高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.5空间几何体中平行的判定和性质(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.5空间几何体中平行的判定和性质(精讲)(原卷版+解析)，共26页。


【知识必备】
空间点、线、面之间的位置关系
2． 直线与平面平行的判定与性质
3. 面面平行的判定与性质
常用结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.
【题型精讲】
【题型一 线面平行的判定】
技巧方法 判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)．
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
例1 (2023·陕西安康·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，连接交于点为的重心，证明：平面
例2 (2023·江苏南通市高三模拟）《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上，若P为的中点，求证：平面
【跟踪精练】
1. (2023·陕西高三模拟）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与相交于点O，F点是的中点，E点在线段上，且．求证：直线∥平面
2. (2023·海原县高三模拟）如图，在三棱柱中，点是的中点，求证：平面
3. (2023·山西·太原五中高一阶段练习）在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面
【题型二 面面平行的判定】
技巧方法 证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理．
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．
例3 (2023·全国高三模拟）如图所示，四棱柱的侧棱与底面垂直，交于点，且分别为的中点，，求证：平面平面
例4 (2023·河北衡水中学高三模拟）如图，在多面体中，是正方形，，M为棱的中点，求证：平面平面
【跟踪精练】
1. (2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）如图，在三棱锥中，是正三角形，是的重心，分别是的中点，点在上，且，求证：平面平面
2. (2023·全国高三模拟）如图，已知矩形所在的平面垂直于直角梯形所在的平面，且，，，，，，分别是，的中点，求证：平面平面
【题型三 线线平行的判定】
例5 (2023·江西高三模拟）如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF
(1)证明:AF//平面BDG
(2)证明:AB//EF
例6 (2023·重庆八中高三阶段练习）如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，在上任取一点，过和作平面交平面于.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求证：.
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，△为正三角形，点在棱上，、分别是棱、的中点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：
2. (2023·全国·高三专题练习）如图，平面，平面，，求证：
【题型四 平行中的探究性问题】
例7(2023·山东·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，，，是棱的中点，在棱上，且，在棱上是否存在点，满足平面，若存在，求出的值
例8(2023·福建·三明一中模拟预测）在长方体中，已知，为的中点，）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由
【题型精练】
1. (2023·广东佛山市高三模拟）在正三棱柱中，已知，M，N分别为，的中点，P为线段上一点．平面与平面的交线为l，是否存在点P使得平面？若存在，请指出点P的位置并证明；若不存在，请说明理由
2. (2023·云南昆明市高三模拟）在如图所示的五面体ABCDEF中，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，，EF平面ABCD，AB=2EF=2，点M为BC中点，在直线CD上是否存在一点G，使得平面EMG平面BDF，请说明理由
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形语言

符号语言
a∥b
a∥α
α∥β
相交关系
图形语言
符号语言
a∩b＝A
a∩α＝A
α∩β＝l
独有关系
图形语言

符号语言
a，b是异面直线
a⊂α
判定
性质
定义
定理
图形
条件
a∩α＝∅
a⊂α，b⊄α，a∥b
a∥α
a∥α，a⊂β，α∩β＝b
结论
a∥α
b∥α
a∩α＝∅
a∥b
判定
性质
定义
定理
图形
条件
α∩β＝∅
a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b
α∥β，a⊂β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
7.5 空间几何体中平行的判定和性质
【题型解读】

【知识必备】
空间点、线、面之间的位置关系
2． 直线与平面平行的判定与性质
3. 面面平行的判定与性质
常用结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.
【题型精讲】
【题型一 线面平行的判定】
技巧方法 判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)．
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
例1 (2023·陕西安康·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，连接交于点为的重心，证明：平面
答案：证明见解析
【解析】延长交于，连接，因为为的重心，则为的中点，且，
因为，所以，所以，因此，
又因为平面，平面，所以平面；
例2 (2023·江苏南通市高三模拟）《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上，若P为的中点，求证：平面
答案：证明见解析
【解析】证明：取的中点H，连接PH，HC.
在堑堵中，四边形为平行四边形，
所以且.
在中，P，H分别为，的中点，
所以且.
因为N为BC的中点，所以，
从而且，
所以四边形PHCN为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
【跟踪精练】
1. (2023·陕西高三模拟）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与相交于点O，F点是的中点，E点在线段上，且．求证：直线∥平面
答案：证明见解析；
【解析】取的中点，连接CG、GF、EO．
∵，
则，
∵点是的中点，故，且平面，
故平面．
又，故是的中点，是的中点，
则，且平面，
故平面，且，
故平面平面．
又平面，故平面．
2. (2023·海原县高三模拟）如图，在三棱柱中，点是的中点，求证：平面
答案：证明见解析；
【解析】连接交于，连接，由为三棱柱，则为平行四边形，所以是中点，又是的中点，故在△中，面，面，所以平面.
3. (2023·山西·太原五中高一阶段练习）在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面
答案：证明见解析
【解析】证明：在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，取的中点，连接，，如图，则且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面；
【题型二 面面平行的判定】
技巧方法 证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理．
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．
例3 (2023·全国高三模拟）如图所示，四棱柱的侧棱与底面垂直，交于点，且分别为的中点，，求证：平面平面
答案：证明见解析
【解析】如图，连接，设，则为的中点，而为AC的中点，连接，则为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面，又因为侧棱与底面垂直，所以，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.
例4 (2023·河北衡水中学高三模拟）如图，在多面体中，是正方形，，M为棱的中点，求证：平面平面
答案：证明见解析
【解析】证明：如图，连接，交于点N，
∴N为的中点，
连接，由M为棱的中点，则．
∵面，面，∴平面．
∵，∴四边形为平行四边形，
∴．又平面，平面，
∴平面，又，
∴平面平面．
【跟踪精练】
1. (2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）如图，在三棱锥中，是正三角形，是的重心，分别是的中点，点在上，且，求证：平面平面
答案：证明见解析
【解析】证明：连结，由题意可得与共线，且，
∵是的中点，，∴是的中点，
∴，∴，平面；平面；∴平面，
∵是的中点，∴，平面，平面；∴平面，
∵，平面，平面，∴平面平面；
2. (2023·全国高三模拟）如图，已知矩形所在的平面垂直于直角梯形所在的平面，且，，，，，，分别是，的中点，求证：平面平面
答案：证明见解析
【解析】∵，分别是，的中点，
∴，且平面，则平面，
，且，
∴四边形是矩形，则，且平面，则平面
又，故平面平面
【题型三 线线平行的判定】
例5 (2023·江西高三模拟）如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF
(1)证明:AF//平面BDG
(2)证明:AB//EF
答案：(1)证明见解析.(2)证明见解析.
【解析】(1)连接AC交BD于O,连接OG.
因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分.
又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以.
因为面,面,所以AF//平面BDG.
(2)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB//CD.
因为面,面,所以AB//平面.
因为面,面面=EF.
所以AB//EF.
例6 (2023·重庆八中高三阶段练习）如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，在上任取一点，过和作平面交平面于.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求证：.
答案：证明见解析
【解析】(1)证明：因为四边形为平行四边形，则，
平面，平面，因此，平面.
(2)证明：连接交于点，连接，
因为四边形为平行四边形，，则为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，平面.
(3)证明：平面，平面，平面平面，
.
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，△为正三角形，点在棱上，、分别是棱、的中点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：
答案：证明见解析
【解析】∵、分别是棱、的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面，
∵平面，平面平面，∴，则；
2. (2023·全国·高三专题练习）如图，平面，平面，，求证：
答案：证明见解析
【解析】依题意，平面，平面，∴平面，
又平面，，∴平面平面，
∴平面平面，平面平面，∴；
【题型四 平行中的探究性问题】
例7(2023·山东·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，，，是棱的中点，在棱上，且，在棱上是否存在点，满足平面，若存在，求出的值
答案：存在，
【解析】因为面，故三棱柱为直三棱柱.
故面，而面，故，
因为，故且，
因为是棱的中点，故，因为，
∴直线平面，而平面， ∴，
又，，∴平面，
而平面，∴，
在矩形中，，，
故，故，故即，故.
过作，交于，取的中点为，连接，
则，而，故，
所以，即，所以.
在矩形中，因为，故，
而，所以，所以，
而平面，平面，所以平面.
在上取点，使，连，
因为，故，故.
在矩形中，因为为所在棱的中点，故
而故，故四边形为平行四边形，
故，故，
而平面，平面，所以平面.
因为，故平面以平面，
因为平面，故平面.
例8(2023·福建·三明一中模拟预测）在长方体中，已知，为的中点，）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由
答案：存在，证明见解析
【解析】存在，当点为线段的中点时，平面平面.
证明：在长方体中，，.
又因为平面，平面，
所以平面.
又为的中点，为的中点，
所以，且.
故四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
又因为，平面，平面，
所以平面平面
【题型精练】
1. (2023·广东佛山市高三模拟）在正三棱柱中，已知，M，N分别为，的中点，P为线段上一点．平面与平面的交线为l，是否存在点P使得平面？若存在，请指出点P的位置并证明；若不存在，请说明理由
答案：存在，当时，平面
【解析】当时，平面
证明如下：连接交于点G，连接，
因为，所以
又∵平面，平面
∴平面
2. (2023·云南昆明市高三模拟）在如图所示的五面体ABCDEF中，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，，EF平面ABCD，AB=2EF=2，点M为BC中点，在直线CD上是否存在一点G，使得平面EMG平面BDF，请说明理由
答案：CD的中点G，理由见解析
【解析】连接AC交BD于点O，连接OM，OF，取CD的中点G，连接GM，GE
因为EF平面ABCD，EF平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以EFAB
因为OMABEF，，所以四边形OMEF是平行四边形，所以OFEM
因为EM平面BDF，OF平面BDF，所以EM平面BDF
因为点G与点M分别为CD与BC的中点，所以GMBD
因为GM平面BDF，BD平面BDF，所以GM平面BDF
而GM∩EM=M，平面EMG平面BDF直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形语言

符号语言
a∥b
a∥α
α∥β
相交关系
图形语言
符号语言
a∩b＝A
a∩α＝A
α∩β＝l
独有关系
图形语言

符号语言
a，b是异面直线
a⊂α
判定
性质
定义
定理
图形
条件
a∩α＝∅
a⊂α，b⊄α，a∥b
a∥α
a∥α，a⊂β，α∩β＝b
结论
a∥α
b∥α
a∩α＝∅
a∥b
判定
性质
定义
定理
图形
条件
α∩β＝∅
a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b
α∥β，a⊂β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α