高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.5直线和椭圆的位置关系(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.5直线和椭圆的位置关系(精讲)(原卷版+解析)，共21页。


【知识必备】
1．直线与椭圆的位置判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ>0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ<0.
2．弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])
或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])，k为直线斜率且k≠0.
常用结论
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
(1)通径的长度为eq \f(2b2,a).
(2)过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；过右焦点弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率)
(3)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则.
(4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M 为AB的中点，则kOM·kAB＝－eq \f(b2,a2).
(5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－eq \f(b2,a2).
(6)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1.
【题型精讲】
【题型一 直线和椭圆位置关系】
必备技巧 判断直线与椭圆位置关系的方法
(1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
例1 (2023·全国·高三专题练习）(多选)直线y＝kx－eq \r(2)k＋eq \f(\r(6),2)与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的位置关系可能为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．有3个公共点
例2 (2023·福建高三期末）已知动点M到两定点F1(－m，0)，F2(m，0)的距离之和为4(0(1)求m的值；
(2)若直线l：y＝kx＋eq \r(2)与曲线C有两个不同的交点A，B，求k的取值范围．
【跟踪精练】
1. (2023·全国·高三专题练习）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．1个B．至多一个C．2个D．0个
2. (2023·深圳模拟)若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3.(2023·全国高三模拟）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．或
C．且D．且
【题型二 弦长问题】
例3 (2023·青岛高三模拟）在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)过点P(2,1)，且离心率e＝eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为eq \f(1,2)，直线l与椭圆C交于A，B两点．若|AB|＝eq \r(5)，求直线l的方程．
例4(2023·山东日照高三模拟）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．
【跟踪精练】
1．(2023·武功县普集高级中学期末）已知椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(4\r(2),3)，则实数m的值为( )
A．±1 B．±eq \f(1,2)
C.eq \r(2) D．±eq \r(2)
2．(2023·全国高三模拟）椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝eq \f(1,2)，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线AB的斜率为eq \r(3)，求△ABF2的面积．
【题型三 中点弦问题】
方法技巧 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
例5 (2023·全国高三专题练习）已知直线l与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1相交于A，B两点，且线段AB的中点P(1,1)．
(1)求直线l的方程；
(2)求△OAB的面积．
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在的直线方程为______．
2. (2023·全国·模拟预测）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．
3.(2023·山西太原五中高三期末）若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为______.
【题型四 直线与椭圆的综合问题】
(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．
(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
例6 (2023·江苏省前黄高级中学高三月考）（多选）已知椭圆上有一点，､分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则；B．若，则满足题意的点有个；
C．若是钝角三角形，则；D．椭圆的内接矩形的周长的最小值为.
例7 设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为eq \f(\r(3),3)，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为eq \f(4\r(3),3).
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(DB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(CB,\s\up7(―→))＝8，O为坐标原点，求△OCD的面积．
【题型精练】
1. (2023·浙江·高三开学考试）已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.
(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且eq \(F1P,\s\up6(－→))⊥eq \(F1Q,\s\up6(－→))，求直线l的方程．
2. (2023·江西·高三开学考试）已知抛物线：和椭圆：，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的中垂线交椭圆于，两点．
（1）若恰是椭圆的焦点，求的值；
（2）若恰好被平分，求面积的最大值．
8.5 直线和椭圆的位置关系
【题型解读】
【知识必备】
1．直线与椭圆的位置判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ>0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ<0.
2．弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])
或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])，k为直线斜率且k≠0.
常用结论
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
(1)通径的长度为eq \f(2b2,a).
(2)过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；过右焦点弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率)
(3)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则.
(4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M 为AB的中点，则kOM·kAB＝－eq \f(b2,a2).
(5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－eq \f(b2,a2).
(6)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1.
【题型精讲】
【题型一 直线和椭圆位置关系】
必备技巧 判断直线与椭圆位置关系的方法
(1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
例1 (2023·全国·高三专题练习）(多选)直线y＝kx－eq \r(2)k＋eq \f(\r(6),2)与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的位置关系可能为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．有3个公共点
答案：AB
【解析】直线y＝kx－eq \r(2)k＋eq \f(\r(6),2)＝k(x－eq \r(2))＋eq \f(\r(6),2)恒过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(\r(6),2)))，又点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(\r(6),2)))在椭圆上，故直线与椭圆可能相交也可能相切．
例2 (2023·福建高三期末）已知动点M到两定点F1(－m，0)，F2(m，0)的距离之和为4(0(1)求m的值；
(2)若直线l：y＝kx＋eq \r(2)与曲线C有两个不同的交点A，B，求k的取值范围．
【解析】(1)由0所以a＝2，设曲线C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1，
把点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(1,2)))代入，
得eq \f(3,4)＋eq \f(1,4b2)＝1，
解得b2＝1，由c2＝a2－b2，
解得c2＝3，
所以m＝eq \r(3).
(2)由(1)知曲线C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，
联立方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝kx＋\r(2)，))
消去y得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)＋k2))x2＋2eq \r(2)kx＋1＝0，
则有Δ＝4k2－1>0，得k2>eq \f(1,4).
所以k>eq \f(1,2)或k<－eq \f(1,2)，
所以k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
【跟踪精练】
1. (2023·全国·高三专题练习）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．1个B．至多一个C．2个D．0个
答案：C
【解析】因为直线和圆没有交点，
所以，即，
所以，即点在椭圆内，
所以过点的直线与椭圆的交点个数为个.
故选：C
2. (2023·深圳模拟)若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线.
当曲线为椭圆时，即，只需点落在椭圆内，即，解得：；
当曲线为双曲线时，即，渐近线方程：
要使曲线与曲线恰有两个不同的交点，
只需，解得：.
所以实数的取值范围是
故选：C
3.(2023·全国高三模拟）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．或
C．且D．且
答案：C
【解析】由题意，直线，可得直线恒过定点，
要使得直线与椭圆恒有公共点，
只需点在椭圆的内部或在椭圆上，可得，
即实数的取值范围为且.
故选：C.
【题型二 弦长问题】
例3 (2023·青岛高三模拟）在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)过点P(2,1)，且离心率e＝eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为eq \f(1,2)，直线l与椭圆C交于A，B两点．若|AB|＝eq \r(5)，求直线l的方程．
【解析】(1)∵e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(3,4)，
∴a2＝4b2.
又椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)过点P(2,1)，
∴eq \f(4,a2)＋eq \f(1,b2)＝1，
∴a2＝8，b2＝2.
故所求椭圆方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)设l的方程为y＝eq \f(1,2)x＋m，
点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)x＋m，,\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，))
整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
∴Δ＝4m2－8m2＋16＞0，解得|m|＜2.
∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.
则|AB|＝eq \r(1＋\f(1,4))×eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \r(54－m2)＝eq \r(5)，
解得m＝±eq \r(3).
所求直线l的方程为y＝eq \f(1,2)x±eq \r(3).
例4(2023·山东日照高三模拟）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．
【解析】（1）由题意得，
，解得，
所以的方程为.
（2）圆的圆心为，半径圆.
①当直线的斜率不存在时，方程为或，
于是有或
解得，
所以.
②当直线的斜率为时，方程为或，
于是有或
解得，
所以.
③当直线的斜率不为时，设斜率为，方程为，
因为直线与圆相切，所以，得
建立方程组，消并化简得，
.
设,,则,，
所以=
而，当且仅当，即时，等号成立.
所以 ，
所以.
综上所述，的取值范围是.
【跟踪精练】
1．(2023·武功县普集高级中学期末）已知椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(4\r(2),3)，则实数m的值为( )
A．±1 B．±eq \f(1,2)
C.eq \r(2) D．±eq \r(2)
答案：A
【解析】由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝x＋m))消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq \f(4m,3)，x1x2＝eq \f(2m2－2,3).
由题意，得|AB|＝eq \r(2x1＋x22－8x1x2)＝eq \f(4,3)eq \r(3－m2)＝eq \f(4\r(2),3)，解得m＝±1.
2．(2023·全国高三模拟）椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝eq \f(1,2)，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线AB的斜率为eq \r(3)，求△ABF2的面积．
【解析】(1)由题意知，4a＝8，所以a＝2，又e＝eq \f(1,2)，所以eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，c＝1，
所以b2＝22－1＝3，所以椭圆E的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)设直线AB的方程为y＝eq \r(3)(x＋1)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))得5x2＋8x＝0，
解得x1＝0，x2＝－eq \f(8,5)，所以y1＝eq \r(3)，y2＝－eq \f(3\r(3),5).所以S△ABF2＝c·|y1－y2|＝1×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(3)＋\f(3\r(3),5)))＝eq \f(8\r(3),5).
【题型三 中点弦问题】
方法技巧 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
例5 (2023·全国高三专题练习）已知直线l与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1相交于A，B两点，且线段AB的中点P(1,1)．
(1)求直线l的方程；
(2)求△OAB的面积．
【解析】(1)由斜率公式可知kOP＝1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
代入椭圆方程得到，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),4)＋\f(y\\al(2,1),3)＝1，,\f(x\\al(2,2),4)＋\f(y\\al(2,2),3)＝1))⇒eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),4)＋eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),3)＝0，
化简得到－eq \f(3,4)×eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝kAB，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴kAB＝－eq \f(3,4)，
∴直线方程为y－1＝－eq \f(3,4)(x－1)，
∴直线l的方程为3x＋4y－7＝0.
(2)将直线方程与椭圆方程联立，可得21x2－42x＋1＝0，
Δ＝422－4×21>0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝eq \f(1,21).
由弦长公式得到
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋\f(9,16))×eq \r(4－\f(4,21))
＝eq \f(5,4)×eq \f(4\r(105),21)＝eq \f(5\r(105),21)，
再由点到直线的距离公式得到坐标原点到直线AB的距离d＝eq \f(|－7|,\r(9＋16))＝eq \f(7,5)，
∴△OAB的面积S＝eq \f(1,2)×eq \f(5\r(105),21)×eq \f(7,5)＝eq \f(\r(105),6).
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在的直线方程为______．
答案：
【解析】设直线与椭圆的交点为
为的中点， ；
两点在椭圆上，则
两式相减得 ；
则 ； ；
故所求直线的方程为 ，即 ；
故答案为：
2. (2023·全国·模拟预测）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．
答案：
【解析】设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，
设中点坐标为，则，
所以，两式相减可得，
，即，
由于在椭圆内部，由得，
所以时，即直线与椭圆相切，
此时由解得或，
所以，
所求得轨迹方程为．
故答案为：．
3.(2023·山西太原五中高三期末）若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为______.
答案：
【解析】依题意，双曲线上两点，，，，
若点A、B关于直线对称，则
设直线的方程是，代入双曲线方程化简得：
，
则，且，解得，且
又，设的中点是，，
所以，．
因为的中点在直线上，
所以，所以，又
所以，即，所以
所以，整理得，
所以或，
实数的取值范围为：
故答案为：.
【题型四 直线与椭圆的综合问题】
(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．
(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
例6 (2023·江苏省前黄高级中学高三月考）（多选）已知椭圆上有一点，､分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则；B．若，则满足题意的点有个；
C．若是钝角三角形，则；D．椭圆的内接矩形的周长的最小值为.
答案：ABC
【解析】由椭圆可得，则，
对于A，设，，则，由此可得，所以的面积为
所以，所以A正确，
对于B，因为，则，所以由椭圆的对称性可知满足题意的点有个，所以B正确，
对于C，因为是钝角三角形，所以中有一个角大于，当时，设，则，因为，所以解得，所以，所以是钝角三角形时，有，所以C正确，
对于D，令，，则椭圆内接矩形的周长为
（其中且满足），由得，所以椭圆内接矩形的周长的范围为，即，所以D错误，
故选：ABC
例7 设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为eq \f(\r(3),3)，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为eq \f(4\r(3),3).
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(DB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(CB,\s\up7(―→))＝8，O为坐标原点，求△OCD的面积．
【解析】(1)因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为eq \f(4\r(3),3)，所以eq \f(2b2,a)＝eq \f(4\r(3),3).
因为椭圆的离心率为eq \f(\r(3),3)，所以eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)，又a2＝b2＋c2，可解得b＝eq \r(2)，c＝1，a＝eq \r(3).
所以椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)由(1)可知F(－1,0)，则直线CD的方程为y＝k(x＋1)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，))消去y得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
所以x1＋x2＝－eq \f(6k2,2＋3k2)，x1x2＝eq \f(3k2－6,2＋3k2).又A(－eq \r(3)，0)，B(eq \r(3)，0)，
所以eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(DB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(CB,\s\up7(―→))＝(x1＋eq \r(3)，y1)·(eq \r(3)－x2，－y2)＋(x2＋eq \r(3)，y2)·(eq \r(3)－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋eq \f(2k2＋12,2＋3k2)＝8，
解得k＝±eq \r(2).从而x1＋x2＝－eq \f(6×2,2＋3×2)＝－eq \f(3,2)，x1x2＝eq \f(3×2－6,2＋3×2)＝0.
所以|x1－x2|＝eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2－4×0)＝eq \f(3,2)，
|CD|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋2)×eq \f(3,2)＝eq \f(3\r(3),2).
而原点O到直线CD的距离为d＝eq \f(|k|,\r(1＋k2))＝eq \f(\r(2),\r(1＋2))＝eq \f(\r(6),3)，
所以△OCD的面积为S＝eq \f(1,2)|CD|×d＝eq \f(1,2)×eq \f(3\r(3),2)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(3\r(2),4).
【题型精练】
1. (2023·浙江·高三开学考试）已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.
(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且eq \(F1P,\s\up6(－→))⊥eq \(F1Q,\s\up6(－→))，求直线l的方程．
【解析】(1)由题意知，△F1B1B2为等边三角形，
所以c＝eq \r(3)b，又c＝1，
所以b＝eq \f(\r(3),3)，
又由a2＝b2＋c2，可得a2＝eq \f(4,3)，
故椭圆C的方程为eq \f(3x2,4)＋3y2＝1.
(2)易知椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1，
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,\f(x2,2)＋y2＝1，))
得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(4k2,2k2＋1)，x1x2＝eq \f(2k2－1,2k2＋1)，
eq \(F1P,\s\up6(－→))＝(x1＋1，y1)，
eq \(F1Q,\s\up6(－→))＝(x2＋1，y2)，
因为eq \(F1P,\s\up6(－→))⊥eq \(F1Q,\s\up6(－→))，
所以eq \(F1P,\s\up6(－→))·eq \(F1Q,\s\up6(－→))＝0，
即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)
＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1
＝eq \f(7k2－1,2k2＋1)＝0，
解得k2＝eq \f(1,7)，即k＝±eq \f(\r(7),7)，
故直线l的方程为x＋eq \r(7)y－1＝0或x－eq \r(7)y－1＝0.
2. (2023·江西·高三开学考试）已知抛物线：和椭圆：，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的中垂线交椭圆于，两点．
（1）若恰是椭圆的焦点，求的值；
（2）若恰好被平分，求面积的最大值．
答案：（1）；（2）．
【解析】（1）在椭圆中，，所以，
因为恰是椭圆的焦点，
所以，所以；
（2）设直线：，，
联立，得，
则，则，
故的中点坐标为，
又因为恰好被平分，则，，
直线的斜率等于，
将M、N的坐标代入椭圆方程得：
，，
两式相减得：，
故，
即直线的斜率等于，
所以，解得，
由的中点在椭圆内，得，解得，
因为，所以的最大值是2，
，
则面积，
所以，当时，面积的最大值是