高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.7空间几何体中求夹角(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.7空间几何体中求夹角(精讲)(原卷版+解析)，共35页。


【知识必备】
1．异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝eq \f(|u·v|,|u||v|).
2．直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs〈u，n〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq \f(|u·n|,|u||n|).
3．平面与平面的夹角
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cs θ＝|cs〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
【题型精讲】
【题型一 异面直线所成的角】
技巧方法 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)注意两异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
例1 (2023·陕西安康·高三期末）在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
例2 (2023·江苏南通市高三模拟）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，并且，，底面，已知，四边形的面积为.
（1）证明：直线平面；
（2）点为棱的中点，当直线与平面所成的角为时，求直线与所成角的余弦值.
【跟踪精练】
1. (2023·陕西高三模拟）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·海原县高三模拟）底面为正三角形的直棱柱中，，，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·山西·太原五中高一阶段练习）如图，在直角梯形中，，.已知.将沿直线翻折成，连接.当三棱锥的体积取得最大值时，异面直线与所成角的余弦值为___________；若此时三棱锥外接球的体积为，则a的值为___________.
【题型二 直线与平面所成的角】
技巧方法 利用空间向量求线面角的解题步骤
例3 (2023·全国高三模拟）如图，四棱锥的底面是梯形，，，E为线段中点．

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
例4 (2023·河北衡水中学高三模拟）已知四棱锥的底面是菱形，对角线、交于点，，，底面，设点满足．
（1）若三棱锥体积是，求的值；
（2）若直线与平面所成角的正弦值是，求的值．
【跟踪精练】
1. (2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
2. (2023·全国高三模拟）如图所示，在三棱柱中，，点在平面的射影为线段的中点，侧面是菱形，过点，，的平面与棱交于点．
（1）证明四边形为矩形；
（2）若与平面所成角的正切值为，求与平面所成角的正弦值．
【题型三 平面与平面的夹角】
技巧方法 利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤
例5 (2023·江西高三模拟）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
例6 (2023·重庆八中高三阶段练习）已知正方体，点为中点，直线交平面于点．
（1）证明：点为的中点；
（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，为的中点.
（1）证明：平面.
（2）若，求二面角的余弦值.
2. (2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱台中，侧棱平面点在棱上，且
（1）证明：平面；
（2）当二面角的余弦值为，求的值.
【题型四 空间角的综合运用】
例7(2023·山东·模拟预测）（多选）已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A．B．平面
C．与所成角的余弦值为D．动点P的轨迹长为
例8(2023·福建·三明一中模拟预测）如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的（ ）个．
①若E为的中点，则直线平面
②三棱锥的体积为定值
③E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为
④过点，C，E的截面的面积的范围是
A．1B．2C．3D．4
【题型精练】
1. (2023·广东佛山市高三模拟）（多选）已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，点M在棱PD上，且，点Q在底面及其边界上运动，且面，则下列说法正确的是（ ）
A．点Q的轨迹为线段
B．与CD所成角的范围为
C．的最小值为
D．二面角的正切值为
2. (2023·云南昆明市高三模拟）如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．直线与直线相交
B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点
C．存在点，使得直线与直线所成角为
D．三棱锥的体积为定值
7.7 空间几何体中求夹角
【题型解读】
【知识必备】
1．异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝eq \f(|u·v|,|u||v|).
2．直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs〈u，n〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq \f(|u·n|,|u||n|).
3．平面与平面的夹角
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cs θ＝|cs〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
【题型精讲】
【题型一 异面直线所成的角】
技巧方法 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)注意两异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
例1 (2023·陕西安康·高三期末）在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，，，，
则，，
设异面直线PN和BM所成角为，则.故选：B.
例2 (2023·江苏南通市高三模拟）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，并且，，底面，已知，四边形的面积为.
（1）证明：直线平面；
（2）点为棱的中点，当直线与平面所成的角为时，求直线与所成角的余弦值.
答案：（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）因为四边形的面积为，所以，解得，
如图，过点作于点，则，，
因为，所以，
因为底面，底面，所以，
因为，所以直线平面.
（2）因为底面，所以为在平面内的投影，
故即为直线与平面所成的角，，
因为，所以，
因为，所以，
如图，作空间直角坐标系，
则，，，，
，，
则，
故直线与所成角的余弦值为.
【跟踪精练】
1. (2023·陕西高三模拟）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为，
以点为原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，，.
所以，.
故选：C.
2. (2023·海原县高三模拟）底面为正三角形的直棱柱中，，，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】如图，，
，
∴，故选：C
3. (2023·山西·太原五中高一阶段练习）如图，在直角梯形中，，.已知.将沿直线翻折成，连接.当三棱锥的体积取得最大值时，异面直线与所成角的余弦值为___________；若此时三棱锥外接球的体积为，则a的值为___________.
答案：； .
【解析】在直角梯形中，∵，，，
∴，，可得，即，
当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，
取中点E，中点F，连接，，则，
∵平面平面，且平面平面，∴平面，
∵，，∴，
以E为坐标原点，分别以､､所在直线为x､y､z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
∴，，
设异面直线与所成角为，
则 ，
即异面直线与所成角的余弦值为；
显然，又，
所以点是三棱锥外接球的球心，且球半径.
由，解得.
故答案为：① ；② .
【题型二 直线与平面所成的角】
技巧方法 利用空间向量求线面角的解题步骤
例3 (2023·全国高三模拟）如图，四棱锥的底面是梯形，，，E为线段中点．

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
答案：(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)取中点F，连接交于点O，连接，
由，且梯形，有且，
故平行四边形，又，故为菱形，
所以为的中点，故.
又因为，故，
因为，面，
故面，又面，故．
(2) 在中，，故，
因为，故，由，即，
即，故面，
以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
故，
故，
设面的法向量为，则，令，故，
所以，故与平面所成角的正弦值为．
例4 (2023·河北衡水中学高三模拟）已知四棱锥的底面是菱形，对角线、交于点，，，底面，设点满足．
（1）若三棱锥体积是，求的值；
（2）若直线与平面所成角的正弦值是，求的值．
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）因为四边形是菱形，所以，
因为底面，所以、，
所以、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，
因为，所以，
于是，所以，
过作于，过作于，
所以
，
解得．
（2）由（1）知，，，
设平面的一个法向量为，
，
令，，
设直线与平面所成的角为，
所以，
解得或（舍去）．
【跟踪精练】
1. (2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
答案：（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）在中，，，，由余弦定理可得，
所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．
（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,
则,
又为中点，所以.
由（1）得平面，所以平面的一个法向量
从而直线与平面所成角的正弦值为．
2. (2023·全国高三模拟）如图所示，在三棱柱中，，点在平面的射影为线段的中点，侧面是菱形，过点，，的平面与棱交于点．
（1）证明四边形为矩形；
（2）若与平面所成角的正切值为，求与平面所成角的正弦值．
答案：（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：取中点为，连接，，在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
因为平面，且平面平面，所以．
因为在三棱柱中，平面平面，平面平面，
平面平面，所以，所以四边形为平行四边形．
在中，因为，是的中点，所以．
由题可知平面，所以，，
因为，所以平面，
所以，故四边形为矩形；
（2）由（1）知，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，又题可知，在中，，所以，
所以，，，，则，．
因为，所以．
设平面的法向量为，
则即，所以令，所以．
设与平面所成角为，
则，故与平面所成角的正弦值为．
【题型三 平面与平面的夹角】
技巧方法 利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤
例5 (2023·江西高三模拟）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
答案：(1)证明见解析；(2)
【解析】(1)
连接，因是等边三角形，是的中点，是的重心，所以在上，，
又点在平面的射影为点，即平面，平面，所以，
又，所以平面，又平面，所以.
(2)
过点作，连接，与，分别交于点，点.因为分别是，的中点，所以，
所以，是平面与平面的交线.由是等边三角形，是的重心，
知点，点分别是线段，的中点.平面，平面，所以，
又，平面，，则平面，所以平面，
又平面，于是，，为平面与平面所成二面角的平面角.
由等边三角形的边长为，可得，，，，
，在中，由余弦定理，得，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
例6 (2023·重庆八中高三阶段练习）已知正方体，点为中点，直线交平面于点．
（1）证明：点为的中点；
（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
答案：（1）证明见解析；（2）．
【解析】(1)如图所示，取的中点，连结，
由于为正方体，为中点，故，
从而四点共面，即平面CDE即平面，
据此可得：直线交平面于点，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合，
即点为中点.
(2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方形，建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为2，设，
则：，
从而：，
设平面的法向量为：，则：
，
令可得：，
设平面的法向量为：，则：
，
令可得：，
从而：，
则：，
整理可得：，故（舍去）.
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，为的中点.
（1）证明：平面.
（2）若，求二面角的余弦值.
答案：（1）证明见解析；（2）；
【解析】（1）∵为的中点，
∴，
∵直三棱柱中，面面，面，面面，
∴面，又面，即，
由题设易知：，故，又，
∴，则，又，
∴平面.
（2）过D作，由（1）可构建以为原点，、、为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示：
∴由题意：，，，，
∴，，，
显然，是面的一个法向量，
若是面的一个法向量，则，令，则，
∴，由图知：钝二面角的余弦值为.
2. (2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱台中，侧棱平面点在棱上，且
（1）证明：平面；
（2）当二面角的余弦值为，求的值.
答案：（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）因为，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，所以平面，所以，
又因为，，
所以，所以，
又，所以平面；
（2）以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
因为，
所以，
因为，所以，
设平面一个法向量为，设平面一个法向量为，
且，
因为，所以，令，所以，
又因为，所以，令，所以，
所以，
又因为二面角的余弦值为，
所以，所以解得（舍去），
综上可知：.
【题型四 空间角的综合运用】
例7(2023·山东·模拟预测）（多选）已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A．B．平面
C．与所成角的余弦值为D．动点P的轨迹长为
答案：BCD
【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，
所以，
由平面，得，即，
化简可得：，
所以动点P在直线上，
对于选项A：，所以与不垂直，所以A选项错误；
对于选项B：平面平面，所以平面，B选项正确；
对于选项C：，C选项正确；
对于选项D：动点P在直线上，且P为侧面上的动点，则P在线段上，，所以，D选项正确；
故选：BCD.
例8(2023·福建·三明一中模拟预测）如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的（ ）个．
①若E为的中点，则直线平面
②三棱锥的体积为定值
③E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为
④过点，C，E的截面的面积的范围是
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】如图,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则B(a,0,0)，C(a,a,0)，D(0,a,0)，，.
所以，.
对于①：当E为的中点时，.设平面的一个法向量为,
则，不妨令x =1,则，
所以平面A1BD的一个法向量为.
又因为，所以与不垂直，所以直线平面不成立.故①错误；
对于②：三棱锥的体积等于三棱锥的体积.
又，高为a,所以.故②错误；
对于③：当E为的中点时，.平面的一个法向量为,
而.
设直线B1E与平面所成的角为，所以.
所以，所以，
即直线与平面所成的角正切值为.故③正确；
对于④：设.因为，，
所以在上得到投影为.
所以点E到直线的距离为.
当z=0，即D、E重合时，截面为矩形，其面积为.
当时，截面为等腰梯形.设截面交于F.所以，
高，所以其面积为.
记，
所以，所以在上单调递减函数，
所以，即.
因为，所以
当z=a，即D1、E重合时，截面为边长为的正三角形，其面积为.
综上所述：.故④正确.
故选：B
【题型精练】
1. (2023·广东佛山市高三模拟）（多选）已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，点M在棱PD上，且，点Q在底面及其边界上运动，且面，则下列说法正确的是（ ）
A．点Q的轨迹为线段
B．与CD所成角的范围为
C．的最小值为
D．二面角的正切值为
答案：ACD
【解析】对于A，取点,，使得，，连接,，如图，
由线段成比例可得，平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
又平面，，所以平面平面，
故当点时，总有面，所以点Q的轨迹为线段，故A正确；
对于B，由知与CD所成角即为与NE所成角，在中，，由余弦定理可得，由，可知，即运动到点时，异面直线所成的角小于，故B错误；
对于C，当时，最小，此时，故C正确；
对于D，二面角即平面与底面所成的锐角，连接相交于，连接，取点H，使得，连接MH，过H作于G，连接，如图，
由正四棱锥可知，面，由，知，
，由可得，
，面，，又，，平面，，即为二面角的平面角，，故D正确.
故选：ACD
2. (2023·云南昆明市高三模拟）如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．直线与直线相交
B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点
C．存在点，使得直线与直线所成角为
D．三棱锥的体积为定值
答案：D
【解析】A：由题意知，，平面，平面
所以平面，
又平面，所以与不相交，故A错误；
B：连接，如图，
当点为的中点时，，又，所以，
若点在平面的射影为，则平面，垂足为，
所以，设正方体的棱长为2，则，
在中，，所以，
即不成立，故B错误；
C：建立如图空间直角坐标系，连接，则，
所以异面直线与所成角为直线与所成角，
设正方体的棱长为2，若存在点使得与所成角为，
则，所以，
所以，又，
得，解得，
不符合题意，故不存在点使得与所成角为，故C错误；
D：如图，
由等体积法可知，
又，
为定值，所以为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故D正确.
故选：D.