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高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.3三角函数图象和性质(精讲)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.3三角函数图象和性质(精讲)(原卷版+解析)，共28页。
【知识必备】
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
2．五点法作y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用“五点法”作图，就是令ωx＋φ取下列5个特殊值：0, eq \f(π,2), π, eq \f(3π,2), 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象.
3．三角函数图象变换
【题型精讲】
【题型一 三角函数图象变换】
必备技巧 三角函数图象变换技巧
(1)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
(2)当x的系数不为1时，特别注意先提取系数，再加减．
例1 (2023·重庆市育才中学高三阶段练习）为了得到的图象，可将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
例2 (2023·河南洛阳·模拟预测）已知曲线，，为了得到曲线，则对曲线的变换正确的是（ ）
A．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度
B．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度
C．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度
D．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度
【跟踪精练】
1．(2023·江苏连云港市高三一模）要得到函数的图象，则（ ）
A．可将函数的图象向右平移个单位得到
B．可将函数的图象向左平移个单位得到
C．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来倍得到
D．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来2倍得到
2．(2023·全国·模拟预测）若将函数的图象分别向左平移个单位长度与向右平移个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·陕西·二模）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移是个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移登个单位长度D．向右平移个单位长度
【题型二 求三角函数解析式】
必备技巧 y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
例3 (2023·陕西省洛南中学模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【跟踪精练】
1． (2023·全国高三课时练习）已知函数的部分图象如图所示.则A，，的一个数值可以是（ ）
A．B．C．D．
2. （多选）(2023·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．的振幅为2B．为的对称中心
C．向右平移单位后得到的函数为奇函数D．在上的值域为
【题型三 三角函数五大性质之值域】
必备技巧 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
例4 (1)(2023·天津高三月考）函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域为________．
（2）(2023·四川资阳市高三月考）函数的最大值为
（3）(2023·河北高三期末）设x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则函数y＝eq \f(sin 2x,2sin2x＋1)的最大值为________．
（4）(2023·甘肃高三期末）函数y＝sin x－cs x＋sin xcs x的值域为____________．
【题型精练】
1．(2023·吉林高三期末）已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和是___________.
2．(2023·江苏泰州·高三阶段练习）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·全国·专题练习）已知函数．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是________．
【题型四 三角函数五大性质之单调性】
方法技巧 已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
例5 (2023·重庆·模拟预测）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
例6 (2023·河南商丘市高三模拟）函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1．(2023·上海高三模拟）设定义在上的函数，则（ ）
A．在区间上是增函数B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数D．在区间上是减函数
2. (2023·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）已知函数，则“函数在上单调递增”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要件
3. (2023·四川·泸县五中二模）将的图象向左平移个单位后得到的图象，则有 （ ）
A．为奇函数，在上单调递減
B．为偶函数，在上单调递增
C．周期为π，图象关于点对称
D．最大值为1，图象关于直线对称
【题型五 三角函数五大性质之奇偶性、周期性、对称性】
例7 (2023·湖南周南中学高三月考）（多选）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象（x∈R），下列结论错误的是（ ）
A．函数的图象最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象在上单调递增
D．函数的图象关于直线对称
例8 (2023·天津·静海一中高三阶段练习）关于函数，有下列命题：
①函数是奇函数；
②函数的图象关于直线对称；
③函数可以表示为；
④函数的图象关于点对称
其中正确的命题的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【题型精练】
1.(2023·湖南益阳高三月考）函数的图象如图所示，先将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数B．函数在区间上是增函数
C．函数图象关于对称D．函数图象关于直线对称
2. (2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．的最小正周期是
C．在区间上单调递增
D．的图象关于直线对称
【题型六 三角函数大题综合】
例9 (2023·呼和浩特开来中学月考）已知函数.
(1)求的值及f(x)的对称轴；
(2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象，求的单调递增区间.
【题型精练】
1. (2023·浙江浙江·二模）已知函数，．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数的值域．
2. (2023·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数满足：
①的最大值为2；②；的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间上的单调递增区间与最小值．
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x|x∈R且x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
单调性
[－eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上递增；
[eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上递减
[－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z)上递增；
[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)上递减
(－eq \f(π,2)＋kπ，eq \f(π,2)＋kπ)
(k∈Z)上递增
最值
x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，
ymax＝1；
x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(eq \f(π,2)＋kπ，0)
(k∈Z)
(eq \f(kπ,2)，0)(k∈Z)
对称轴
方程
x＝eq \f(π,2)＋kπ
(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
4.3 三角函数图象和性质
【题型解读】
【知识必备】
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
2．五点法作y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用“五点法”作图，就是令ωx＋φ取下列5个特殊值：0, eq \f(π,2), π, eq \f(3π,2), 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象.
3．三角函数图象变换
【题型精讲】
【题型一 三角函数图象变换】
必备技巧 三角函数图象变换技巧
(1)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
(2)当x的系数不为1时，特别注意先提取系数，再加减．
例1 (2023·重庆市育才中学高三阶段练习）为了得到的图象，可将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
答案：C
【解析】依题意，，
所以可由向左平移个单位得到.故选：C
例2 (2023·河南洛阳·模拟预测）已知曲线，，为了得到曲线，则对曲线的变换正确的是（ ）
A．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度
B．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度
C．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度
D．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度
答案：C
【解析】A. 先把曲线上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象，A错；
B. 先把曲线上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得的图象，B错；
C. 先把曲线上点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象，C正确；
D. 先把曲线上点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得的图象，D错误；故选：C．
【跟踪精练】
1．(2023·江苏连云港市高三一模）要得到函数的图象，则（ ）
A．可将函数的图象向右平移个单位得到
B．可将函数的图象向左平移个单位得到
C．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来倍得到
D．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来2倍得到
答案：C
【解析】对于A选项：变换后，故A错误；
对于B选项：变换后，故B错误；
对于C选项：变换后，故C正确；
对于D选项：变换后，故D错误.故选：C.
2．(2023·全国·模拟预测）若将函数的图象分别向左平移个单位长度与向右平移个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】的图象向左平移个单位长度得的图象,
向右平移（）个单位长度得的图象,
由题意得 （）所以（） 又 ,故的最小值为, 故选：A
3. (2023·陕西·二模）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移是个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移登个单位长度D．向右平移个单位长度
答案：B
【解析】因为函数，
，
所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.
故选：B.
【题型二 求三角函数解析式】
必备技巧 y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
例3 (2023·陕西省洛南中学模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】由图象可得，解得A=2，k=1，由正弦型图象性质可得，
所以，解得，又，且，所以，所以.故选：A
【跟踪精练】
1． (2023·全国高三课时练习）已知函数的部分图象如图所示.则A，，的一个数值可以是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由图可知，，即，所以，
所以函数解析式为，
将代入得：，
则，所以，
所以A选项符合，BCD不符合.
故选：A．
2. （多选）(2023·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．的振幅为2B．为的对称中心
C．向右平移单位后得到的函数为奇函数D．在上的值域为
答案：ABC
【解析】观察图象得：A=2，周期T，则，
由得，而，则，
所以有，显然A正确；，B正确；
向右平移得是奇函数，C正确；
时，，，，D错误.故选：ABC
【题型三 三角函数五大性质之值域】
必备技巧 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
例4 (1)(2023·天津高三月考）函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域为________．
（2）(2023·四川资阳市高三月考）函数的最大值为
（3）(2023·河北高三期末）设x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则函数y＝eq \f(sin 2x,2sin2x＋1)的最大值为________．
（4）(2023·甘肃高三期末）函数y＝sin x－cs x＋sin xcs x的值域为____________．
答案：（1）eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))（2）（3）eq \f(\r(3),3)（4）eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\r(2)，1))
【解析】(1)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，故3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))，
∴函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3)).
（2）函数，
令，，则，，
所以当时，函数取得最大值为.
（3）因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以tan x＞0，y＝eq \f(sin 2x,2sin2x＋1)＝eq \f(2sin x·cs x,3sin2x＋cs2x)＝eq \f(2tan x,3tan2x＋1)＝eq \f(2,3tan x＋\f(1,tan x))≤eq \f(2,2\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，
当且仅当3tan x＝eq \f(1,tan x)时等号成立，故最大值为eq \f(\r(3),3).
(4)设t＝sin x－cs x，则－eq \r(2)≤t≤eq \r(2)，t2＝sin2x＋cs2x－2sin xcs x，则sin xcs x＝eq \f(1－t2,2)，
∴y＝－eq \f(t2,2)＋t＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－eq \r(2)时，ymin＝－eq \f(1,2)－eq \r(2).∴函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\r(2)，1)).
【题型精练】
1．(2023·吉林高三期末）已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和是___________.
答案：1或
【解析】由题设，，则，
在上，当则，故；当则，故；
综上，最大值与最小值的和为1或.故答案为：1或
2．(2023·江苏泰州·高三阶段练习）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设，则，
所以，且，又的值域为，
所以，即实数的取值范围为.故选：C.
3. (2023·全国·专题练习）已知函数．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是________．
答案：
【解析】因为，
因为，所以，所以所以的值域为，
关于的方程在上有解，则关于的方程在上有解，所以，所以，所以实数的取值范围是故答案为：
【题型四 三角函数五大性质之单调性】
方法技巧 已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
例5 (2023·重庆·模拟预测）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】，令解得：Z，故f（x）的单调递减区间为
故选：C
例6 (2023·河南商丘市高三模拟）函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：（1）A（2）C
【解析】（1）因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.选：A.
（2）由题意可得，
因为，所以，
令，由此可得，
因为在上单调递减，所以由此解得.故选：C.
【题型精练】
1．(2023·上海高三模拟）设定义在上的函数，则（ ）
A．在区间上是增函数B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数D．在区间上是减函数
答案：A
【解析】对于A，当时，，函数为减函数，所以为增函数，故A正确；
对于B，当时，，函数先递减后递增，所以先递增后递减，故B不正确；
对于C，当时，，函数先递增后递减 ，所以先递增后递减，故C不正确；
对于D，当时，，函数为递减函数，所以为递减函数，当时，，函数为递减函数，所以为增函数，故D不正确.
故选：A
2. (2023·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）已知函数，则“函数在上单调递增”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要件
答案：A
【解析】∵，∴，
由于函数f（x）在上单调递增，
∴（）解得，（）
故只能取，即，
∴“函数f（x）在上单调递增”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. (2023·四川·泸县五中二模）将的图象向左平移个单位后得到的图象，则有 （ ）
A．为奇函数，在上单调递減
B．为偶函数，在上单调递增
C．周期为π，图象关于点对称
D．最大值为1，图象关于直线对称
答案：D
【解析】将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象.
为偶函数，，，函数单调递减，故A不正确；
，，，，函数不单调，故B错误；
的周期为，当时，，故C错误；
g（x）最大值为1，当时，函数，为最小值，故的图象关于直线对称，故D正确，
故选：D．
【题型五 三角函数五大性质之奇偶性、周期性、对称性】
例7 (2023·湖南周南中学高三月考）（多选）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象（x∈R），下列结论错误的是（ ）
A．函数的图象最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象在上单调递增
D．函数的图象关于直线对称
答案：ABD
【解析】
向右平移个单位长度，得到，再将横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到，即.
对于A：最小正周期为.故A错误；
对于B：当时，，故不是对称中心.故B错误；
对于C：当时，，而，
因为在上单调递增，所以函数在上单调递增.故C正确；
对于D：当时，，所以不是的对称轴.故D错误.
故选：ABD
例8 (2023·天津·静海一中高三阶段练习）关于函数，有下列命题：
①函数是奇函数；
②函数的图象关于直线对称；
③函数可以表示为；
④函数的图象关于点对称
其中正确的命题的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
答案：B
【解析】对①，，函数不是奇函数，故①错误；
对②，由，所以函数图象关于直线对称，故②正确；
对③，，故③正确；
对④，由函数，所以函数的图象关于点对称，故④正确，
共有3个正确，
故选：B.
【题型精练】
1.(2023·湖南益阳高三月考）函数的图象如图所示，先将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数B．函数在区间上是增函数
C．函数图象关于对称D．函数图象关于直线对称
答案：D
【解析】由图得函数的周期，所以.
因为函数的图象过点，所以，所以，
所以.因为，所以，所以.
先将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到的图象，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到.
对于A选项，因为函数为偶函数，故A错误；
对于B选项，令，则，
而，故B错误；
对于C选项，令，则，所以函数的对称中心为，故C错误；
对于D选项，令，则，所以函数的对称轴为，当时，有，即D正确.故选：D.
2. (2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．的最小正周期是
C．在区间上单调递增
D．的图象关于直线对称
答案：C
【解析】A选项，定义域为R，且
，
所以是奇函数，A错误；
当时，
画出图象，
显然的最小正周期是，B错误；
在区间上单调递增，选项C正确；
直线不是的对称轴，D错误；
故选：C．
【题型六 三角函数大题综合】
例9 (2023·呼和浩特开来中学月考）已知函数.
(1)求的值及f(x)的对称轴；
(2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象，求的单调递增区间.
答案：（1），； （2）。
【解析】（1）由函数，
则，
令，解得，
即函数的对称轴的方程为
（2）由（1）可知函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，
可得的图象，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
【题型精练】
1. (2023·浙江浙江·二模）已知函数，．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数的值域．
答案：(1)(2)
【解析】(1)由由
得所以函数的单调递增区间为：
(2)由，则
所以
由，则
所以函数的值域为
2. (2023·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数满足：
①的最大值为2；②；的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间上的单调递增区间与最小值．
答案：(1)
(2)，
【解析】(1)
由条件③，得又，所以．
由条件①，得，又，所以．
由条件②，得，又，所以．
所以．
经验证，符合题意．
(2)
函数的单调递增区间为．
由，得．又因为，
所以在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为.
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值，．
故在区间上的单调递增区间为，最小值为.
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x|x∈R且x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
单调性
[－eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上递增；
[eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上递减
[－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z)上递增；
[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)上递减
(－eq \f(π,2)＋kπ，eq \f(π,2)＋kπ)
(k∈Z)上递增
最值
x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，
ymax＝1；
x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(eq \f(π,2)＋kπ，0)
(k∈Z)
(eq \f(kπ,2)，0)(k∈Z)
对称轴
方程
x＝eq \f(π,2)＋kπ
(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
【知识必备】
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
2．五点法作y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用“五点法”作图，就是令ωx＋φ取下列5个特殊值：0, eq \f(π,2), π, eq \f(3π,2), 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象.
3．三角函数图象变换
【题型精讲】
【题型一 三角函数图象变换】
必备技巧 三角函数图象变换技巧
(1)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
(2)当x的系数不为1时，特别注意先提取系数，再加减．
例1 (2023·重庆市育才中学高三阶段练习）为了得到的图象，可将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
例2 (2023·河南洛阳·模拟预测）已知曲线，，为了得到曲线，则对曲线的变换正确的是（ ）
A．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度
B．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度
C．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度
D．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度
【跟踪精练】
1．(2023·江苏连云港市高三一模）要得到函数的图象，则（ ）
A．可将函数的图象向右平移个单位得到
B．可将函数的图象向左平移个单位得到
C．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来倍得到
D．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来2倍得到
2．(2023·全国·模拟预测）若将函数的图象分别向左平移个单位长度与向右平移个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·陕西·二模）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移是个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移登个单位长度D．向右平移个单位长度
【题型二 求三角函数解析式】
必备技巧 y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
例3 (2023·陕西省洛南中学模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【跟踪精练】
1． (2023·全国高三课时练习）已知函数的部分图象如图所示.则A，，的一个数值可以是（ ）
A．B．C．D．
2. （多选）(2023·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．的振幅为2B．为的对称中心
C．向右平移单位后得到的函数为奇函数D．在上的值域为
【题型三 三角函数五大性质之值域】
必备技巧 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
例4 (1)(2023·天津高三月考）函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域为________．
（2）(2023·四川资阳市高三月考）函数的最大值为
（3）(2023·河北高三期末）设x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则函数y＝eq \f(sin 2x,2sin2x＋1)的最大值为________．
（4）(2023·甘肃高三期末）函数y＝sin x－cs x＋sin xcs x的值域为____________．
【题型精练】
1．(2023·吉林高三期末）已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和是___________.
2．(2023·江苏泰州·高三阶段练习）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·全国·专题练习）已知函数．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是________．
【题型四 三角函数五大性质之单调性】
方法技巧 已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
例5 (2023·重庆·模拟预测）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
例6 (2023·河南商丘市高三模拟）函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1．(2023·上海高三模拟）设定义在上的函数，则（ ）
A．在区间上是增函数B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数D．在区间上是减函数
2. (2023·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）已知函数，则“函数在上单调递增”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要件
3. (2023·四川·泸县五中二模）将的图象向左平移个单位后得到的图象，则有 （ ）
A．为奇函数，在上单调递減
B．为偶函数，在上单调递增
C．周期为π，图象关于点对称
D．最大值为1，图象关于直线对称
【题型五 三角函数五大性质之奇偶性、周期性、对称性】
例7 (2023·湖南周南中学高三月考）（多选）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象（x∈R），下列结论错误的是（ ）
A．函数的图象最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象在上单调递增
D．函数的图象关于直线对称
例8 (2023·天津·静海一中高三阶段练习）关于函数，有下列命题：
①函数是奇函数；
②函数的图象关于直线对称；
③函数可以表示为；
④函数的图象关于点对称
其中正确的命题的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【题型精练】
1.(2023·湖南益阳高三月考）函数的图象如图所示，先将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数B．函数在区间上是增函数
C．函数图象关于对称D．函数图象关于直线对称
2. (2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．的最小正周期是
C．在区间上单调递增
D．的图象关于直线对称
【题型六 三角函数大题综合】
例9 (2023·呼和浩特开来中学月考）已知函数.
(1)求的值及f(x)的对称轴；
(2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象，求的单调递增区间.
【题型精练】
1. (2023·浙江浙江·二模）已知函数，．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数的值域．
2. (2023·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数满足：
①的最大值为2；②；的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间上的单调递增区间与最小值．
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x|x∈R且x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
单调性
[－eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上递增；
[eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上递减
[－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z)上递增；
[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)上递减
(－eq \f(π,2)＋kπ，eq \f(π,2)＋kπ)
(k∈Z)上递增
最值
x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，
ymax＝1；
x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(eq \f(π,2)＋kπ，0)
(k∈Z)
(eq \f(kπ,2)，0)(k∈Z)
对称轴
方程
x＝eq \f(π,2)＋kπ
(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
4.3 三角函数图象和性质
【题型解读】
【知识必备】
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
2．五点法作y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用“五点法”作图，就是令ωx＋φ取下列5个特殊值：0, eq \f(π,2), π, eq \f(3π,2), 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象.
3．三角函数图象变换
【题型精讲】
【题型一 三角函数图象变换】
必备技巧 三角函数图象变换技巧
(1)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
(2)当x的系数不为1时，特别注意先提取系数，再加减．
例1 (2023·重庆市育才中学高三阶段练习）为了得到的图象，可将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
答案：C
【解析】依题意，，
所以可由向左平移个单位得到.故选：C
例2 (2023·河南洛阳·模拟预测）已知曲线，，为了得到曲线，则对曲线的变换正确的是（ ）
A．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度
B．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度
C．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度
D．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度
答案：C
【解析】A. 先把曲线上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象，A错；
B. 先把曲线上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得的图象，B错；
C. 先把曲线上点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象，C正确；
D. 先把曲线上点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得的图象，D错误；故选：C．
【跟踪精练】
1．(2023·江苏连云港市高三一模）要得到函数的图象，则（ ）
A．可将函数的图象向右平移个单位得到
B．可将函数的图象向左平移个单位得到
C．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来倍得到
D．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来2倍得到
答案：C
【解析】对于A选项：变换后，故A错误；
对于B选项：变换后，故B错误；
对于C选项：变换后，故C正确；
对于D选项：变换后，故D错误.故选：C.
2．(2023·全国·模拟预测）若将函数的图象分别向左平移个单位长度与向右平移个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】的图象向左平移个单位长度得的图象,
向右平移（）个单位长度得的图象,
由题意得 （）所以（） 又 ,故的最小值为, 故选：A
3. (2023·陕西·二模）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移是个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移登个单位长度D．向右平移个单位长度
答案：B
【解析】因为函数，
，
所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.
故选：B.
【题型二 求三角函数解析式】
必备技巧 y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
例3 (2023·陕西省洛南中学模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】由图象可得，解得A=2，k=1，由正弦型图象性质可得，
所以，解得，又，且，所以，所以.故选：A
【跟踪精练】
1． (2023·全国高三课时练习）已知函数的部分图象如图所示.则A，，的一个数值可以是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由图可知，，即，所以，
所以函数解析式为，
将代入得：，
则，所以，
所以A选项符合，BCD不符合.
故选：A．
2. （多选）(2023·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．的振幅为2B．为的对称中心
C．向右平移单位后得到的函数为奇函数D．在上的值域为
答案：ABC
【解析】观察图象得：A=2，周期T，则，
由得，而，则，
所以有，显然A正确；，B正确；
向右平移得是奇函数，C正确；
时，，，，D错误.故选：ABC
【题型三 三角函数五大性质之值域】
必备技巧 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
例4 (1)(2023·天津高三月考）函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域为________．
（2）(2023·四川资阳市高三月考）函数的最大值为
（3）(2023·河北高三期末）设x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则函数y＝eq \f(sin 2x,2sin2x＋1)的最大值为________．
（4）(2023·甘肃高三期末）函数y＝sin x－cs x＋sin xcs x的值域为____________．
答案：（1）eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))（2）（3）eq \f(\r(3),3)（4）eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\r(2)，1))
【解析】(1)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，故3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))，
∴函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3)).
（2）函数，
令，，则，，
所以当时，函数取得最大值为.
（3）因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以tan x＞0，y＝eq \f(sin 2x,2sin2x＋1)＝eq \f(2sin x·cs x,3sin2x＋cs2x)＝eq \f(2tan x,3tan2x＋1)＝eq \f(2,3tan x＋\f(1,tan x))≤eq \f(2,2\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，
当且仅当3tan x＝eq \f(1,tan x)时等号成立，故最大值为eq \f(\r(3),3).
(4)设t＝sin x－cs x，则－eq \r(2)≤t≤eq \r(2)，t2＝sin2x＋cs2x－2sin xcs x，则sin xcs x＝eq \f(1－t2,2)，
∴y＝－eq \f(t2,2)＋t＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－eq \r(2)时，ymin＝－eq \f(1,2)－eq \r(2).∴函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\r(2)，1)).
【题型精练】
1．(2023·吉林高三期末）已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和是___________.
答案：1或
【解析】由题设，，则，
在上，当则，故；当则，故；
综上，最大值与最小值的和为1或.故答案为：1或
2．(2023·江苏泰州·高三阶段练习）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设，则，
所以，且，又的值域为，
所以，即实数的取值范围为.故选：C.
3. (2023·全国·专题练习）已知函数．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是________．
答案：
【解析】因为，
因为，所以，所以所以的值域为，
关于的方程在上有解，则关于的方程在上有解，所以，所以，所以实数的取值范围是故答案为：
【题型四 三角函数五大性质之单调性】
方法技巧 已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
例5 (2023·重庆·模拟预测）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】，令解得：Z，故f（x）的单调递减区间为
故选：C
例6 (2023·河南商丘市高三模拟）函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：（1）A（2）C
【解析】（1）因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.选：A.
（2）由题意可得，
因为，所以，
令，由此可得，
因为在上单调递减，所以由此解得.故选：C.
【题型精练】
1．(2023·上海高三模拟）设定义在上的函数，则（ ）
A．在区间上是增函数B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数D．在区间上是减函数
答案：A
【解析】对于A，当时，，函数为减函数，所以为增函数，故A正确；
对于B，当时，，函数先递减后递增，所以先递增后递减，故B不正确；
对于C，当时，，函数先递增后递减 ，所以先递增后递减，故C不正确；
对于D，当时，，函数为递减函数，所以为递减函数，当时，，函数为递减函数，所以为增函数，故D不正确.
故选：A
2. (2023·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）已知函数，则“函数在上单调递增”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要件
答案：A
【解析】∵，∴，
由于函数f（x）在上单调递增，
∴（）解得，（）
故只能取，即，
∴“函数f（x）在上单调递增”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. (2023·四川·泸县五中二模）将的图象向左平移个单位后得到的图象，则有 （ ）
A．为奇函数，在上单调递減
B．为偶函数，在上单调递增
C．周期为π，图象关于点对称
D．最大值为1，图象关于直线对称
答案：D
【解析】将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象.
为偶函数，，，函数单调递减，故A不正确；
，，，，函数不单调，故B错误；
的周期为，当时，，故C错误；
g（x）最大值为1，当时，函数，为最小值，故的图象关于直线对称，故D正确，
故选：D．
【题型五 三角函数五大性质之奇偶性、周期性、对称性】
例7 (2023·湖南周南中学高三月考）（多选）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象（x∈R），下列结论错误的是（ ）
A．函数的图象最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象在上单调递增
D．函数的图象关于直线对称
答案：ABD
【解析】
向右平移个单位长度，得到，再将横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到，即.
对于A：最小正周期为.故A错误；
对于B：当时，，故不是对称中心.故B错误；
对于C：当时，，而，
因为在上单调递增，所以函数在上单调递增.故C正确；
对于D：当时，，所以不是的对称轴.故D错误.
故选：ABD
例8 (2023·天津·静海一中高三阶段练习）关于函数，有下列命题：
①函数是奇函数；
②函数的图象关于直线对称；
③函数可以表示为；
④函数的图象关于点对称
其中正确的命题的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
答案：B
【解析】对①，，函数不是奇函数，故①错误；
对②，由，所以函数图象关于直线对称，故②正确；
对③，，故③正确；
对④，由函数，所以函数的图象关于点对称，故④正确，
共有3个正确，
故选：B.
【题型精练】
1.(2023·湖南益阳高三月考）函数的图象如图所示，先将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数B．函数在区间上是增函数
C．函数图象关于对称D．函数图象关于直线对称
答案：D
【解析】由图得函数的周期，所以.
因为函数的图象过点，所以，所以，
所以.因为，所以，所以.
先将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到的图象，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到.
对于A选项，因为函数为偶函数，故A错误；
对于B选项，令，则，
而，故B错误；
对于C选项，令，则，所以函数的对称中心为，故C错误；
对于D选项，令，则，所以函数的对称轴为，当时，有，即D正确.故选：D.
2. (2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．的最小正周期是
C．在区间上单调递增
D．的图象关于直线对称
答案：C
【解析】A选项，定义域为R，且
，
所以是奇函数，A错误；
当时，
画出图象，
显然的最小正周期是，B错误；
在区间上单调递增，选项C正确；
直线不是的对称轴，D错误；
故选：C．
【题型六 三角函数大题综合】
例9 (2023·呼和浩特开来中学月考）已知函数.
(1)求的值及f(x)的对称轴；
(2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象，求的单调递增区间.
答案：（1），； （2）。
【解析】（1）由函数，
则，
令，解得，
即函数的对称轴的方程为
（2）由（1）可知函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，
可得的图象，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
【题型精练】
1. (2023·浙江浙江·二模）已知函数，．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数的值域．
答案：(1)(2)
【解析】(1)由由
得所以函数的单调递增区间为：
(2)由，则
所以
由，则
所以函数的值域为
2. (2023·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数满足：
①的最大值为2；②；的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间上的单调递增区间与最小值．
答案：(1)
(2)，
【解析】(1)
由条件③，得又，所以．
由条件①，得，又，所以．
由条件②，得，又，所以．
所以．
经验证，符合题意．
(2)
函数的单调递增区间为．
由，得．又因为，
所以在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为.
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值，．
故在区间上的单调递增区间为，最小值为.
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x|x∈R且x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
单调性
[－eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上递增；
[eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上递减
[－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z)上递增；
[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)上递减
(－eq \f(π,2)＋kπ，eq \f(π,2)＋kπ)
(k∈Z)上递增
最值
x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，
ymax＝1；
x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(eq \f(π,2)＋kπ，0)
(k∈Z)
(eq \f(kπ,2)，0)(k∈Z)
对称轴
方程
x＝eq \f(π,2)＋kπ
(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
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