高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.6空间几何体中垂直的判定与性质(精讲)(原卷版+解析)
展开【知识必备】
1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
知识拓展
1.三垂线定理
在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
2.三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
【题型精讲】
【题型一 线面垂直的判定】
技巧方法 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法:①判定定理;②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);③面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);④面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.
例1 (2023·陕西安康·高三期末)如图,四棱锥中,平面平面,,,,,求证:平面
例2 (2023·江苏南通市高三模拟)如图①,在菱形中,且,为的中点.将沿折起使,得到如图②所示的四棱锥,求证:平面
【跟踪精练】
1. (2023·陕西高三模拟)如图,四棱锥中,平面平面,为的中点,为的中点,且,,.证明:平面
2. (2023·海原县高三模拟)在直四棱柱中,底面ABCD为平行四边形,,点M在棱上,点N是BC的中点,且满足,证明:AM⊥平面
3. (2023·山西·太原五中高一阶段练习)如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,为中点,求证:平面
【题型二 面面垂直的判定】
技巧方法 判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.
(2)面面垂直性质的应用
①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线也垂直于第三个平面.
例3 (2023·全国高三模拟)如图,在三棱柱中,,,,,证明:平面平面
例4 (2023·河北衡水中学高三模拟)如图,正三棱柱中,,,,分别是棱,的中点,在侧棱上,且,求证:平面平面;
【跟踪精练】
1. (2023·安徽·合肥市第六中学高一期中)如图,在直角梯形中,,,,并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF.
(1)求证:直线平面ADF;
(2)求证:直线平面ADF;
(3)当平面平面ABEF时,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使平面ADE与平面BCE垂直.并证明你的结论.
条件①:;
条件②:;
条件③:.
2. (2023·全国高三模拟)如图所示,直三棱柱中,为中点.
(1)求证:平面;
(2)若三棱柱上下底面为正三角形,,,求证:平面平面.
【题型三 线线垂直的判定】
例5 (2023·江西高三模拟)如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱中,,是线段的中点,是线段靠近点的四等分点,点在线段上,求证:
例6 (2023·重庆八中高三阶段练习)如图,在直四棱柱中,,分别为,的中点,底面是菱形,且,,,证明:
【题型精练】
1.(2023·全国·高三专题练习)如图,四棱锥中,侧面为等边三角形,且平面底面,,==,证明:
2. (2023·全国·高三专题练习)如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,, 是的中点,点在棱上.
(1)求四棱锥的全面积;
(2)求证:.
【题型四 垂直中的探究性问题】
例7(2023·山东·模拟预测)如图,在四棱锥中,平面,, ,,,,为侧棱上一点.
(1)若,求证:平面;
(2)求证:平面平面;
(3)在侧棱上是否存在点,使得平面? 若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
例8(2023·福建·三明一中模拟预测)如图,在直三梭柱中,,,点,分别为和的中点.
(1)棱上是否存在点使得平面平面?若存在,写出的长并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
(2)求点到平面的距离.
【题型精练】
1. (2023·广东佛山市高三模拟)如图,在直三棱柱中,,点分别为和的中点.,)棱上是否存在点使得平面平面?若存在,写出的长并证明你的结论;若不存在,请说明理由
2. (2023·云南昆明市高三模拟)如图所示,在几何体中,是等边三角形,平面,,且,试在线段上确定点的位置,使平面,并证明;
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n))
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))
⇒a∥b
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊂α,a⊥β))
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,α∩β=a,l⊥a,l⊂β))
⇒l⊥α
7.6 空间几何体中垂直的判定和性质
【题型解读】
【知识必备】
1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
知识拓展
1.三垂线定理
在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
2.三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
【题型精讲】
【题型一 线面垂直的判定】
技巧方法 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法:①判定定理;②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);③面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);④面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.
例1 (2023·陕西安康·高三期末)如图,四棱锥中,平面平面,,,,,求证:平面
答案:证明见详解
【解析】平面平面,平面平面,,,
平面,又平面,,
又,,,
,,
,,,
又,平面;
例2 (2023·江苏南通市高三模拟)如图①,在菱形中,且,为的中点.将沿折起使,得到如图②所示的四棱锥,求证:平面
答案:证明见解析
【解析】连接.
∵四边形为菱形,,∴是等边三角形.
∵为的中点,∴,.
又∵,∴,,
∴,∴,
∵,∴,.
又,平面,平面,
∴平面.
【跟踪精练】
1. (2023·陕西高三模拟)如图,四棱锥中,平面平面,为的中点,为的中点,且,,.证明:平面
答案:证明见解析
【解析】证明:如图,
连接AF,
由题意知为等腰三角形,
而为的中点,所以.
又因为平面平面,且,平面平面,平面,
所以平面.
而平面,所以.
而,平面,所以平面.
连接,则,,
而,,所以且,
所以是平行四边形,
因此,故平面.
2. (2023·海原县高三模拟)在直四棱柱中,底面ABCD为平行四边形,,点M在棱上,点N是BC的中点,且满足,证明:AM⊥平面
答案:证明见解析
【解析】联结AC,由知,,即,
由在直四棱柱中,平面ABCD,则
又,则平面ACM,又平面ACM,
则,又,则,由条件知,
且,故平面;
3. (2023·山西·太原五中高一阶段练习)如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,为中点,求证:平面
答案:证明见解析
【解析】因为底面为矩形,所以,
又因为平面平面平面,平面平面,
所以平面,因为平面,所以,
由,所以,所以,
又因为平面,所以平面.
【题型二 面面垂直的判定】
技巧方法 判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.
(2)面面垂直性质的应用
①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线也垂直于第三个平面.
例3 (2023·全国高三模拟)如图,在三棱柱中,,,,,证明:平面平面
答案:证明见解析
【解析】证明:如图,连接,在中,,,,
由余弦定理,得,
所以,所以,
所以,同理,又,平面,
所以平面,又平面,
所以平面平面.
例4 (2023·河北衡水中学高三模拟)如图,正三棱柱中,,,,分别是棱,的中点,在侧棱上,且,求证:平面平面;
答案:证明见解析
【解析】∵在正三棱柱中,平面,平面,∴.
∵是棱的中点,为正三角形,∴.
∵,∴平面.
∵平面∴.
又∵,,,∴,,
∴,∴,∴,
∴,∴,∴.
又∵,∴平面,
∵平面,∴平面平面.
【跟踪精练】
1. (2023·安徽·合肥市第六中学高一期中)如图,在直角梯形中,,,,并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF.
(1)求证:直线平面ADF;
(2)求证:直线平面ADF;
(3)当平面平面ABEF时,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使平面ADE与平面BCE垂直.并证明你的结论.
条件①:;
条件②:;
条件③:.
答案:(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【解析】(1)证明:在直角梯形中,,,将直角梯形绕边旋转至,
所以,
又,平面,
所以平面;
(2)证明:依题意可得且,
所以四边形为平行四边形,
所以,平面,平面,
所以平面;
(3)证明:因为平面平面,,平面平面,平面,
所以平面,平面,所以,
过点作,交于点,
若选①,,,所以,
所以,此时,
所以
如图过点作交的延长线于点,
因为平面,平面,所以,
,平面,所以平面,
又平面,
所以平面平面,显然平面与平面不垂直;
若选②:,则,所以,,
所以,即,
又,平面,所以平面,
又平面,
所以平面平面;
若选③:,又,,平面,所以平面,
又平面,
所以平面平面;
2. (2023·全国高三模拟)如图所示,直三棱柱中,为中点.
(1)求证:平面;
(2)若三棱柱上下底面为正三角形,,,求证:平面平面.
答案:(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】(1)连接,与相交于点F,连接MF,则为的中点,
因为为中点,所以MF是的中位线,所以,
因为平面,平面,所以平面
(2)因为直三棱柱上下底面为正三角形,,,
所以,
所以,
所以,即,
由三线合一可得:,
又因为平面ABC,平面ABC,
所以,
因为,
所以平面,
因为平面,
所以
因为
所以平面,
因为平面,
所以平面平面
【题型三 线线垂直的判定】
例5 (2023·江西高三模拟)如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱中,,是线段的中点,是线段靠近点的四等分点,点在线段上,求证:
答案:证明见解析
【解析】由题意,在直三棱柱中,,
不妨设,则,
由余弦定理可得,因为,可得,
又由是线段的中点,所以,且,
因为平面,平面,所以,
又因为,且平面,所以平面,
因为平面,所以,
在直角中,,
因为是线段靠近点的四等分点,可得,
所以,可得,
又由且平面,所以平面,
因为平面,所以.
例6 (2023·重庆八中高三阶段练习)如图,在直四棱柱中,,分别为,的中点,底面是菱形,且,,,证明:
答案:证明见解析
【解析】证明:连接,.
四边形是菱形,,
.
又是的中点,.
又,.
是直四棱柱,
平面.
又平面,.
又,平面.
又平面,.
【题型精练】
1.(2023·全国·高三专题练习)如图,四棱锥中,侧面为等边三角形,且平面底面,,==,证明:
答案:证明见解析
【解析】证明:取的中点,连,,
∵为等边三角形,且是边的中点,
∴,
∵平面底面,且它们的交线为,
∴平面,则,
∵,且
∴平面,
∴;
2. (2023·全国·高三专题练习)如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,, 是的中点,点在棱上.
(1)求四棱锥的全面积;
(2)求证:.
答案:(1);(2)证明见解析.
【解析】(1)∵BC//AD,AD⊥平面ABP,∴BC⊥平面ABP,
∴BC⊥BP,∴,
同理可得,
∴
.
(2)∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.
又ABCD是矩形,∴CD⊥AD,
∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.
∵AF⊂平面PAD,∴AF⊥CD.
∵PA=AD,点F是PD的中点,∴AF⊥PD.
又CD∩PD=D,∴AF⊥平面PDC.
∵PE⊂平面PDC,∴PE⊥AF.
【题型四 垂直中的探究性问题】
例7(2023·山东·模拟预测)如图,在四棱锥中,平面,, ,,,,为侧棱上一点.
(1)若,求证:平面;
(2)求证:平面平面;
(3)在侧棱上是否存在点,使得平面? 若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
答案:(1)详见解析;(2)详见解析;(3)存在,,理由见解析.
【解析】
(1)设,连结,
由已知,,,得
.由,得.
在中,由,得.
因为平面,平面,
所以平面.
(2)因为平面,平面,
所以.
在直角梯形中,因,
故,,因,
所以.所以.又,所以平面.
因为平面,所以平面平面.
(3)在平面内作于点,则即为所求的点,
由,,,
得平面.因为平面,所以.又,
所以平面.
由,,,得.
例8(2023·福建·三明一中模拟预测)如图,在直三梭柱中,,,点,分别为和的中点.
(1)棱上是否存在点使得平面平面?若存在,写出的长并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
(2)求点到平面的距离.
答案:(1)存在;;证明见解析;(2).
【解析】(1)存在点满足题意,且.
证明如下:
取的中点为,连接,,.
则,所以平面.
因为,是的中点,所以.
在直三棱柱中,平面平面,且交线为,
所以平面,所以.
在平面内,,,
所以∽,从而可得.
又因为,所以平面.
因为平面,所以平面平面.
(2)过点作,垂足为,连接.
设点到平面的距离为.
.
而,.
所以是等腰三角形,腰长为,底边长为,
所以,
因此,解得.
【题型精练】
1. (2023·广东佛山市高三模拟)如图,在直三棱柱中,,点分别为和的中点.,)棱上是否存在点使得平面平面?若存在,写出的长并证明你的结论;若不存在,请说明理由
答案:存在点满足题意,且,证明详见解析
【解析】存在点满足题意,且.
证明如下:
取的中点为,连接.
则,所以平面.
因为是的中点,所以.
在直三棱柱中,平面平面,且交线为,
所以平面,所以.
在平面内,,,
所以,从而可得.
又因为,所以平面.
因为平面,所以平面平面.
2. (2023·云南昆明市高三模拟)如图所示,在几何体中,是等边三角形,平面,,且,试在线段上确定点的位置,使平面,并证明;
答案:见解析
【解析】当点为的中点时,平面.证明如下:取中点,连接,,
且,又,,
且,四边形为平行四边形,.
又平面,,平面,又CD面BCD,平面平面,是等边三角形,,
又平面平面,平面,平面.
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n))
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))
⇒a∥b
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊂α,a⊥β))
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,α∩β=a,l⊥a,l⊂β))
⇒l⊥α
高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.3空间几何体截面、轨迹问题(精讲)(原卷版+解析): 这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.3空间几何体截面、轨迹问题(精讲)(原卷版+解析),共28页。
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