高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.4空间几何体的最值、范围问题(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.4空间几何体的最值、范围问题(精讲)(原卷版+解析)，共19页。


【题型精讲】
【题型一 切接中的最值、范围问题】
例1 (2023·陕西安康·高三期末）已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的半径为
A．1B．2C．3D．
【跟踪精练】
1. (2023·陕西高三模拟）已知在半径为2的球面上有、、、四点，若，则四面体的体积的最大值为
A．B．C．D．
2. (2023·海原县高三模拟）已知球的直径，，是该球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值是
A．2B．C．4D．
【题型二 截面中的最值、范围问题】
例2 (2023·山西·太原五中高一阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，，于，于，若，，则当的面积最大时，的值为
A．2B．C．D．
【跟踪精练】
1. (2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）在正三棱锥中，，，两两垂直，，点在线段上，且，过点作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值是
A．B．C．D．
2. (2023·全国高三模拟）棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，，分别为棱，的中点，则经过，球的截面面积的最小值为
A．B．C．D．
【题型三 平行、垂直中的最值、范围问题】
例3 (2023·江西高三模拟）如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，动点在底面内（不包括边界）．若平面，则的最小值是
A．B．C．D．
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是
A．B．C．D．
2. (2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，，点M，N分别在棱和上，且，则线段的长度的最大值为___________，此时，三棱锥的体积为___________.
【题型四 其它类型的最值、范围问题】
例4(2023·山东·模拟预测）如图，在三棱锥中，．且，则四面体的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例5(2023·福建·三明一中模拟预测）如图，正方体的棱长为，分别是棱，的中点，过点的平面分别与棱，交于点G，H，给出以下四个命题：
①平面与平面所成角的最大值为45°；
②四边形的面积的最小值为；
③四棱锥的体积为定值；
④点到平面的距离的最大值为.
其中正确命题的序号为（ ）
A．②③B．①④C．①③④D．②③④
【题型精练】
1. 已知正方体的棱长为1，点，分别为线段，上的动点，点在平面内，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2. 正方体的棱长为4，点在棱上，且，点是正方体下底面内（含边界）的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为16，则动点到点的最小值是（ ）．
A．B．C．D．
3.(2023·江西萍乡·三模）（多选）已知边长为2的等边，点、分别是边、上的点，满足且（），将沿直线折到的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是（ ）
A．在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面
B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面
C．若，当二面角等于60°时，
D．在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为
7.4 空间几何体的最值、范围问题
【题型解读】

【题型精讲】
【题型一 切接中的最值、范围问题】
例1 (2023·陕西安康·高三期末）已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的半径为
A．1B．2C．3D．
答案：B
【解析】如图所示，由，，
可得，，
，．
设的外接圆的半径为，，．
当平面时，该三棱锥取得体积的最大值为
由．
解得．
所以，
解得．
故选：．
【跟踪精练】
1. (2023·陕西高三模拟）已知在半径为2的球面上有、、、四点，若，则四面体的体积的最大值为
A．B．C．D．
答案：B
【解析】过作平面，使平面，交于，设点到的距离为，
则有，
当直径通过与的中点连线时，，故．
故选：．
2. (2023·海原县高三模拟）已知球的直径，，是该球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值是
A．2B．C．4D．
答案：A
【解析】如图，球的直径，，是该球面上的两点，，
，，（其中为点到底面的距离），
故当最大时，的体积最大，
即当面面时，最大，
球的直径，，，
，
，即，
此时．
故选：．
【题型二 截面中的最值、范围问题】
例2 (2023·山西·太原五中高一阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，，于，于，若，，则当的面积最大时，的值为
A．2B．C．D．
答案：D
【解析】在中，，，
，，．
底面，得，，
平面，可得
，，平面
平面，
且，面，
结合平面，可得．
中，，可得，
平面，平面．．
中，，
当，即时，有最大值为
故选：．
【跟踪精练】
1. (2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）在正三棱锥中，，，两两垂直，，点在线段上，且，过点作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值是
A．B．C．D．
答案：A
【解析】在正三棱锥中，，，两两垂直，，
构造以，，为棱长的正方体，且该正方体棱长为，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则该正三棱锥外接球球心为中点，半径为，
点在线段上，且，
，，，，
，
过点作该正三棱锥外接球的截面，当所得截面圆面积取最小值时截面圆的圆心为，
当所得截面圆面积取最小值时截面圆的半径为：
，
过点作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值为．
故选：．
2. (2023·全国高三模拟）棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，，分别为棱，的中点，则经过，球的截面面积的最小值为
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为正方体内接于球，所以，，
过球心和点、的大圆的截面图如图所示，
则直线被球截得的线段为，过点作，垂足为点，，
，
所以，在中，．
所以所求经过、的平面截球所得的截面的面积的最小值是：．
故选：．
【题型三 平行、垂直中的最值、范围问题】
例3 (2023·江西高三模拟）如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，动点在底面内（不包括边界）．若平面，则的最小值是
A．B．C．D．
答案：B
【解答】如图，在上取中点，在上取中点，连接，，，
，且，，
平面，则动点的轨迹是，（不含，两点）
又平面，
则当时，取得最小值，
．
故选：．
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，△△，
设，，则，到平面的距离为，
所以四面体的体积为，
当时，体积取得最大值：．
故选：．
2. (2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，，点M，N分别在棱和上，且，则线段的长度的最大值为___________，此时，三棱锥的体积为___________.
答案： 3
【解析】
设，，则，，
在正方体中，因为，所以，
所以，，，
因为，所以，
即，化简得，
所以，所以当时，取得最大值，
所以线段的长度的最大值为，
此时.
故答案为：；3
【题型四 其它类型的最值、范围问题】
例4(2023·山东·模拟预测）如图，在三棱锥中，．且，则四面体的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
作BEAD于E，连接CE，如图，
因为再平面BEC内相交，所以AD平面BEC，
因为CE平面BEC，所以CEAD，
因为，
所以B与C都是在以A、D为焦点的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，
AB＋BD= AC+CD =2，显然，所以BE=CE.
取BC中点F，
要求四面体ABCD的体积的最大值，
因为AD是定值，只需三角形EBC的面积最大，
因为BC是定值,所以只需EF最大即可，
当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，
因为AB＋BD= AC+CD =2，
，
，
所以几何体的体积为
故选：B
例5(2023·福建·三明一中模拟预测）如图，正方体的棱长为，分别是棱，的中点，过点的平面分别与棱，交于点G，H，给出以下四个命题：
①平面与平面所成角的最大值为45°；
②四边形的面积的最小值为；
③四棱锥的体积为定值；
④点到平面的距离的最大值为.
其中正确命题的序号为（ ）
A．②③B．①④C．①③④D．②③④
答案：D
【解析】
对于①，四边形为平行四边形，又直角梯形和直角梯形全等，得，所以四边形为菱形，且，平面在底面上的射影为四边形，设平面与平面所成角为，则，又，得，可得所成角的最大值不为45°，故①错误；对于②，由，可得菱形的面积的最小值为，故②正确；对于③，四棱锥的体积为，故③正确；对于④，设，，()，设到平面的距离为d，可得，
所以(其中)，当即时，取得最大值，故④正确.
故选：D.
【题型精练】
1. 已知正方体的棱长为1，点，分别为线段，上的动点，点在平面内，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
解：点关于的对称点为，关于的对称点为，
记为直线与之间的距离，则，
由，为到平面的距离，
因为，
而，故，
故选：B.
2. 正方体的棱长为4，点在棱上，且，点是正方体下底面内（含边界）的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为16，则动点到点的最小值是（ ）．
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
如图所示，作，为垂足，则面
过点作，则面
所以即为到直线的距离
因为，
所以
所以点的轨迹是以为准线，点为焦点的抛物线
如图建立直角坐标系，则点的轨迹方程是
点,设
所以
所以当，取得最大值
故选：C
3.(2023·江西萍乡·三模）（多选）已知边长为2的等边，点、分别是边、上的点，满足且（），将沿直线折到的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是（ ）
A．在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面
B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面
C．若，当二面角等于60°时，
D．在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为
答案：CD
【解析】
解：对于，连接，，，显然平面平面，
若上存在点使得，则，显然与为相交直线，矛盾，故错误；
对于，设中点，中点，由等边三角形性质可知，，
若平面平面，则在底面上的射影为，于是，
，与矛盾，故错误；
对于，若，二面角等于，则，
设在底面上的射影为，则，，
，，，故正确；
对于，，，，
，
显然在翻折过程中，当平面平面时，四棱锥的体积最大，故，
，令可得，当时，，当时，，
当时，取得最大值，故正确．
故选：．