定比极小值大吗？
极值是函数的局部性概念
(6)导数值为0的点一定是函数的极值点．(　　)
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)极大值就是函数的最大值；(　　)
(2)函数的极大值比极小值大； (　 )
(3)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个； (　　)
(4) 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点； (　　)
(5)若函数f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内一定不单调．(　)
2．(多选题)下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列命题中正确的是(　　)
A．－3是函数y＝f(x)的极值点B．－1是函数y＝f(x)的最小值点C．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零D．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增
解析：由导函数图象知函数f(x)在(－∞，－3)上单调递减，(－3，＋∞)上单调递增，f′(－3)＝0，所以x＝－3是函数f(x)的极值点，故A、D正确，B不正确；又f′(0)>0，所以y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于0，故C不正确．故选AD.
3．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是(　　)A．极大值点x＝－1 B．极大值点x＝0C．极小值点x＝0 D．极小值点x＝1
解析：y′＝6x(x2－1)2＝0有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3＝1，由解y′>0得x>0；由解y′<0得x<0，只有x＝0是极小值点，故选C.
4．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则m＝__________．
解析：y′＝－3x2＋12x由y′>0得04所以函数y＝－x3＋6x2＋m在(－∞，0)和(4，＋∞)上单调递减，在(0，4)上单调递增．所以函数y＝－x3＋6x2＋m在x＝4处取得极大值．所以－43＋6×42＋m＝13.
5.下图是导函数 的图象, 试找出函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.
例1 求函数f(x)= 2x3-3x2-36x+16的极值点.
解 f'(x)= =6x2-6x-36 = 6(x+2)(x-3).通过解方程f'(x)=0得到了两个实数根个x1=-2和x2=3.当x<-2时，f'(x)＞0,函数f(x)在区间（-∞,-2）内单调递增；当-2当-23时,f'(x)>0,函数f(x)在区间（3, +∞）内单调递增，所以x2=3是函数f(x)的极小值点. 这个判断过程可以通过表2 - 8直观地反映出来.
求可导函数f(x)极值的 步骤：
(2)求导数f ’(x)；
(3)求方程f ’(x）=0的根；
(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格
检查f ’(x)在方程根左右的符号——如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；
(1) 确定函数的定义域；
因为 所以
令 解得 或
当 , 即 , 或 ;当 , 即 .
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 ;
当 x = 2 时, f (x)有极小值 .
因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值= ;而,当x=2时有极小值,并且,y极小值= .
f(x)= x3-4x+4
解f'(x)=9x2-3.解方程f'(x)=0,得x1=- ,x2= .根据x1,x2列岀表2-9,分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点.
例2 求函数f(x)=3x3一3x+l的极值，并画出函数的大致图象.
根据上表可知，x1=- 为函数f(x)=3x3-3x+1的极大值点，函数f(x)在该点的取值（极大值）为f(- )=1 + ;x2= 为函数f(x)的极小值点，函数f(x)在该点的取值（极小值）为f( )=1- .函数f(x)的大致图象如图2-19.
所以，当x=-1是，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的极小值是2
导函数的正负是交替出现的吗？
1．设函数f(x)＝xex＋1，则(　　)A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点
解析：f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)令f′(x)＝0，得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点，故选D.
2．已知函数f(x)＝2ln x＋ax在x＝1处取得极值，则实数a＝(　　)A．－2　　 B．2C．0 D．1
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　)A．－16 D．a<－1或a>2
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)由题意知3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的实数根所以Δ＝4a2－4×3×(a＋6)>0解得a<－3或a>6.故选C.
6．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
解析：f′(x)＝x2－2x＋a由题意知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.