终身会员
搜索
    上传资料 赚现金
    高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.6空间几何体中垂直的判定与性质(精讲)(原卷版+解析)
    立即下载
    加入资料篮
    高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.6空间几何体中垂直的判定与性质(精讲)(原卷版+解析)01
    高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.6空间几何体中垂直的判定与性质(精讲)(原卷版+解析)02
    高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.6空间几何体中垂直的判定与性质(精讲)(原卷版+解析)03
    还剩24页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.6空间几何体中垂直的判定与性质(精讲)(原卷版+解析)

    展开
    这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.6空间几何体中垂直的判定与性质(精讲)(原卷版+解析),共27页。


    【知识必备】
    1.直线与平面垂直
    (1)直线和平面垂直的定义
    如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.
    (2)判定定理与性质定理
    2.平面与平面垂直
    (1)平面与平面垂直的定义
    两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
    (2)判定定理与性质定理
    知识拓展
    1.三垂线定理
    在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
    2.三垂线定理的逆定理
    平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
    【题型精讲】
    【题型一 线面垂直的判定】
    技巧方法 证明线面垂直的常用方法及关键
    (1)证明直线和平面垂直的常用方法:①判定定理;②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);③面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);④面面垂直的性质.
    (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.
    例1 (2023·陕西安康·高三期末)如图,四棱锥中,平面平面,,,,,求证:平面
    例2 (2023·江苏南通市高三模拟)如图①,在菱形中,且,为的中点.将沿折起使,得到如图②所示的四棱锥,求证:平面
    【跟踪精练】
    1. (2023·陕西高三模拟)如图,四棱锥中,平面平面,为的中点,为的中点,且,,.证明:平面
    2. (2023·海原县高三模拟)在直四棱柱中,底面ABCD为平行四边形,,点M在棱上,点N是BC的中点,且满足,证明:AM⊥平面
    3. (2023·山西·太原五中高一阶段练习)如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,为中点,求证:平面
    【题型二 面面垂直的判定】
    技巧方法 判定面面垂直的方法
    ①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.
    (2)面面垂直性质的应用
    ①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线也垂直于第三个平面.
    例3 (2023·全国高三模拟)如图,在三棱柱中,,,,,证明:平面平面
    例4 (2023·河北衡水中学高三模拟)如图,正三棱柱中,,,,分别是棱,的中点,在侧棱上,且,求证:平面平面;
    【跟踪精练】
    1. (2023·安徽·合肥市第六中学高一期中)如图,在直角梯形中,,,,并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF.
    (1)求证:直线平面ADF;
    (2)求证:直线平面ADF;
    (3)当平面平面ABEF时,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使平面ADE与平面BCE垂直.并证明你的结论.
    条件①:;
    条件②:;
    条件③:.
    2. (2023·全国高三模拟)如图所示,直三棱柱中,为中点.
    (1)求证:平面;
    (2)若三棱柱上下底面为正三角形,,,求证:平面平面.
    【题型三 线线垂直的判定】
    例5 (2023·江西高三模拟)如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱中,,是线段的中点,是线段靠近点的四等分点,点在线段上,求证:
    例6 (2023·重庆八中高三阶段练习)如图,在直四棱柱中,,分别为,的中点,底面是菱形,且,,,证明:
    【题型精练】
    1.(2023·全国·高三专题练习)如图,四棱锥中,侧面为等边三角形,且平面底面,,==,证明:
    2. (2023·全国·高三专题练习)如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,, 是的中点,点在棱上.
    (1)求四棱锥的全面积;
    (2)求证:.
    【题型四 垂直中的探究性问题】
    例7(2023·山东·模拟预测)如图,在四棱锥中,平面,, ,,,,为侧棱上一点.
    (1)若,求证:平面;
    (2)求证:平面平面;
    (3)在侧棱上是否存在点,使得平面? 若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
    例8(2023·福建·三明一中模拟预测)如图,在直三梭柱中,,,点,分别为和的中点.
    (1)棱上是否存在点使得平面平面?若存在,写出的长并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
    (2)求点到平面的距离.
    【题型精练】
    1. (2023·广东佛山市高三模拟)如图,在直三棱柱中,,点分别为和的中点.,)棱上是否存在点使得平面平面?若存在,写出的长并证明你的结论;若不存在,请说明理由
    2. (2023·云南昆明市高三模拟)如图所示,在几何体中,是等边三角形,平面,,且,试在线段上确定点的位置,使平面,并证明;
    文字语言
    图形表示
    符号表示
    判定定理
    如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直
    eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n))
    ⇒l⊥α
    性质定理
    垂直于同一个平面的两条直线平行
    eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))
    ⇒a∥b
    文字语言
    图形表示
    符号表示
    判定定理
    如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直
    eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊂α,a⊥β))
    ⇒α⊥β
    性质定理
    两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直
    eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,α∩β=a,l⊥a,l⊂β))
    ⇒l⊥α
    7.6 空间几何体中垂直的判定和性质
    【题型解读】

    【知识必备】
    1.直线与平面垂直
    (1)直线和平面垂直的定义
    如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.
    (2)判定定理与性质定理
    2.平面与平面垂直
    (1)平面与平面垂直的定义
    两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
    (2)判定定理与性质定理
    知识拓展
    1.三垂线定理
    在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
    2.三垂线定理的逆定理
    平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
    【题型精讲】
    【题型一 线面垂直的判定】
    技巧方法 证明线面垂直的常用方法及关键
    (1)证明直线和平面垂直的常用方法:①判定定理;②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);③面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);④面面垂直的性质.
    (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.
    例1 (2023·陕西安康·高三期末)如图,四棱锥中,平面平面,,,,,求证:平面
    答案:证明见详解
    【解析】平面平面,平面平面,,,
    平面,又平面,,
    又,,,
    ,,
    ,,,
    又,平面;
    例2 (2023·江苏南通市高三模拟)如图①,在菱形中,且,为的中点.将沿折起使,得到如图②所示的四棱锥,求证:平面
    答案:证明见解析
    【解析】连接.
    ∵四边形为菱形,,∴是等边三角形.
    ∵为的中点,∴,.
    又∵,∴,,
    ∴,∴,
    ∵,∴,.
    又,平面,平面,
    ∴平面.
    【跟踪精练】
    1. (2023·陕西高三模拟)如图,四棱锥中,平面平面,为的中点,为的中点,且,,.证明:平面
    答案:证明见解析
    【解析】证明:如图,
    连接AF,
    由题意知为等腰三角形,
    而为的中点,所以.
    又因为平面平面,且,平面平面,平面,
    所以平面.
    而平面,所以.
    而,平面,所以平面.
    连接,则,,
    而,,所以且,
    所以是平行四边形,
    因此,故平面.
    2. (2023·海原县高三模拟)在直四棱柱中,底面ABCD为平行四边形,,点M在棱上,点N是BC的中点,且满足,证明:AM⊥平面
    答案:证明见解析
    【解析】联结AC,由知,,即,
    由在直四棱柱中,平面ABCD,则
    又,则平面ACM,又平面ACM,
    则,又,则,由条件知,
    且,故平面;
    3. (2023·山西·太原五中高一阶段练习)如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,为中点,求证:平面
    答案:证明见解析
    【解析】因为底面为矩形,所以,
    又因为平面平面平面,平面平面,
    所以平面,因为平面,所以,
    由,所以,所以,
    又因为平面,所以平面.
    【题型二 面面垂直的判定】
    技巧方法 判定面面垂直的方法
    ①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.
    (2)面面垂直性质的应用
    ①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线也垂直于第三个平面.
    例3 (2023·全国高三模拟)如图,在三棱柱中,,,,,证明:平面平面
    答案:证明见解析
    【解析】证明:如图,连接,在中,,,,
    由余弦定理,得,
    所以,所以,
    所以,同理,又,平面,
    所以平面,又平面,
    所以平面平面.
    例4 (2023·河北衡水中学高三模拟)如图,正三棱柱中,,,,分别是棱,的中点,在侧棱上,且,求证:平面平面;
    答案:证明见解析
    【解析】∵在正三棱柱中,平面,平面,∴.
    ∵是棱的中点,为正三角形,∴.
    ∵,∴平面.
    ∵平面∴.
    又∵,,,∴,,
    ∴,∴,∴,
    ∴,∴,∴.
    又∵,∴平面,
    ∵平面,∴平面平面.
    【跟踪精练】
    1. (2023·安徽·合肥市第六中学高一期中)如图,在直角梯形中,,,,并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF.
    (1)求证:直线平面ADF;
    (2)求证:直线平面ADF;
    (3)当平面平面ABEF时,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使平面ADE与平面BCE垂直.并证明你的结论.
    条件①:;
    条件②:;
    条件③:.
    答案:(1)证明见解析
    (2)证明见解析
    (3)答案见解析
    【解析】(1)证明:在直角梯形中,,,将直角梯形绕边旋转至,
    所以,
    又,平面,
    所以平面;
    (2)证明:依题意可得且,
    所以四边形为平行四边形,
    所以,平面,平面,
    所以平面;
    (3)证明:因为平面平面,,平面平面,平面,
    所以平面,平面,所以,
    过点作,交于点,
    若选①,,,所以,
    所以,此时,
    所以
    如图过点作交的延长线于点,
    因为平面,平面,所以,
    ,平面,所以平面,
    又平面,
    所以平面平面,显然平面与平面不垂直;
    若选②:,则,所以,,
    所以,即,
    又,平面,所以平面,
    又平面,
    所以平面平面;
    若选③:,又,,平面,所以平面,
    又平面,
    所以平面平面;
    2. (2023·全国高三模拟)如图所示,直三棱柱中,为中点.
    (1)求证:平面;
    (2)若三棱柱上下底面为正三角形,,,求证:平面平面.
    答案:(1)证明见解析(2)证明见解析
    【解析】(1)连接,与相交于点F,连接MF,则为的中点,
    因为为中点,所以MF是的中位线,所以,
    因为平面,平面,所以平面
    (2)因为直三棱柱上下底面为正三角形,,,
    所以,
    所以,
    所以,即,
    由三线合一可得:,
    又因为平面ABC,平面ABC,
    所以,
    因为,
    所以平面,
    因为平面,
    所以
    因为
    所以平面,
    因为平面,
    所以平面平面
    【题型三 线线垂直的判定】
    例5 (2023·江西高三模拟)如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱中,,是线段的中点,是线段靠近点的四等分点,点在线段上,求证:
    答案:证明见解析
    【解析】由题意,在直三棱柱中,,
    不妨设,则,
    由余弦定理可得,因为,可得,
    又由是线段的中点,所以,且,
    因为平面,平面,所以,
    又因为,且平面,所以平面,
    因为平面,所以,
    在直角中,,
    因为是线段靠近点的四等分点,可得,
    所以,可得,
    又由且平面,所以平面,
    因为平面,所以.
    例6 (2023·重庆八中高三阶段练习)如图,在直四棱柱中,,分别为,的中点,底面是菱形,且,,,证明:
    答案:证明见解析
    【解析】证明:连接,.
    四边形是菱形,,
    .
    又是的中点,.
    又,.
    是直四棱柱,
    平面.
    又平面,.
    又,平面.
    又平面,.
    【题型精练】
    1.(2023·全国·高三专题练习)如图,四棱锥中,侧面为等边三角形,且平面底面,,==,证明:
    答案:证明见解析
    【解析】证明:取的中点,连,,
    ∵为等边三角形,且是边的中点,
    ∴,
    ∵平面底面,且它们的交线为,
    ∴平面,则,
    ∵,且
    ∴平面,
    ∴;
    2. (2023·全国·高三专题练习)如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,, 是的中点,点在棱上.
    (1)求四棱锥的全面积;
    (2)求证:.
    答案:(1);(2)证明见解析.
    【解析】(1)∵BC//AD,AD⊥平面ABP,∴BC⊥平面ABP,
    ∴BC⊥BP,∴,
    同理可得,

    .
    (2)∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.
    又ABCD是矩形,∴CD⊥AD,
    ∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.
    ∵AF⊂平面PAD,∴AF⊥CD.
    ∵PA=AD,点F是PD的中点,∴AF⊥PD.
    又CD∩PD=D,∴AF⊥平面PDC.
    ∵PE⊂平面PDC,∴PE⊥AF.
    【题型四 垂直中的探究性问题】
    例7(2023·山东·模拟预测)如图,在四棱锥中,平面,, ,,,,为侧棱上一点.
    (1)若,求证:平面;
    (2)求证:平面平面;
    (3)在侧棱上是否存在点,使得平面? 若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
    答案:(1)详见解析;(2)详见解析;(3)存在,,理由见解析.
    【解析】
    (1)设,连结,
    由已知,,,得
    .由,得.
    在中,由,得.
    因为平面,平面,
    所以平面.
    (2)因为平面,平面,
    所以.
    在直角梯形中,因,
    故,,因,
    所以.所以.又,所以平面.
    因为平面,所以平面平面.
    (3)在平面内作于点,则即为所求的点,
    由,,,
    得平面.因为平面,所以.又,
    所以平面.
    由,,,得.
    例8(2023·福建·三明一中模拟预测)如图,在直三梭柱中,,,点,分别为和的中点.
    (1)棱上是否存在点使得平面平面?若存在,写出的长并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
    (2)求点到平面的距离.
    答案:(1)存在;;证明见解析;(2).
    【解析】(1)存在点满足题意,且.
    证明如下:
    取的中点为,连接,,.
    则,所以平面.
    因为,是的中点,所以.
    在直三棱柱中,平面平面,且交线为,
    所以平面,所以.
    在平面内,,,
    所以∽,从而可得.
    又因为,所以平面.
    因为平面,所以平面平面.
    (2)过点作,垂足为,连接.
    设点到平面的距离为.

    而,.
    所以是等腰三角形,腰长为,底边长为,
    所以,
    因此,解得.
    【题型精练】
    1. (2023·广东佛山市高三模拟)如图,在直三棱柱中,,点分别为和的中点.,)棱上是否存在点使得平面平面?若存在,写出的长并证明你的结论;若不存在,请说明理由
    答案:存在点满足题意,且,证明详见解析
    【解析】存在点满足题意,且.
    证明如下:
    取的中点为,连接.
    则,所以平面.
    因为是的中点,所以.
    在直三棱柱中,平面平面,且交线为,
    所以平面,所以.
    在平面内,,,
    所以,从而可得.
    又因为,所以平面.
    因为平面,所以平面平面.
    2. (2023·云南昆明市高三模拟)如图所示,在几何体中,是等边三角形,平面,,且,试在线段上确定点的位置,使平面,并证明;
    答案:见解析
    【解析】当点为的中点时,平面.证明如下:取中点,连接,,
    且,又,,
    且,四边形为平行四边形,.
    又平面,,平面,又CD面BCD,平面平面,是等边三角形,,
    又平面平面,平面,平面.
    文字语言
    图形表示
    符号表示
    判定定理
    如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直
    eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n))
    ⇒l⊥α
    性质定理
    垂直于同一个平面的两条直线平行
    eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))
    ⇒a∥b
    文字语言
    图形表示
    符号表示
    判定定理
    如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直
    eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊂α,a⊥β))
    ⇒α⊥β
    性质定理
    两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直
    eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,α∩β=a,l⊥a,l⊂β))
    ⇒l⊥α
    相关试卷

    高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.3空间几何体截面、轨迹问题(精讲)(原卷版+解析): 这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.3空间几何体截面、轨迹问题(精讲)(原卷版+解析),共28页。

    高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.3空间几何体截面、轨迹问题(精练)(原卷版+解析): 这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.3空间几何体截面、轨迹问题(精练)(原卷版+解析),共29页。

    高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.1空间几何体结构特征及计算(精讲)(原卷版+解析): 这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.1空间几何体结构特征及计算(精讲)(原卷版+解析),共25页。

    • 精品推荐
    • 所属专辑

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单

        欢迎来到教习网

        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        即将下载

        高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.6空间几何体中垂直的判定与性质(精讲)(原卷版+解析)
        该资料来自成套资源,打包下载更省心 该专辑正在参与特惠活动,低至4折起
        [共10份]
        浏览全套
          立即下载(共1份)
          返回
          顶部
          Baidu
          map